מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 3 מעל רמת בגרות

$A$ על ציר ה-$y$: מציבים $x=0$ ומקבלים $A(0,10)$. $C$ על ציר ה-$x$: $0=-\frac13x+10$, ולכן $x=30$ ו-$C(30,0)$.

האלכסון $OB$ מאונך ל-$AC$ (שיפוע $-\frac13$), ולכן שיפועו $3$, והוא עובר בראשית: $y=3x$.

$E$ היא נקודת החיתוך: $3x=-\frac13x+10$, כלומר $\frac{10}{3}x=10$, $x=3$, $y=9$. לכן $E(3,9)$.

$E$ היא אמצע $OB$ ו-$O(0,0)$, ולכן $\frac{x_B}{2}=3$ ו-$\frac{y_B}{2}=9$. מכאן $B(6,18)$.

$OA=10$ (קטע על ציר ה-$y$), $CO=30$ (קטע על ציר ה-$x$).

$AB=\sqrt{(6-0)^2+(18-10)^2}=\sqrt{36+64}=10$.

$BC=\sqrt{(30-6)^2+(0-18)^2}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30$.

יש במרובע שני זוגות של צלעות סמוכות שוות ($OA=AB$, $BC=CO$), ולכן הוא דלתון.

בדלתון האלכסונים מאונכים, והשטח הוא מחצית מכפלת האלכסונים.

$AC=\sqrt{30^2+10^2}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}$, $OB=\sqrt{6^2+18^2}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}$.

$S=\frac{10\sqrt{10}\cdot6\sqrt{10}}{2}=\frac{600}{2}=300$.

אילוץ החימר:

אילוץ זמן הצביעה: הכלים נצבעים בזה אחר זה, ולכן הזמנים מצטברים:

ובנוסף $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לכתוב שני אילוצי זמן נפרדים, $20x\le420$ ו-$30y\le420$, כאילו אפשר לצבוע אגרטל וקערה בו-זמנית.

נקודות החיתוך עם הצירים:

$4x+y=24$: $(6,0)$ ו-$(0,24)$. $2x+3y=42$: $(21,0)$ ו-$(0,14)$.

$(0,0)$ מקיימת את שני האי-שוויונות, ולכן התחום מתחת לשני הישרים, ברביע הראשון.

חיתוך הישרים: מ-$4x+y=24$ מקבלים $y=24-4x$, ומציבים:

התחום האפשרי הוא מרובע שקדקודיו $(0,0)$, $(6,0)$, $(3,12)$, $(0,14)$:

טעות נפוצה: לקחת על כל ציר את נקודת החיתוך הרחוקה, $(21,0)$ ו-$(0,24)$ - התחום המשותף מוגבל על ידי הישר הקרוב יותר לראשית: $(6,0)$ ו-$(0,14)$.

הרווח הנקי: 50 שקלים לאגרטל ו-20 שקלים לקערה.

מחפשים מקסימום.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $P=20x+50y$ - המקדם של $x$ (מספר האגרטלים) הוא הרווח מאגרטל.

מציבים את הקדקודים בפונקציית המטרה:

הרווח המקסימלי הוא 390 שקלים, כשרותם מכינה 3 אגרטלים ו-12 קערות.

טעות נפוצה: להחליט שכדאי להכין רק אגרטלים כי הרווח מאגרטל גדול יותר, ולענות 300 שקלים - הקערות צורכות מעט חימר, ולכן שילוב של שני הסוגים מנצל את החימר טוב יותר.

16% מתחת ל-52: $0.5\%+1.5\%+5\%+9\%=16\%$, ולכן $52=\bar x-S$.

2% מעל 82: $1.5\%+0.5\%=2\%$, ולכן $82=\bar x+2S$.

מחסירים את המשוואה הראשונה מהשנייה:

טעות נפוצה: לזהות את 82 כשנתה $\bar x+1.5S$ (כאילו 2% הם רצועה אחת) ולקבל $2.5S=30$, כלומר $S=12$ ו-$\bar x=64$.

המהירים ביותר הם אלה שזמן הסיום שלהם הקצר ביותר - הזנב השמאלי.

$0.5\%+1.5\%+5\%=7\%$, ולכן הגבול הוא השנתה $\bar x-1.5S$:

משתתפים שסיימו בפחות מ-47 דקות קיבלו מדליה.

טעות נפוצה: לקחת את הזנב הימני ולענות $62+15=77$ דקות - אלה 7% האיטיים ביותר.

לפי סעיף ב, מקבלי המדליות הם 7% מהמשתתפים:

72 הוא השנתה $\bar x+S$, ומעליה $9\%+5\%+1.5\%+0.5\%=16\%$:

טעות נפוצה: לקחת את האחוז שבין הממוצע ל-72 ($19\%+15\%=34\%$) במקום האחוז שמעל 72, ולקבל 136 משתתפים.

קודם מוצאים את סטיית התקן של המרוץ השני: גם בו 16% מתחת ל-52, ולכן $52=58-S$, כלומר $S=6$.

ציוני התקן:

במרוץ, זמן קצר יותר הוא הישג טוב יותר, ולכן ציון תקן נמוך יותר פירושו הצלחה יחסית גדולה יותר.

$-1.33<-1.3$: טל הצליחה יותר ביחס למשתתפים במרוץ שלה, אף שזמן הסיום שלה ארוך יותר.

טעות נפוצה: להשוות את הזמנים עצמם (49 מול 50) ולענות "נועה". המרוצים שונים בממוצע ובפיזור, ולכן משווים ציוני תקן.

מציבים $y=0$:

$A(2,0)$, $B(6,0)$, ולכן $AB=6-2=4$ מטרים.

טעות נפוצה: לענות 6 מטרים - זה שיעור ה-$x$ של $B$, כלומר המרחק מהראשית, לא אורך הקטע $AB$.

הנקודה הנמוכה ביותר: $(4,-2)$.

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס ולקבל $x=-4$, ואז $y=8+16+6=30$ - נקודה $(-4,30)$, שאינה על המסלול.

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ($a=0.5>0$), ולכן היא יורדת עד הקדקוד ($x=4$) ועולה אחריו.

הקטע מתחיל ב-$x=0$, ולכן הרכבת נסעה במגמת ירידה בתחום $0<x<4$.

טעות נפוצה: לענות $2<x<6$, התחום שבו המסלול מתחת לפני הקרקע - אבל בחלקו השני של התחום הרכבת כבר עולה.

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי להחליף סימן ($0.5x^2-4x+4.5=0$), ואז $x=4\pm\sqrt7$, כלומר $x\approx1.35$ או $x\approx6.65$ - נקודות שבהן המסלול מעל הקרקע.

בסך הכול 15 קוביות. המבט מלפנים: 3, 2, 2; המבט מימין (מהשורה הקדמית לאחורית): 2, 2, 3.

טעות נפוצה: לרשום 1 בעמודה האמצעית-שמאלית כי היא "נראית נמוכה" ליד העמודה הקדמית. הפאה העליונה שלה נמצאת בגובה של שתי קוביות, בדיוק כמו הקדמית-שמאלית.

מוסיפים רק על משבצות תפוסות (מבט מלמעלה). כל עמודה יכולה לעלות עד הגובה המרבי של העמודה שלה במבט מלפנים וגם של השורה שלה במבט מימין - כלומר עד הקטן מבין השניים.

מבט מלפנים (עמודות): 3, 2, 2. מבט מימין (שורות קדמית, אמצעית, אחורית): 2, 2, 3.

שורה קדמית (עד 2): שמאלית 2 (כבר), אמצעית $\min(2,2)=2$ - מוסיפים 1.

שורה אמצעית (עד 2): שמאלית 2 (כבר), אמצעית $\min(2,2)=2$ (כבר), ימנית $\min(2,2)=2$ - מוסיפים 1.

שורה אחורית (עד 3): שמאלית $\min(3,3)=3$ (כבר), אמצעית $\min(2,3)=2$ (כבר), ימנית $\min(2,3)=2$ (כבר).

אפשר להוסיף לכל היותר 2 קוביות (17 קוביות במבנה).

טעות נפוצה: להגביל כל עמודה רק לפי המבט מלפנים, ולהגביה גם את העמודות השמאליות בשורה הקדמית ובשורה האמצעית ל-3. כך מוסיפים 4 קוביות, אבל במבט מימין השורה הקדמית והאמצעית עולות ל-3.

מורידים קוביות בלבד: אף עמודה לא גדלה, ובכל אחת משמונה המשבצות התפוסות נשארת לפחות קובייה אחת (המבט מלמעלה).

המבטים: מלפנים (עמודות) 3, 2, 2; מימין (שורות קדמית, אמצעית, אחורית) 2, 2, 3. בודקים אילו עמודות חייבות לשמור על הגובה שלהן:

גובה 3 יש רק באחורית-שמאלית, והיא נותנת גם את העמודה השמאלית וגם את השורה האחורית - נשארת 3.

בעמודה הימנית רק האחורית-ימנית בגובה 2 - נשארת 2. בשורה הקדמית רק הקדמית-שמאלית בגובה 2 - נשארת 2.

בעמודה האמצעית צריך 2 באחורית-אמצעית או באמצעית-אמצעית, ובשורה האמצעית צריך 2 באמצעית-שמאלית או באמצעית-אמצעית. האמצעית-אמצעית נמצאת בחיתוך של שתיהן: אם היא נשארת בגובה 2, אפשר להוריד קובייה גם מהאחורית-אמצעית וגם מהאמצעית-שמאלית.

נשארות 13 קוביות, ולכן אפשר להוריד $15-13=2$ קוביות. (אם מורידים קובייה מהאמצעית-אמצעית, האחורית-אמצעית והאמצעית-שמאלית חייבות להישאר בגובה 2, ואפשר להוריד רק קובייה אחת.)

טעות נפוצה: להוריד את כל הקוביות שמעל הקומה הראשונה חוץ מהעמודה האחורית-שמאלית (נשארות 10) ולענות 5. אז במבט מלפנים העמודות האמצעית והימנית יורדות ל-1.

עכשיו אין חובה למלא את כל המשבצות - צריך רק שבכל עמודה ובכל שורה תופיע עמודה בגובה הנכון.

מבט מלפנים (עמודות): 3, 2, 2. מבט מימין (שורות קדמית, אמצעית, אחורית): 2, 2, 3.

גובה 3: נדרש בעמודה השמאלית ובשורה האחורית - עמודה אחת של 3 קוביות במשבצת האחורית-שמאלית מספקת את שתיהן.

גובה 2: נדרש בעמודה האמצעית ובעמודה הימנית, ובשורה הקדמית ובשורה האמצעית - שתי עמודות של 2 קוביות, כל אחת בחיתוך של עמודה ושורה: הקדמית-אמצעית והאמצעית-ימנית.

פחות מזה אי אפשר: צריך לפחות עמודה אחת בגובה 3, ושתי העמודות האמצעית והימנית צריכות כל אחת עמודה בגובה 2 (עמודה בגובה 3 אסורה בהן). $3+2+2=7$.

טעות נפוצה: לבנות קודם שלוש עמודות לפי המבט מלפנים בלבד (3, 2, 2, כולן בשורה האחורית), ואחר כך להוסיף עמודה של 2 לשורה הקדמית ועוד אחת לשורה האמצעית - 11 קוביות. אפשר לחסוך, כי עמודה של 2 בחיתוך של עמודה ושורה מספקת את שתיהן.

המבט מלפנים: הגובה המרבי בכל עמודה - שמאל 3, אמצע 2, ימין 2. בתרשים העמודה האמצעית הגבוהה ביותר, ולכן זה לא המבט מלפנים (וגם לא מאחור, שהוא תמונת הראי שלו: 2, 2, 3).

המבט מלמעלה: ריבוע מלא של $3\times3$ - גם לא.

מבט מהצד: הגובה המרבי בכל שורה - אחורית 2, אמצעית 3, קדמית 1.

בתרשים הגבהים משמאל לימין הם 2, 3, 1 - השורה האחורית משמאל והקדמית מימין. כך נראה המבנה למי שמסתכל משמאל, ולכן זה המבט משמאל.

טעות נפוצה: לזהות שזה מבט מהצד ולענות "המבט מימין" - במבט מימין השורה הקדמית (הנמוכה) נראית בצד שמאל.

במבט מימין השורה הקדמית נראית משמאל והשורה האחורית מימין: קדמית 1, אמצעית 3, אחורית 2.

טעות נפוצה: להעתיק את התרשים הנתון (2, 3, 1) בלי להפוך את הסדר.

בסרטוט רואים את הפאה העליונה של כל עמודה. חלק מהקוביות התחתונות מוסתרות מאחורי עמודות קדמיות, אבל כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת - ולכן מספר הקוביות במשבצת הוא הגובה של הפאה העליונה שלה.

השורה הקדמית: 1, 1, 1. השורה האמצעית: 3, 2, 2. השורה האחורית: 2, 2, 2. (בשורה האמצעית ובשורה האחורית הקוביות התחתונות בעמודה השמאלית ובעמודה האמצעית מוסתרות.)

טעות נפוצה: לרשום את השורה הקדמית למעלה ואת האחורית למטה (1, 1, 1 בשורה העליונה של התרשים) - בתרשים מספרים השורה הקדמית היא השורה התחתונה.

מספר הקוביות במבנה:

הבסיס $3\times3$ והגובה המרבי 3, ולכן הקובייה היא $3\times3\times3=27$:

טעות נפוצה: לחסר את מספר המשבצות, $27-9=18$, במקום את מספר הקוביות.