מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 6 מעל רמת בגרות

כמויות העוגיות אינן שליליות: $x\ge0$, $y\ge0$.

מכונת הלישה: $x$ ק"ג עוגיות שוקולד דורשים $5x$ דקות לישה, ו-$y$ ק"ג עוגיות שיבולת שועל דורשים $4y$ דקות; סך הכול לכל היותר 50 דקות:

התנור: $3x$ דקות לעוגיות השוקולד ו-$4y$ דקות לעוגיות שיבולת השועל, לכל היותר 42 דקות:

טעות נפוצה: לבנות כל אילוץ משורה של הטבלה (סוג עוגיות) במקום מעמודה (מכונה), ולכתוב $5x+3y\le50$ ו-$4x+4y\le42$.

נקודות החיתוך של ישרי האילוצים עם הצירים:

$5x+4y=50$: עובר דרך $(0,12.5)$ ו-$(10,0)$.

$3x+4y=42$: עובר דרך $(0,10.5)$ ו-$(14,0)$.

הראשית מקיימת את שני האי-שוויונות, ולכן התחום של כל אילוץ הוא מתחת לישר שלו.

התחום האפשרי הוא החלק המשותף ברביע הראשון: מרובע שקדקודיו $(0,0)$, $(10,0)$, נקודת החיתוך של הישרים, ו-$(0,10.5)$.

טעות נפוצה: לסמן את האיחוד של שני התחומים - המרובע $(0,0)$, $(14,0)$, $(4,7.5)$, $(0,12.5)$ - במקום החלק המשותף, שבו מתקיימים שני האילוצים יחד.

הרווח מ-$x$ ק"ג עוגיות שוקולד הוא $20x$ שקלים, ומ-$y$ ק"ג עוגיות שיבולת שועל - $18y$ שקלים. מחפשים מקסימום של הרווח הכולל:

טעות נפוצה: לכתוב $f(x,y)=18x+20y$ - המקדם של $x$ צריך להיות הרווח מקילוגרם עוגיות שוקולד, כי $x$ מסמן את כמות עוגיות השוקולד.

נמצא את הקדקוד שבו נחתכים ישרי האילוצים:

מחסירים את המשוואה השנייה מהראשונה: $2x=8$, ולכן $x=4$. מציבים: $3\cdot4+4y=42$, $4y=30$, $y=7.5$.

מציבים את הקדקודים בפונקציית המטרה:

$f(0,0)=0$

$f(10,0)=20\cdot10=200$

$f(4,7.5)=20\cdot4+18\cdot7.5=80+135=215$

$f(0,10.5)=18\cdot10.5=189$

הרווח המקסימלי, 215 שקלים, מתקבל ב-$(4,7.5)$: 4 ק"ג עוגיות שוקולד ו-7.5 ק"ג עוגיות שיבולת שועל.

טעות נפוצה: להחליט בלי הצבה שכדאי להכין רק עוגיות שוקולד, כי הרווח מקילוגרם שלהן גבוה יותר - ולענות 10 ק"ג עוגיות שוקולד. שם הרווח הוא רק 200 שקלים.

$10x+4y=50$ חותך את הצירים ב-$(5,0)$ וב-$(0,12.5)$; $4x+8y=36$ ב-$(9,0)$ וב-$(0,4.5)$.

חיתוך הישרים: מהשנייה $x=9-2y$, ומציבים: $10(9-2y)+4y=50$, כלומר $90-16y=50$, $y=2.5$, $x=4$.

טעות נפוצה: לקחת את נקודות החיתוך הרחוקות $(9,0)$ ו-$(0,12.5)$ כקודקודים, כאילו כל אילוץ מגביל רק ציר אחד.

מביעים את הרווח בכל קודקוד באמצעות $p$:

($P(0,0)=0$ אינו מקסימום.) הקודקוד $(4,2.5)$ נותן מקסימום כשהרווח בו אינו קטן מהרווח בשני הקודקודים האחרים:

כלומר $2400\le p\le12000$ (בקצוות יש שוויון עם קודקוד שכן).

טעות נפוצה: להשוות רק לקודקוד $(5,0)$ ולענות $p\ge2400$ - בלי לשים לב שכשהדשן לחקלאות רווחי מאוד עדיף לייצר רק אותו.

הרווח המקסימלי מתקבל באחד הקודקודים, ולכן בודקים כל אפשרות:

$(5,0)$: הרווח בו 30,000, לא 49,000.

$(4,2.5)$: $24000+2.5p=49000$, ולכן $p=10000$. לפי סעיף ב, עבור $2400\le p\le12000$ זה אכן הקודקוד המיטבי - מתאים.

$(0,4.5)$: $4.5p=49000$, ולכן $p\approx10889$. אבל קודקוד זה מיטבי רק עבור $p\ge12000$ - נפסל (עבור $p\approx10889$ הרווח ב-$(4,2.5)$ הוא כ-51,222, יותר מ-49,000).

לכן $p=10000$.

טעות נפוצה: להשוות את הרווח בקודקוד $(0,4.5)$ ל-49,000 בלי לבדוק שהוא המיטבי, ולענות $p\approx10889$.

יותר מתוכנית מיטבית אחת יש כששני קודקודים סמוכים נותנים את אותו רווח מקסימלי - ואז גם כל נקודה על הצלע שביניהם (פונקציית המטרה מקבילה לצלע).

$p=2400$: $P(5,0)=P(4,2.5)=30000$, ו-$P(0,4.5)=10800$ קטן יותר. כל נקודה על הקטע בין $(5,0)$ ל-$(4,2.5)$ (על הישר $10x+4y=50$) נותנת 30,000. בדיקה: $6000x+2400y=600(10x+4y)=600\cdot50=30000$.

$p=12000$: $P(4,2.5)=P(0,4.5)=54000$. כל נקודה על הקטע בין $(4,2.5)$ ל-$(0,4.5)$ (על הישר $4x+8y=36$) נותנת 54,000: $6000x+12000y=1500(4x+8y)=54000$.

לכל ערך אחר של $p$ יש קודקוד מיטבי יחיד.

טעות נפוצה: למצוא רק את $p=12000$ ולשכוח את הצלע של מכונה א', שבה $p=2400$.

לפי גרף ההתפלגות, מימין לשנתה $\bar x+S$ נמצאים $9\%+5\%+1.5\%+0.5\%=16\%$ מן האוכלוסייה.

לכן 250 שניות נמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע:

טעות נפוצה: לספור ארבע רצועות מהזנב ולחשוב שהן ארבעה חצאי סטיות תקן מהממוצע, כלומר $250=210+2S$, ולקבל $S=20$ - אבל שתי הרצועות הקיצוניות נמצאות מעבר ל-$\bar x+2S$, והשנתה שמימינה $16\%$ היא $\bar x+S$.

השנתות בגרף מסומנות כל חצי סטיית תקן: $\frac{S}{2}=\frac{40}{2}=20$.

באמצע הממוצע, 210, ומשני צדדיו מוסיפים ומחסירים 20 בכל צעד. 11 המלבנים הם מ-$\bar x-2.5S$ עד $\bar x+2.5S$:

(בגרף שבאתר מצוירות 13 שנתות; לשתי השנתות הקיצוניות, $\bar x\pm3S$, מתאימים 90 ו-330.)

בדיקה: 250 נמצא שתי שנתות (סטיית תקן אחת) מימין לממוצע, כמו בסעיף א(1).

טעות נפוצה: לסמן את השנתות כל סטיית תקן שלמה (40) ולכתוב 250 מיד מימין לממוצע במקום 230.

$170=210-40=\bar x-S$, כלומר שתי שנתות משמאל לממוצע, ו-$230=210+20=\bar x+0.5S$, שנתה אחת מימין לממוצע.

בין שתי השנתות האלה יש שלוש רצועות:

טעות נפוצה: לסכום מתחילת הגרף ועד 230, כלומר לחשב את אחוז השירים שנמשכו פחות מ-230 שניות: $50\%+19\%=69\%$.

לפי סעיף ב, 318 השירים האלה הם $53\%$ מכלל השירים. נסמן ב-$n$ את מספר השירים:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק: $318\cdot0.53\approx169$ - אבל 318 הם רק חלק מן השירים, ולכן מספר כל השירים גדול מ-318.

$2.15<2.2$, ולכן השיר לא נחשב "שיר ארוך במיוחד".

טעות נפוצה: לחלק במרחק בין שתי שנתות (20) במקום בסטיית התקן ולקבל $z=4.3>2.2$ - ולהסיק שהשיר ארוך במיוחד.

$f(0)=5$, ולכן $A$ בגובה 5 מטרים.

נחיתה: $f(x)=0$:

$x=10$ או $x=-2$; מרחק שלילי לא במסלול, ולכן $B$ במרחק 10 מטרים.

קדקוד: $x=-\frac{2}{2\cdot(-0.25)}=4$, $f(4)=-4+8+5=9$.

טעות נפוצה: להשאיר את $x=-2$ ולענות שהרחפן נוחת במרחק 2 מטרים מהמגדל.

הרחפן יורד מימין לקדקוד, כלומר כש-$x>4$. לכן $x=3$ (שם הרחפן עדיין עולה) נפסל, והעמוד במרחק 5 מטרים מהמגדל.

טעות נפוצה: לענות $x=3$ - הפתרון הראשון של המשוואה - בלי לבדוק באיזה חלק של המסלול הוא נמצא.

המסלול עולה מגובה 5 (ב-$A$) עד 9 (בקדקוד), ואז יורד מ-9 עד 0 (ב-$B$).

- $h>9$: אין נקודות.

- $h=9$: נקודה אחת - הקדקוד.

- $5\le h<9$: שתי נקודות, אחת בעלייה ואחת בירידה (גם $h=5$: הנקודה $A$ והנקודה $x=8$, כי $f(8)=5$).

- $0\le h<5$: נקודה אחת - רק בחלק היורד, כי העלייה מתחילה בגובה 5.

לכן נקודה אחת בלבד בדיוק כש-$h=9$ או $0\le h<5$.

טעות נפוצה: לחשוב כמו בפרבולה שלמה, שלכל גובה מתחת לקדקוד יש שתי נקודות, ולענות רק $h=9$.

התרשים מתאר גבהים 2, 1, 3 (משמאל לימין).

קוראים מהסרטוטים את גובה העמודות. במבנה 1 העמודה השמאלית-אחורית בגובה 3 (רואים את הפאה העליונה שלה), והמשבצת השמאלית בשורה האמצעית מוסתרת - יש בה לכל היותר קובייה אחת, ולכן היא לא משנה אף מבט. במבנה 2 העמודה הימנית-אחורית בגובה 3.

מבנה 1: מלפנים - עמודה שמאלית 3, אמצעית 2, ימנית 1, כלומר 3, 2, 1; מימין - שורה קדמית 2, אמצעית 1, אחורית 3, כלומר 2, 1, 3 (משמאל לימין בתרשים).

מבנה 2: מלפנים - עמודה שמאלית 2, אמצעית 1, ימנית 3, כלומר 2, 1, 3; מימין - שורה קדמית 1, אמצעית 1, אחורית 3, כלומר 1, 1, 3 (משמאל לימין בתרשים).

לכן במבנה 1 התרשים הוא מבט מימין ואינו מבט מלפנים, ובמבנה 2 הוא מבט מלפנים ואינו מבט מימין.

טעות נפוצה: במבט מימין של מבנה 1 לשים את השורה הקדמית בצד ימין של התרשים, לקבל 3, 1, 2 ולהסיק שהתרשים אינו מבט מימין של מבנה 1. הצופה מימין רואה את השורה הקדמית בצד שמאל שלו.

קוראים את מבנה 2 מהסרטוט, שורה אחרי שורה:

שורה קדמית: קובייה בעמודה השמאלית ובאמצעית; המשבצת הימנית ריקה.

שורה אמצעית: קובייה אחת בכל משבצת.

שורה אחורית: בעמודה השמאלית 2 קוביות, האמצעית ריקה, ובימנית עמודה של 3 קוביות.

סך הכול 10 קוביות.

טעות נפוצה: להפוך את סדר השורות ולרשום את השורה הקדמית (1, 1, 0) בשורה העליונה של התרשים - בתרשים מספרים השורה העליונה היא השורה האחורית, הרחוקה מהצופה שמסתכל מלפנים.

הגובה המרבי בכל שורה: אחורית 3, אמצעית 1, קדמית 1.

הצופה משמאל רואה את השורה האחורית בצד שמאל שלו ואת השורה הקדמית בצד ימין:

טעות נפוצה: לסדר את השורות כמו במבט מימין ולקבל 1, 1, 3 - זו תמונת הראי, המבט מימין.

במבנה 2 יש 10 קוביות (סעיף ב).

טעות נפוצה: לחלק במספר המשבצות התפוסות (7) ולקבל $\frac{640}{7}\approx91.43$ סמ"ק.

טעות נפוצה: להוציא שורש ריבועי ולקבל $\sqrt{64}=8$ ס"מ - קובייה כזו הייתה בנפח 512 סמ"ק.

נפח נר מסוג א':

נפח החרוט צריך להיות 192:

(הפתרון השלילי נפסל, כי רדיוס הוא אורך.)

טעות נפוצה: לשכוח את השליש בנפח החרוט ($12\pi r^2=192$) ולקבל $r\approx2.26$ ס"מ.

הקו היוצר לפי פיתגורס:

שטח המעטפת:

טעות נפוצה: להציב את הגובה במקום הקו היוצר, $\pi\cdot3.91\cdot12\approx147.4$ סמ"ר.

זוג נרות (אחד מכל סוג) דורש $192+192=384$ סמ"ק.

אפשר לייצר 130 זוגות, כלומר 130 נרות מכל סוג. (131 זוגות דורשים $131\cdot384=50{,}304$ סמ"ק - יותר ממה שיש.)

טעות נפוצה: לעגל כלפי מעלה ולענות 131. העיגול כאן תמיד כלפי מטה, כי לנר ה-131 לא תספיק השעווה.

הנפח $\frac{\pi r^2h}{3}$ תלוי בריבוע של הרדיוס. כשהרדיוס קטן פי 2, שטח הבסיס $\pi r^2$ קטן פי 4.

כדי שהנפח יישאר 192, הגובה צריך לגדול פי 4:

בדיקה: $\frac{\pi\cdot\left(\frac r2\right)^2\cdot48}{3}=\frac{\pi r^2\cdot12}{3}=192$.

טעות נפוצה: להכפיל את הגובה פי 2 בלבד (24 ס"מ), כאילו הנפח תלוי ברדיוס ולא בריבוע שלו. אז הנפח קטן לחצי - 96 סמ"ק.