מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 7 מעל רמת בגרות

מספר השורות לא שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$.

מקום לכל היותר ל-36 שורות: $x+y\le36$.

שעות העבודה: $5x$ שעות לעגבניות ו-$2y$ שעות לפלפלים, לכל היותר 120:

טעות נפוצה: לכתוב את אילוץ שעות העבודה עם המקדמים מוחלפים, $2x+5y\le120$ - $x$ סופר שורות עגבניות, ושורה כזאת דורשת 5 שעות.

חיתוכי $x+y=36$ עם הצירים: $(0,36)$, $(36,0)$. חיתוכי $5x+2y=120$ עם הצירים: $(0,60)$, $(24,0)$.

על ציר ה-$y$ התחום נגמר ב-$A(0,36)$, ועל ציר ה-$x$ ב-$B(24,0)$ (בכל ציר - הנקודה הקרובה יותר לראשית).

$C$: מהמשוואה הראשונה $y=36-x$. מציבים בשנייה: $5x+2(36-x)=120$, $3x+72=120$, $x=16$, $y=20$. לכן $C(16,20)$.

טעות נפוצה: לקחת את $A$ מהישר של שעות העבודה, $A(0,60)$ - הנקודה הזאת לא מקיימת $x+y\le36$.

פונקציית הרווח היא $f(x,y)=px+50y$. מציבים את הקדקודים:

$A(0,36)$: $f=p\cdot0+50\cdot36=1800$

$B(24,0)$: $f=24p$

$C(16,20)$: $f=16p+50\cdot20=16p+1000$

טעות נפוצה: לשייך את $p$ למשתנה הלא נכון, $f=50x+py$, ולקבל למשל ב-$A$ רווח של $36p$ - אבל $p$ הוא הרווח משורת עגבניות, כלומר המקדם של $x$.

הרווח המקסימלי מתקבל באחד הקדקודים, ולכן בודקים כל קדקוד שבו הרווח יכול להיות 3,600:

$A$: הרווח הוא 1,800 תמיד - לא מתאים.

$C$: $16p+1000=3600$, ולכן $p=162.5$. אבל אז ב-$B$ הרווח הוא $24\cdot162.5=3900>3600$, כלומר 3,600 לא היה הרווח המקסימלי. נפסל.

$B$: $24p=3600$, ולכן $p=150$. בדיקה: ב-$A$ 1,800, ב-$C$ $16\cdot150+1000=3400$ - שניהם קטנים מ-3,600, ולכן המקסימום אכן ב-$B$.

לכן $p=150$, ושותלים 24 שורות עגבניות ו-0 שורות פלפלים.

טעות נפוצה: להניח שהמקסימום תמיד בקדקוד ה"פנימי" $C$, לפתור $16p+1000=3600$ ולענות $p=162.5$ - בלי לבדוק שבערך הזה הרווח ב-$B$ גדול יותר.

$A$ על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$: $y=\frac34\cdot0+15=15$. לכן $A(0,15)$.

טעות נפוצה: להציב $y=0$ ולקבל $A(-20,0)$ - זו נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-$x$.

$BC\perp AB$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

הישר עובר דרך $C(0,-10)$ שעל ציר ה-$y$:

טעות נפוצה: להפוך את השבר בלי להחליף סימן ולכתוב $y=\frac43x-10$.

משווים את משוואות $AB$ ו-$BC$:

לכן $B(-12,6)$.

טעות נפוצה: לחסר את השיפועים במקום לחבר: $\left(\frac34-\frac43\right)x=-25$, ולקבל $x=\frac{300}{7}\approx42.9$.

ממוצע השיעורים של $A(0,15)$ ו-$B(-12,6)$:

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר ולקבל $(-6,-4.5)$.

$K$ על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$:

טעות נפוצה: לאבד את הסימן בהעברת אגפים ולקבל $K(7.5,0)$ - אבל הצלע $BC$ נמצאת כולה משמאל לציר ה-$y$ ($x$ בין $-12$ ל-$0$).

$E$ על $AB$, $K$ על $BC$ ו-$\angle ABC=90^\circ$, ולכן המשולש $EBK$ ישר זווית ב-$B$.

טעות נפוצה: לקחת את כל הצלע $AB=15$ כניצב ולקבל $\frac{15\cdot7.5}{2}=56.25$ - זה שטח המשולש $ABK$.

16% מתחת ל-62: מהזנב השמאלי $0.5\%+1.5\%+5\%+9\%=16\%$ - ארבע רצועות, ולכן $62=\bar x-S$.

2% מעל 92: מהזנב הימני $0.5\%+1.5\%=2\%$, ולכן $92=\bar x+2S$.

מחסירים את המשוואות:

טעות נפוצה: לשייך את 2% לשנתה $\bar x+1.5S$ (לספור את הרצועות 1.5% ו-0.5% כאילו הן מתחילות שם). מקבלים $2.5S=30$, כלומר $S=12$ ו-$\bar x=74$.

$67=72-5=\bar x-0.5S$, ו-$87=72+15=\bar x+1.5S$.

בין השנתות: רצועה אחת משמאל לממוצע ושלוש מימינו:

טעות נפוצה: לעצור ב-$\bar x+S$ (לשכוח את הרצועה של 9% שבין 82 ל-87) ולקבל 53%.

כשמוסיפים לכל הציונים אותו מספר נקודות, כל ההתפלגות זזה ימינה: הממוצע גדל במספר הזה, וסטיית התקן לא משתנה (המרחקים בין הציונים נשארים).

אחרי התוספת 84% מעל 70. כמו בסעיף א, 84% מעל ערך פירושו שהערך הוא $\bar x_{new}-S$:

התוספת: $80-72=8$ נקודות.

טעות נפוצה: לענות 80 - זה הממוצע החדש, לא מספר הנקודות שהוסיפו.

לפני התוספת: $x=\bar x+zS=72+1.5\cdot10=87$. אחרי התוספת: $87+8=95$.

ציון התקן לא השתנה: גם הציון וגם הממוצע גדלו ב-8, וסטיית התקן לא השתנתה.

מעל $\bar x+1.5S$ נמצאים $5\%+1.5\%+0.5\%=7\%$ מהתלמידים (גם אחרי התוספת - כל התלמידים זזו יחד):

טעות נפוצה: לחשב את ציון התקן החדש עם הממוצע הישן, $\frac{95-72}{10}=2.3$, ואז להסיק שדנה "עקפה" תלמידים.

שיעור ה-$x$ של קדקוד הפרבולה: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2\cdot(-5)}=2$.

$y(2)=-5\cdot4+20\cdot2+1.5=21.5$. המקדם של $x^2$ שלילי, ולכן הקדקוד הוא נקודת מקסימום: הגובה המקסימלי $21.5$ מטרים, כעבור 2 שניות.

פותרים $-5x^2+20x+1.5=0$: $x=\frac{-20\pm\sqrt{400+30}}{-10}=\frac{20\mp\sqrt{430}}{10}$.

מתקבל $x\approx4.07$ או $x\approx-0.07$. זמן שלילי אינו מתאים למודל, ולכן הכדור פוגע בקרקע כעבור כ-$4.07$ שניות.

$-5x^2+20x+1.5=16.5$, כלומר $-5x^2+20x-15=0$, ואחרי חלוקה ב-$-5$: $x^2-4x+3=0$, ולכן $x=1$ או $x=3$.

הפרבולה פתוחה כלפי מטה, ולכן בין שני הזמנים הגובה גדול מ-16.5 מטרים. משך הזמן: $3-1=2$ שניות.

מרגע הזריקה ($x=0$, גובה $1.5$) הכדור עולה עד הגובה $21.5$ ב-$x=2$, ואז יורד עד הקרקע (גובה $0$, כעבור כ-$4.07$ שניות).

בעלייה הכדור עובר בכל גובה מ-$1.5$ עד $21.5$, ובירידה בכל גובה מ-$21.5$ עד $0$.

לכן גובה $h$ עם $1.5\le h<21.5$ מתקבל פעמיים (פעם בעלייה ופעם בירידה); הגובה $21.5$ מתקבל פעם אחת (בשיא); וגובה $0\le h<1.5$ מתקבל רק בירידה, פעם אחת.

נפח העוגה: $30\cdot18\cdot6=3240$ סמ"ק. נפח כל קובייה $a^3$, והקוביות ממלאות את העוגה בלי שאריות:

טעות נפוצה: לחלק בשטח פאה של קובייה במקום בנפח שלה ולקבל $\frac{3240}{a^2}$.

בכל קובייה מצפים 5 פאות, ששטח כל אחת $a^2$:

ככל שהקוביות קטנות יותר, השטח המצופה גדול יותר.

טעות נפוצה: לספור 6 פאות לכל קובייה ולקבל $\frac{19440}{a}$.

3 מחלק את 30, את 18 ואת 6, ולכן אפשר לחתוך בלי שאריות.

(בדיקה לפי הממדים: $10\cdot6\cdot2=120$.)

טעות נפוצה: להשתמש בביטוי עם 6 פאות, $\frac{19440}{a}=5400$, ולקבל $a=3.6$.

אבל הקוביות צריכות להתאים לממדי העוגה בלי שאריות: $a$ חייב לחלק את 30, את 18 ואת 6 בכל אחד מהממדים (מספר שלם של קוביות). $6:4.05$ אינו מספר שלם (וגם $a\le6$ - הגובה).

האפשרויות לצלע שלמה הן $a=1,2,3,6$, והשטחים: 16,200, 8,100, 5,400, 2,700 סמ"ר. לכן לא ייתכן שטח של 4,000 סמ"ר.

טעות נפוצה: לענות "כן, עם $a=4.05$" - בלי לבדוק שקוביות כאלה לא ממלאות את העוגה בלי שאריות.

בתרשים שלוש עמודות של משבצות, משמאל לימין בגבהים 1, 1, 3.

המבט מלפנים: הגובה המרבי בכל עמודה (שמאל, אמצע, ימין) הוא 3, 1, 1 - העמודה הגבוהה נראית משמאל. בתרשים היא מימין, ולכן זה לא המבט מלפנים.

המבט מלמעלה: 8 משבצות תפוסות בריבוע של $3\times3$ (רק המשבצת הימנית בשורה האמצעית ריקה) - לא דומה לתרשים.

מבטים מהצד: הגובה המרבי בכל שורה - אחורית 3, אמצעית 3, קדמית 1. המבט מימין הוא 1, 3, 3 והמבט משמאל 3, 3, 1 (משמאל לימין) - בשניהם שתי עמודות בגובה 3, ובתרשים רק אחת.

המבט מאחור: מי שעומד מאחורי המבנה רואה את העמודה הימנית של המבנה בצד שמאל שלו, כלומר את המבט מלפנים בסדר הפוך: 1, 1, 3 - בדיוק התרשים.

התרשים מתאר את המבט מאחור.

טעות נפוצה: לראות שגובהי העמודות הם 3, 1, 1 ולענות "המבט מלפנים" - במבט מלפנים העמודה הגבוהה נראית דווקא משמאל.

במבט מלפנים רואים בכל עמודה את הגובה המרבי שלה לאורך כל השורות: שמאל $\max(3,3,1)=3$, אמצע $\max(1,1,1)=1$, ימין $\max(1,0,1)=1$.

זו תמונת הראי של המבט מאחור: מה שנראה מאחור מימין, נראה מלפנים משמאל.

טעות נפוצה: להעתיק את התרשים הנתון (1, 1, 3) בלי להפוך את הסדר.

בסרטוט רואים את הפאה העליונה של כל עמודה. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת, ולכן מתחת לכל פאה עליונה יש עמודה מלאה עד המשטח - גם כשחלק מהקוביות מוסתרות.

השורה הקדמית: 1, 1, 1. השורה האמצעית: משמאל עמודה של 3 קוביות, באמצע קובייה אחת, ומימין רואים את המשטח: 3, 1, 0. השורה האחורית: משמאל עמודה של 3 קוביות (מוסתרת מלפנים על ידי העמודה של השורה האמצעית, והקובייה התחתונה שלה מוסתרת גם מימין), באמצע ומימין קובייה אחת: 3, 1, 1.

טעות נפוצה: לרשום 2 בפינה השמאלית האחורית, כי רואים שם רק שתי קוביות (התחתונה מוסתרת) - כך יוצאות 11 קוביות במקום 12. מתחת לפאה העליונה שבגובה 3 יש עמודה מלאה עד המשטח.

מספר הקוביות במבנה הוא סכום תרשים המספרים (כולל הקוביות המוסתרות):

הבסיס $3\times3$ והגובה המרבי 3, ולכן הקובייה החדשה היא $3\times3\times3$:

הוסיפו 15 קוביות.

טעות נפוצה: לחסר את מספר המשבצות התפוסות במקום את מספר הקוביות: $27-8=19$.