בגרות במתמטיקה 372 - קיץ 2023 מועד א'

מחצית הנבחנים (50%) קיבלו ציון גבוה מהממוצע. 84% קיבלו ציון גבוה מ-410 - יותר ממחצית, ולכן 410 נמצא מתחת לממוצע.

בין 410 לממוצע נמצאים $84\%-50\%=34\%$ מהנבחנים.

משמאל לממוצע: $19\%+15\%=34\%$ - שתי רצועות של חצי סטיית תקן, כלומר סטיית תקן שלמה. לכן 410 נמצא בשנתה $\bar x-S$:

טעות נפוצה: למקם את 410 מימין לממוצע ("84% זה הרוב, אז הציון גבוה") ולכתוב $410=\bar x+80$ - מקבלים ממוצע 330, ואז רק 16% היו מעל 410.

ממקמים את 450 על השנתות: $490-450=40=0.5\cdot80$, ולכן $450=\bar x-0.5S$.

מעל 450 נמצאים: הרצועה שבין 450 לממוצע (19%) וכל המחצית שמעל הממוצע (50%):

טעות נפוצה: להחסיר במקום לחבר, $50\%-19\%=31\%$ - זה אחוז הנבחנים שקיבלו פחות מ-450, כלומר אלה שלא יתקבלו.

לפי סעיף ב, 69% מהנבחנים יכולים להתקבל:

טעות נפוצה: להשתמש באחוז שבנתון (84% - אלה שקיבלו יותר מ-410) ולקבל $0.84\cdot40{,}000=33{,}600$. סף הקבלה הוא 450, לא 410.

ציון תקן הוא מספר סטיות התקן שהערך רחוק מהממוצע: $z=\frac{x-\bar x}{S}$.

ציון תקן 0 פירושו $x-\bar x=0$, כלומר הציון של יורם שווה לממוצע: 490.

$490>450$, ולכן יורם יכול להתקבל.

טעות נפוצה: לחשוב שציון תקן 0 פירושו ציון 0 במבחן (או "הציון הנמוך ביותר") ולענות שיורם לא יתקבל.

בגרף, הרצועה הימנית ביותר, שבה 0.5% מהאוכלוסייה, נמצאת מעל השנתה $\bar x+2.5S$.

לכן מתקבלים ללימודי רפואה נבחנים שקיבלו ציון גבוה מ-690.

טעות נפוצה: לעצור בשנתה $\bar x+2S=650$. מעל 650 נמצאים $1.5\%+0.5\%=2\%$ מהנבחנים, לא 0.5%.

(אפשר גם בלי חישוב: 690 הוא בדיוק השנתה $\bar x+2.5S$.)

טעות נפוצה: לחלק את הציון בסטיית התקן בלי להחסיר את הממוצע: $\frac{690}{80}\approx8.63$.

מעתיקים מהטקסט לכל שורה את הכמות שדרושה למאפה אחד:

מאפה המכיל שומשום - 80 גרם בצק ו-4 גרם שומשום.

מאפה בלי שומשום - 100 גרם בצק (השומשום שלו כבר רשום: 0).

טעות נפוצה: לחבר את השומשום לבצק ולרשום 84 גרם בעמודת הבצק של המאפה עם השומשום. הבצק והשומשום הם שני משאבים נפרדים, ולכל אחד יהיה אילוץ משלו.

מאפה בלי שומשום אינו צורך שומשום, ולכן רק הבצק מגביל.

ממירים ליחידה אחת: $20$ ק"ג $=20{,}000$ גרם.

טעות נפוצה: לחלק ב-80 (הבצק של המאפה עם השומשום) ולקבל 250 מאפים.

אילוץ הבצק (בגרמים): כל מאפה עם שומשום צורך 80 גרם, וכל מאפה בלי שומשום 100 גרם:

אילוץ השומשום: רק המאפים עם השומשום צורכים שומשום:

מספרי המאפים אינם שליליים: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לערבב יחידות ולכתוב $80x+100y\le20$ (גרמים באגף אחד וק"ג באגף השני) - אילוץ שלפיו כמעט אי אפשר לאפות דבר.

הישר $80x+100y=20000$ חותך את הצירים ב-$(250,0)$ וב-$(0,200)$. בודקים בנקודה $(0,0)$: $0\le20000$ - התחום מתחת לישר.

הישר $x=160$ מקביל לציר ה-$y$; $x\le160$ - התחום משמאל לו.

עם $x\ge0$, $y\ge0$ התחום הוא מרובע ברביע הראשון.

הקדקוד העליון הימני הוא החיתוך של $x=160$ עם ישר הבצק: $80\cdot160+100y=20000$, $100y=7200$, $y=72$.

טעות נפוצה: לסמן את הצד הלא נכון של הישר $x=160$ (מימין לו) ולקבל משולש שקדקודיו $(160,0)$, $(250,0)$, $(160,72)$ - שם נדרש יותר שומשום ממה שיש.

הרווח מכל מאפה עם שומשום הוא 4 שקלים ומכל מאפה בלי שומשום 2 שקלים (מהטבלה):

רוצים רווח גדול ככל האפשר - מחפשים מקסימום.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $P=2x+4y$ - אז נדמה שהמאפה בלי השומשום רווחי יותר.

מציבים את קדקודי התחום בפונקציית המטרה:

$(0,0)$: $P=0$

$(160,0)$: $P=4\cdot160=640$

$(160,72)$: $P=4\cdot160+2\cdot72=784$

$(0,200)$: $P=2\cdot200=400$

הרווח המקסימלי הוא 784 שקלים, ב-160 מאפים עם שומשום ו-72 מאפים בלי שומשום.

טעות נפוצה: לבדוק רק את הקדקודים שעל הצירים ("רק סוג אחד") ולענות 640 שקלים, בלי הקדקוד $(160,72)$.

$A$ נמצא על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$. מציבים במשוואת $AB$:

$A(-6,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ במקום $y=0$ ולקבל $(0,3)$ - זו נקודת החיתוך של $AB$ עם ציר ה-$y$.

$B$ על הישר $AB$ ושיעור ה-$y$ שלו 8:

טעות נפוצה: להציב את 8 במקום $x$: $\frac12\cdot8+3=7$, ולענות $x=7$.

שיפוע $AB$ לפי המשוואה: $m_{AB}=\frac12$.

שיפוע $BC$ לפי שתי נקודות, $B(10,8)$ ו-$C(14,0)$:

מכפלת השיפועים: $\frac12\cdot(-2)=-1$, ולכן הישרים מאונכים: $AB\perp BC$.

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע הפוך, $\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{4}{-8}=-\frac12$, לקבל מכפלה $-\frac14$ ולהסיק שהצלעות אינן מאונכות.

ישר בשיפוע $-\frac12$ שעובר דרך $C(14,0)$:

טעות נפוצה: לכתוב $y=-\frac12(x+14)$ ולקבל $y=-\frac12x-7$ - ישר שעובר דרך $(-14,0)$, לא דרך $C$.

$E$ היא נקודת החיתוך של $AB$ ו-$EC$. משווים:

$y=\frac12\cdot4+3=5$, ולכן $E(4,5)$.

טעות נפוצה: לאבד את האיבר $-\frac12x$ שבאגף ימין ולפתור $\frac12x+3=7$: מקבלים $x=8$ ואת הנקודה $(8,7)$ - היא על $AB$, אבל לא על $EC$ (שם $y=3$).

$E$ על $AB$, ולפי סעיף ב $AB\perp BC$. לכן במשולש $EBC$ הזווית $B$ ישרה, ו-$EB$, $BC$ הם הניצבים.

טעות נפוצה: לקחת את $EC$ כאחד הניצבים: $\frac{\sqrt{45}\cdot\sqrt{125}}{2}=37.5$. $EC$ הוא היתר - הזווית הישרה היא ב-$B$.

$EF$ מקביל לציר ה-$y$, ולכן ל-$F$ אותו שיעור $x$ כמו ל-$E$: $F(4,0)$.

מפרקים את המרובע לשני משולשים בעזרת האלכסון $EC$: $FEBC$ = משולש $EFC$ + משולש $EBC$.

במשולש $EFC$ הזווית $F$ ישרה: $FC=14-4=10$ (על ציר ה-$x$) ו-$EF=5$ (שיעור ה-$y$ של $E$):

טעות נפוצה: לקחת כגובה את שיעור ה-$x$ של $E$ (4) במקום שיעור ה-$y$ שלו: $\frac{10\cdot4}{2}=20$, ושטח כולל 50.

נפח תיבה = שטח הבסיס $\cdot$ הגובה. הבסיס ריבוע שצלעו 4:

הנפח: 160 סמ"ק.

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת הפירמידה (עם $\frac13$) גם לתיבה ולקבל $\frac{160}{3}\approx53.3$ סמ"ק.

"קטן ב-96" פירושו הפרש של 96:

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר ולקבל 256 סמ"ק - נפח גדול מזה של התיבה, אף שהפירמידה קטנה ממנה.

נפח פירמידה = $\frac13\cdot$ שטח הבסיס $\cdot$ הגובה. שטח הבסיס: $4\cdot4=16$.

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$: $16h=64$, ולענות $h=4$ ס"מ.

נפח המלח בכל מלחייה הוא 75% מנפחה:

מסוג א': $0.75\cdot160=120$ סמ"ק. מסוג ב': $0.75\cdot64=48$ סמ"ק.

נסמן ב-$n$ את מספר המלחיות מסוג ב'. מספר המלחיות מסוג א' הוא $n+8$:

סידרו 13 מלחיות מסוג ב' (ו-21 מסוג א'). בדיקה: $120\cdot21+48\cdot13=2520+624=3144$.

טעות נפוצה: לענות 21 - זה מספר המלחיות מסוג א'. השאלה שואלת על סוג ב', שהוא $n$.

קוראים מהסרטוט את גובה כל עמודה. בשורה האחורית של כל מבנה רואים בעמודה השמאלית ובעמודה האמצעית את הפאה העליונה בגובה 3 קוביות; הקוביות שמתחתיה מוסתרות, אבל כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת, ולכן אלה עמודות מלאות.

בכל מבט רואים, בכל עמודה של המבט, את הגובה המרבי שבשורה (או בעמודה) שמאחוריה.

מבט מלפנים: לכל עמודה של המשטח לוקחים את המקסימום מבין השורה הקדמית והאחורית.

מבנה 1: $\max(3,2)=3$, $\max(3,1)=3$, $\max(1,0)=1$. מבנה 2: $\max(3,3)=3$, $\max(3,1)=3$, $\max(1,0)=1$. שניהם מתאימים למבט מלפנים (3, 3, 1).

מבט מימין: הצופה עומד מימין ומסתכל שמאלה, ולכן השורה הקדמית נראית בצד שמאל של המבט והאחורית בצד ימין. בכל צד - הגובה המרבי בשורה.

מבנה 1: שורה קדמית 2, שורה אחורית 3 - המבט מימין 2, 3. מבנה 2: שורה קדמית 3, שורה אחורית 3 - המבט מימין 3, 3.

רק מבנה 2 מתאים לשני המבטים.

טעות נפוצה: לבדוק רק את המבט מלפנים - שני המבנים מתאימים לו - ולבחור במבנה 1.

מבנה 1, מבט מלפנים (המקסימום בכל עמודה): 3, 3, 1.

מבנה 1, מבט מימין: בצד שמאל של המבט - השורה הקדמית (גובה מרבי 2), בצד ימין - השורה האחורית (3).

טעות נפוצה: לסרטט את המבט מימין הפוך (צד שמאל 3, צד ימין 2), כאילו הצופה מימין רואה את השורה האחורית משמאלו.

בתרשים מספרים רושמים בכל משבצת של המשטח את מספר הקוביות שעליה. קוראים את מבנה 1 מהסרטוט:

השורה הקדמית (הקרובה לחץ): בעמודה השמאלית 2 קוביות זו על זו, באמצעית קובייה אחת, והמשבצת הימנית ריקה - רואים בה את המשטח.

השורה האחורית: בעמודה הימנית קובייה אחת. בעמודה השמאלית ובעמודה האמצעית רואים את הפאה העליונה בגובה 3 קוביות. חלק מהקוביות שמתחתיה מוסתרות מאחורי השורה הקדמית, אבל קובייה לא יכולה לרחף - מתחת לכל פאה עליונה יש עמודה מלאה, ולכן בכל אחת משתי המשבצות האלה 3 קוביות.

טעות נפוצה: לרשום בכל משבצת רק את הקוביות שרואים בסרטוט - בשורה האחורית 1, 2, 1 במקום 3, 3, 1. בעמודה השמאלית-אחורית רואים רק את הקובייה העליונה, אבל מתחתיה יש עוד שתי קוביות.

מספר הקוביות - סכום תרשים המספרים (כולל הקוביות המוסתרות):

מבנה 1: $3+3+1+2+1+0=10$. מבנה 2: $3+3+1+3+1+0=11$.

ההפרש: קובייה אחת. נפח קובייה שצלעה 3: $3^3=27$.

הנפח של מבנה 2 גדול ב-27 מהנפח של מבנה 1.

טעות נפוצה: לחשב את הקובייה כ-$3^2=9$ (שטח פאה) ולענות 9.