בגרות במתמטיקה 372 - קיץ 2022 מועד ב'

לפי דף הנוסחאות, האחוזים ברצועות של חצי סטיית תקן (מהממוצע החוצה, בכל צד) הם: 19%, 15%, 9%, 5%, 1.5%, 0.5%.

סוכמים את הרצועות מהזנב הימני פנימה עד שמגיעים ל-16%:

אלה ארבע הרצועות שמעל $\bar x+S$, ולכן 125 ק"ג נמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע:

הכמות הממוצעת היא 111 ק"ג.

טעות נפוצה: לשים את 125 מתחת לממוצע ולחשב $\bar x=125+14=139$ ק"ג - אבל 16% מעל 125 הם מיעוט, ולכן 125 נמצא מעל הממוצע.

ממירים כל ערך למרחק מהממוצע ביחידות של סטיית תקן:

כלומר 97 הוא $\bar x-S$ ו-132 הוא $\bar x+1.5S$.

סוכמים את הרצועות שביניהם: משמאל לממוצע שתי רצועות (15%, 19%), ומימין שלוש רצועות (19%, 15%, 9%):

טעות נפוצה: לקחת לרצועה שבין $\bar x+S$ ל-$\bar x+1.5S$ את הערך 15% (של הרצועה הקודמת) במקום 9%, ולקבל 83%.

$90-111=-21=-1.5\cdot S$, כלומר 90 ק"ג נמצא $1.5$ סטיות תקן מתחת לממוצע.

מתחת ל-$\bar x-1.5S$ נמצאות שלוש הרצועות החיצוניות:

ביישוב 50,000 עצים, ולכן מספר העצים שצריכים דישון:

טעות נפוצה: לספור רק את הרצועה של 5% (בין $\bar x-2S$ ל-$\bar x-1.5S$) ולשכוח את הזנב שמתחת ל-$\bar x-2S$; מקבלים $0.05\cdot50000=2500$ עצים.

מחפשים בכל מערכת ישר שמזהה אותה.

במפעל ב' יש אילוץ $y\le60$: ישר אופקי, והתחום מתחתיו. בגרף 1 הצלע $AB$ אופקית והתחום מתחתיה - זה מפעל ב'. גם הישר השני מתאים: $y=x-20$ חותך את ציר $x$ ב-$x=20$ (הנקודה $C$) ועולה בשיפוע 1.

במפעל א' אין ישר אופקי. הישר $y=2x-20$ תלול (שיפוע 2) וחותך את ציר $x$ ב-$x=10$ (הנקודה $E$), והישר $y=x+30$ חותך את ציר $y$ ב-30 (הנקודה $P$). זה גרף 2: הצלע $EK$ תלולה, והצלע $PK$ יוצאת מציר $y$ מעל הראשית.

לכן גרף 1 מתאים למפעל ב', וגרף 2 מתאים למפעל א'.

טעות נפוצה: לראות בגרף 1 ישר שחותך את ציר $x$ מימין לראשית, לזהות אותו עם $y=2x-20$ ולקבוע שגרף 1 הוא מפעל א' - בלי לשים לב שבמערכת של מפעל א' אין אילוץ שנותן צלע אופקית כמו $AB$.

על כל חולצה ארוכה ($x$) הרווח 50 שקלים, ועל כל חולצה קצרה ($y$) - 30 שקלים:

זה רווח, ולכן מחפשים את הערך המקסימלי.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $P=30x+50y$ - המקדם של $x$ הוא הרווח על חולצה ארוכה, כי $x$ הוא מספר החולצות הארוכות.

מוצאים את קודקודי כל תחום ומציבים בפונקציית המטרה.

מפעל א' (גרף 2):

$E$: $2x-20=0$, כלומר $E(10,0)$. $P$: $y=0+30$, כלומר $P(0,30)$.

$K$ הוא החיתוך של שני הישרים:

הרווח המקסימלי של מפעל א': 4,900 שקלים.

מפעל ב' (גרף 1):

$C$: $x-20=0$, כלומר $C(20,0)$. $A(0,60)$.

$B$ הוא החיתוך של $y=60$ עם $y=x-20$: $60=x-20$, כלומר $B(80,60)$.

הרווח המקסימלי של מפעל ב': 5,800 שקלים, וזה הרווח הגבוה יותר.

טעות נפוצה: לפתור את $60=x-20$ כ-$x=60-20=40$ ולקבל קודקוד $B(40,60)$; אז הרווח המקסימלי של מפעל ב' יוצא 3,800 בלבד ($P(40,60)=2000+1800$), ומסיקים בטעות שמפעל א' (4,900) מרוויח יותר.

"בכמה גדול" - מחסרים:

הרווח המקסימלי של מפעל ב' גדול ב-900 שקלים מזה של מפעל א'.

טעות נפוצה: לחלק במקום לחסר ($\frac{5800}{4900}\approx1.18$) - זו התשובה לשאלה "פי כמה", לא "בכמה".

טעות נפוצה: להפוך את המנה ולחשב $\frac{10-4}{3-1}=3$ - השיפוע הוא הפרש ה-$y$ חלקי הפרש ה-$x$.

$BC\perp AB$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

הישר עובר דרך $B(10,3)$:

טעות נפוצה: להחליף רק את הסימן ($m_{BC}=-\frac13$) בלי להפוך את השבר; מקבלים $y=-\frac13x+\frac{19}{3}$, ישר שאינו מאונך ל-$AB$.

$C$ נמצא על הישר $BC$ ועל ציר $x$, ולכן מציבים $y=0$:

$C(11,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ במקום $y=0$ ולקבל $(0,33)$ - זו נקודת החיתוך עם ציר $y$.

$E$ אמצע הקטע $AD$, ולכן כל שיעור של $E$ הוא ממוצע השיעורים של $A$ ו-$D$:

$D(8,-1)$.

טעות נפוצה: לחשב את האמצע של $A$ ו-$E$, $\left(\frac{4+6}{2},\frac{1+0}{2}\right)=(5,0.5)$ - אבל $E$ הוא האמצע, לא קצה.

מכפלת השיפועים היא $-1$, ולכן $DC\perp BC$. (גם $DC\parallel AB$ - לשניהם שיפוע $\frac13$.)

טעות נפוצה: לחסר בסדר הפוך במונה בלבד, $\frac{-1-0}{11-8}=-\frac13$; מכפלת השיפועים יוצאת $1$, ומסיקים בטעות שהצלעות אינן מאונכות.

$CB=CD$, ולכן המשולש $BCD$ שווה שוקיים (וגם ישר-זווית ב-$C$, לפי סעיף ד).

טעות נפוצה: להשוות את $BD=\sqrt{(10-8)^2+(3+1)^2}=\sqrt{20}$ ל-$CD=\sqrt{10}$ ולהסיק שהמשולש אינו שווה שוקיים - צריך לבדוק את כל זוגות הצלעות.

הפאה $SBC$ היא משולש שווה שוקיים ($SB=SC=2.6$), ולכן הגובה $SE$ לבסיס $BC$ הוא גם תיכון: $E$ אמצע $BC$ ו-$BE=1$.

במשולש ישר-הזווית $SEB$ (הזווית הישרה ב-$E$):

טעות נפוצה: להציב את כל צלע הבסיס ($BC=2$) במקום חציה: $\sqrt{2.6^2-2^2}=\sqrt{2.76}\approx1.66$ מטר.

כל יריעה היא משולש שבסיסו 2 וגובהו $SE=2.4$:

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בשטח המשולש ולקבל $4\cdot2\cdot2.4=19.2$ מ"ר.

$SO$ מאונך לבסיס, ולכן המשולש $SOE$ ישר-זווית ב-$O$.

$O$ מרכז הריבוע, ו-$E$ אמצע $BC$, ולכן $OE$ הוא חצי צלע: $OE=1$.

טעות נפוצה: לקחת במקום $OE$ את חצי האלכסון $OB=\sqrt2$ ולחשב $\sqrt{5.76-2}\approx1.94$ מטר - חצי האלכסון שייך למשולש $SOB$, יחד עם המקצוע $SB$ ולא עם $SE$.

הגובה $KM$ מאונך לבסיס, ולכן המשולש $KMA$ ישר-זווית ב-$M$: הניצבים הם הגובה והרדיוס, והיתר הוא הקו היוצר.

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר, $\sqrt{4+2.56}\approx2.56$ - רדיוס שגדול מהקו היוצר, וזה בלתי אפשרי (הקו היוצר הוא היתר).

שטח מעטפת של חרוט: $\pi r\ell$, כאשר $\ell$ הוא הקו היוצר.

טעות נפוצה: להציב את הגובה במקום הקו היוצר: $\pi\cdot1.2\cdot1.6=1.92\pi\approx6.03$ מ"ר.

גובה אוהל הפירמידה הוא $SO\approx2.18$ מטר (סעיף א(3)), וגובה אוהל החרוט הוא $KM=1.6$ מטר.

$2.18>1.6$, ולכן מיכל תקנה את האוהל בצורת פירמידה.

טעות נפוצה: לחשב את $SO$ עם כל צלע הבסיס במקום חציה, $\sqrt{2.4^2-2^2}\approx1.33$, ולהסיק שאוהל החרוט (1.6) גבוה יותר.

בודקים כל תרשים מול המבט מלמעלה (אילו משבצות תפוסות) ומול החלק הגלוי בסרטוט 1 (גובה העמודות).

תרשים 1: המשבצת הימנית-קדמית תפוסה (1), אבל במבט מלמעלה היא ריקה, וגם בסרטוט 1 רואים שהיא ריקה - לא מתאים.

תרשים 3: המשבצת השמאלית-אחורית תפוסה והימנית-אחורית ריקה - הפוך מהמבט מלמעלה - לא מתאים.

תרשים 2: המשבצות התפוסות הן בדיוק המשבצות האפורות במבט מלמעלה, והגבהים במשבצות הגלויות (3 במרכז, 1 בימנית-אמצעית, 2 בימנית-אחורית ובאמצעית-אחורית) מתאימים לסרטוט 1. במשבצות המוסתרות (השמאלית-קדמית והאמצעית-קדמית) יש קובייה אחת בכל אחת - בתוך החלק שהכתם מסתיר.

התרשים המתאים הוא תרשים 2.

טעות נפוצה: לבדוק רק את הגבהים שנראים בסרטוט 1 ולבחור בתרשים 1, שבו כל העמודות הגלויות נכונות - בלי לשים לב שהמשבצת הימנית-קדמית בו תפוסה.

במבט מלפנים רואים בכל עמודה (שמאל, אמצע, ימין) את הגובה הגדול ביותר מבין שלוש המשבצות שבה, לפי תרשים 2:

שמאל: $\max(0,0,1)=1$; אמצע: $\max(2,3,1)=3$; ימין: $\max(2,1,0)=2$.

טעות נפוצה: לסרטט רק את השורה הקדמית ($1,1$ וריק בימין) - במבט מלפנים רואים גם את העמודות הגבוהות שמאחור.

כדי שהמבט מלמעלה (סרטוט 2) לא ישתנה, אסור להניח קובייה במשבצת ריקה - רק על עמודה קיימת.

כדי שסרטוט 1 לא ישתנה, הקובייה החדשה צריכה להיות כולה בחלק שהכתם מסתיר.

העמודות הגלויות (המרכזית, הימניות והאמצעית-אחורית) נראות בסרטוט, ולכן אי אפשר להגביה אותן.

במשבצת האמצעית-קדמית הכתם מסתיר רק עד גובה קובייה אחת, ולכן קובייה שנייה שם הייתה נראית.

במשבצת השמאלית-קדמית יש קובייה אחת, והכתם מסתיר עד גובה 2 - אפשר להוסיף עליה קובייה.

טעות נפוצה: להוסיף את הקובייה על המשבצת האמצעית-קדמית (תרשים עם 2 במקום 1 שם) - הכתם מסתיר שם רק קובייה אחת, והקובייה השנייה הייתה נראית בסרטוט 1 לפני העמודה של 3 הקוביות.