בגרות במתמטיקה 372 - קיץ 2025 מועד ב'

כמויות הסלטים אינן שליליות: $x\ge0$, $y\ge0$.

מכונת הקיצוץ: כל קילוגרם סלט גזר דורש 6 דקות קיצוץ, ולכן $x$ ק"ג דורשים $6x$ דקות; כל קילוגרם סלט כרוב דורש 3 דקות, ולכן $y$ ק"ג דורשים $3y$ דקות. סך זמן הקיצוץ הוא לכל היותר 42 דקות:

מכונת הערבוב: באותו אופן, $2x$ דקות לסלט הגזר ו-$4y$ דקות לסלט הכרוב, לכל היותר 35 דקות:

טעות נפוצה: לקרוא את הטבלה לפי השורות של הסלטים במקום לפי העמודות של המכונות ולכתוב $6x+2y\le42$ ו-$3x+4y\le35$ - כל אילוץ שייך למכונה אחת, ולכן המקדמים שלו הם הזמנים שבעמודה של אותה מכונה.

מסרטטים כל ישר אילוץ לפי נקודות החיתוך שלו עם הצירים:

$6x+3y=42$: בהצבת $x=0$ מקבלים $y=14$, ובהצבת $y=0$ מקבלים $x=7$. הישר עובר דרך $(0,14)$ ו-$(7,0)$.

$2x+4y=35$: בהצבת $x=0$ מקבלים $y=8.75$, ובהצבת $y=0$ מקבלים $x=17.5$. הישר עובר דרך $(0,8.75)$ ו-$(17.5,0)$.

הנקודה $(0,0)$ מקיימת את שני האי-שוויונות ($0\le42$, $0\le35$), ולכן התחום של כל אילוץ הוא מתחת לישר שלו (בצד של הראשית).

התחום האפשרי הוא החלק המשותף לשני התחומים ברביע הראשון ($x\ge0$, $y\ge0$): מרובע שקדקודיו $(0,0)$, $(7,0)$, נקודת החיתוך של שני הישרים, ו-$(0,8.75)$.

טעות נפוצה: לסמן את האיחוד של שני התחומים במקום את החלק המשותף, כלומר את המרובע $(0,0)$, $(17.5,0)$, $(3.5,7)$, $(0,14)$ - אבל בתחום האפשרי כל נקודה צריכה לקיים את שני האילוצים יחד.

הרווח מ-$x$ ק"ג סלט גזר הוא $26x$ שקלים, והרווח מ-$y$ ק"ג סלט כרוב הוא $30y$ שקלים.

פונקציית המטרה היא הרווח הכולל, ומחפשים את הערך המקסימלי שלה:

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $f(x,y)=30x+26y$ - המקדם של $x$ הוא הרווח מקילוגרם סלט גזר, כי $x$ מסמן את כמות סלט הגזר.

הפתרון האופטימלי נמצא באחד מקדקודי התחום האפשרי. נמצא את הקדקוד שבו נחתכים שני הישרים:

מהמשוואה הראשונה: $y=14-2x$. מציבים בשנייה:

מציבים את הקדקודים בפונקציית המטרה:

$f(0,0)=0$

$f(7,0)=26\cdot7=182$

$f(3.5,7)=26\cdot3.5+30\cdot7=91+210=301$

$f(0,8.75)=30\cdot8.75=262.5$

הערך הגדול ביותר הוא 301, בקדקוד $(3.5,7)$: צריך לייצר 3.5 ק"ג סלט גזר ו-7 ק"ג סלט כרוב.

טעות נפוצה: להחליט בלי הצבה בקדקודים שכדאי לייצר רק סלט כרוב, כי הרווח מקילוגרם שלו גבוה יותר - ולענות 8.75 ק"ג סלט כרוב בלבד. הרווח שם הוא רק 262.5 שקלים, פחות מ-301.

$A$ נמצא על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$. מציבים במשוואת $AB$:

לכן $A(0,24)$.

טעות נפוצה: להציב $y=0$ במקום $x=0$ ולקבל $A(30,0)$ - זו נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה-$x$, ולא עם ציר ה-$y$.

$\angle ABC=90^\circ$, ולכן $BC\perp AB$. מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$:

$C(0,-17)$ נמצא על ציר ה-$y$, ולכן $-17$ הוא נקודת החיתוך של $BC$ עם ציר ה-$y$:

טעות נפוצה: להפוך את השבר בלי להחליף סימן ולקבל $m_{BC}=-\frac54$, כלומר $y=-\frac54x-17$ - מכפלת השיפועים אז היא $1$, לא $-1$.

$B$ הוא נקודת החיתוך של $AB$ ו-$BC$. משווים:

לכן $B(20,8)$.

טעות נפוצה: בהעברת אגפים לחסר את השיפועים במקום לחבר אותם: $41=\left(\frac54-\frac45\right)x=\frac{9}{20}x$, ולקבל $x\approx91.1$.

אמצע קטע - ממוצע השיעורים של הקצוות $A(0,24)$ ו-$B(20,8)$:

לכן $E(10,16)$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 את אחד השיעורים, למשל לכתוב $x_E=0+20=20$, ולקבל $(20,16)$ - נקודה שאינה על הצלע $AB$ (בהצבה במשוואת $AB$: $-\frac45\cdot20+24=8\ne16$).

$K$ נמצאת על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$. מציבים במשוואת $BC$:

לכן $K(13.6,0)$.

טעות נפוצה: לכפול ב-$\frac54$ במקום לחלק בו: $x=17\cdot\frac54=21.25$.

$E$ על הצלע $AB$ ו-$K$ על הצלע $BC$, ו-$\angle ABC=90^\circ$. לכן המשולש $EBK$ ישר זווית ב-$B$, והניצבים שלו הם $EB$ ו-$BK$.

לפי נוסחת המרחק:

טעות נפוצה: לקחת את כל הצלע $AB$ כניצב במקום $EB$: $\frac{\sqrt{656}\cdot\sqrt{104.96}}{2}=131.2$ - זה שטח המשולש $ABK$, כפול משטח המשולש $EBK$.

לפי גרף ההתפלגות הנורמלית, מצטברים משמאל: $0.5\%+1.5\%+5\%+9\%=16\%$. לכן $16\%$ מהתוצאות נמוכות מהשנתה שנמצאת סטיית תקן אחת מתחת לממוצע:

התוצאה הממוצעת היא 1.4 מטר.

טעות נפוצה: לחסר את סטיית התקן במקום להוסיף אותה, $\bar x=1.2-0.2=1.0$ - אבל 1.2 נמצא מתחת לממוצע (רק $16\%$ נמוכים ממנו), ולכן הממוצע גדול מ-1.2.

השנתות בגרף מסומנות כל חצי סטיית תקן, כלומר כל $0.1$ מטר. במלבן האמצעי - הממוצע $1.4$.

מימין לממוצע מוסיפים כל פעם $0.1$: $1.5$, $1.6$, $1.7$, $1.8$, $1.9$.

משמאל לממוצע מחסירים כל פעם $0.1$: $1.3$, $1.2$, $1.1$, $1$, $0.9$.

בדיקה: לפי סעיף א(1), $1.2$ נמצא סטיית תקן אחת (שתי שנתות) מתחת לממוצע, ומשמאלו $16\%$.

טעות נפוצה: להתקדם בסטיית תקן שלמה בין שנתות סמוכות ($0.2$ במקום $0.1$), ולרשום $0.4, 0.6, \dots, 2.4$ - אבל בגרף של דף הנוסחאות כל רצועה היא חצי סטיית תקן.

$1.5=1.4+0.1$, כלומר חצי סטיית תקן מעל הממוצע. מסכמים את הרצועות שמימין לשנתה $1.5$:

טעות נפוצה: לסכם את הרצועות שמשמאל ל-$1.5$ ולקבל $69\%$ - זה אחוז המשתתפים שתוצאתם נמוכה מ-$1.5$.

לפי סעיף ב, $31\%$ מהמשתתפים הם אלה שתוצאתם גבוהה מ-$1.5$ מטר, ויש 62 כאלה. נסמן ב-$n$ את מספר המשתתפים:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $62\cdot0.31\approx19$ - זה $31\%$ מ-62, ולא מספר המשתתפים שמתוכם 62 הם $31\%$.

מצטברים מימין: $0.5\%+1.5\%=2\%$. לכן $2\%$ מהמשתתפים השיגו תוצאה גבוהה מהשנתה שנמצאת שתי סטיות תקן מעל הממוצע:

מדליה קיבלו מי שהשיגו יותר מ-$1.8$ מטר. התוצאה של דני, $1.73$ מטר, נמוכה מ-$1.8$, ולכן דני לא קיבל מדליה.

(גם בציון תקן: $z=\frac{1.73-1.4}{0.2}=1.65<2$.)

טעות נפוצה: לעצור רצועה אחת מוקדם מדי ולקחת את הגבול $1.7$ (שמעליו $7\%$), ולהסיק שדני קיבל מדליה.

התוצאה של אריאל לפי ציון התקן שלו:

$1.88>1.73$, ולכן אריאל השיג תוצאה גבוהה יותר.

(אפשר גם להשוות ציוני תקן: לדני $z=1.65$ ולאריאל $z=2.4$, והסטייה והממוצע משותפים.)

טעות נפוצה: להכפיל את ציון התקן בחצי סטיית תקן (כמו המרווח בין השנתות בגרף), $1.4+2.4\cdot0.1=1.64$, ולהסיק שדני השיג תוצאה גבוהה יותר.

$O$ ו-$B$ הן נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-$x$ (גובה 0, פני המים). מציבים $y=0$:

לפי הסרטוט $O$ היא הראשית ו-$B$ מימין: $O(0,0)$, $B(8,0)$.

טעות נפוצה: בפתרון $-0.1x+0.8=0$ לשכוח שהמקדם שלילי ולקבל $x=-8$, כלומר $B(-8,0)$ - אבל לפי הסרטוט $B$ מימין לראשית.

המקדם של $x^2$ שלילי, ולכן לפרבולה יש נקודת מקסימום - הקדקוד:

הגובה המקסימלי של הגשר הוא 1.6 מטרים (באמצע הגשר, 4 מטרים מ-$O$).

טעות נפוצה: לענות 4 מטרים - זה שיעור ה-$x$ של הקדקוד (המרחק האופקי), ולא הגובה.

הפרבולה פתוחה כלפי מטה, ולכן היא עולה עד הקדקוד ($x=4$) ויורדת אחריו.

יוסי הולך מ-$O$ ($x=0$) ל-$B$ ($x=8$), ולכן הוא יורד כאשר $4<x<8$.

טעות נפוצה: לענות $0<x<4$ - זה החלק שבו הגשר עולה.

מציבים $y=1.2$:

במגמת ירידה $4<x<8$ (סעיף ג(1)), ולכן $x=6$.

טעות נפוצה: לבחור את הפתרון $x=2$ - בו יוסי עבר בגובה $1.2$ מטרים בדרך למעלה, במגמת עלייה.

במבט מלפנים רואים בכל עמודה (משמאל לימין) את הגובה הגדול ביותר מבין כל הקוביות שבעמודה הזאת, מהשורה הקדמית ועד האחורית.

עמודה 1: בשורה הקדמית 2 קוביות ובאחורית 2 - גובה 2.

עמודה 2: בכל השורות קובייה אחת - גובה 1.

עמודה 3: בשורה האחורית 3 קוביות - גובה 3 (הקוביות שלפניה נמוכות יותר ולא מסתירות אותה).

עמודה 4: בשורה הקדמית 2 קוביות ובאחורית 2 - גובה 2.

לכן המבט מלפנים: 2, 1, 3, 2.

טעות נפוצה: לסרטט רק את השורה הקדמית של המבנה, 2, 1, 1, 2, ולשכוח שהעמודה הגבוהה (3 קוביות) שבשורה האחורית נראית מעליה.

במבט מימין עומדים מימין למבנה ומסתכלים שמאלה. השורה הקדמית של המבנה נמצאת אז בצד שמאל של המבט, והאחורית בצד ימין.

בכל שורה (מלפנים לאחור) רואים את הגובה הגדול ביותר בה: השורה הקדמית - 2, האמצעית - 1, האחורית - 3.

לכן המבט מימין, משמאל לימין: 2, 1, 3.

טעות נפוצה: לסרטט את המבט מימין כתמונת ראי, עם השורה האחורית בצד שמאל: 3, 1, 2 - זה המבט משמאל.

כדי שהמבט מימין לא ישתנה, הגובה הגדול ביותר בכל שורה (מלפנים לאחור) צריך להישאר כפי שהוא: 2 בשורה הקדמית, 1 באמצעית ו-3 באחורית.

המספר הגדול ביותר של קוביות מתקבל כשכל משבצת בשורה מגיעה לגובה הזה:

שורה אחורית: $2,1,3,2\ \to\ 3,3,3,3$ - מוסיפים $1+2+0+1=4$.

שורה אמצעית: $1,1,1,1$ - כבר בגובה 1, לא מוסיפים.

שורה קדמית: $2,1,1,2\ \to\ 2,2,2,2$ - מוסיפים $0+1+1+0=2$.

סך הכול הוסיפו $4+0+2=6$ קוביות (במבנה היו 18 קוביות, ואחרי ההוספה 24).

טעות נפוצה: לענות 24 - זה מספר הקוביות במבנה אחרי ההוספה, ולא מספר הקוביות שהוסיפו.

תרשים מספרים הוא המבט מלמעלה, ובכל משבצת כתוב מספר הקוביות שעליה. השורה העליונה בתרשים היא השורה האחורית של המבנה.

לפי סעיף ג(1), אחרי ההוספה בכל משבצת של השורה האחורית 3 קוביות, באמצעית 1 ובקדמית 2.

טעות נפוצה: להפוך את סדר השורות ולכתוב את השורה הקדמית למעלה (2, 2, 2, 2 בשורה העליונה ו-3, 3, 3, 3 בתחתונה).

המבט משמאל הוא תמונת ראי של המבט מימין: אותם גבהים של השורות, בסדר הפוך. המבט מימין לא השתנה, ולכן גם המבט משמאל לא השתנה.

המבט מלפנים השתנה: לפני ההוספה 2, 1, 3, 2, ואחריה 3, 3, 3, 3. המבט מאחור הוא תמונת הראי שלו, ולכן גם הוא השתנה.

טעות נפוצה: לענות "המבט מלפנים" - אבל בעמודות 1, 2 ו-4 נוספו קוביות בשורה האחורית, והן מגביהות את העמודות במבט מלפנים ל-3.

המעטפת של תיבה היא ארבע הפאות הצדדיות (בלי הבסיס והמכסה). שתיים מהן מלבנים של $64\times84$ ושתיים של $62\times84$:

או בקיצור: היקף הבסיס כפול הגובה, $2(64+62)\cdot84=252\cdot84=21168$ סמ"ר.

טעות נפוצה: לחשב רק שתי פאות, $64\cdot84+62\cdot84=10584$ סמ"ר - לכל תיבה יש שתי פאות מכל סוג.

התוף הוא גליל שרדיוס בסיסו 28 ס"מ וגובהו 50 ס"מ:

נפח התוף הוא כ-$123{,}150.4$ סמ"ק.

טעות נפוצה: להציב את הקוטר (56 ס"מ) במקום הרדיוס ולקבל $\pi\cdot56^2\cdot50\approx492{,}601.7$ סמ"ק - פי 4 מהנפח האמיתי.

נפח התוף (סעיף ב) הוא כ-$123{,}150$ סמ"ק.

$100{,}000<123{,}150<130{,}000$, ולכן לפי השורה האחרונה בטבלה אפשר לכבס בהפעלה אחת עד 9 ק"ג.

טעות נפוצה: להשתמש בשטח המעטפת מסעיף א (21,168) במקום בנפח התוף, ולקבל מהשורה הראשונה 5 ק"ג.

גובה התוף של אייל: $50-12=38$ ס"מ, והרדיוס 28 ס"מ:

$60{,}000<93{,}594<100{,}000$, ולכן לפי הטבלה אפשר לכבס בהפעלה אחת עד 7 ק"ג.

טעות נפוצה: לשכוח את $\pi$ ולקבל נפח $28^2\cdot38=29{,}792$ סמ"ק, ולכן 5 ק"ג.