מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 5 מעל רמת בגרות

$x\ge0$, $y\ge0$.

משקל: $20x+30y\le900$, ואחרי חילוק ב-10: $2x+3y\le90$.

כמות: $x+y\le40$.

לסרטוט: הישר $2x+3y=90$ חותך את הצירים ב-$(45,0)$ וב-$(0,30)$; הישר $x+y=40$ חותך ב-$(40,0)$ וב-$(0,40)$. התחום הוא החלק של הרביע הראשון שמתחת לשני הישרים.

טעות נפוצה: לסמן את התחום מתחת לישר אחד בלבד, למשל לסגור אותו בנקודה $(0,40)$ שעל ציר ה-$y$ - הנקודה הזאת לא מקיימת את אילוץ המשקל ($30\cdot40=1200>900$).

על ציר ה-$y$ ($x=0$): $3y\le90\Rightarrow y\le30$ ו-$y\le40$, ולכן הקודקוד $(0,30)$.

על ציר ה-$x$ ($y=0$): $2x\le90\Rightarrow x\le45$ ו-$x\le40$, ולכן הקודקוד $(40,0)$.

החיתוך של שני הישרים: מציבים $y=40-x$ ב-$2x+3y=90$:

הקודקודים: $(0,0)$, $(0,30)$, $(40,0)$, $(30,10)$.

טעות נפוצה: לקחת את החיתוכים הרחוקים יותר עם הצירים, $(0,40)$ ו-$(45,0)$ - כל אחת מהן מפרה את האילוץ השני.

פונקציית המטרה: $f=0.6x+py$. הערכים בקודקודים:

המקסימום 25 גדול מ-24, ולכן הוא לא מתקבל ב-$(40,0)$. בודקים את שני הקודקודים האחרים:

אם המקסימום ב-$(0,30)$: $30p=25\Rightarrow p=\frac56$. אבל אז ב-$(30,10)$: $18+10\cdot\frac56\approx26.33>25$ - סתירה, כי 25 אמור להיות המקסימום. נפסל.

אם המקסימום ב-$(30,10)$: $18+10p=25\Rightarrow p=0.7$. בדיקה: ב-$(0,30)$ מקבלים $30\cdot0.7=21\le25$, וב-$(40,0)$ מקבלים $24\le25$. מתאים.

לכן $p=0.7$, והמגש האופטימלי: 30 עוגיות שוקולד ו-10 עוגיות שקדים.

טעות נפוצה: להשוות ל-25 את הקודקוד הראשון שבודקים, $(0,30)$, ולענות $p=\frac56\approx0.83$ בלי לבדוק שבקודקוד אחר הרווח לא גדול יותר.

הקודקוד $(30,10)$ הוא האופטימלי כשהרווח בו לא קטן מהרווח בשני הקודקודים השכנים:

לכן $0.6\le p\le0.9$. (בקצוות, $p=0.6$ או $p=0.9$, אותו רווח מקסימלי מתקבל גם בקודקוד שכן.)

טעות נפוצה: לדרוש רק שהרווח ב-$(30,10)$ יהיה גדול מהרווח ב-$(40,0)$ ולענות $p\ge0.6$ - אבל כש-$p>0.9$ מגש של 30 עוגיות שקדים בלבד רווחי יותר.

לכל שורה רושמים את מה שדרוש לשרשרת אחת:

שרשרת עם חרוזים - 50 ס"מ חוט ו-12 חרוזים.

שרשרת בלי חרוזים - 75 ס"מ חוט (חרוזים: 0, כבר רשום).

טעות נפוצה: להחליף בין העמודות בשורה של השרשרת עם החרוזים ולרשום 12 בעמודת החוט ו-50 בעמודת החרוזים - ואז אילוץ החוט ייבנה עם המקדם 12 במקום 50.

לשרשרת בלי חרוזים לא דרושים חרוזים, ולכן רק החוט מגביל.

ממירים ליחידה אחת: 30 מטר $=3000$ ס"מ.

טעות נפוצה: לחלק ב-50 (החוט של שרשרת עם חרוזים) ולקבל 60 שרשראות.

אילוץ החוט (בס"מ):

אילוץ החרוזים - רק השרשראות עם החרוזים צורכות חרוזים:

ומספר השרשראות אינו שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לא להמיר מטרים לס"מ ולכתוב $50x+75y\le30$.

הישר $50x+75y=3000$ חותך את הצירים ב-$(60,0)$ וב-$(0,40)$. בבדיקה ב-$(0,0)$: $0\le3000$ - התחום מתחת לישר.

$x\le30$ - התחום משמאל לישר $x=30$.

חיתוך $x=30$ עם ישר החוט: $1500+75y=3000$, $y=20$.

טעות נפוצה: לסמן את התחום מימין ל-$x=30$ ולקבל משולש שקדקודיו $(30,0)$, $(60,0)$, $(30,20)$.

מהטבלה: 14 שקלים לשרשרת עם חרוזים ו-8 שקלים לשרשרת בלי חרוזים.

מחפשים רווח מקסימלי.

טעות נפוצה: להחליף את המקדמים ולכתוב $P=8x+14y$.

מציבים את הקדקודים:

$(0,0)$: $P=0$

$(30,0)$: $P=14\cdot30=420$

$(30,20)$: $P=14\cdot30+8\cdot20=580$

$(0,40)$: $P=8\cdot40=320$

הרווח המקסימלי: 580 שקלים.

טעות נפוצה: לבחור בקדקוד שבו מכינים הכי הרבה שרשראות, $(0,40)$, ולענות 320 שקלים.

$16\%$ מתחת ל-26: צוברים משמאל $0.5+1.5+5+9=16$ - ארבעה מלבנים, ולכן $26=\bar x-S$.

$2\%$ מעל 56: צוברים מימין $0.5+1.5=2$ - ארבעה מלבנים, ולכן $56=\bar x+2S$.

מחסרים: $3S=30$, $S=10$, ו-$\bar x=26+10=36$.

טעות נפוצה: לבלבל בין $2\%$ ל-$0.5\%$ ולמקם את 56 ב-$\bar x+2.5S$; אז $3.5S=30$, $S\approx8.57$ ו-$\bar x\approx34.57$.

צוברים מימין עד $7\%$: $0.5+1.5+5=7$ - שלוש חצאי סטיות תקן מעל הממוצע:

עובדים שזמן ההגעה שלהם ארוך מ-51 דקות מקבלים החזר מוגדל.

טעות נפוצה: לצבור את ה-$7\%$ משמאל ולקבל $36-15=21$ דקות - אבל ההחזר ניתן למי שזמנם הארוך ביותר, מימין בגרף.

48 העובדים הם $16\%$ מכלל העובדים: $n=\frac{48}{0.16}=300$.

21 הוא $\bar x-1.5S$ ו-41 הוא $\bar x+0.5S$. האחוז ביניהם:

טעות נפוצה: לחשב $62\%$ מ-48 העובדים שבנתון ($\approx30$) - אבל 48 הם רק העובדים שמגיעים בפחות מ-26 דקות, לא כל העובדים.

זמן ההגעה של דנה: $x=36-0.5\cdot10=31$ דקות.

זמן ההגעה של יוסי: $31+15=46$ דקות.

(דרך אחרת: 15 דקות הן $1.5$ סטיות תקן, ולכן $z=-0.5+1.5=1$.)

טעות נפוצה: לחשב רק את ההפרש, $\frac{15}{10}=1.5$, ולשכוח שיוסי מתחיל מהזמן של דנה, שמתחת לממוצע.

רדיוס הבסיס: $DC=\frac62=3$ ס"מ. במשולש ישר הזווית $ADC$:

טעות נפוצה: להציב את הקוטר: $\sqrt{144+36}=\sqrt{180}\approx13.42$ ס"מ.

שטח הוופל: כ-116.58 סמ"ר.

טעות נפוצה: להוסיף את שטח הבסיס ($9\pi\approx28.27$) ולענות כ-144.85 סמ"ר - לגביע אין בסיס, הוא פתוח למעלה.

נפח הגלידה הוא נפח החרוט:

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ ולקבל $108\pi\approx339.29$ סמ"ק.

"קטן ב-20%" פירושו 80% מהקוטר הקודם:

טעות נפוצה: לחלק ב-1.2 במקום לכפול ב-0.8: $6:1.2=5$ ס"מ - זו הקטנה של כ-17%, לא של 20%.

"גדול ב-30%" פירושו 130% מהגובה הקודם:

טעות נפוצה: לחלק ב-0.7 במקום לכפול ב-1.3: $12:0.7\approx17.14$ ס"מ.

רדיוס הגביע החדש: $\frac{4.8}2=2.4$ ס"מ.

$94.10<113.10$, ולכן יוסי אינו צודק.

הסבר: הקטנת הרדיוס ב-20% מקטינה את הנפח פי $0.8^2=0.64$, וההגדלה של הגובה מגדילה רק פי 1.3: $0.64\cdot1.3=0.832<1$.

טעות נפוצה: לחשב "מינוס 20% ועוד 30% זה ועוד 10%" ולהסיק שיוסי צודק - הרדיוס מופיע בנוסחת הנפח בריבוע.

במבט מימין השורה הקדמית נראית בצד שמאל, ולכן: גובה מרבי 3 בשורה הקדמית ו-2 בשורה האחורית.

משבצת לא יכולה להיות גבוהה מהגובה של העמודה שלה במבט מלפנים, וגם לא מהגובה של השורה שלה במבט מימין. הכי הרבה קוביות: בכל משבצת המינימום מבין שני הגבהים.

בדיקה: מלפנים 2, 3, 1; מימין 3 (קדמית) ו-2 (אחורית); כל המשבצות תפוסות. סך הכול $2+3+1+2+2+1=11$.

טעות נפוצה: למלא כל עמודה עד הגובה שלה במבט מלפנים בשתי השורות (12 קוביות). אז בשורה האחורית יש עמודה בגובה 3, והמבט מימין משתנה.

בכל משבצת חייבת להיות לפחות קובייה אחת (המבט מלמעלה).

עמודה בגובה 3 נדרשת בעמודה האמצעית (מבט מלפנים) ובשורה הקדמית (מבט מימין), ובשורה האחורית מותר לכל היותר 2 - לכן היא בדיוק במשבצת הקדמית-האמצעית. היא מספקת את שתי הדרישות.

עמודה בגובה 2 נדרשת בעמודה השמאלית ובשורה האחורית: משבצת אחת - האחורית-השמאלית - מספקת את שתיהן.

שאר המשבצות: קובייה אחת בכל אחת.

סך הכול $1+3+1+2+1+1=9$.

טעות נפוצה: לסכם את הגבהים של המבט מלפנים ($2+3+1=6$) ולשכוח שגם בשלוש המשבצות האחרות חייבת להיות קובייה.

בכל מבנה מתאים: המשבצת הקדמית-האמצעית היא 3 (סעיף ב), המשבצת הימנית בכל שורה היא 1 (העמודה הימנית במבט מלפנים בגובה 1), וכל משבצת בין 1 לחסם שלה מסעיף א.

נשארו שלוש משבצות לבחור: קדמית-שמאלית (1 או 2), אחורית-שמאלית (1 או 2), אחורית-אמצעית (1 או 2). הדרישות: לפחות אחת מהשמאליות היא 2 (עמודה שמאלית במבט מלפנים), ולפחות אחת מהאחוריות היא 2 (שורה אחורית במבט מימין).

ב-10 קוביות סכום שלוש המשבצות הוא $10-3-1-1=5$, כלומר בדיוק שתיים מהן הן 2:

קדמית-שמאלית ואחורית-שמאלית: יש 2 בשמאל ויש 2 באחורית - מתאים.

קדמית-שמאלית ואחורית-אמצעית: מתאים.

אחורית-שמאלית ואחורית-אמצעית: מתאים.

יש 3 מבנים כאלה.

טעות נפוצה: להוסיף קובייה אחת למבנה המינימלי בכל מקום אפשרי ולמצוא רק 2 מבנים. המבנה שבו קדמית-שמאלית ואחורית-אמצעית הן 2 אינו מתקבל מהמבנה המינימלי בהוספה, כי בו המשבצת האחורית-השמאלית היא 1.

המבט מאחור הוא תמונת הראי של המבט מלפנים: מי שעומד מאחור רואה את אותן עמודות, עם אותם גבהים מרביים, בסדר הפוך.

המבט מלפנים נתון ומשותף לכל המבנים (2, 3, 1), ולכן גם המבט מאחור משותף לכולם: 1, 3, 2.

טעות נפוצה: לענות שהמבט מאחור זהה למבט מלפנים (2, 3, 1). מאחור, העמודה הימנית של המבט מלפנים נראית בצד שמאל.

השורה העליונה של התרשים היא השורה האחורית (הרחוקה מהחץ), והיא השורה שמולאה: $1,3,1$.

מבנה א', השורה האחורית בסרטוט: משמאל העמודה הגבוהה - 3 קוביות, באמצע קובייה אחת ומימין קובייה אחת: $3,1,1$ - לא מתאים.

מבנה ב', השורה האחורית: משמאל 1, באמצע העמודה הגבוהה - 3, ומימין 1: $1,3,1$ - מתאים.

התרשים מתאים למבנה ב'.

טעות נפוצה: לקרוא את השורה העליונה של התרשים כשורה הקדמית; השורות הקדמיות הן $0,1,2$ ו-$0,2,1$, ואז נראה שהתרשים לא מתאים לאף מבנה.

קוראים בסרטוט של מבנה ב' את הגובה של כל עמודה. מתחת לכל פאה עליונה יש עמודה שלמה עד המשטח, כי כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת - גם כשהקוביות התחתונות מוסתרות.

השורה הקדמית: משמאל רואים את המשטח, באמצע עמודה של 2 קוביות ומימין קובייה אחת: $0,2,1$.

השורה השנייה מלפנים: משמאל עמודה של 2 קוביות, באמצע ומימין קובייה אחת: $2,1,1$.

השורה השלישית מלפנים: משמאל ובאמצע קובייה אחת, מימין עמודה של 2 קוביות: $1,1,2$.

השורה האחורית (נתונה): $1,3,1$.

בדיקה: סך הכול $5+4+4+3=16$ קוביות.

טעות נפוצה: לרשום 1 בעמודה השמאלית של השורה השנייה מלפנים, כי רואים בה רק קובייה אחת (הקובייה התחתונה שלה מוסתרת) - כך יוצא תרשים של 15 קוביות במקום 16.

מלמעלה רואים כל משבצת שיש בה לפחות קובייה אחת. במבנה א' רק במשבצת השמאלית של השורה הקדמית רואים את המשטח:

טעות נפוצה: לסמן רק את המשבצות שיש בהן עמודה של 2 קוביות או יותר - במבט מלמעלה רואים גם עמודות נמוכות.

סופרים את הקוביות בכל מבנה: סכום הגבהים של כל העמודות, כולל הקוביות המוסתרות.

מבנה א' (מהשורה האחורית לקדמית): $3+1+1=5$, $2+2+1=5$, $1+2+2=5$, $0+1+2=3$; סך הכול 18.

מבנה ב' (סכום התרשים מתת-סעיף א(2)): $5+4+4+3=16$.

$18-16=2$.

טעות נפוצה: לספור בכל מבנה רק את הקוביות שרואים בסרטוט (14 בכל אחד מהם) ולענות שאין הבדל.

היגד 1: בשני המבנים כל המשבצות תפוסות חוץ מהשמאלית שבשורה הקדמית. המבטים מלמעלה זהים - ההיגד נכון.

היגד 2: הגובה המרבי בכל שורה (מלפנים לאחור) הוא $2,2,2,3$ בשני המבנים.

מי שעומד משמאל למבנה רואה את השורה האחורית בצד שמאל שלו, ולכן המבט משמאל של מבנה א' הוא $3,2,2,2$ (משמאל לימין).

מי שעומד מימין למבנה רואה את השורה הקדמית בצד שמאל שלו, ולכן המבט מימין של מבנה ב' הוא $2,2,2,3$.

המבטים שונים (תמונות ראי זה של זה) - ההיגד נכון.

טעות נפוצה: לרשום את שני המבטים באותו סדר שורות ($2,2,2,3$), לקבוע שהם זהים ולענות שהיגד 2 לא נכון.