בגרות במתמטיקה 372 - קיץ 2024 מועד ב'

$A$ נמצא על ציר ה-$y$, ולכן בנקודה הזאת $x=0$. מציבים במשוואת $AC$:

$C$ נמצא על ציר ה-$x$, ולכן בנקודה הזאת $y=0$:

טעות נפוצה: לחלק את 15 ב-2 במקום לכפול (כאילו $x=\frac12\cdot15$) ולקבל $C(7.5,0)$.

השיפוע של $AC$ הוא $-\frac12$. $OB$ מאונך ל-$AC$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

$OB$ עובר בראשית הצירים $O(0,0)$, ולכן אין לו קבוע חופשי:

טעות נפוצה: לקחת רק את ההופכי של השיפוע בלי להפוך סימן, $m=-2$, ולקבל $y=-2x$.

$E$ נמצאת על שני האלכסונים, ולכן משווים את המשוואות שלהם:

מציבים במשוואת $OB$: $y=2\cdot6=12$.

טעות נפוצה: להעביר את $-\frac12x$ אגף בלי להפוך סימן, $2x-\frac12x=15$, ולקבל $x=10$ ו-$E(10,20)$.

$E$ היא אמצע הקטע $OB$, ו-$O(0,0)$. לפי נוסחת אמצע קטע:

טעות נפוצה: לחשב את אמצע הקטע $OE$ במקום את הקצה השני, ולקבל $(3,6)$.

$OA$ מונח על ציר ה-$y$, ולכן אורכו הוא הפרש שיעורי ה-$y$: $OA=15-0=15$.

את $AB$ מחשבים בנוסחת המרחק בין $A(0,15)$ ל-$B(12,24)$:

$OA=AB=15$, ולכן המשולש $OAB$ שווה שוקיים.

טעות נפוצה: לחבר את שיעורי ה-$y$ במקום לחסר, $(24+15)^2$, לקבל $AB=\sqrt{144+1521}\approx40.8$ ולהסיק שהמשולש אינו שווה שוקיים.

$OC$ מונח על ציר ה-$x$: $OC=30-0=30$.

$BC$ בנוסחת המרחק בין $B(12,24)$ ל-$C(30,0)$:

ההיקף הוא סכום ארבע הצלעות:

טעות נפוצה: לשכוח את הצלע $OC$ שעל ציר ה-$x$ (שלא חושבה בנוסחה) ולקבל היקף 60.

כל אילוץ הוא מכונה אחת: הזמן שהיא עובדת על שני סוגי האבקה יחד אינו עולה על הזמן המרבי שלה.

מכונה א': טונה ביתית לוקחת 6 שעות וטונה תעשייתית 4 שעות, ולכן $x$ טונות ביתית ו-$y$ טונות תעשייתית לוקחות $6x+4y$ שעות:

מכונה ב':

כמויות אינן שליליות: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לבנות כל אילוץ משורה של הטבלה (סוג אבקה) במקום מעמודה (מכונה), ולכתוב $6x+5y\le33$ ו-$4x+15y\le45$.

מסרטטים כל ישר לפי נקודות החיתוך שלו עם הצירים:

$6x+4y=33$: עם ציר ה-$x$ ב-$(5.5,0)$, עם ציר ה-$y$ ב-$(0,8.25)$.

$5x+15y=45$: עם ציר ה-$x$ ב-$(9,0)$, עם ציר ה-$y$ ב-$(0,3)$.

הנקודה $(0,0)$ מקיימת את שני האילוצים ($0\le33$, $0\le45$), ולכן התחום של כל אילוץ הוא מתחת לישר שלו. עם $x\ge0$, $y\ge0$ - ברביע הראשון.

בציר ה-$x$ מגביל הישר הראשון ($5.5<9$), ובציר ה-$y$ - הישר השני ($3<8.25$), ולכן שני הישרים נחתכים בתוך הרביע. נקודת החיתוך: מהמשוואה השנייה $x=9-3y$, ומציבים בראשונה:

התחום האפשרי הוא המרובע שקודקודיו $(0,0)$, $(5.5,0)$, $(4.5,1.5)$, $(0,3)$:

טעות נפוצה: לקחת בכל ציר את נקודת החיתוך הרחוקה, $(9,0)$ ו-$(0,8.25)$ - כך מתקבל תחום שבו אחת המכונות עובדת יותר מהמותר.

מכל טונה ביתית מרוויחים 8,000 שקלים ומכל טונה תעשייתית 10,000 שקלים. הרווח הכולל:

מחפשים את הערך המקסימלי.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $P=10000x+8000y$.

התחום סגור, ולכן הרווח המקסימלי מתקבל באחד הקודקודים. מציבים כל קודקוד בפונקציית המטרה:

הרווח המקסימלי, 51,000 שקלים, מתקבל ב-$(4.5,1.5)$: כדאי לייצר 4.5 טונות אבקה ביתית ו-1.5 טונות אבקה תעשייתית.

טעות נפוצה: לבחור את $(5.5,0)$ - "הכי הרבה טונות" - בלי להציב, ולקבל רווח של 44,000 בלבד.

מציבים בפונקציית המטרה $P=50000$ ו-$y=2$:

במחזור זה ייצרו 3.75 טונות של אבקה ביתית.

טעות נפוצה: להציב את ה-2 במקום $x$: $16000+10000y=50000$, ולענות 3.4 טונות.

108 גדול מהממוצע, ולכן הוא מימין לממוצע. צוברים את האחוזים מהזנב הימני עד שמגיעים ל-7%:

שלוש רצועות של חצי סטיית תקן מהקצה - כלומר 108 נמצא $1.5$ סטיות תקן מעל הממוצע:

טעות נפוצה: לספור את שלוש הרצועות כשלוש סטיות תקן שלמות, $90+3S=108$, ולקבל $S=6$.

הספרים שמושאלים לשבוע הם 31% מהספרים עם הכי מעט עמודים - הזנב השמאלי. צוברים משמאל:

חמש רצועות מהקצה השמאלי מגיעות לשנתה $\bar x-0.5S$:

ספר שמושאל לשבוע אחד בלבד יש בו לכל היותר 84 עמודים.

טעות נפוצה: לצבור את 31% מהזנב הימני (הספרים הארוכים) ולענות $90+0.5\cdot12=96$ עמודים.

ממקמים את 66 בסטיות תקן: $\frac{66-90}{12}=-2$, כלומר 66 הוא $\bar x-2S$.

מתחת ל-$\bar x-2S$ יש שתי רצועות:

טעות נפוצה: לקחת רק את הרצועה שצמודה לשנתה, 1.5%, ולשכוח את 0.5% שבקצה.

לפי ג(1), ל-2% מהספרים יש פחות מ-66 עמודים:

טעות נפוצה: להמיר 2% ל-0.2 במקום ל-0.02, ולקבל $0.2\cdot800=160$ ספרים.

מחשבים את ציון התקן של ספר בן 85 עמודים:

$-0.42<-0.25$ (רחוק יותר משמאל לאפס), ולכן ספר כזה מקיים את התנאי - ייתכן שהספרנית הוציאה אותו.

דרך אחרת: ציון תקן $-0.25$ מתאים ל-$90-0.25\cdot12=87$ עמודים, והספרנית הוציאה רק ספרים עם פחות מ-87 עמודים; $85<87$.

טעות נפוצה: להשוות ערכים מוחלטים - "$0.42>0.25$, ולכן ציון התקן גדול מ-$-0.25$" - ולענות שלא ייתכן.

$D$ נמצאת על המסלול מעל ראשית הצירים, כלומר ב-$x=0$. מציבים בפונקציה:

גובה עמוד התמיכה הוא 6 מטרים.

טעות נפוצה: לבלבל בין החיתוך עם ציר ה-$y$ לחיתוך עם ציר ה-$x$ - לפתור $-x^2+5x+6=0$, לקבל $x=-1$ ולענות שגובה העמוד 1 מטר.

$A$ ו-$B$ הן נקודות החיתוך של המסלול עם הקרקע (ציר ה-$x$), ולכן $y=0$:

בנוסחת השורשים, עם $a=-1$, $b=5$, $c=6$:

$x=-1$ או $x=6$. לפי הסרטוט $A(-1,0)$ משמאל לראשית ו-$B(6,0)$ מימין לה.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בדיסקרימיננטה, $25-24=1$, לקבל $x=2$ ו-$x=3$ ולענות $AB=1$.

המקדם של $x^2$ שלילי, ולכן הפרבולה "בוכה" והקדקוד הוא נקודת המקסימום:

הגובה המקסימלי של המסלול הוא 12.25 מטרים (במרחק 2.5 מטרים מעמוד התמיכה).

טעות נפוצה: לחשב $-(2.5)^2$ כ-$+6.25$ ולקבל גובה של 24.75 מטרים.

פרבולת מקסימום עולה משמאל לקדקוד ויורדת מימינו, כלומר יורדת עבור $x>2.5$.

אבל המסלול מסתיים ב-$B$, שבה $x=6$, ולכן דורון במגמת ירידה עבור $2.5<x<6$.

טעות נפוצה: לענות $x>2.5$ בלי להגביל לסוף המסלול - מימין ל-$B$ אין מסלול (הפונקציה שלילית שם).

העמוד הנוסף מגיע לגובה 6, כמו $OD$. מחפשים נקודה נוספת על המסלול בגובה 6:

$x=0$ (העמוד $OD$) או $x=5$ - העמוד הנוסף.

דרך אחרת: הנקודה הסימטרית ל-$D$ ביחס לציר הסימטריה $x=2.5$ נמצאת ב-$x=2\cdot2.5-0=5$.

המרחק בין העמודים: 5 מטרים.

טעות נפוצה: לענות 2.5 מטרים - זה המרחק מעמוד הבטון לציר הסימטריה, ולא לעמוד הנוסף.

נפח תיבה הוא מכפלת שלושת הממדים:

נפח התבנית 1,920 סמ"ק.

טעות נפוצה: לחשב רק את שטח הבסיס, $24\cdot20=480$, ולשכוח את הגובה.

מספר הקוביות לאורך כל ממד:

לאורך: $24:4=6$, לרוחב: $20:4=5$, לגובה: $4:4=1$ (שכבה אחת).

דרך אחרת: נפח קובייה $4^3=64$, ו-$1920:64=30$.

טעות נפוצה: לחלק את נפח העוגה בשטח פאה של קובייה ($4^2=16$) במקום בנפח הקובייה, ולקבל 120 קוביות.

בכל קובייה ציפתה ליאת 5 פאות (הפאה העליונה וארבע הצדדיות - בלי הפאה התחתונה). שטח כל פאה $4\cdot4=16$ סמ"ר:

ב-30 קוביות:

השטח הכולל שצופה בשוקולד: 2,400 סמ"ר.

טעות נפוצה: לחשב את שטח הפנים המלא של כל קובייה (6 פאות) ולקבל 2,880 סמ"ר.

היקף מעגל הוא $2\pi r$:

הרדיוס 1.5 ס"מ.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-2 בנוסחת ההיקף ($\pi r=3\pi$) ולקבל $r=3$ ס"מ.

נפח חרוט אחד:

על כל אחת מ-30 הקוביות יש חרוט אחד:

נפח הקצפת הדרוש: כ-141.4 סמ"ק.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-3 (נפח גליל במקום חרוט) ולקבל $135\pi\approx424.1$ סמ"ק.

בתרשים מספרים רשום בכל משבצת מספר הקוביות שמונחות בה זו על זו. השורה העליונה של התרשים היא השורה האחורית (הרחוקה מהחץ), והיא השורה שמולאה: $2,2,1$ (משמאל לימין).

קוראים בסרטוט את גובה העמודות בשורה האחורית של כל מבנה:

מבנה א': משמאל עמודה של 2 קוביות, באמצע העמודה הגבוהה - 3 קוביות, ומימין קובייה אחת. השורה האחורית: $2,3,1$ - לא מתאים.

מבנה ב': משמאל 2, באמצע 2 ומימין 1. השורה האחורית: $2,2,1$ - מתאים.

תרשים המספרים מתאים למבנה ב'.

טעות נפוצה: לקרוא את השורה העליונה של התרשים כשורה הקדמית; השורה הקדמית של מבנה א' היא $2,0,0$ ושל מבנה ב' $3,0,0$, ואז נראה שהתרשים לא מתאים לאף מבנה.

קוראים בסרטוט של מבנה ב' את הגובה של כל עמודה, שורה אחר שורה. כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת, ולכן מתחת לפאה עליונה שנמצאת בגובה 2 יש עמודה של 2 קוביות, גם כשהקובייה התחתונה מוסתרת.

השורה הקדמית (הקרובה לחץ): משמאל עמודה של 3 קוביות, ובשתי המשבצות האחרות רואים את המשטח: $3,0,0$.

השורה השנייה מלפנים: משמאל עמודה של 2 קוביות (מוסתרת בחלקה מאחורי העמודה של 3), באמצע קובייה אחת, ומימין רואים את המשטח: $2,1,0$.

השורה השלישית מלפנים: משמאל 2, באמצע 1 ומימין 1: $2,1,1$.

השורה האחורית (נתונה): $2,2,1$.

בדיקה: סך הכול $5+4+3+3=15$ קוביות.

טעות נפוצה: לא לזהות את העמודה השמאלית בשורה השנייה מלפנים, שמוסתרת בחלקה מאחורי העמודה של 3 הקוביות, ולרשום בשורה הזו $0,1,0$ - כך יוצא תרשים של 13 קוביות במקום 15.

מלמעלה רואים כל משבצת שיש בה לפחות קובייה אחת, בלי קשר לגובה. במבנה א' כל המשבצות תפוסות, חוץ מהמשבצת האמצעית והמשבצת הימנית בשורה הקדמית (שם רואים בסרטוט את המשטח):

טעות נפוצה: לסמן רק את המשבצות שיש בהן עמודה של יותר מקובייה אחת - במבט מלמעלה רואים גם עמודות בגובה קובייה אחת.

מספר הקוביות הוא סכום המספרים בתרשים המספרים.

מבנה א' - הגבהים לפי הסרטוט, מהשורה האחורית לקדמית: $2,3,1$ / $2,1,1$ / $2,1,1$ / $2,0,0$. סך הכול $6+4+4+2=16$ (כולל הקוביות המוסתרות שמתחת לקיר בגובה 2 ומתחת לעמודה הגבוהה).

מבנה ב' - סכום התרשים מתת-סעיף א(2): $5+4+3+3=15$.

$16-15=1$: במבנה א' יש קובייה אחת יותר.

טעות נפוצה: לספור במבנה א' רק את הקוביות שרואים בסרטוט (12), בלי ארבע הקוביות המוסתרות, ולהשוות ל-15 הקוביות של מבנה ב' מתת-סעיף א(2) - ואז נראה שדווקא במבנה ב' יש 3 קוביות יותר.

היגד 1: במבנה א' יש קובייה במשבצת הימנית של השורה השנייה מלפנים, ובמבנה ב' רואים במשבצת הזו את המשטח. המבטים מלמעלה שונים - ההיגד לא נכון.

היגד 2: במבט מהצד רואים לכל שורת עומק את הגובה המרבי בשורה.

גבהים מרביים בשורות (מלפנים לאחור): מבנה א' - $2,2,2,3$; מבנה ב' - $3,2,2,2$.

מי שעומד מימין למבנה ומסתכל עליו רואה את השורה הקדמית בצד שמאל שלו. לכן המבט מימין של מבנה א' הוא עמודות בגובה $2,2,2,3$ (משמאל לימין).

מי שעומד משמאל למבנה רואה את השורה האחורית בצד שמאל שלו. לכן המבט משמאל של מבנה ב' הוא עמודות בגובה $2,2,2,3$ (משמאל לימין) - תמונת ראי של רשימת השורות.

שני המבטים זהים, ולכן ההיגד "שונה" לא נכון.

טעות נפוצה: לרשום את המבט משמאל של מבנה ב' באותו סדר כמו מבט מימין ($3,2,2,2$), ולקבוע שהיגד 2 נכון.