מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 4 מעל רמת בגרות

A על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$:

$A(4,0)$. D על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$: $y=6$, כלומר $D(0,6)$.

טעות נפוצה: לחלק בשיפוע עם הסימן שלו, $x=\frac{6}{-1.5}=-4$, ולקבל $A(-4,0)$. אחרי העברת אגפים המשוואה היא $\frac32x=6$, ושני האגפים חיוביים.

שיפוע AD הוא $-\frac32$. AB מאונך ל-AD, ולכן:

AB עובר דרך $A(4,0)$:

טעות נפוצה: להפוך את השבר בלי לשנות סימן, $m=-\frac23$, ולקבל $y=-\frac23x+\frac83$. בדיקה: $\left(-\frac23\right)\cdot\left(-\frac32\right)=1$ ולא $-1$, כלומר הישר אינו מאונך ל-AD.

BE מקביל לציר ה-$x$, ולכן $y_B=y_E=8$.

מציבים $y=8$ במשוואת AB:

$B(16,8)$.

טעות נפוצה: להציב $x=8$ במקום $y=8$ ולקבל $y=\frac{16}{3}-\frac83=\frac83$, כלומר $B\left(8,\frac83\right)$ - נקודה שאינה בגובה של E.

E היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-$y$, ולכן $b=8$, ועם השיפוע הנתון:

טעות נפוצה: לשכוח את נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ ולכתוב $y=-\frac25x$ - ישר שעובר בראשית ולא דרך E.

משווים את משוואות AB ו-EF:

כופלים ב-15 (מכנה משותף), כל איבר:

$y=-\frac25\cdot10+8=4$, ולכן $F(10,4)$. (בדיקה ב-AB: $\frac{20}3-\frac83=4$.)

טעות נפוצה: להעביר את $-\frac25x$ לאגף שמאל בלי להחליף סימן: $\left(\frac23-\frac25\right)x=\frac{32}3$, $\frac4{15}x=\frac{32}3$, $x=40$.

EB אופקית, ולכן היא הבסיס: $EB=16-0=16$.

הגובה הוא המרחק האנכי מ-F לישר $y=8$: $h=8-4=4$.

טעות נפוצה: לקחת כבסיס את שיעור ה-$x$ של F במקום את EB: $\frac{10\cdot4}{2}=20$. הבסיס הוא הצלע EB כולה, מ-$x=0$ עד $x=16$.

$10x+4y=50$ חותך את הצירים ב-$(5,0)$ וב-$(0,12.5)$; $4x+8y=36$ ב-$(9,0)$ וב-$(0,4.5)$.

חיתוך הישרים: מהשנייה $x=9-2y$, ומציבים: $10(9-2y)+4y=50$, כלומר $90-16y=50$, $y=2.5$, $x=4$.

טעות נפוצה: לקחת את נקודות החיתוך הרחוקות $(9,0)$ ו-$(0,12.5)$ כקודקודים, כאילו כל אילוץ מגביל רק ציר אחד.

מביעים את הרווח בכל קודקוד באמצעות $p$:

($P(0,0)=0$ אינו מקסימום.) הקודקוד $(4,2.5)$ נותן מקסימום כשהרווח בו אינו קטן מהרווח בשני הקודקודים האחרים:

כלומר $2400\le p\le12000$ (בקצוות יש שוויון עם קודקוד שכן).

טעות נפוצה: להשוות רק לקודקוד $(5,0)$ ולענות $p\ge2400$ - בלי לשים לב שכשהדשן לחקלאות רווחי מאוד עדיף לייצר רק אותו.

הרווח המקסימלי מתקבל באחד הקודקודים, ולכן בודקים כל אפשרות:

$(5,0)$: הרווח בו 30,000, לא 49,000.

$(4,2.5)$: $24000+2.5p=49000$, ולכן $p=10000$. לפי סעיף ב, עבור $2400\le p\le12000$ זה אכן הקודקוד המיטבי - מתאים.

$(0,4.5)$: $4.5p=49000$, ולכן $p\approx10889$. אבל קודקוד זה מיטבי רק עבור $p\ge12000$ - נפסל (עבור $p\approx10889$ הרווח ב-$(4,2.5)$ הוא כ-51,222, יותר מ-49,000).

לכן $p=10000$.

טעות נפוצה: להשוות את הרווח בקודקוד $(0,4.5)$ ל-49,000 בלי לבדוק שהוא המיטבי, ולענות $p\approx10889$.

יותר מתוכנית מיטבית אחת יש כששני קודקודים סמוכים נותנים את אותו רווח מקסימלי - ואז גם כל נקודה על הצלע שביניהם (פונקציית המטרה מקבילה לצלע).

$p=2400$: $P(5,0)=P(4,2.5)=30000$, ו-$P(0,4.5)=10800$ קטן יותר. כל נקודה על הקטע בין $(5,0)$ ל-$(4,2.5)$ (על הישר $10x+4y=50$) נותנת 30,000. בדיקה: $6000x+2400y=600(10x+4y)=600\cdot50=30000$.

$p=12000$: $P(4,2.5)=P(0,4.5)=54000$. כל נקודה על הקטע בין $(4,2.5)$ ל-$(0,4.5)$ (על הישר $4x+8y=36$) נותנת 54,000: $6000x+12000y=1500(4x+8y)=54000$.

לכל ערך אחר של $p$ יש קודקוד מיטבי יחיד.

טעות נפוצה: למצוא רק את $p=12000$ ולשכוח את הצלע של מכונה א', שבה $p=2400$.

$A$ על ציר ה-$x$: מציבים $y=0$:

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ולקבל $(0,4)$ - נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: להציב את 12 במקום $x$: $\frac13\cdot12+4=8$, ולענות $x=8$.

$m_{AB}=\frac13$ (מהמשוואה).

$\frac13\cdot(-3)=-1$, ולכן $AB\perp BC$.

טעות נפוצה: לחשב $\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{4}{-12}=-\frac13$, לקבל מכפלה $-\frac19$ ולהסיק שאין ניצבות.

טעות נפוצה: לכתוב $y=-(x+28)$, כלומר $y=-x-28$ - ישר שעובר דרך $(-28,0)$.

$y=-18+28=10$, ולכן $E(18,10)$.

טעות נפוצה: לאבד את האיבר $-x$ שבאגף ימין ולפתור $\frac13x+4=28$: מקבלים $x=72$ - נקודה רחוקה מאוד מעבר ל-$B$, ולא על $EC$.

$E$ על $AB$ ו-$AB\perp BC$, ולכן הזווית $B$ במשולש $EBC$ ישרה.

טעות נפוצה: לקחת את $EC=\sqrt{200}$ כניצב: $\frac{\sqrt{40}\cdot\sqrt{200}}{2}\approx44.72$. $EC$ הוא היתר.

$F$ מתחת ל-$E$ על ציר ה-$x$: $F(18,0)$.

$FEBC$ = משולש $EFC$ + משולש $EBC$. במשולש $EFC$ הזווית $F$ ישרה: $FC=28-18=10$, $EF=10$:

טעות נפוצה: לחבר את השיעורים במקום להחסיר ולחשב $FC=28+18=46$: $S_{EFC}=\frac{46\cdot10}{2}=230$, ושטח כולל 270.

$A(0,12)$ על הפרבולה: $0.5\cdot0+b\cdot0+c=12$, ולכן $c=12$.

שיעור ה-$x$ של הקדקוד: $x_C=-\frac{b}{2\cdot0.5}=-b$. מציבים כדי לקבל את הגובה:

$C$ נמצאת מימין לסולם, כלומר $x_C=-b>0$, ולכן $b<0$: $b=-4$ ($b=4$ נותן קדקוד ב-$x=-4$, משמאל לסולם).

טעות נפוצה: לא לפסול ולענות $b=4$, כלומר $y=0.5x^2+4x+12$. במגלשה כזו הנקודה הנמוכה ביותר נמצאת משמאל לסולם, והמגלשה מימין לסולם רק עולה.

$C(4,4)$, בהתאם לנתון שגובהה 4.

טעות נפוצה: לשכוח את $a=0.5$ במכנה ($x=\frac42=2$) ולקבל $(2,6)$ - נקודה שאינה בגובה 4.

$x=0$ (זו הנקודה $A$) או $0.5x=4$, כלומר $x=8$.

$x_B=8$. (אפשר גם בסימטריה: $A$ נמצאת 4 מטרים משמאל לציר $x=4$, ולכן הנקודה באותו גובה מימין היא $x=8$.)

טעות נפוצה: לפתור $0.5x=4$ בכפל ($x=4\cdot0.5=2$) ולענות $x=2$.

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, ולכן עולה מימין לקדקוד ($x>4$), עד הקצה $B$ ($x=8$): $4<x<8$.

טעות נפוצה: לענות $x>4$ בלי להגביל לקצה המגלשה.

המגלשה (בין $x=0$ ל-$x=8$) יורדת מגובה 12 ל-4 ואחר כך עולה מ-4 ל-12. כל גובה מתקבל פעם אחת בירידה ופעם אחת בעלייה, כל עוד הוא בין 4 ל-12:

כש-$4<h<12$: נקודה אחת בירידה (בין $A$ ל-$C$) ונקודה אחת בעלייה (בין $C$ ל-$B$) - שתי נקודות.

כש-$h=12$: הנקודות $A$ ו-$B$ - שתי נקודות.

כש-$h=4$: רק $C$ - נקודה אחת. כש-$h<4$ או $h>12$: אין נקודות.

לכן $4<h\le12$.

טעות נפוצה: לשכוח את המקרה $h=12$, שבו החבל פוגש את המגלשה בדיוק בקצוות $A$ ו-$B$, ולענות $4<h<12$.

כותבים בכל משבצת כמה קוביות עומדות עליה, כשהשורה הקדמית (הקרובה לחץ) למטה.

השורה הקדמית: $1,0,1,0$. השורה השנייה מלפנים: $2,1,0,1$. השורה השלישית: $1,0,0,2$. השורה האחורית: $3,4,2,2$.

בדיקה: במבנה $11+3+4+2=20$ קוביות.

טעות נפוצה: לרשום את השורה הקדמית בראש התרשים ולקבל את התרשים ההפוך

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 1&0&1&0\\\hline 2&1&0&1\\\hline 1&0&0&2\\\hline 3&4&2&2\\\hline\end{array}$

.

מבט מלפנים: הגובה המרבי בכל טור, משמאל לימין: $3,4,2,2$ - תרשים IV.

מבט מלמעלה: המשבצות התפוסות (השורה האחורית למעלה) - תרשים I.

מבט מימין: השורה הקדמית משמאל והאחורית מימין; הגובה המרבי בכל שורה, מלפנים לאחור: $1,2,2,4$ - תרשים II.

תרשים III (גבהים $3,2,4,2$) אינו מתאר שום מבט: הוא דומה למבט מלפנים, אבל הטור הגבוה (4) נמצא בו במקום הלא נכון.

טעות נפוצה: לבלבל בין כיווני המבט מהצד, לצפות למבט מימין עם הגבהים $4,2,2,1$ (השורה האחורית משמאל), ולכן להסיק בטעות שתרשים II אינו מתאר שום מבט.

במבט משמאל השורה האחורית נראית בצד שמאל, והשורה הקדמית בצד ימין.

הגובה המרבי בכל שורה: האחורית 4, השנייה 2, השלישית 2, הקדמית 1.

המבט משמאל (משמאל לימין): $4,2,2,1$.

טעות נפוצה: לסדר את השורות כמו במבט מימין ולקבל $1,2,2,4$ - זה המבט מימין (תרשים II).

במבט מלמעלה החדש נוספה משבצת תפוסה אחת - בשורה הקדמית, בטור הרביעי (הימני). בה חייבת לעמוד לפחות קובייה אחת.

המבט מלפנים צריך להישאר $3,4,2,2$, ולכן בטור הרביעי אפשר לבנות עד 2 קוביות, ובטור הראשון עד 3.

דוגמה: 2 קוביות במשבצת החדשה, ועוד 2 קוביות על המשבצת שבטור הראשון בשורה השלישית מלפנים (מ-1 ל-3). סך הכול $2+2=4$:

טעות נפוצה: להניח את כל 4 הקוביות במשבצת החדשה - אז בטור הרביעי יש עמודה של 4 קוביות, והמבט מלפנים משתנה (4 במקום 2).

נסמן ב-$a$ את צלע הבסיס. הגובה הוא $1.6a$, והנפח:

הגובה: $1.6\cdot60=96$ ס"מ.

טעות נפוצה: לכתוב את הנפח כ-$a^2\cdot1.6$ (לשכוח שגם הגובה תלוי ב-$a$), לקבל $a^2=216{,}000$ ו-$a\approx464.8$ ס"מ - מקפיא בגובה של יותר מ-7 מטרים.

שלושה מדפים מחלקים את הגובה ל-4 תאים (מדף אחד יוצר 2 תאים, שניים - 3, שלושה - 4):

טעות נפוצה: לחלק במספר המדפים, $\frac{96}{3}=32$ ס"מ - מספר התאים גדול באחד ממספר המדפים.

מחלקים את המשוואה השנייה בראשונה: $r=\frac{1408}{176}=8$.

מציבים: $8h=176$, $h=22$.

טעות נפוצה: לחלק את הנפח במעטפת בלי לשים לב לגורם 2: $r=\frac{1408}{352}=4$, ואז $h=\frac{352}{2\cdot4}=44$.

גובה הקופסה 22 ס"מ, וגובה התא 24 ס"מ - הקופסה נכנסת (ואין מקום לקופסה שנייה מעליה).

קוטר הקופסה: $2\cdot8=16$ ס"מ. לאורך צלע של 60 ס"מ נכנסות $\frac{60}{16}=3.75$, כלומר 3 קופסאות שלמות.

בשורות המקבילות לדפנות: 3 שורות של 3 קופסאות, $3\cdot3=9$ קופסאות.

טעות נפוצה: לחלק את צלע הרצפה ברדיוס במקום בקוטר: $\frac{60}{8}=7.5$, כלומר 7 בכל שורה ו-49 קופסאות.