בגרות במתמטיקה 372 - חורף 2025

כל אילוץ מתאים למשאב אחד - כאן לכל מכונה - ולכן קוראים את הטבלה לפי העמודות.

מכונת החיתוך: ספה דורשת 4 שעות וכורסה 2 שעות, ולכן $x$ ספות ו-$y$ כורסאות דורשות $4x+2y$ שעות. המכונה פועלת 32 שעות לכל היותר:

מכונת הריפוד: ספה דורשת 2 שעות וכורסה 6 שעות, והמכונה פועלת 36 שעות לכל היותר:

מספר הרהיטים אינו יכול להיות שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: להצמיד כל זמן מרבי למכונה הלא נכונה ולכתוב $4x+2y\le36$ ו-$2x+6y\le32$. ה-32 שעות שייכות למכונת החיתוך, ולכן הן באגף ימין של אילוץ החיתוך.

מסרטטים כל ישר לפי נקודות החיתוך שלו עם הצירים.

$4x+2y=32$: כש-$x=0$, $y=16$; כש-$y=0$, $x=8$. הישר עובר דרך $(0,16)$ ו-$(8,0)$.

$2x+6y=36$: כש-$x=0$, $y=6$; כש-$y=0$, $x=18$. הישר עובר דרך $(0,6)$ ו-$(18,0)$.

בודקים צד בעזרת הראשית: $4\cdot0+2\cdot0=0\le32$ ו-$0\le36$, ולכן התחום של כל אילוץ הוא הצד של הישר שבו נמצאת הראשית. יחד עם $x\ge0$, $y\ge0$ מתקבל תחום ברביע הראשון.

הקודקוד שבו שני הישרים נחתכים: מהמשוואה הראשונה $y=16-2x$, ומציבים בשנייה:

התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו $(0,0)$, $(8,0)$, $(6,4)$, $(0,6)$.

טעות נפוצה: לחלק במקדם הלא נכון ולסרטט את $4x+2y=32$ דרך $(0,8)$ ו-$(16,0)$. כך מתקבל תחום עם הקודקוד $(16,0)$ במקום $(8,0)$, ונקודות שאינן מקיימות את אילוץ החיתוך נכנסות לתחום.

הרווח מ-$x$ ספות הוא $400x$ שקלים, והרווח מ-$y$ כורסאות הוא $700y$ שקלים.

מחפשים את הערך המקסימלי של $P$ (רווח).

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $P=700x+400y$. $x$ הוא מספר הספות, ולכן המקדם שלו הוא הרווח מספה - 400.

התחום האפשרי סגור, ולכן הרווח המקסימלי מתקבל באחד מקודקודי התחום (סעיף ב). מציבים כל קודקוד בפונקציית המטרה:

הערך הגדול ביותר הוא 5,200, בקודקוד $(6,4)$.

על המפעל לייצר 6 ספות ו-4 כורסאות.

טעות נפוצה: להחליף בין $x$ ל-$y$ בתשובה ולענות "4 ספות ו-6 כורסאות". הנקודה $(4,6)$ בכלל אינה בתחום: $2\cdot4+6\cdot6=44>36$.

מייצרים כורסאות בלבד, ולכן $x=0$. מציבים באילוצים:

מכונת החיתוך: $2y\le32$, כלומר $y\le16$.

מכונת הריפוד: $6y\le36$, כלומר $y\le6$.

צריך לקיים את שני האילוצים, ולכן $y\le6$ - מכונת הריפוד היא המגבילה. זה הקודקוד $(0,6)$ של התחום.

ייצרו 6 כורסאות.

טעות נפוצה: לבדוק רק את מכונת החיתוך ולענות 16 כורסאות. כדי לרפד 16 כורסאות צריך $6\cdot16=96$ שעות, הרבה יותר מ-36.

$B$ על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$: $y=-\frac12\cdot0+4=4$. $B(0,4)$.

$D$ על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$:

$D(8,0)$.

טעות נפוצה: בשלב האחרון לכפול ב-$\frac12$ במקום לחלק ($4\cdot\frac12=2$) ולקבל $D(2,0)$. כדי לבודד את $x$ מ-$\frac12x=4$ כופלים ב-2.

$D$ היא אמצע הקטע $AB$, ולכן כל שיעור של $D$ הוא ממוצע השיעורים של $A$ ו-$B$:

$A(16,-4)$. בדיקה: $-\frac12\cdot16+4=-4$, כלומר $A$ על הישר $AB$.

טעות נפוצה: לחשב את האמצע של $B$ ו-$D$ ולקבל $(4,2)$. $D$ היא האמצע, ו-$A$ היא הקצה השני - הנקודה ש-$D$ באמצע הדרך אליה מ-$B$.

$\angle ACB=90^\circ$, ולכן $AC\perp BC$, ומכפלת השיפועים היא $-1$:

הישר עובר דרך $A(16,-4)$:

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי להחליף סימן ($m=3$) ולקבל $y=3x-52$. מכפלת השיפועים אז היא $1$, לא $-1$.

$C$ היא נקודת החיתוך של $BC$ ו-$AC$. משווים:

כופלים את שני האגפים ב-3:

$y=\frac13\cdot12+4=8$. $C(12,8)$.

טעות נפוצה: לכפול ב-3 רק את האגף השמאלי ($x+12=-3x+44$) ולקבל $x=8$, כלומר $C\left(8,6\frac23\right)$ - נקודה שאינה על $AC$.

המשולש ישר זווית ב-$C$, ולכן שטחו הוא מחצית מכפלת הניצבים $BC$ ו-$AC$. מחשבים אותם בנוסחת המרחק:

טעות נפוצה: לקחת את היתר $AB=\sqrt{320}$ כאחד הניצבים ולחשב $\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{\sqrt{320}\cdot\sqrt{160}}{2}\approx113.1$. הניצבים הם הצלעות שיוצאות מהזווית הישרה $C$.

האלכסון $AB$ מחלק את המרובע למשולש $ABC$ (סעיף ד(1)) ולמשולש $ABK$.

במשולש $ABK$ הצלע $BK$ נמצאת על ציר ה-$y$: $BK=4-(-18)=22$.

הגובה לצלע זו הוא המרחק של $A$ מציר ה-$y$, כלומר שיעור ה-$x$ של $A$: 16.

טעות נפוצה: לחשב $BK=18-4=14$ (להתעלם מהסימן של $-18$) ולקבל $S_{ABK}=112$ ושטח מרובע 192.

צוברים את אחוזי הרצועות מהזנב השמאלי עד שמגיעים ל-16%:

אלה ארבע רצועות של חצי סטיית תקן, כלומר 7 מ"ק נמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע:

הממוצע הוא 9.4 מ"ק.

טעות נפוצה: לצבור את האחוזים מהזנב הימני ולהסיק ש-7 נמצא סטיית תקן מעל הממוצע, $\bar x=7-2.4=4.6$. "פחות מ-7" הוא הזנב השמאלי, ולכן 7 מתחת לממוצע.

השנתה האמצעית היא הממוצע, 9.4, והמרחק בין שתי שנתות סמוכות הוא חצי סטיית תקן: $\frac{2.4}{2}=1.2$.

מוסיפים ומחסירים 1.2 שוב ושוב:

בדיקה: 7 נמצא בשנתה $\bar x-S$, בהתאם לסעיף א(1).

טעות נפוצה: לקפוץ בסטיית תקן שלמה (2.4) בין שנתות סמוכות, למשל לרשום מימין לממוצע 11.8, 14.2, 16.6, 19, 21.4. אז 7 יוצא בשנתה $\bar x-0.5S$, בסתירה לסעיף א(1) - השנתות בגרף הן של חצי סטיית תקן.

לפי סעיף א(2), 13 נמצא בשנתה $\bar x+1.5S$.

מעל שנתה זו יש שלוש רצועות:

טעות נפוצה: לקחת רק את הרצועה הצמודה לשנתה (5%) ולשכוח את שתי הרצועות שבזנב.

לפי סעיף ב, 7% מהמשפחות צורכות יותר מ-13 מ"ק, ויש 560 משפחות כאלה:

בעיר יש 8,000 משפחות.

טעות נפוצה: להתייחס רק לרצועה הצמודה לשנתה של 13 (5%) ולחשב $\frac{560}{0.05}=11{,}200$ משפחות. 560 המשפחות הן כל מי שצורך יותר מ-13 מ"ק - 7%, כולל שתי הרצועות שבזנב.

ציון תקן הוא מספר סטיות התקן מהממוצע, ולכן אפשר לקרוא אותו ישירות על שנתות הגרף.

ציון תקן גדול מ-1.5: מעל השנתה $\bar x+1.5S$ - $5\%+1.5\%+0.5\%=7\%$.

ציון תקן קטן מ-$(-2.5)$: מתחת לשנתה $\bar x-2.5S$ - $0.5\%$.

אלה שתי קבוצות נפרדות (שני הזנבות), ולכן מחברים:

טעות נפוצה: לקרוא את $-2.5$ כשנתה $\bar x-2S$ ולצרף $1.5\%+0.5\%$, ולקבל $7\%+2\%=9\%$.

מחשבים את ציון התקן של צריכה של 12 מ"ק:

$1.08$ אינו גדול מ-1.5 ואינו קטן מ-$(-2.5)$, ולכן למשפחת כהן לא נבדק שעון המים.

טעות נפוצה: לחלק בחצי סטיית התקן (1.2, המרווח בין השנתות) ולקבל $z\approx2.17>1.5$, כלומר "כן".

$A$ היא ראש הסולם, והיא נמצאת על ציר ה-$y$ ($x=0$). מציבים $x=0$:

גובה הסולם הוא 11 מטרים.

טעות נפוצה: לבלבל בין הסולם לציר הסימטריה של הפרבולה, לחשב $-\frac{b}{2a}=3$ ולענות "3 מטרים". 3 הוא המרחק האופקי של $C$ מהסולם.

$C$ היא קדקוד הפרבולה. $a=1$, $b=-6$:

מציבים כדי למצוא את הגובה:

$C$ נמצאת בגובה 2 מטרים.

טעות נפוצה: לאבד את הסימן של $b$ ולקבל $x=-3$, ואז $y=9+18+11=38$ - גבוה יותר מהסולם עצמו, ולכן בוודאי לא נקודת המינימום.

מחפשים את הנקודות במגלשה שבהן הגובה 6:

בגובה 6 יש שתי נקודות על הפרבולה, אחת מכל צד של הקדקוד ($x=3$). לפי הסרטוט $B$ נמצאת מימין לנקודת המינימום $C$, ולכן $x_B=5$.

טעות נפוצה: לבחור $x=1$. בנקודה זו המגלשה בגובה 6 בדרך למטה, משמאל ל-$C$, ולא בקצה המגלשה.

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה ($a=1>0$), ולכן היא עולה מימין לקדקוד, כלומר כש-$x>3$.

אבל המגלשה נגמרת בנקודה $B$, שבה $x=5$ (סעיף ג). לכן נועם היה במגמת עלייה בקטע $3<x<5$ - בין $C$ ל-$B$.

טעות נפוצה: לענות $x>3$ בלי להגביל לאורך המגלשה. מימין ל-$B$ אין מגלשה.

מבט מלמעלה מראה אילו משבצות תפוסות, בלי גבהים. בשני המבנים השורה האחורית מלאה ובשורה הקדמית רק המשבצת האמצעית תפוסה - שני המבנים מתאימים למבט מלמעלה.

מבט מימין: מי שעומד מימין למבנה רואה את השורה הקדמית בצד שמאל ואת השורה האחורית בצד ימין. גובה כל עמודה במבט הוא הגובה המרבי בשורה המתאימה.

מבנה I: בשורה הקדמית הגובה המרבי 1, ובשורה האחורית 3 - עמודות בגובה 1 ו-3. מתאים.

מבנה II: בשורה הקדמית 1, ובשורה האחורית 2 - עמודות בגובה 1 ו-2. לא מתאים (אין במבנה II עמודה בגובה 3).

המבנה המתאים הוא מבנה I.

טעות נפוצה: לבדוק רק את המבט מלמעלה, שמתאים לשני המבנים, ולבחור במבנה II. רק המבט מימין מבחין בין המבנים.

במבט מלפנים רואים כל עמודה (שמאלית, אמצעית, ימנית) בגובה המרבי שלה מבין השורה הקדמית והאחורית:

שמאלית: $\max(0,1)=1$. אמצעית: $\max(1,3)=3$. ימנית: $\max(0,2)=2$.

המבט מלפנים: עמודות בגובה 1, 3, 2 משמאל לימין.

טעות נפוצה: לצייר רק את השורה הקדמית (0, 1, 0) - קובייה אחת באמצע. גם הקוביות שבשורה האחורית נראות מלפנים, כשאין לפניהן קוביות גבוהות מהן.

המבט מלמעלה לא ישתנה רק אם בכל משבצת תפוסה תישאר לפחות קובייה אחת.

המבט מימין לא ישתנה רק אם הגובה המרבי בשורה הקדמית יישאר 1 ובשורה האחורית יישאר 3.

בודקים את המשבצות של מבנה I:

השורה הקדמית: משבצת אחת עם קובייה אחת - אי אפשר להסיר.

השורה האחורית: 1, 3, 2. העמודה בגובה 3 היא היחידה שנותנת גובה 3 - אסור לגעת בה. המשבצת השמאלית (1) חייבת להישאר. במשבצת הימנית (2) אפשר להוריד קובייה אחת ולהשאיר 1.

אפשר להסיר קובייה אחת.

טעות נפוצה: לענות 2 - להסיר גם את הקובייה שבמשבצת האחורית-השמאלית, כי "המבט מימין דורש רק עמודה בגובה 3". אז המשבצת מתרוקנת והמבט מלמעלה משתנה.

מורידים קובייה אחת מהמשבצת האחורית-הימנית (מ-2 ל-1):

בדיקה: כל המשבצות שהיו תפוסות עדיין תפוסות, והגבהים המרביים בשורות הם 1 (קדמית) ו-3 (אחורית).

טעות נפוצה: להוריד את הקובייה מהעמודה הגבוהה (שורה אחורית 1, 2, 2). אז הגובה המרבי בשורה האחורית יורד ל-2, והמבט מימין משתנה.

מי שמסתכל מאחור רואה את אותן עמודות כמו מלפנים, אבל בסדר הפוך (תמונת ראי): העמודה הימנית של המבט מלפנים נראית מאחור בצד שמאל.

1. מבנה I: מלפנים 1, 3, 2 (סעיף ב), ולכן מאחור 2, 3, 1. הסדרים שונים - ההיגד לא נכון.

2. מבנה II: מלפנים $\max(0,2)=2$, $\max(1,1)=1$, $\max(0,2)=2$, כלומר 2, 1, 2. זה רצף סימטרי, ולכן גם מאחור 2, 1, 2 - ההיגד נכון.

טעות נפוצה: לחשוב שהמבט מאחור תמיד זהה למבט מלפנים ולסמן את שני ההיגדים כנכונים. הם זהים רק כשהמבט מלפנים סימטרי.

נפח פירמידה הוא שליש משטח הבסיס כפול הגובה. הבסיס ריבוע שצלעו 6:

נפח השעווה 144 סמ"ק.

טעות נפוצה: לשכוח את השליש ולענות $36\cdot12=432$ סמ"ק - זה נפח תיבה עם אותו בסיס ואותו גובה.

נפח חרוט הוא שליש משטח הבסיס (עיגול) כפול הגובה:

$167.6>144$: בנר מסוג ב' יש יותר שעווה, ולכן הוא ידלק זמן ארוך יותר.

טעות נפוצה: לשכוח להעלות את הרדיוס בריבוע ($\frac{\pi\cdot4\cdot10}{3}\approx41.9$) ולקבוע שנר מסוג א' ידלק זמן ארוך יותר.

הגובה, רדיוס הבסיס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית, שהקו היוצר הוא היתר שלו. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר, $\sqrt{10^2-4^2}=\sqrt{84}\approx9.17$. הקו היוצר הוא היתר, ולכן הוא הצלע הארוכה במשולש.

שטח המעטפת של חרוט: $\pi rl$.

טעות נפוצה: להציב את הגובה במקום הקו היוצר, $\pi\cdot4\cdot10\approx125.7$. המעטפת נפרשת לאורך הקו היוצר, לא לאורך הגובה.

הנפח הדרוש להזמנה (לפי סעיפים א ו-ב):

$85{,}088>60{,}000$, ולכן השעווה לא תספיק.

טעות נפוצה: להשוות כל סוג בנפרד ל-60,000 ($43{,}200<60{,}000$ וגם $41{,}888<60{,}000$) ולענות "כן". אותה שעווה צריכה להספיק לשני הסוגים יחד.