בגרות במתמטיקה 372 - קיץ 2024 מועד א'

שיפוע ישר העובר דרך שתי נקודות - הפרש ה-$y$ חלקי הפרש ה-$x$, באותו סדר:

טעות נפוצה: לחלק את הפרש ה-$x$ בהפרש ה-$y$ ולקבל $m=\frac{4}{12}=\frac13$.

$AE$ הוא גובה, ולכן $AE\perp BC$. מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$:

הנקודה $E(0,2)$ נמצאת על $BC$ ועל ציר ה-$y$, ולכן נקודת החיתוך של $BC$ עם ציר ה-$y$ היא 2:

טעות נפוצה: להפוך רק את השבר בלי לשנות סימן, $m_{BC}=\frac13$, ולקבל $y=\frac13x+2$.

$C$ נמצא על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$. מציבים במשוואת $BC$:

$C(6,0)$.

טעות נפוצה: לטעות בהעברת אגפים, $\frac13x=-2$, ולקבל $C(-6,0)$ - נקודה שנמצאת משמאל לציר ה-$y$, בניגוד לסרטוט.

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן $E$ היא אמצע הקטע $BC$.

נסמן $B(x_B,y_B)$. לפי נוסחת אמצע קטע:

$B(-6,4)$. בדיקה: $-\frac13\cdot(-6)+2=4$, כלומר $B$ על הישר $BC$.

טעות נפוצה: לחשב את אמצע הקטע $EC$ במקום את הקצה השני, ולקבל $(3,1)$.

$BF\parallel AE$, ולכן לשני הישרים אותו שיפוע: $m_{BF}=3$.

הישר עובר דרך $B(-6,4)$:

טעות נפוצה: לכתוב $y-4=3(x-6)$ (לשכוח שהשיעור של $B$ שלילי) ולקבל $y=3x-14$.

$F$ על ציר ה-$y$, ולכן מציבים $x=0$ במשוואת $BF$: $y=22$, כלומר $F(0,22)$.

$F$ ו-$E$ שתיהן על ציר ה-$y$, ולכן אורך $FE$ הוא הפרש שיעורי ה-$y$:

שתי הצלעות האחרות - בנוסחת המרחק:

טעות נפוצה: לחבר את השיעורים במקום לחסר, $FE=22+2=24$, ולקבל היקף של כ-$49.30$.

כל עמודה בטבלה היא משאב, וכל משאב נותן אילוץ אחד.

סבונים: $x$ מארזים מסוג א' צורכים $12x$ סבונים, ו-$y$ מארזים מסוג ב' צורכים $8y$. יש לכל היותר 240:

קרמים: $3x$ ועוד $6y$, לכל היותר 132:

מספר המארזים אינו שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$.

(אפשר לצמצם: $3x+2y\le60$, $x+2y\le44$.)

טעות נפוצה: לבנות אילוץ לפי השורות של הטבלה (לכל מארז) ולכתוב $12x+3y\le240$ ו-$8x+6y\le132$.

הרווח הכולל הוא 25 שקלים לכל מארז מסוג א' ועוד 20 שקלים לכל מארז מסוג ב':

מחפשים את הרווח המקסימלי.

טעות נפוצה: להחליף בין הרווחים ולכתוב $P=20x+25y$.

מזהים את הישרים לפי נקודות החיתוך עם הצירים:

סבונים, $12x+8y=240$: $(20,0)$ ו-$(0,30)$ - הישר התלול (חותך את ציר ה-$y$ גבוה ואת ציר ה-$x$ קרוב).

קרמים, $3x+6y=132$: $(44,0)$ ו-$(0,22)$ - הישר המתון.

בדיקה בראשית: $12\cdot0+8\cdot0=0\le240$ ו-$0\le132$, ולכן התחום של כל אילוץ הוא בצד של הראשית - מתחת לשני הישרים.

יחד עם $x\ge0$, $y\ge0$: התחום שמתחת לשני הישרים, ליד הראשית - סרטוט 1.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$\le$ של אילוץ הסבונים הוא "מעל הישר" ולבחור בסרטוט 2 - הבדיקה בראשית מראה שהתחום בצד של הראשית.

קודקודי התחום: $(0,0)$, $(20,0)$, $(0,22)$, ונקודת החיתוך של שני הישרים.

חיתוך: $3x+2y=60$ ו-$x+2y=44$. מחסרים את המשוואות:

מציבים את הקודקודים ב-$P=25x+20y$:

הרווח המקסימלי, 560 שקלים, מתקבל ב-8 מארזים מסוג א' ו-18 מארזים מסוג ב'.

טעות נפוצה: לבדוק רק את הקודקודים שעל הצירים ולבחור ב-$(20,0)$, כלומר 20 מארזים מסוג א' בלבד ברווח 500 שקלים.

אילוץ הקרמים מתהפך: $3x+6y\ge132$ - התחום מעל הישר המתון (הצד שאינו מכיל את הראשית).

אילוץ הסבונים לא השתנה: $12x+8y\le240$ - מתחת לישר התלול.

התחום שמעל הישר המתון ומתחת לישר התלול, צמוד לציר ה-$y$ - המשולש הקטן בסרטוט 3.

טעות נפוצה: להפוך את אילוץ הסבונים במקום את אילוץ הקרמים ולבחור בסרטוט 2.

צוברים את הרצועות מהקצה השמאלי עד שמגיעים ל-31%:

אלה חמש רצועות, והן מסתיימות חצי סטיית תקן מתחת לממוצע (אחריהן נשארת רק רצועת ה-19% שצמודה לממוצע).

לכן $53=\bar x-0.5S$:

טעות נפוצה: לחשוב ש-53 נמצא סטיית תקן שלמה מתחת לממוצע, $58-S=53$, ולקבל $S=5$.

$53=\bar x-0.5S$ ו-$63=58+5=\bar x+0.5S$.

בין שני הערכים יש שתי רצועות, אחת מכל צד של הממוצע:

טעות נפוצה: לחשב "כל מה שאינו קטן", $100\%-31\%=69\%$ - ולשכוח שגם הביצים הגדולות אינן קטנות.

הביצים הבינוניות הן 38% מכלל הביצים. נסמן את מספר הביצים הכולל ב-$N$:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $1824\cdot0.38\approx693$ - זה 38% מהבינוניות, לא מספר הביצים הכולל.

הביצים הגדולות שוקלות יותר מ-63 גרם, כלומר יותר מ-$\bar x+0.5S$.

לפי הסימטריה של העקומה, האחוז מעל $\bar x+0.5S$ שווה לאחוז מתחת ל-$\bar x-0.5S$: 31% (או: $100\%-31\%-38\%=31\%$).

נארזו 124 תבניות.

טעות נפוצה: לחלק ב-12 את מספר הביצים הבינוניות, $1824:12=152$, במקום את מספר הגדולות.

$53<60<63$, ולכן הביצה בינונית.

(אפשר גם בלי לחשב משקל: הגבולות 53 ו-63 הם ציוני תקן $-0.5$ ו-$0.5$, ו-$-0.5<0.2<0.5$.)

טעות נפוצה: להסיק מכך שציון התקן חיובי שהביצה "מעל הממוצע ולכן גדולה" - ביצה גדולה צריכה ציון תקן גדול מ-0.5.

תחילת התקופה היא נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$, כלומר $x=0$:

בתחילת התקופה ייצרו 17 מיליון מוצרים.

טעות נפוצה: לשכוח ש-$y$ נמדד במיליונים ולענות "17 מוצרים".

מציבים $x=7$:

כעבור 7 שנים ייצרו 10 מיליון מוצרים.

טעות נפוצה: לטעות בסימן, $-8\cdot7=+56$, ולקבל $49+56+17=122$ מיליון.

$a=1>0$, ולכן הפרבולה ישרה (פתוחה כלפי מעלה) והקודקוד שלה הוא נקודת מינימום.

(הכמות אז: $16-32+17=1$ מיליון.)

הכמות הייתה הקטנה ביותר כעבור 4 שנים.

טעות נפוצה: לענות בערך ה-$y$ של הקודקוד במקום בזמן - "כעבור שנה אחת" (1 הוא מספר המיליונים, לא מספר השנים).

$y$ נמדד במיליונים, ולכן מציבים $y=2$:

$x_1=5$, $x_2=3$: כעבור 3 שנים וכעבור 5 שנים (שתי נקודות סימטריות סביב הקודקוד $x=4$).

טעות נפוצה: להציב $y=2{,}000{,}000$ במקום $y=2$ ולקבל $x\approx1418$ שנים.

נפח פירמידה הוא שליש משטח הבסיס כפול הגובה. הבסיס ריבוע שצלעו 4:

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ ולקבל $16\cdot3.75=60$ סמ"ק (זה נפח תיבה).

$O$ מרכז הריבוע ו-$F$ אמצע הצלע $AB$, ולכן $OF$ הוא חצי צלע הבסיס: $OF=2$.

$SO$ מאונך לבסיס, ולכן המשולש $SOF$ ישר-זווית ב-$O$:

טעות נפוצה: לקחת את כל צלע הבסיס, $OF=4$, ולקבל $SF=\sqrt{3.75^2+4^2}\approx5.48$.

המדבקה מכסה פאה צדדית אחת - משולש שהבסיס שלו צלע הבסיס, $AB=4$, והגובה שלו $SF=4.25$:

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 (שטח משולש) ולקבל $17$ סמ"ר.

רדיוס הבסיס הוא חצי צלע בסיס הפירמידה: $r=\frac42=2$. הגובה: $h=3.75$.

טעות נפוצה: לקחת את כל הצלע כרדיוס, $r=4$, ולקבל $\frac13\pi\cdot16\cdot3.75=20\pi\approx62.83$ סמ"ק.

נפח השוקולד במארז אחד - שתי פירמידות וחרוט אחד:

אפשר להכין רק מארזים שלמים, ולכן מעגלים כלפי מטה: 3 מארזים.

טעות נפוצה: לשים במארז פירמידה אחת בלבד, $20+5\pi\approx35.71$, ולקבל $170:35.71\approx4.76$, כלומר 4 מארזים.

המבט מלפנים: בכל עמודה (שמאל, אמצע, ימין) הגובה המרבי הוא 3 (בשורה האחורית), ולכן הוא ריבוע מלא של $3\times3$. כך גם המבט מאחור.

המבט מלמעלה: כל 9 המשבצות תפוסות - ריבוע מלא.

בתרשים יש משבצת ריקה, ולכן זה מבט מהצד. הגובה המרבי בכל שורה: קדמית 2, אמצעית 3, אחורית 3.

בתרשים העמודה הנמוכה (2) נמצאת משמאל. מי שמסתכל מימין רואה את השורה הקדמית בצד שמאל שלו, ולכן התרשים הוא המבט מימין.

טעות נפוצה: לענות "המבט משמאל" - במבט משמאל השורה הקדמית נראית דווקא בצד ימין, והמשבצת הריקה הייתה למעלה מימין.

המבט משמאל הוא תמונת ראי של המבט מימין: השורה האחורית נראית משמאל והשורה הקדמית מימין.

הגבהים משמאל לימין: אחורית 3, אמצעית 3, קדמית 2.

טעות נפוצה: לסרטט את המבט משמאל באותו סדר כמו התרשים הנתון (2, 3, 3), כלומר להעתיק את המבט מימין.

בסרטוט רואים את הפאה העליונה של כל עמודה. חלק מהקוביות התחתונות מוסתרות מאחורי עמודות קדמיות, אבל כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת - ולכן מספר הקוביות במשבצת הוא הגובה של הפאה העליונה שלה.

השורה הקדמית: 1, 2, 1. השורה האמצעית: 2, 3, 2 (רואים את הפאות העליונות בגובה 2, 3, 2; הקוביות התחתונות בעמודה השמאלית ובעמודה האמצעית מוסתרות). השורה האחורית: 3, 3, 3.

טעות נפוצה: לרשום רק את הקוביות שרואים - בשורה האחורית 1, 1, 3 ובשורה האמצעית 1, 1, 2, כלומר 13 קוביות במקום 20. מתחת לכל פאה עליונה שרואים יש עמודה מלאה עד המשטח.

מספר הקוביות במבנה הוא סכום תרשים המספרים (כולל הקוביות המוסתרות):

הבסיס $3\times3$ והגובה המרבי 3, ולכן הקובייה החדשה היא $3\times3\times3$:

הוסיפו 7 קוביות.

טעות נפוצה: לחשב $27-9=18$ - לחסר את מספר המשבצות במקום את מספר הקוביות.