מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 11 ברמת בגרות

ציון התקן של 52 בפיזיקה:

מחפשים את השטח מימין ל-$z=-1$:

טעות נפוצה: לענות $\Phi(-1)=0.1587$ - זו ההסתברות לקבל פחות מ-52, כלומר להיכשל.

ציון התקן של 52 בכימיה:

$0.7734<0.8413$, ולכן ההסתברות לעבור בכימיה קטנה יותר.

הסבר: בפיזיקה הסף 52 נמצא סטיית תקן שלמה מתחת לממוצע, ובכימיה רק 0.75 סטיית תקן מתחת לממוצע. סטיית התקן הגדולה בכימיה "מקרבת" את הסף לממוצע במונחים יחסיים.

טעות נפוצה: להשוות רק את הממוצעים - בכימיה הממוצע גבוה יותר (70 לעומת 64) - ולענות שכן. ההשוואה הנכונה היא לפי ציוני התקן של הסף, שמביאים בחשבון גם את סטיית התקן.

מניחים שהציונים בשני המבחנים בלתי תלויים, ולכן:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות, $0.8413+0.7734=1.6147$ - תוצאה גדולה מ-1, ולכן בוודאי לא הסתברות. "גם וגם" במאורעות בלתי תלויים הוא מכפלה.

לכל מועמד ההסתברות לעבור את שני המבחנים היא $p=0.6507$, וההסתברות שלא יעבור את שניהם היא $0.3493$.

"רק אחד מהם" - שני סדרים אפשריים:

טעות נפוצה: לחשב $0.6507\cdot0.3493\approx0.2273$ - רק הסדר שבו הראשון עובר והשני לא.

מחברים את חמשת הגילים ומחלקים במספר המכוניות:

הגיל הממוצע הוא 9 שנים.

טעות נפוצה: לחלק ב-4 במקום ב-5 ולקבל $\frac{45}{4}=11.25$ שנים.

הסטיות מהממוצע 9: $-7,\ -1,\ 1,\ 2,\ 5$.

השונות היא ממוצע ריבועי הסטיות:

סטיית התקן היא השורש של השונות:

טעות נפוצה: לעצור בשונות ולענות $S_x=16$. סטיית התקן היא שורש השונות, ונמדדת באותן יחידות כמו הנתונים (שנים).

מקדם המתאם: $r=\frac{\text{cov}(x,y)}{S_x\cdot S_y}$, כאשר $\text{cov}(x,y)$ הוא ממוצע המכפלות של הסטיות מהממוצעים.

הסטיות של $x$: $-7,\ -1,\ 1,\ 2,\ 5$. הסטיות של $y$ מהממוצע 70: $30,\ 8,\ 2,\ -16,\ -24$.

המכפלות: $-210,\ -8,\ 2,\ -32,\ -120$, וסכומן $-368$.

זה קשר שלילי חזק מאוד: ככל שהמכונית ותיקה יותר, המחיר שלה נמוך יותר.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק את סכום המכפלות ב-5 ולחשב $r=\frac{-368}{24\sqrt{10}}\approx-4.85$. מקדם מתאם תמיד בין $-1$ ל-$1$, ולכן תוצאה כזאת מסמנת טעות בחישוב.

שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$:

ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים $(9,70)$:

השיפוע שלילי, כמו מקדם המתאם: לפי הישר, כל שנה נוספת מורידה את המחיר ב-4.6 אלף שקלים.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולחשב $m=r\cdot\frac{S_x}{S_y}\approx-0.204$, כלומר $y=-0.204x+71.84$ - זה לא השיפוע של הישר לניבוי $y$ על פי $x$. סטיית התקן של המשתנה שמנבאים ($y$) נמצאת במונה.

הגיל הוא המשתנה $x$, ולכן מציבים $x=6$ בישר מסעיף ג(1):

הניבוי: מחיר של 83.8 אלף שקלים.

טעות נפוצה: להציב 6 במקום $y$ ולפתור $6=-4.6x+111.4$, כך שמתקבל $x\approx22.9$. הנתון הוא הגיל, כלומר $x$.

הוזלה של 5% היא כפל כל מחיר ב-0.95. כשכופלים כל ערך בקבוע, גם הממוצע וגם סטיית התקן מוכפלים בו.

I: סטיית התקן החדשה $0.95\cdot6\sqrt{10}=5.7\sqrt{10}$. ההיגד נכון.

II: מקדם המתאם לא משתנה בכפל בקבוע חיובי, אבל $S_y$ קטן פי 0.95, ולכן גם השיפוע $m=r\cdot\frac{S_y}{S_x}$ מוכפל ב-0.95:

השיפוע השתנה, ולכן ההיגד לא נכון.

III: הממוצע החדש של המחירים $0.95\cdot70=66.5$, וממוצע הגילים נשאר 9. הישר החדש עובר בנקודת הממוצעים $(9,66.5)$:

מציבים $x=6$:

הנקודה $(6,79.61)$ על הישר החדש. ההיגד נכון.

טעות נפוצה: לקבוע שהיגד II נכון "כי מקדם המתאם לא השתנה", ולבנות את הישר החדש עם השיפוע הישן: $y=-4.6x+107.9$. אז ב-$x=6$ מתקבל $80.3$, ומסיקים בטעות גם שהיגד III לא נכון. $r$ אכן לא משתנה, אבל השיפוע תלוי גם ביחס בין סטיות התקן, ו-$S_y$ קטן פי 0.95.

בונים עץ דו-שלבי. שלב ראשון (אביב): עמדה בדרישות ($0.85$) או לא עמדה ($0.15$). שלב שני (סתיו, הסתברויות מותנות):

אחרי "עמדה": עמדה $0.9$, לא עמדה $0.1$. אחרי "לא עמדה": עמדה $0.6$, לא עמדה $0.4$.

"בדיוק באחת הביקורות" = שני מסלולים זרים: עמדה באביב ולא בסתיו, או לא עמדה באביב ועמדה בסתיו.

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות המותנות $0.1+0.6=0.7$ בלי לכפול בהסתברויות של הביקורת הראשונה.

המאורע המשלים ל"נכשלה לפחות באחת" הוא "עמדה בדרישות בשתי הביקורות" - מסלול אחד בעץ:

טעות נפוצה: לקחת כמשלים את "נכשלה בשתי הביקורות" ($0.15\cdot0.4=0.06$) ולחשב $1-0.06=0.94$. זה המשלים של "עמדה בדרישות לפחות באחת" - מאורע אחר.

נסמן: $A$ - המסעדה נסגרה, $B$ - המסעדה נכשלה לפחות באחת הביקורות. מחפשים $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$, ו-$P(B)=0.235$ (סעיף ב).

מסעדה שנסגרה נכשלה בשתי הביקורות, ולכן בוודאי נכשלה לפחות באחת. החיתוך הוא המאורע "נסגרה" עצמו:

טעות נפוצה: לענות $0.06$ - ההסתברות שמסעדה כלשהי נסגרה, בלי להתחשב במידע שהמסעדה נכשלה לפחות באחת הביקורות.

ההסתברות שמסעדה נסגרה היא $0.06$ (סעיף ג), כלומר 6% מן המסעדות.

טעות נפוצה: להשתמש בהסתברות "נכשלה לפחות באחת" ($0.235$) ולקבל 47 מסעדות. נסגרות רק מסעדות שנכשלו בשתי הביקורות.

12 מסעדות נסגרו ו-$200-12=188$ לא נסגרו.

"בדיוק אחת" - שני סדרים: הראשונה נסגרה והשנייה לא, או להפך. בבחירה ללא החזרה המכנה בבחירה השנייה הוא 199:

טעות נפוצה: לחשב רק סדר אחד ($\frac{12}{200}\cdot\frac{188}{199}\approx0.0567$) ולשכוח את המקרה שבו המסעדה שנסגרה נבחרה שנייה.

$AB=AE$, ולכן המשולש $ABE$ שווה שוקיים: $\angle ABE=\angle AEB$.

$AD\parallel BC$, ולכן $\angle AEB=\angle EBC$ (זוויות מתחלפות).

לכן $\angle ABE=\angle EBC$, ו-$BE$ חוצה את $\angle ABC$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\angle AEB=\angle EBC$ כי הן "זוויות מתאימות", ולהסיק בטעות גם ש-$\angle AEB=\angle BCD$. הזוג $\angle AEB$, $\angle EBC$ הוא זוג מתחלפות.

$AE=13$ ו-$E$ על ציר ה-$x$ מימין ל-$A$: $x_E=-5+13=8$, ולכן $E(8,0)$.

טעות נפוצה: למדוד שמאלה מ-$A$ ולקבל $E(-18,0)$.

$m_{BE}=\frac{0-12}{8-0}=-\frac32$.

$EC\perp BE$, ולכן $m_{EC}=\frac23$ (מכפלת השיפועים $-1$).

טעות נפוצה: לקחת $m_{EC}=-\frac23$ (הופכי בלי החלפת סימן) ולקבל $y=-\frac23x+\frac{16}{3}$.

$BC\parallel AD$, ולכן $BC$ הוא הישר האופקי $y=12$.

$C(26,12)$.

טעות נפוצה: להציב $x=12$ במקום $y=12$ ולקבל $C\left(12,\frac83\right)$.

$CB$ אופקי, ולכן $\tan\angle BCE$ שווה לשיפוע של $EC$:

טעות נפוצה: להשתמש בשיפוע של $BE$ ($\tan\alpha=\frac32$) ולקבל $56.31^\circ$.

במשולש $AOB$: $OA=5$, $OB=12$.

$BC\parallel AE$: $\angle B=180^\circ-67.38^\circ=112.62^\circ$.

$\angle C\approx33.69^\circ$ (סעיף ג(1)), ו-$\angle E=180^\circ-33.69^\circ=146.31^\circ$.

טעות נפוצה: לחשב $\tan\angle A=\frac{5}{12}$ ולקבל $\angle A\approx22.62^\circ$, $\angle B\approx157.38^\circ$.

$MA=MB=MC$ (רדיוסים) ו-$AB=CB$ (נתון), ולכן $\triangle AMB\cong\triangle CMB$ לפי צ.צ.צ.

מהחפיפה: $\angle AMB=\angle CMB$, כלומר $MB$ חוצה את הזווית $AMC$.

טעות נפוצה: להסתמך על כך ש"$MB$ נראה מאונך ל-$AC$" ולהסיק ממנו את החציה - זו טענה שלא הוכחה, והיא נובעת מהחציה ולא להפך.

ישר המקביל לציר ה-$x$ הוא $y=\text{קבוע}$, והוא עובר דרך $C(3,-1)$, ולכן $y=-1$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=3$ - ישר המקביל לציר ה-$y$.

מציבים $y=-1$ במשוואת המעגל:

$x=3$ היא $C$, ולכן $x=-1$ ו-$B(-1,-1)$. $BC=3-(-1)=4$.

טעות נפוצה: לחשב את האורך כ-$3+(-1)=2$ במקום $3-(-1)$ ולענות $BC=2$.

במשולש שווה השוקיים $MBC$: $MB=MC=\sqrt{29}$, $BC=4$. האנך מ-$M$ ל-$BC$ חוצה את המיתר ואת הזווית $BMC$:

$\angle BAC$ זווית היקפית הנשענת על הקשת $BC$ - מחצית הזווית המרכזית $BMC$, ולכן $\angle BAC\approx21.80^\circ$.

טעות נפוצה: לענות את הזווית המרכזית, $\angle BMC\approx43.60^\circ$.

$MB$ חוצה את זווית הראש במשולש שווה השוקיים $AMC$, ולכן $MB\perp AC$. נסמן ב-$N$ את נקודת המפגש.

הבסיס $AC$ משותף, ולכן יחס השטחים הוא יחס הגבהים $\frac{MN}{BN}$.

$\cos\angle MBC=\frac{2}{\sqrt{29}}$ (במשולש $MBC$), ובמשולש $BNC$: $BN=BC\cdot\cos\angle MBC=\frac{8}{\sqrt{29}}$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה של $AMC$ את הרדיוס $MB$ ולקבל $\frac{\sqrt{29}}{8/\sqrt{29}}=\frac{29}{8}=3.625$.

המכנה מתאפס כאשר $x-1=0$, כלומר $x=1$. תחום ההגדרה: כל $x$ חוץ מ-$x=1$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולכתוב $x\neq-1$.

אסימפטוטה אנכית: $x=1$ (המכנה מתאפס, המונה 9 לא).

אסימפטוטה אופקית: כאשר $x\to\pm\infty$ השבר $\frac{9}{(x-1)^2}\to0$, ולכן $f(x)\to-1$: $y=-1$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=0$ (כמו בשבר לבדו) ולשכוח את הקבוע $-1$ שנוסף לשבר.

$f(0)=\frac91-1=8$, ולכן הישר המקביל הוא $y=8$.

$x=0$ (נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$) או $x=2$. לכן $A(2,8)$.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-$-1$ ולפתור $\frac{9}{(x-1)^2}=8$, ולקבל $x\approx2.06$.

האנך הוא $x=2$. בין $x=0$ ל-$x=2$ הגרף מעל הישר $y=8$ (שם $(x-1)^2\le1$), ולכן הגבול העליון הוא הישר; בין $x=-1$ ל-$x=0$ הגרף מתחת לישר ומעל ציר ה-$x$, והגבול העליון הוא הגרף.

מלבן: $2\cdot8=16$.

מתחת לגרף: פונקציה קדומה של $\frac{9}{(x-1)^2}-1$ היא $-\frac{9}{x-1}-x$:

השטח המבוקש: $16+3.5=19.5$.

טעות נפוצה: לחשב רק את האינטגרל ולענות 3.5, בלי המלבן שמתחת לישר $y=8$.

$x^2-6x+8=0$: $(x-2)(x-4)=0$, $x=2$ או $x=4$. $f(0)=8$.

הנקודות: $(2,0)$, $(4,0)$, $(0,8)$.

טעות נפוצה: לפרק $(x+2)(x+4)$ ולקבל $x=-2$ ו-$x=-4$ - אז סכום השורשים $-6$ ולא 6.

המקדם של $x^2$ חיובי - מינימום. הקודקוד: $x=\frac{2+4}{2}=3$, $f(3)=9-18+8=-1$.

מסרטטים פרבולה דרך $(0,8)$, $(2,0)$, $(4,0)$ עם קודקוד $(3,-1)$.

טעות נפוצה: לחשב את קודקוד הפרבולה כ-$x=-\frac{b}{2a}=-3$ (לשכוח שה-$b$ שלילי), ולסרטט קודקוד משמאל לציר ה-$y$.

$x^2-6x+8\ge0$: מחוץ לשורשים (כולל השורשים).

תחום ההגדרה: $x\le2$ או $x\ge4$.

טעות נפוצה: לענות $2\le x\le4$ - שם $f(x)\le0$.

$g(x)=0$ כש-$f(x)=0$: $(2,0)$ ו-$(4,0)$.

$x=0$ בתחום ($0\le2$): $g(0)=\sqrt8=2\sqrt2\approx2.83$. הנקודה $(0,2\sqrt2)$.

טעות נפוצה: לכתוב $g(0)=\pm\sqrt8$ ולתת שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-$y$, $(0,2\sqrt2)$ ו-$(0,-2\sqrt2)$ - הסימן $\sqrt{\ }$ הוא השורש האי-שלילי בלבד, ולכן $g(x)\ge0$.

$g'(x)=0$ רק ב-$x=3$, שאינו בתחום. אין קיצון פנימי.

ב-$x<2$: $x-3<0$ - יורדת. ב-$x>4$: $x-3>0$ - עולה.

בקצוות $g=0$ וכל ערך אחר חיובי: $(2,0)$ ו-$(4,0)$ הן נקודות מינימום (בקצה התחום).

טעות נפוצה: לכתוב מינימום ב-$x=3$ (קודקוד הפרבולה) - $f(3)=-1<0$, ולכן $g(3)$ אינו מוגדר.

מרכזים: תחום $x\le2$ או $x\ge4$; חיתוכים $(0,2\sqrt2)$, $(2,0)$, $(4,0)$; ירידה משמאל ועלייה מימין; מינימום בקצוות.

הענף השמאלי יורד, עובר ב-$(0,2\sqrt2)$ ונעצר ב-$(2,0)$; הענף הימני מתחיל ב-$(4,0)$ ועולה.

טעות נפוצה: לחבר את שני הענפים בקשת מתחת לציר ה-$x$ או מעליו בין 2 ל-4 - שם $g$ אינה מוגדרת.

$OE=8$ (רדיוס), והמשולש $ODE$ ישר זווית ב-$D$:

טעות נפוצה: לכתוב $DE=8-x$.

$DG=2x$, ולכן שטח המלבן:

$S'(x)=0$: $x^2=32$, $x=\sqrt{32}=4\sqrt2$ (הפתרון השלילי נפסל). $S'>0$ משמאל ו-$S'<0$ מימין - מקסימום.