בגרות במתמטיקה 372 - קיץ 2025 מועד א'

מספר הפריטים לא יכול להיות שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$.

מספר הפריטים במארז הוא $x+y$, ויש לכל היותר 20 פריטים:

המשקל של $x$ חפיסות הוא $150x$ גרם, והמשקל של $y$ חטיפים הוא $50y$ גרם. המשקל הכולל הוא לכל היותר 1,500 גרם:

טעות נפוצה: להחליף בין המשקלים ולכתוב $50x+150y\le1500$ - אבל $x$ הוא מספר חפיסות השוקולד, וכל חפיסה שוקלת 150 גרם.

$A$ ו-$B$ הם הקדקודים של התחום על הצירים, ו-$C$ היא נקודת החיתוך של שני הישרים.

חיתוכי הישר $x+y=20$ עם הצירים: $(0,20)$ ו-$(20,0)$.

חיתוכי הישר $150x+50y=1500$ עם הצירים: $(0,30)$ ו-$(10,0)$.

כל נקודה בתחום מקיימת את שני האילוצים, ולכן על ציר ה-$y$ התחום נגמר בנקודה הנמוכה מבין $(0,20)$ ו-$(0,30)$: $A(0,20)$. על ציר ה-$x$ הוא נגמר בנקודה הקרובה לראשית מבין $(20,0)$ ו-$(10,0)$: $B(10,0)$.

$C$: פותרים את מערכת המשוואות של שני הישרים. מחלקים את המשוואה השנייה ב-50:

מחסרים את המשוואה הראשונה מהשנייה: $2x=10$, ולכן $x=5$ ו-$y=20-5=15$. כלומר $C(5,15)$.

טעות נפוצה: לקחת את $A$ מהישר של המשקל, $A(0,30)$ - אבל הנקודה $(0,30)$ לא מקיימת $x+y\le20$, ולכן היא מחוץ לתחום.

הרווח מ-$x$ חפיסות הוא $4x$ שקלים, והרווח מ-$y$ חטיפים הוא $3y$ שקלים. הרווח הכולל ממארז:

מחפשים את הערך המקסימלי של $f$ (רווח מרבי).

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $f=3x+4y$ - המקדם של $x$ (מספר החפיסות) הוא הרווח מחפיסה אחת, 4 שקלים.

התחום האפשרי סגור, ולכן הרווח המקסימלי מתקבל באחד הקדקודים. מציבים את הקדקודים בפונקציית המטרה:

$O(0,0)$: $f=0$

$A(0,20)$: $f=4\cdot0+3\cdot20=60$

$B(10,0)$: $f=4\cdot10+3\cdot0=40$

$C(5,15)$: $f=4\cdot5+3\cdot15=65$

הערך הגדול ביותר מתקבל ב-$C$: 5 חפיסות שוקולד ו-15 חטיפים.

טעות נפוצה: להניח שכדאי לשים כמה שיותר חפיסות שוקולד, כי הרווח מחפיסה גדול יותר, ולבחור ב-$B$: 10 חפיסות ו-0 חטיפים - אבל שם הרווח הוא רק 40 שקלים.

מציבים את $C(5,15)$ בפונקציית המטרה:

הרווח המקסימלי ממארז אחד הוא 65 שקלים.

טעות נפוצה: להציב בפונקציה עם מקדמים מוחלפים: $3\cdot5+4\cdot15=75$, ולענות 75 שקלים.

בודקים אם הנקודה $(9,4)$ מקיימת את כל האילוצים:

$9\ge0$ ו-$4\ge0$ - מתקיים.

$9+4=13\le20$ - מתקיים.

$150\cdot9+50\cdot4=1350+200=1550>1500$ - לא מתקיים.

מארז כזה שוקל 1,550 גרם, יותר מהמותר, ולכן לא ייתכן מארז כזה (הנקודה מחוץ לתחום האפשרי).

טעות נפוצה: לבדוק רק את מספר הפריטים ($13\le20$) ולענות שכן ייתכן - נקודה בתחום האפשרי צריכה לקיים את כל האילוצים.

$E$ היא אמצע $AB$, ולכן כל שיעור של $E$ הוא הממוצע של השיעורים המתאימים של $A$ ו-$B$:

לכן $B(10,18)$.

טעות נפוצה: להתייחס ל-$E$ כאל קצה ולחשב את האמצע של $A$ ו-$E$: $\left(\frac{-2+4}{2},\frac{0+9}{2}\right)=(1,4.5)$ - אבל $E$ היא האמצע, ו-$B$ הוא הקצה.

(אפשר גם בעזרת $A$ ו-$E$: $\frac{9-0}{4-(-2)}=\frac{9}{6}=1.5$.)

טעות נפוצה: לחלק את הפרש ה-$x$ בהפרש ה-$y$: $\frac{12}{18}=\frac23$ - השיפוע הוא הפרש ה-$y$ חלקי הפרש ה-$x$.

$AC\perp AB$ (הזווית $BAC$ ישרה), ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

הישר עובר דרך $A(-2,0)$:

טעות נפוצה: להפוך רק את הסימן של השיפוע, $m_{AC}=-1.5$, ולקבל $y=-1.5x-3$ - שיפוע של ישר מאונך הוא ההופכי והנגדי.

$BC$ מקבילה לציר ה-$x$, ולכן ל-$C$ יש אותו שיעור $y$ כמו ל-$B$: $y_C=18$.

$C$ נמצא על הישר $AC$. מציבים $y=18$:

לכן $C(-29,18)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בהעברת אגפים, $-\frac23x=18-\frac43=\frac{50}{3}$, ולקבל $x=-25$, כלומר $C(-25,18)$.

מחשבים את אורכי הצלעות שיוצאות מ-$D$ בנוסחת המרחק:

$D$ ו-$B$ על אותו ישר אנכי ($x=10$), ולכן $DB=18-5=13$.

$AD=DB=13$, ולכן המשולש $ADB$ שווה שוקיים.

טעות נפוצה: לחשב את הפרש ה-$x$ בין $D$ ל-$A$ כ-$10-2=8$ (לשכוח שהשיעור של $A$ שלילי), לקבל $AD=\sqrt{8^2+5^2}\approx9.43$, ולהסיק שהמשולש אינו שווה שוקיים.

צלעות המרובע הן $AD$, $DB$, $BC$, $CA$.

$AD=DB=13$ (סעיף ד).

$BC$ מקבילה לציר ה-$x$: $BC=10-(-29)=39$.

טעות נפוצה: לחשב את $BC$ כ-$10-29=-19$ ולקחת את האורך 19 (לשכוח שהשיעור של $C$ שלילי), ולקבל היקף של כ-$77.45$.

צוברים את האחוזים בגרף משמאל, עד שמגיעים ל-$93\%$:

הצבירה נעצרת אחרי שלושה מלבנים מימין לממוצע, כלומר הציון 84 נמצא שלוש חצאי סטיות תקן מעל הממוצע: $84=\bar x+1.5S$.

טעות נפוצה: להוסיף במקום לחסר: $\bar x=84+12=96$ - אבל 84 גבוה מהממוצע (רוב התלמידים מתחתיו), ולכן הממוצע קטן מ-84.

הממוצע 72 נמצא במרכז, וכל שנתה היא חצי סטיית תקן: $\frac{8}{2}=4$ נקודות.

משמאל לימין: $72-5\cdot4=52$, ואז 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92.

טעות נפוצה: לקפוץ בסטיית תקן שלמה (8) בין שנתות סמוכות ולכתוב $32, 40, \dots, 112$ - אבל בגרף של דף הנוסחאות כל רצועה היא חצי סטיית תקן.

הציון 80 הוא $72+8$, כלומר סטיית תקן אחת מעל הממוצע. סוכמים את הרצועות שמימין ל-80:

טעות נפוצה: לסכום את הרצועות שמשמאל ל-80 ולענות $84\%$ - זה אחוז התלמידים שציונם נמוך מ-80.

32 התלמידים שציונם גבוה מ-80 הם $16\%$ מכלל הנבחנים (סעיף ב). נסמן ב-$n$ את מספר הנבחנים:

טעות נפוצה: לחלק באחוז המשלים, $\frac{32}{0.84}\approx38$ - אבל 32 התלמידים הם אלה שמעל 80, כלומר ה-$16\%$.

ציון התקן: $z=\frac{x-\bar x}{S}$. מציבים ומבודדים את $x$:

טעות נפוצה: לכפול את ציון התקן בסטיית התקן ולשכוח להוסיף את הממוצע: $1.75\cdot8=14$ - זה רק המרחק של הציון מהממוצע.

בנקודת הזריקה המרחק האופקי הוא 0, ולכן מציבים $x=0$:

נועה זרקה את הכדור מגובה 2 מטרים.

טעות נפוצה: להציב $y=0$ במקום $x=0$ ולפתור $-0.5x^2+2x+2=0$, ולקבל $x\approx4.83$ - זו נקודה שבה הכדור היה פוגע בקרקע, לא גובה הזריקה.

הגובה המקסימלי הוא בקדקוד הפרבולה ($a=-0.5<0$, פרבולה "עצובה"):

הגובה המקסימלי הוא 4 מטרים.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע גם את המקדם: $(-0.5\cdot2)^2+4+2=7$ - בביטוי $-0.5x^2$ רק $x$ מועלה בריבוע.

הפרבולה "עצובה", ולכן היא עולה משמאל לקדקוד ($x<2$) ויורדת מימינו.

המסלול מתחיל בנקודת הזריקה, $x=0$, ולכן הכדור עלה בתחום $0<x<2$.

טעות נפוצה: לענות $x<2$ - אבל ערכים שליליים של $x$ אינם חלק מהמסלול, כי הכדור יצא מ-$x=0$.

מציבים $y=3.02$:

$x_1=3.4$ או $x_2=0.6$.

בגובה 3.02 הכדור היה פעמיים: פעם בעלייה ($x=0.6$) ופעם בירידה ($x=3.4$). לפי הסרטוט הכדור הגיע לסל בירידה, אחרי הקדקוד ($x>2$), ולכן $x=3.4$.

טעות נפוצה: לבחור את הפתרון $x=0.6$ - בנקודה הזאת הכדור עוד עולה, והסל בסרטוט נמצא אחרי השיא.

תרשים המספרים הוא המבט מלמעלה: כל משבצת היא מקום על המשטח, ורושמים בה כמה קוביות יש בעמודה שעומדת עליה. השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקדמית (הקרובה לחץ).

השורה הקדמית: בפינה השמאלית קובייה אחת, ושני המקומות שמימינה ריקים (רואים בהם את המשטח) - 1, 0, 0.

השורה השלישית מאחור: שלוש קוביות בודדות - 1, 1, 1.

השורה השנייה מאחור: מגדל של 3 קוביות באמצע, ולצדו קובייה אחת מכל צד - 1, 3, 1.

השורה האחורית: מגדל של 3 משמאל, עמודה של 2 באמצע וקובייה אחת מימין - 3, 2, 1. (הקוביות התחתונות של המגדלים מוסתרות, אבל כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת, ולכן מתחת לקובייה העליונה יש עמודה מלאה.)

טעות נפוצה: לרשום את התרשים הפוך - השורה הקדמית (1, 0, 0) בראש התרשים - כאילו מסתכלים מאחור. בתרשים המספרים החזית היא השורה התחתונה.

במבט מימין עומדים מימין למבנה ומסתכלים שמאלה: השורה הקדמית נראית בצד שמאל של המבט, והשורה האחורית בצד ימין. בכל שורה רואים את העמודה הגבוהה ביותר.

מהשורה הקדמית לאחורית: $\max(1,0,0)=1$, $\max(1,1,1)=1$, $\max(1,3,1)=3$, $\max(3,2,1)=3$.

מבט מימין (משמאל לימין): 1, 1, 3, 3.

המבט משמאל הוא תמונת ראי שלו: השורה האחורית משמאל - 3, 3, 1, 1.

טעות נפוצה: לסרטט את המבט מימין כשהשורה האחורית בצד שמאל (3, 3, 1, 1) - זה המבט משמאל. כשעומדים מימין למבנה, החזית נמצאת משמאל.

המבט מלמעלה מראה אילו מקומות על המשטח תפוסים. כדי שהוא לא ישתנה, בכל מקום תפוס צריכה להישאר לפחות קובייה אחת, והיא חייבת להיות מונחת על המשטח.

לכן המבנה המינימלי הוא קובייה אחת בכל אחד מ-10 המקומות התפוסים (המשבצות שאינן 0 בתרשים).

במבנה יש $3+2+1+1+3+1+1+1+1+1=15$ קוביות, ולכן הורידו $15-10=5$ קוביות.

טעות נפוצה: לספור את כל 12 המשבצות של התבנית, כולל שתי הריקות, ולהוריד $15-12=3$ קוביות - במקום ריק לא צריך להשאיר קובייה.

נשארה קובייה אחת בכל מקום תפוס: 10 קוביות ($15-5=10$).

טעות נפוצה: להשאיר קובייה גם בשתי המשבצות הריקות, כאילו כל 12 המשבצות של התבנית צריכות להישאר מלאות, ולענות 12 - במקום ריק לא מוסיפים קובייה, ולכן נשארות 10.

נפח תיבה = שטח הבסיס $\cdot$ גובה. הבסיס ריבוע שצלעו 75 ס"מ:

נפח המקרר הוא 1,012,500 סמ"ק.

טעות נפוצה: לכפול את צלע הבסיס בגובה פעם אחת בלבד, $75\cdot180=13{,}500$ - זה שטח של פאה צדדית, לא נפח.

$15\%$ מגובה המקרר:

טעות נפוצה: לחלק את הגובה ב-15 במקום לחשב $15\%$ ממנו: $\frac{180}{15}=12$ ס"מ.

נפח גליל: $V=\pi r^2h$. מציבים $r=10$ ו-$V=1400\pi$:

טעות נפוצה: לשכוח להעלות את הרדיוס בריבוע: $10h=1400$, $h=140$ ס"מ.

שטח המעטפת של גליל: $M=2\pi rh$. מציבים $r=12$ ו-$M=672\pi$:

גובה הסיר, 28 ס"מ, גדול מהגובה שבין שני מדפים סמוכים, 27 ס"מ (סעיף ב). לכן אי אפשר להכניס את סיר ב' בין שני המדפים.

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת הנפח במקום בנוסחת המעטפת: $144h=672$, $h\approx4.67$ - ולקבוע שהסיר נכנס.