מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 1 מעל רמת בגרות

מכונה A: $2x+y\le20$. מכונה B: $x+3y\le30$. ובנוסף $x\ge0$, $y\ge0$.

$2x+y=20$ חותך את הצירים ב-$(10,0)$ וב-$(0,20)$; $x+3y=30$ חותך ב-$(30,0)$ וב-$(0,10)$. הראשית מקיימת את שני האילוצים.

על ציר ה-$x$ התחום נעצר ב-$(10,0)$, ועל ציר ה-$y$ ב-$(0,10)$.

חיתוך הישרים: $y=20-2x$, ומציבים:

הקודקודים: $(0,0)$, $(10,0)$, $(6,8)$, $(0,10)$.

טעות נפוצה: לצרף את $(10,0)$ ואת $(0,10)$ לנקודה $(10,10)$ ולחשוב שזה הקודקוד הפנימי. נקודה זו אינה מקיימת אף אחד מהאילוצים ($2\cdot10+10=30>20$).

פונקציית המטרה: $P=300x+py$.

טעות נפוצה: להחליף בין השיעורים בקודקוד $(6,8)$ ולכתוב $300\cdot8+6p=2400+6p$. $x=6$ הוא מספר המטענים הקטנים, ולכן הוא מוכפל ב-300.

הרווח ב-$(6,8)$ צריך להיות גדול או שווה לרווח בכל קודקוד אחר.

מול $(10,0)$:

מול $(0,10)$:

ולכן $150\le p\le900$.

כש-$p=150$ הרווח ב-$(6,8)$ וב-$(10,0)$ שווה (3,000), וכש-$p=900$ הרווח ב-$(6,8)$ וב-$(0,10)$ שווה (9,000). בשני המקרים $(6,8)$ עדיין מביא לרווח מקסימלי, יחד עם קודקוד נוסף.

מחוץ לתחום הזה: כש-$p<150$ כדאי לייצר רק מטענים קטנים ($(10,0)$), וכש-$p>900$ - רק גדולים ($(0,10)$).

טעות נפוצה: להשוות רק לקודקוד $(10,0)$ ולענות $p\ge150$. כש-$p$ גדול מאוד, למשל $p=1000$, הרווח ב-$(0,10)$ (10,000) גבוה מהרווח ב-$(6,8)$ (9,800).

הרווח המקסימלי מתקבל באחד הקודקודים. בודקים כל אפשרות:

$(10,0)$: הרווח בו 3,000, לא 7,800 - נפסל.

$(0,10)$: $10p=7800$, כלומר $p=780$. אבל אז הרווח ב-$(6,8)$ הוא $1800+8\cdot780=8040>7800$, כלומר 7,800 אינו המקסימום - נפסל.

$(6,8)$: $1800+8p=7800$, כלומר $8p=6000$ ו-$p=750$. לפי סעיף ג, $750$ נמצא בתחום $150\le p\le900$, ולכן $(6,8)$ באמת הקודקוד האופטימלי. בדיקה: $P(0,10)=7500<7800$, $P(10,0)=3000<7800$.

$p=750$, והמפעל מייצר 6 מטענים קטנים ו-8 מטענים גדולים.

טעות נפוצה: להשוות מיד $10p=7800$ ולענות $p=780$ בלי לבדוק שהקודקוד הזה הוא באמת המקסימום.

קלוריות - "לכל היותר" 1,200, ומחלקים ב-60:

סיבים - "לפחות" 36, ומחלקים ב-3:

ומספרי המנות אינם שליליים: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לקרוא את הטבלה לפי שורה במקום לפי עמודה, ולכתוב אילוץ קלוריות $60x+6y\le1200$ - בכל אילוץ משתתפים הנתונים של אותה עמודה (אותו משאב) בשני סוגי המזון.

נקודות החיתוך עם הצירים: $x+2y=20$ עובר דרך $(20,0)$ ו-$(0,10)$; $2x+3y=12$ עובר דרך $(6,0)$ ו-$(0,4)$.

בדיקה בראשית: $0\le20$ נכון - התחום מתחת לישר $x+2y=20$; $0\ge12$ לא נכון - התחום מעל הישר $2x+3y=12$.

קדקודי התחום: $(6,0)$, $(20,0)$, $(0,10)$, $(0,4)$.

טעות נפוצה: לבחור את הצד הלא נכון של $x+2y\le20$ (מעל הישר), ולקבל תחום פתוח שמעל שני הישרים - תפריטים שיש בהם יותר מ-1,200 קלוריות.

נועה רוצה לשלם כמה שפחות, ולכן מחפשים את הערך המינימלי של $P$.

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים ולכתוב $P=5x+3y$ - המחיר של מנת מזון יבש (3 שקלים) מוכפל במספר מנות המזון היבש, $x$.

מציבים את קדקודי התחום בפונקציית המטרה:

המחיר הנמוך ביותר, 18 שקלים, מתקבל ב-$(6,0)$: 6 מנות מזון יבש ו-0 מנות מזון רטוב.

טעות נפוצה: לנמק "מנת מזון יבש זולה יותר (3 שקלים לעומת 5), ולכן כדאי לתת כמה שיותר מזון יבש" ולבחור בקדקוד $(20,0)$ - שם המחיר 60 שקלים. המחיר הזול ליחידה לא קובע; צריך להשוות את המחיר הכולל בכל הקדקודים.

פונקציית המטרה החדשה: $P=4x+5y$. התחום לא השתנה, ומציבים שוב את הקדקודים:

המינימום עבר לקדקוד $(0,4)$, 20 שקלים. כן, חל שינוי: 0 מנות מזון יבש ו-4 מנות מזון רטוב.

טעות נפוצה: לחשב מחדש רק את הקדקוד $(6,0)$ (24 שקלים) ולהסיק שהתפריט לא השתנה ורק המחיר עלה - צריך להשוות שוב את כל הקדקודים.

מימין: $0.5\%+1.5\%=2\%$, ולכן 14 הוא $\bar x+2S$.

משמאל: $0.5\%+1.5\%+5\%+9\%+15\%=31\%$, ולכן 6.5 הוא $\bar x-0.5S$.

מחסרים: $2.5S=7.5$, ולכן $S=3$, ו-$\bar x=14-6=8$.

טעות נפוצה: לשים את 6.5 בצד הלא נכון של הממוצע, $\bar x+0.5S=6.5$, ולקבל $S=5$ ו-$\bar x=4$.

$z=-1$: $8-3=5$ דקות. $z=1.5$: $8+1.5\cdot3=12.5$ דקות.

סוכמים את הרצועות שבין $\bar x-S$ ל-$\bar x+1.5S$:

טעות נפוצה: לעצור את הסכום ב-$\bar x+S$ ולשכוח את רצועת ה-9%, ולקבל 68%.

$\frac{2-8}{3}=-2$, כלומר 2 דקות הן $\bar x-2S$, ומתחתיהן $0.5\%+1.5\%=2\%$ מהשיחות.

18 שיחות הן 2% מכל השיחות:

טעות נפוצה: להשתמש באחוז של רצועה אחת (1.5%) במקום באחוז המצטבר, ולקבל $N=1200$.

משווים מיקום יחסי לפי ציון התקן:

$z_2>z_1$, ולכן במוקד האחר השיחה רחוקה יותר מהממוצע ביחידות של סטיית תקן - שם היא ארוכה יותר יחסית (פחות שיחות ארוכות ממנה).

טעות נפוצה: להשוות את ההפרש מהממוצע בדקות ($3.5>2.5$) ולענות "במוקד הראשון" - בלי להתחשב בפיזור השונה.

$A$ על ציר ה-$y$: מציבים $x=0$ ומקבלים $y=3.2$, ולכן $A(0,3.2)$.

$B$ על פני המים: מציבים $y=0$:

הסילון נע מהפייה ($x=0$) קדימה, ולכן $x=-2$ נפסל (מאחורי הפייה). $B(8,0)$.

טעות נפוצה: לבחור את הפתרון השלילי ולענות $B(-2,0)$ - הנקודה הזאת על הפרבולה, אבל לא על מסלול הסילון.

$a=-0.2<0$, ולכן הקדקוד הוא נקודת מקסימום:

טעות נפוצה: לענות 3.2 מטרים - זה הגובה של הפייה (נקודת ההתחלה), ולא הגובה הגדול ביותר של הסילון.

הפרבולה פתוחה כלפי מטה: עולה עד הקדקוד $x=3$ ויורדת אחריו.

הטיפה נעה מ-$A$ ($x=0$) עד $B$ ($x=8$), ולכן היא יורדת כאשר $3<x<8$.

טעות נפוצה: לענות $0<x<3$ - שם הטיפה עולה.

במגמת ירידה $3<x<8$, ולכן $x=5$.

טעות נפוצה: לבחור $x=1$ - שם הטיפה עברה בגובה $4.2$ מטרים בדרך למעלה.

מבט מלפנים של $S$: $\max(3,0)=3$, $\max(1,1)=1$, $\max(1,2)=2$ - כמו בתרשים.

מבט מימין של $S$: צד שמאל - השורה הקדמית, $\max(0,1,2)=2$; צד ימין - השורה האחורית, $\max(3,1,1)=3$ - כמו בתרשים.

לכן $S$ מתאים לשני המבטים.

טעות נפוצה: לשים את השורה האחורית בצד שמאל של המבט מימין, לקבל 3, 2 ולענות ש-$S$ אינו מתאים.

כדי שהמבט מלפנים לא ישתנה, אסור שמשבצת תהיה גבוהה מהגובה של העמודה שלה במבט מלפנים (3, 1, 2).

כדי שהמבט מימין לא ישתנה, אסור שמשבצת בשורה הקדמית תהיה גבוהה מ-2, ובשורה האחורית מ-3.

הגובה המרבי בכל משבצת הוא הקטן מבין שתי המגבלות:

במבנה הזה $3+1+2+2+1+2=11$ קוביות, והמבטים שלו עדיין 3, 1, 2 ו-2, 3. ב-$S$ יש $3+1+1+0+1+2=8$ קוביות, ולכן אפשר להוסיף לכל היותר $11-8=3$ קוביות.

טעות נפוצה: להתחשב רק במבט מלפנים ולמלא כל משבצת עד גובה העמודה שלה (3, 1, 2 בשתי השורות) - 12 קוביות, כלומר להוסיף 4. אבל אז בשורה הקדמית יש עמודה בגובה 3, והמבט מימין משתנה.

כל עמודה במבט מלפנים צריכה להופיע: בעמודה השמאלית צריכה משבצת בגובה 3, באמצעית - בגובה 1, בימנית - בגובה 2. לכן לפחות $3+1+2=6$ קוביות.

אפשר להסתפק ב-6: גובה 3 חייב להיות בשורה האחורית (בקדמית מותר לכל היותר 2), ואת העמודה בגובה 2 שמים בשורה הקדמית - כך גם המבט מימין (2 משמאל, 3 מימין) מתקבל:

טעות נפוצה: לבנות קודם את המבט מלפנים בשורה האחורית (3, 1, 2) ואז להוסיף עמודה נפרדת בגובה 2 לשורה הקדמית - 8 קוביות, אף שהעמודה הימנית יכולה לשרת את שני המבטים יחד.

לפי סעיף ב, במבנה הגדול ביותר 11 קוביות:

טעות נפוצה: לחלק במספר הקוביות של $S$ (8): $a^3=171.875$, $a\approx5.56$.

משווים את המשבצות התפוסות בכל שורה:

בשלושת המבנים: בשורה הקדמית - אמצע וימין; בשורה השנייה - שמאל ואמצע; בשורה השלישית - רק שמאל.

בשורה האחורית: במבנים 1 ו-3 יש קוביות בשמאל ובאמצע. במבנה 2 יש רק עמודה שמאלית (בגובה 2), ומימינה רואים את המשטח הריק.

לכן מבנים 1 ו-3 מתאימים לתרשים II, ומבנה 2 מתאים לתרשים I.

טעות נפוצה: לא לשים לב שבמבנה 2 המשבצת האמצעית בשורה האחורית ריקה, ולקבוע ששלושת המבנים מתאימים לתרשים II.

רושמים בכל משבצת תפוסה את מספר הקוביות שבעמודה:

בשורה הקדמית העמודה האמצעית גבוהה (2 קוביות) והימנית נמוכה (1). בשורה השנייה העמודה השמאלית בגובה 2 והאמצעית 1. בשורה השלישית ובשורה האחורית - קוביות בודדות.

טעות נפוצה: להשמיט את הקובייה השמאלית בשורה השלישית, שמוסתרת בחלקה, ולרשום את השורה השלישית ריקה - 8 קוביות במקום 9.

הגובה המרבי בכל עמודה: שמאל $\max(1,1,2,0)=2$; אמצע $\max(1,0,1,2)=2$; ימין $\max(0,0,0,1)=1$.

טעות נפוצה: לסרטט רק את השורה הקדמית - משמאל לימין 0, 2, 1 - ולהשמיט את העמודה השמאלית, שהקוביות שלה נמצאות מאחור.

מוסיפים רק מעל משבצות תפוסות, וכל משבצת עד הגובה של העמודה שלה במבט מלפנים (2, 2, 1).

עמודה שמאלית (גובה 2): המשבצות בשורה האחורית ובשורה השלישית בגובה 1 - מוסיפים 1 לכל אחת: 2 קוביות.

עמודה אמצעית (גובה 2): המשבצות בשורה האחורית ובשורה השנייה בגובה 1 - עוד 2 קוביות.

עמודה ימנית (גובה 1): המשבצת היחידה כבר בגובה 1.

סך הכול 4 קוביות.

טעות נפוצה: להעלות גם את המשבצת הימנית לגובה 2 ולענות 5 - אז העמודה הימנית במבט מלפנים משתנה.

סך הכול $9+4=13$ קוביות.

טעות נפוצה: להעלות גם את המשבצת הימנית בשורה הקדמית ל-2 ולרשום בשורה הקדמית 0, 2, 2 - אז העמודה הימנית במבט מלפנים גדלה מ-1 ל-2.