בגרות במתמטיקה 372 - חורף 2026

$x$ ו-$y$ הם מספרי עוגות, ולכן הם אינם שליליים: $x\ge0$, $y\ge0$.

מכונת התערובת: כל עוגה (משני הסוגים) דורשת 4 דקות, ואפשר להפעיל את המכונה 48 דקות לכל היותר:

תנור האפייה: עוגת שוקולד דורשת 20 דקות ועוגת גבינה 60 דקות, ואפשר להפעיל את התנור 360 דקות לכל היותר:

טעות נפוצה: לשייך את זמן האפייה של עוגת הגבינה ל-$x$ ולכתוב $60x+20y\le360$ - אבל $x$ הוא מספר עוגות השוקולד, ואפייתן נמשכת 20 דקות.

מפשטים את האילוצים: $4x+4y\le48$ הוא $x+y\le12$, ו-$20x+60y\le360$ הוא $x+3y\le18$.

נקודות החיתוך עם הצירים: הישר $x+y=12$ חותך את הצירים ב-$(0,12)$ וב-$(12,0)$; הישר $x+3y=18$ חותך אותם ב-$(0,6)$ וב-$(18,0)$.

$A$ על ציר ה-$y$, והתחום האפשרי מסתיים בחיתוך הנמוך מבין השניים: $A(0,6)$ (הנקודה $(0,12)$ לא מקיימת את אילוץ התנור: $60\cdot12=720>360$).

$B$ על ציר ה-$x$, בחיתוך הקרוב מבין השניים: $B(12,0)$ (הנקודה $(18,0)$ לא מקיימת את אילוץ המכונה: $18>12$).

$C$ היא נקודת החיתוך של שני הישרים:

$C(9,3)$.

טעות נפוצה: לקחת את $A(0,12)$, נקודת החיתוך של ישר המכונה עם ציר ה-$y$ - אבל בנקודה זו זמן האפייה הוא $60\cdot12=720$ דקות, יותר מ-360.

כל עוגת שוקולד מכניסה 47 שקלים וכל עוגת גבינה 60 שקלים, ולכן הרווח הכולל הוא:

מחפשים את הרווח המקסימלי.

טעות נפוצה: להחליף בין הרווחים ולכתוב $f(x,y)=60x+47y$ - אבל $x$ הוא מספר עוגות השוקולד, שהרווח מכל אחת מהן הוא 47 שקלים.

התחום האפשרי סגור, ולכן הרווח המקסימלי מתקבל באחד הקדקודים. מציבים את הקדקודים בפונקציית המטרה:

$O(0,0)$: $f=0$

$A(0,6)$: $f=47\cdot0+60\cdot6=360$

$B(12,0)$: $f=47\cdot12+60\cdot0=564$

$C(9,3)$: $f=47\cdot9+60\cdot3=423+180=603$

הרווח המקסימלי, 603 שקלים, מתקבל ב-$C(9,3)$: 9 עוגות שוקולד ו-3 עוגות גבינה.

טעות נפוצה: לבחור בקדקוד $A$ כי הרווח מעוגת גבינה (60) גדול מהרווח מעוגת שוקולד (47), ולענות 0 עוגות שוקולד ו-6 עוגות גבינה - אבל הרווח שם הוא רק 360 שקלים.

הרווח במחזור שבו הייתה הפסקת החשמל:

הרווח המקסימלי במחזור רגיל (סעיף ג(2)) הוא 603 שקלים, ולכן הרווח קטן ב-

שקלים.

טעות נפוצה: להשוות לרווח בקדקוד $B$ (564 שקלים) במקום לרווח המקסימלי, ולקבל $564-543=21$ שקלים.

$A$ נמצא על ציר ה-$x$ ועל הצלע $AB$, ולכן מציבים $y=0$ במשוואת $AB$:

$A(10,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ולקבל $(0,5)$ - זו נקודת החיתוך של הישר $AB$ עם ציר ה-$y$, לא עם ציר ה-$x$.

$AD\perp AB$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

$AD$ עובר דרך $A(10,0)$:

טעות נפוצה: להחליף רק את הסימן של השיפוע ($m=\frac12$) ולקבל $y=\frac12x-5$ - ישר שאינו מאונך ל-$AB$ (מכפלת השיפועים $-\frac14$).

$D$ נמצא גם על הצלע $AD$ וגם על האלכסון $BD$, ולכן משווים את המשוואות:

$D(18,16)$.

טעות נפוצה: להשוות את $BD$ למשוואת $AB$ במקום ל-$AD$ ולקבל $(2,4)$ - זו נקודת החיתוך של $AB$ עם $BD$, כלומר הקודקוד $B$.

$CD$ מקבילה לציר ה-$x$, ולכן ל-$C$ ול-$D$ אותו שיעור $y$: $y_C=16$.

אורך הקטע הוא הפרש שיעורי ה-$x$, ולפי הסרטוט $C$ משמאל ל-$D$:

$C(14,16)$.

טעות נפוצה: לחבר 4 במקום לחסר ולקבל $C(22,16)$ - נקודה מימין ל-$D$, בניגוד לסרטוט.

$E$ אמצע $AD$, כש-$A(10,0)$ ו-$D(18,16)$:

אורכי הצלעות:

$CD=4$ (נתון).

$CE$: ל-$C(14,16)$ ול-$E(14,8)$ אותו שיעור $x$, ולכן $CE=16-8=8$.

טעות נפוצה: לקחת את כל הצלע $AD=\sqrt{8^2+16^2}=8\sqrt5$ במקום חציה $DE$, ולקבל $12+8\sqrt5\approx29.89$.

לפי גרף ההתפלגות, משמאל לשנתה $\bar x-1.5S$ נמצאים $0.5\%+1.5\%+5\%=7\%$ מן האוכלוסייה.

לכן 810 ק"מ נמצא 1.5 סטיות תקן מתחת לממוצע:

טעות נפוצה: לחשב רק את ההפרש $1470-810=660$ ולענות $S=660$ - ההפרש הוא 1.5 סטיות תקן, לא סטיית תקן אחת.

השנתות בגרף מסומנות כל חצי סטיית תקן: $\frac{S}{2}=\frac{440}{2}=220$.

באמצע הממוצע, 1,470, ומשני צדדיו מוסיפים ומחסירים 220 בכל צעד. 11 המלבנים הם מ-$\bar x-2.5S$ עד $\bar x+2.5S$:

(בגרף שבאתר מצוירות 13 שנתות; לשתי השנתות הקיצוניות, $\bar x\pm3S$, מתאימים 150 ו-2,790.)

בדיקה: 810 נמצא שלוש שנתות (1.5 סטיות תקן) משמאל לממוצע, כמו בסעיף א(1).

טעות נפוצה: לסמן את השנתות כל סטיית תקן שלמה (440) ולכתוב 1,030 מיד משמאל לממוצע במקום 1,250.

$1910=1470+440=\bar x+S$, כלומר שתי שנתות מימין לממוצע.

בין הממוצע לשנתה הזו יש שתי רצועות: $19\%+15\%=34\%$.

טעות נפוצה: לסכום מתחילת הגרף ועד 1,910, כלומר לחשב את אחוז השליחים שנסעו פחות מ-1,910 ק"מ: $50\%+34\%=84\%$.

לפי סעיף ב, 170 השליחים האלה הם 34% מכלל השליחים. נסמן ב-$n$ את מספר השליחים:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק: $170\cdot0.34\approx58$ - אבל 170 הם רק חלק מן השליחים, ולכן הכלל גדול מ-170.

$2.3<2.6$, ולכן דני לא קיבל תוספת לשכר.

טעות נפוצה: לחלק במרחק בין שתי שנתות (220) במקום בסטיית התקן ולקבל $z=4.6>2.6$ - ולהסיק שדני קיבל תוספת.

$A$ נמצאת על ציר ה-$x$, ולכן מציבים $y=0$:

$x=0$ היא הנקודה $O$, ולכן $A(3,0)$ ו-$OA=3$ מטרים.

טעות נפוצה: לחלק בטעות את המקדמים בסדר הפוך, $x=\frac{0.4}{1.2}=\frac13$, ולענות $OA\approx0.33$ מטר.

הנקודה הנמוכה ביותר היא קדקוד הפרבולה (הפרבולה פתוחה כלפי מעלה, כי $a=0.4>0$):

הנקודה הנמוכה ביותר: $(1.5,-0.9)$. (אפשר גם לפי הסימטריה: באמצע בין $x=0$ ל-$x=3$.)

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס בנוסחה ולקבל $x=-1.5$, ואז $y=0.4\cdot2.25+1.8=2.7$ - נקודה $(-1.5,2.7)$ שבכלל אינה על המסלול שבין $O$ ל-$A$.

המסלול מתחיל ב-$x=0$ ויורד עד הקדקוד שב-$x=1.5$, ומשם עולה עד $A$.

לכן נועם גלש במגמת ירידה בתחום $0<x<1.5$.

טעות נפוצה: לענות $1.5<x<3$ - שם המסלול עולה מהנקודה הנמוכה ביותר חזרה אל פני הקרקע.

מציבים $y=-0.5$:

$x=2.5$ או $x=0.5$. שני הערכים בין 0 ל-3, כלומר על המסלול.

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי להחליף סימן ולפתור $0.4x^2-1.2x-0.5=0$, ואז $x\approx3.37$ או $x\approx-0.37$ - ערכים מחוץ למסלול.

בתרשים מספרים כותבים בכל משבצת של המשטח כמה קוביות עומדות עליה (0 - משבצת ריקה). מסדרים את התרשים כמו מבט מלמעלה: השורה הקדמית (הקרובה לחץ) למטה.

השורה הקדמית: משמאל עמודה של 2 קוביות, אחריה שתי משבצות ריקות, ומימין קובייה אחת: $2,0,0,1$.

השורה השנייה מלפנים: משמאל קובייה אחת, שתי משבצות ריקות, ומימין קובייה אחת: $1,0,0,1$.

השורה השלישית: משמאל 2, ריקה, באמצע קובייה בודדת, ומימין 2: $2,0,1,2$.

השורה האחורית: $2,2,4,3$ (העמודה הגבוהה, 4 קוביות, היא השלישית משמאל).

בדיקה: במבנה $11+5+2+3=21$ קוביות.

טעות נפוצה: לרשום את השורה הקדמית בראש התרשים, כלומר לקבל את התרשים ההפוך

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline 2&0&0&1\\\hline 1&0&0&1\\\hline 2&0&1&2\\\hline 2&2&4&3\\\hline\end{array}$

•בתרשים מספרים השורה הקדמית נמצאת למטה, כמו במבט מלמעלה.

מבט מלפנים: בכל עמודה (משמאל לימין) רואים את הגובה המרבי שלה: $2,2,4,3$ - זה תרשים I.

מבט מלמעלה: רואים אילו משבצות תפוסות. השורה האחורית מלאה, ובשלוש השורות האחרות הטור השני ריק; בשורה השנייה מאחור תפוסות כל המשבצות חוץ מהשנייה, ובשתי השורות הקדמיות רק הטור הימני והשמאלי - זה תרשים II.

מבט מימין: מסתכלים מימין, ולכן השורה הקדמית מופיעה משמאל והאחורית מימין. הגובה המרבי בכל שורה, מלפנים לאחור: $2,1,2,4$ - זה תרשים IV.

תרשים III (גבהים $3,4,1,2$) לא מתאים לשום מבט: המבט מלפנים הוא $2,2,4,3$, המבט מימין $2,1,2,4$, המבט משמאל $4,2,1,2$ והמבט מאחור $3,4,2,2$ (דומה, אבל בעמודה השלישית 2 ולא 1).

טעות נפוצה: לקרוא את המבט מימין כשהשורה האחורית משמאל, לצפות לגבהים $4,2,1,2$, ולכן להסיק בטעות שתרשים IV אינו מתאר שום מבט.

מסתכלים על המבנה משמאל: השורה האחורית נראית בצד שמאל של המבט, והשורה הקדמית בצד ימין.

בכל שורה של המבנה לוקחים את הגובה המרבי: האחורית 4, השנייה 2, השלישית 1, הקדמית 2.

המבט משמאל (משמאל לימין): $4,2,1,2$.

טעות נפוצה: לסדר את השורות כמו במבט מימין (הקדמית משמאל) ולקבל $2,1,2,4$ - זה המבט מימין, תרשים IV.

משווים את המבט מלמעלה החדש למבנה: נוספה משבצת תפוסה אחת - בשורה הקדמית, בטור השלישי משמאל. בה חייבת לעמוד לפחות קובייה אחת.

כדי שהמבט מלפנים לא ישתנה, בכל טור הגובה לא יעבור את הגובה המרבי שלו: $2,2,4,3$. כלומר בטור השלישי אפשר לבנות עד 4 קוביות, ובטור הרביעי עד 3.

דוגמה: מניחים 4 קוביות במשבצת החדשה (טור שלישי, גובה מרבי 4), ועוד קובייה אחת על המשבצת הקדמית בטור הרביעי (גובה 2, פחות מ-3). סך הכול $4+1=5$ קוביות:

המבט מלפנים נשאר $2,2,4,3$, והמשבצות התפוסות הן בדיוק אלה שבתרשים.

טעות נפוצה: להניח את כל 5 הקוביות במשבצת החדשה - אז בטור השלישי יש עמודה של 5 קוביות, והמבט מלפנים משתנה (גובה 5 במקום 4).

נפח תיבה הוא שטח הבסיס כפול הגובה. הבסיס ריבוע שצלעו 6.5 ס"מ:

נפח הקרטון 1,014 סמ"ק.

טעות נפוצה: לכפול את צלע הבסיס בגובה בלי להעלות בריבוע, $6.5\cdot24=156$ - זה שטח של פאה צדדית אחת, לא נפח.

שטח המעטפת של גליל הוא $2\pi rh$:

טעות נפוצה: לשכוח את ה-2 בנוסחה ($\pi\cdot3\cdot h=48\pi$) ולקבל $h=16$ ס"מ.

טעות נפוצה: להציב את הקוטר (6) במקום הרדיוס: $\pi\cdot6^2\cdot8=288\pi\approx904.8$ סמ"ק.

כמות החלב בכל כוס: $0.85\cdot72\pi=61.2\pi\approx192.3$ סמ"ק.

כמות החלב לכל 7 הכוסות:

בקרטון יש 1,014 סמ"ק, ו-$1014<1345.9$, ולכן החלב לא יספיק.

טעות נפוצה: לחשב את הכמות לכוס אחת בלבד ($192.3$ סמ"ק), לראות שהיא קטנה מ-1,014 ולהסיק שהחלב יספיק - צריך למלא 7 כוסות.

נסמן ב-$a$ את צלע הבסיס:

(הפתרון השלילי נפסל, כי זה אורך.)

טעות נפוצה: לעצור אחרי החילוק ולענות $a=62.5$ ס"מ - זה שטח הבסיס ($a^2$), לא אורך הצלע.