בגרות במתמטיקה 372 - חורף 2024

A נמצא על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$. מציבים במשוואת AD:

$A(2,0)$.

D נמצא על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$: $y=-2\cdot0+4=4$, כלומר $D(0,4)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בהעברת אגפים, $-2x=-4\Rightarrow x=-2$, ולקבל $A(-2,0)$ - נקודה בצד השלילי של ציר ה-$x$, בניגוד לסרטוט.

שיפוע AD הוא $-2$. הישר AB מאונך ל-AD, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

הישר AB עובר דרך $A(2,0)$:

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי לשנות את הסימן, $m=-\frac12$, ולקבל $y=-\frac12x+1$. השיפוע של ישר מאונך הוא ההופכי והנגדי.

BE מקביל לציר ה-$x$, ולכן לכל הנקודות עליו אותו שיעור $y$ כמו ל-$E$: $y_B=9$.

B נמצא גם על הישר AB. מציבים $y=9$ במשוואה מסעיף ב:

$B(20,9)$.

טעות נפוצה: להציב $x=9$ במקום $y=9$, לקבל $y=3.5$ ולכתוב $B(9,3.5)$ - נקודה שאינה בגובה של E, ולכן BE לא היה מקביל לציר ה-$x$.

הישר עובר דרך $E(0,9)$, שהיא נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-$y$, ולכן $b=9$.

עם השיפוע $m=-\frac13$:

טעות נפוצה: לכתוב רק את השיפוע ולשכוח את נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$: $y=-\frac13x$ - ישר שעובר בראשית ולא דרך E.

F היא נקודת החיתוך של AB ושל EF. משווים את המשוואות:

כופלים את שני האגפים ב-6 (מכנה משותף), כל איבר:

מציבים באחת המשוואות: $y=\frac12\cdot12-1=5$.

$F(12,5)$. (בדיקה: $-\frac13\cdot12+9=5$.)

טעות נפוצה: להעביר את $-\frac13x$ לאגף שמאל בלי להחליף סימן: $\left(\frac12-\frac13\right)x=10$, $\frac16x=10$, $x=60$ - נקודה $(60,29)$ שאינה על הצלע AB בכלל.

הצלע EB אופקית (מקבילה לציר ה-$x$), ולכן נבחר אותה כבסיס:

הגובה לבסיס הזה הוא המרחק האנכי מ-F לישר $y=9$:

טעות נפוצה: לקחת את שיעור ה-$y$ של F כגובה ($h=5$) ולקבל $\frac{20\cdot5}{2}=50$. $y_F=5$ הוא המרחק של F מציר ה-$x$, לא מהבסיס EB שנמצא בגובה 9.

התחום האפור נמצא מעל הישר העולה BC, ולכן $y\ge x+4$.

התחום האפור נמצא מתחת לישר היורד AC, ולכן $y\le -0.5x+13$.

אפשר לבדוק בנקודה מתוך התחום, למשל $(1,8)$: $8\ge1+4$ נכון, $8\le-0.5+13$ נכון - מתאים למערכת I. במערכת II אי-השוויון הראשון $8\le5$ לא נכון.

התשובה: מערכת I.

טעות נפוצה: לחשוב שהתחום "מימין" לישר העולה BC פירושו $y\le x+4$, ולבחור במערכת II. מעל/מתחת נקבע לפי הכיוון האנכי: נקודות התחום נמצאות מעל הישר BC.

הרווח מ-$x$ סוכריות הוא $2x$ שקלים, והרווח מ-$y$ מסטיקים הוא $1\cdot y$ שקלים.

מחפשים את הערך המקסימלי של $P$.

טעות נפוצה: להחליף בין הרווחים ולכתוב $P=x+2y$ - הרווח של 2 שקלים שייך לסוכריות, שמספרן $x$.

מוצאים את קודקודי התחום:

A: חיתוך AC עם ציר ה-$y$ ($x=0$): $A(0,13)$.

B: חיתוך BC עם ציר ה-$y$: $B(0,4)$.

C: חיתוך הישרים: $x+4=-0.5x+13\Rightarrow 1.5x=9\Rightarrow x=6$, $y=10$, כלומר $C(6,10)$.

מציבים בפונקציית המטרה:

הרווח המקסימלי, 22 שקלים, מתקבל ב-$C$: 6 סוכריות ו-10 מסטיקים בדקה.

טעות נפוצה: לאסוף את איברי ה-$x$ עם סימן שגוי, $x-0.5x=9$, כלומר $0.5x=9$ ו-$x=18$ - ואז $C(18,22)$ ורווח 58, נקודה שאינה בתחום כלל (היא מעל הישר AC).

מציבים $x=5$, $y=5$ באילוצים של מערכת I:

$y\ge x+4$: $5\ge9$ - לא מתקיים.

מספיק שאילוץ אחד לא מתקיים: הנקודה $(5,5)$ מחוץ לתחום האפשרי, ולכן לא ייתכן שהמפעל מייצר 5 סוכריות ו-5 מסטיקים בדקה.

טעות נפוצה: לבדוק רק את האילוץ $y\le-0.5x+13$ ($5\le10.5$, מתקיים) ואת אי-השליליות, ולענות "כן". נקודה אפשרית חייבת לקיים את כל האילוצים.

כל רצועה בגרף היא חצי סטיית תקן. סופרים רצועות מהממוצע (האמצע, בין שתי הרצועות של 19%):

75 נמצא בשנתה שבין 15% ל-9% משמאל - שתי רצועות משמאל לממוצע: $75=\bar x-S$.

102 נמצא בשנתה שבין 19% ל-15% מימין - רצועה אחת מימין לממוצע: $102=\bar x+0.5S$.

מחסרים את המשוואות:

סטיית התקן 18 מ"ר והממוצע 93 מ"ר.

טעות נפוצה: לספור כל רצועה כסטיית תקן שלמה: $75=\bar x-2S$, $102=\bar x+S$, ולקבל $S=9$.

$129=93+36=93+2\cdot18$, כלומר 129 נמצא שתי סטיות תקן מעל הממוצע (4 רצועות מימין).

מעל $\bar x+2S$ נמצאות רק שתי הרצועות הקיצוניות: $1.5\%+0.5\%=2\%$.

טעות נפוצה: לסכום רק את הרצועות שבין הממוצע ל-129 ($19+15+9+5=48\%$) ולשכוח את חצי האוכלוסייה שמתחת לממוצע.

75 הוא $\bar x-S$ ו-129 הוא $\bar x+2S$. אחוז הדירות בין שני הערכים - סכום הרצועות ביניהם:

ל-21,320 דירות יש מקום חניה אחד.

טעות נפוצה: לחשב את אחוז הדירות מתחת ל-75 כרצועה אחת בלבד (15%) ולקבל $98\%-15\%=83\%$, כלומר 21,580 דירות. מתחת ל-$\bar x-S$ יש $0.5+1.5+5+9=16\%$.

מציון התקן לערך: $x=\bar x+z\cdot S$.

השטח 136.2 מ"ר גדול מ-129 מ"ר, ולכן לדירה אין מקום חניה (לפי הכלל, רק לדירות בין 75 ל-129 מ"ר יש מקום חניה).

דרך נוספת: ציון התקן של 129 הוא $\frac{129-93}{18}=2$, ו-$2.4>2$.

טעות נפוצה: להוסיף את ציון התקן לממוצע בלי לכפול בסטיית התקן, $93+2.4=95.4$, ולענות שיש לדירה מקום חניה.

רגע הזריקה הוא הזמן $x=0$. מציבים:

ברגע הזריקה האבן בגובה 2 מטרים (נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-$y$).

טעות נפוצה: לחשוב שבזמן 0 גם הגובה הוא 0 ("האבן מתחילה מהקרקע") ולענות 0 מטרים. האבן נזרקת מהיד, מגובה 2 מטרים.

המקדם של $x^2$ שלילי, ולכן לפרבולה יש נקודת מקסימום - הקדקוד.

כעבור 1.6 שניות האבן בגובה המקסימלי, 14.8 מטרים.

טעות נפוצה: לחשב את $-5\cdot1.6^2$ כ-$(-5\cdot1.6)^2=64$ ולקבל גובה של $64+25.6+2=91.6$ מטרים. מעלים בריבוע רק את $1.6$, ואחר כך כופלים ב-$-5$.

מציבים $y=14$ ומעבירים את כל האיברים לאגף אחד:

$x=2$ או $x=1.2$. האבן בגובה 14 מטרים פעמיים: בעלייה, כעבור 1.2 שניות, ובירידה, כעבור 2 שניות.

טעות נפוצה: להעביר את 14 לאגף שמאל בלי להחליף סימן: $-5x^2+16x+16=0$, ולקבל $x=4$ או $x=-0.8$.

מציבים $x=4$:

גובה שלילי פירושו שנקודת הזמן הזאת כבר מחוץ לתחום שבו המודל מתאר את התנועה: האבן כבר פגעה בקרקע לפני כן.

אפשר גם למצוא את רגע הנחיתה: $-5x^2+16x+2=0\Rightarrow x=\frac{16+\sqrt{296}}{10}\approx3.32$ (הפתרון השלילי $\approx-0.12$ נפסל). $3.32<4$, ולכן כעבור 4 שניות האבן כבר על הקרקע.

טעות נפוצה: להתעלם מהסימן של $-14$, לפרש אותו כגובה של 14 מטרים ולענות שהאבן עדיין באוויר.

נפח תיבה = אורך $\cdot$ רוחב $\cdot$ גובה:

נפח הבריכה 780 מ"ק.

טעות נפוצה: לעצור אחרי שטח הבסיס, $25\cdot13=325$, ולשכוח לכפול בגובה.

הקירות החיצוניים הם ארבע הפאות הצדדיות של התיבה - שטח המעטפת (בלי הבסיס ובלי ה"מכסה", שהוא פני המים).

שני קירות של $25\times2.4$ ושני קירות של $13\times2.4$:

(או: היקף הבסיס כפול הגובה, $2(25+13)\cdot2.4=76\cdot2.4=182.4$.)

טעות נפוצה: לחשב את שטח הפנים של כל התיבה, $2\cdot325+182.4=832.4$ מ"ר - כולל הקרקעית והפאה העליונה, שאינן קירות.

גובה בריכת הילדים 0.8 מטר.

טעות נפוצה: לכפול ב-3 במקום לחלק ($2.4\cdot3=7.2$ מטרים) - בריכת ילדים גבוהה פי 3 מבריכת המבוגרים.

נסמן את הצלע הקצרה ב-$a$; הצלע האחרת היא $2a$. הגובה 0.8 (סעיף ג).

$a=5$ (הפתרון $a=-5$ נפסל, כי אורך הוא חיובי).

צלעות הבסיס: 5 מטרים ו-$2\cdot5=10$ מטרים. בדיקה: $5\cdot10\cdot0.8=40$.

טעות נפוצה: לכתוב את הנפח כ-$a\cdot a\cdot0.8$ (לשכוח את הפי 2), לקבל $a^2=50$, $a\approx7.07$, וצלעות של כ-7.07 ו-14.14 מטרים.

המבט מלמעלה מראה רק אילו משבצות של המשטח תפוסות (בלי הגובה). עוברים על המבנים שורה אחר שורה, מלפנים לאחור:

בשלושת המבנים: בשורה הקדמית רק המשבצת האמצעית תפוסה; בשורה השלישית כל שלוש המשבצות; בשורה האחורית השמאלית והאמצעית.

ההבדל הוא בשורה השנייה מלפנים. במבנים 2 ו-3 יש בה קוביות בשמאל ובאמצע. במבנה 1 יש בה קובייה רק בשמאל: מאחורי הקובייה הקדמית רואים את המשטח, ומימין לקובייה של השורה השנייה רואים את הפאה הימנית שלה.

לכן מבנה 1 מתאים לתרשים II (בשורה השנייה מלפנים רק המשבצת השמאלית), ומבנים 2 ו-3 מתאימים לתרשים I - שני מבנים שונים (בגבהים שונים) עם אותו מבט מלמעלה.

טעות נפוצה: לא לשים לב למשבצת הריקה שמאחורי הקובייה הקדמית במבנה 1, ולקבוע ששלושת המבנים מתאימים לתרשים I.

בתרשים מספרים רושמים בכל משבצת של המבט מלמעלה כמה קוביות יש בעמודה שמעליה.

במבנה 3 כל העמודות בגובה קובייה אחת, חוץ מהעמודה האמצעית בשורה האחורית - שתי קוביות זו על זו (רואים שתי פאות ימניות זו מעל זו).

גם הקובייה השמאלית בשורה האחורית, שמוסתרת בחלקה על ידי העמודה הגבוהה, נספרת: רואים את הפאה העליונה שלה.

סך הכול $3+3+2+1=9$ קוביות.

טעות נפוצה: לדלג על הקובייה השמאלית בשורה האחורית, שמוסתרת בחלקה, ולרשום בשורה האחורית רק 2 באמצע (8 קוביות במקום 9).

במבט מלפנים רואים לכל עמודה (שמאל, אמצע, ימין) את הגובה המרבי שלה לאורך כל השורות.

שמאל: $\max(1,1,1,0)=1$. אמצע: $\max(2,1,1,1)=2$. ימין: $\max(0,1,0,0)=1$.

טעות נפוצה: לסרטט רק את השורה הקדמית (ריבוע אחד באמצע), כאילו המבט מלפנים מראה רק את הקוביות הקרובות לצופה.

כדי שהמבט מלמעלה לא ישתנה - מוסיפים קוביות רק מעל משבצות תפוסות.

כדי שהמבט מלפנים לא ישתנה - כל משבצת יכולה לגדול עד הגובה של העמודה שלה במבט מלפנים: שמאל 1, אמצע 2, ימין 1.

עמודה שמאלית: המשבצות כבר בגובה 1 - אין תוספת. עמודה ימנית: גם כן.

עמודה אמצעית: ארבע משבצות, בגבהים 1, 1, 1 (קדמית, שנייה, שלישית) ו-2 (אחורית). כל אחת מהשלוש עולה ל-2: תוספת של 3 קוביות.

טעות נפוצה: להעלות כל משבצת לגובה 2 (הגובה המרבי במבנה), גם בעמודות השמאלית והימנית, ולהוסיף 7 קוביות - אז המבט מלפנים משתנה.

סך הכול $9+3=12$ קוביות. בדיקה: המשבצות התפוסות לא השתנו (מבט מלמעלה), והגובה המרבי בכל עמודה נשאר 1, 2, 1 (מבט מלפנים).

טעות נפוצה: להעלות לגובה 2 גם את המשבצת הימנית בשורה השלישית - אז העמודה הימנית במבט מלפנים הופכת לגבוהה, והמבט משתנה.