מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 12 ברמת בגרות

טעות נפוצה: לחשב ציון תקן בלי לחלק בסטיית התקן ($z_2=3$, $z_1=1$) ולקבל $0.9987-0.8413=0.1574$.

20% מעליו פירושו 80% מתחתיו: $\Phi(z)=0.8$. הערך הקרוב בטבלה: $\Phi(0.84)=0.7995$, ולכן $z=0.84$.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.2, לקבל $z=-0.84$ ולענות $12-1.68=10.32$ שנים.

כלומר $0.62\%$ מהמכונות.

טעות נפוצה: לקרוא $\Phi(2.5)=0.9938$ ולענות $99.38\%$.

טעות נפוצה: לכפול ב-0.62 (לשכוח שזה אחוז) ולקבל 24,800 מכונות - יותר ממחצית המכונות שנמכרו.

השיא של העקומה הנורמלית נמצא בממוצע, ובהתפלגות נורמלית הממוצע, החציון והשכיח מתלכדים.

השכיח הוא 12 שנים - הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לחשוב שהשכיח הוא הערך הגבוה בהתפלגות (למשל $\mu+\sigma=14$) ולקבוע שהטענה אינה נכונה. השכיח הוא הערך שבו העקומה הכי גבוהה, והיא הכי גבוהה בממוצע.

15 רחוק מהממוצע ב-1.5 סטיות תקן ($z=1.5$), ו-10 רחוק ממנו בסטיית תקן אחת ($z=-1$). הנקודות אינן סימטריות סביב 12.

$6.68\%\ne15.87\%$ - הטענה אינה נכונה.

טעות נפוצה: לבדוק רק ש-15 מעל הממוצע ו-10 מתחתיו ולהסיק מהסימטריה שהאחוזים שווים - הסימטריה עובדת רק למרחקים שווים מהממוצע.

טעות נפוצה: לכתוב את הציון 80 פעם אחת בלבד ולחלק ב-5: $\frac{320}{5}=64$ - בטבלה שני תלמידים קיבלו 80, וכל אחד מהם נספר.

ישר בשיפוע 0.4 דרך הנקודה $(80,74)$:

טעות נפוצה: לכתוב $\hat y=0.4x+74$, כאילו 74 הוא ערך ה-$y$ ב-$x=0$.

ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים. $\bar x=80$ (סעיף א), ולכן $\bar y=0.4\cdot80+42=74$.

נסמן ב-$y_5$ את הציון החסר:

טעות נפוצה: להציב $x=95$ בישר ולענות $\hat y=0.4\cdot95+42=80$ - זה הציון המנובא, והציון האמיתי של התלמיד שונה ממנו.

לכל תלמיד $y=x+5$, ולכן כל הנקודות נמצאות על הישר $y=x+5$.

כל הנקודות על ישר אחד, ולכן ישר הרגרסיה הוא הישר הזה עצמו: שיפועו 1 - טענה (3).

הקשר הלינארי מושלם והישר עולה, ולכן $r=1$ - טענה (1). טענה (2) נפסלת, כי אין אף נקודה מחוץ לישר.

טעות נפוצה: לבחור בטענה (4) - ה-5 הוא ההפרש הקבוע בין הציונים (נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$), לא השיפוע.

עץ: בשלב הראשון פגום (0.25) או תקין (0.75); בשלב השני - סומן כפגום או לא.

"פגום וגם סומן כפגום" הוא מסלול אחד, ולכן מכפילים לאורכו:

טעות נפוצה: לענות 0.8 - זו ההסתברות שמוצר פגום יסומן, בתוך קבוצת הפגומים בלבד.

שני מסלולים זרים מובילים לסימון "פגום": פגום שסומן, ותקין שסומן.

כלומר 23% מהמוצרים.

טעות נפוצה: להוסיף 0.04 בלי להכפיל ב-0.75 ולקבל $0.2+0.04=0.24$, כלומר 24%.

סיווג שגוי: מוצר פגום שלא סומן, או מוצר תקין שסומן כפגום.

80% מהפגומים מסומנים, ולכן 20% מהפגומים לא מסומנים (מאורע משלים).

כלומר 8% מהמוצרים.

טעות נפוצה: לספור רק את התקינים שסומנו ($0.75\cdot0.04=0.03$, כלומר 3%) - גם פגום שלא סומן הוא סיווג שגוי.

אמצע $AC$: $\left(\frac{6+0}{2},\frac{-6+6}{2}\right)=(3,0)$.

$m_{AC}=\frac{6-(-6)}{0-6}=-2$, ולכן שיפוע האנך $\frac12$.

טעות נפוצה: להעביר דרך האמצע ישר עם השיפוע של $AC$ ולקבל $y=-2x+6$ - זה הישר $AC$ עצמו.

ל-$A$ ול-$B$ אותו שיעור $x$, ולכן $AB$ על הישר האנכי $x=6$. אמצעו: $\left(6,\frac{-6+8}{2}\right)=(6,1)$.

המאונך לישר אנכי הוא אופקי, והישר האופקי דרך $(6,1)$ הוא $y=1$.

טעות נפוצה: לכתוב שהאנך האמצעי הוא $x=6$ - זה הישר שעליו מונח $AB$.

חיתוך האנכים האמצעיים: $1=\frac12x-\frac32$, $x=5$. לכן $M(5,1)$.

$R^2=MC^2=(0-5)^2+(6-1)^2=25+25=50$.

טעות נפוצה: לכתוב את המרכז בסימנים הפוכים, $(x+5)^2+(y+1)^2=50$.

$BA$ אנכי (על $x=6$) ופונה מ-$B$ כלפי מטה.

$m_{BC}=\frac{8-6}{6-0}=\frac13$: הזווית של $BC$ עם האופק היא $\theta$ שבה $\tan\theta=\frac13$, $\theta\approx18.43^\circ$.

טעות נפוצה: לענות $18.43^\circ$ - הזווית של $BC$ עם הכיוון האופקי, לא עם $BA$.

$M$ על האנך האמצעי של $AC$, ולכן הגובה מ-$M$ ל-$AC$ יורד לאמצע $N(3,0)$:

(בדיקה: $\angle AMC=2\angle ABC\approx143.13^\circ$, ו-$\frac12\cdot50\cdot\sin143.13^\circ=15$.)

טעות נפוצה: להציב את הזווית ההיקפית $ABC$ במקום הזווית המרכזית: $\frac12\cdot50\cdot\sin71.57^\circ\approx23.72$.

$CD$ עובר דרך המרכז $M$ ומאונך למיתר $AB$. אנך למיתר שעובר דרך מרכז המעגל חוצה את המיתר, ולכן $AD=DB$.

במשולשים $ACD$ ו-$BCD$:

$AD=DB$ (הוכח), $\angle CDA=\angle CDB=90^\circ$ ($CD$ גובה), $CD$ צלע משותפת.

לכן $\triangle ACD\cong\triangle BCD$ (צ.ז.צ.), ומכאן $CA=CB$ (צלעות מתאימות במשולשים חופפים).

(אפשר גם: $CD$ הוא האנך האמצעי של $AB$, וכל נקודה על האנך האמצעי נמצאת במרחק שווה מקצות הקטע.)

טעות נפוצה: לנמק את החפיפה לפי צ.צ.ז. ($CA$, $CD$ ו-$\angle D$) - משתמשים ב-$CA=CB$, שהוא מה שצריך להוכיח. החפיפה נשענת על $AD=DB$, שנובע מכך ש-$CD$ עובר דרך המרכז.

מציבים $y=-3$ במשוואת המעגל:

$x=-9$ או $x=7$: $A(-9,-3)$, $B(7,-3)$.

טעות נפוצה: לקחת רק $x+1=8$ ולמצוא רק את $B(7,-3)$.

הגובה $CD$ על הישר $x=-1$ (דרך $M(-1,3)$). $C$ הקצה העליון של הקוטר: $C(-1,13)$, ו-$D(-1,-3)$.

טעות נפוצה: לקחת $CD=10$ (רדיוס), לקבל $\tan\angle ACD=0.8$ ו-$\angle ACB\approx77.32^\circ$.

$MA=MC=10$ (רדיוסים), ולכן $\angle MAC=\angle MCA=\angle DCA\approx26.565^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את $\angle CMA$ כזווית המרכזית $\angle AMB\approx106.26^\circ$ ולקבל זוויות בסיס $36.87^\circ$.

$CM$ רדיוס: $CM=10$. $M(-1,3)$ ו-$D(-1,-3)$ על אותו ישר אנכי: $DM=3-(-3)=6$.

טעות נפוצה: לחשב את $DM$ כאורך כל הגובה, $DM=16$ - זה $CD$.

לשני המשולשים גובה משותף מ-$A$ לישר $CD$ (הקטע $AD$), והבסיסים $CM$ ו-$DM$ על הישר הזה:

טעות נפוצה: להעלות בריבוע כאילו המשולשים דומים: $\frac{25}{9}$.

המכנה מתאפס ב-$x=3$: התחום הוא כל $x\neq3$.

טעות נפוצה: לפסול את אפסי המונה ולכתוב $x\neq\pm2\sqrt2$.

ב-$x=3$ המונה $9-8=1\neq0$: אסימפטוטה אנכית $x=3$.

מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה - אין אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: להפעיל את הכלל של מעלת מונה קטנה ממעלת המכנה ולענות שהאסימפטוטות הן $x=3$ ו-$y=0$ - כאן מעלת המונה גדולה, ואין אסימפטוטה אופקית.

$x^2-8=0$: $x=\pm2\sqrt2\approx\pm2.83$. $f(0)=\frac{-8}{-3}=\frac83$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ב-$f(0)$ ולקבל $\left(0,-\frac83\right)$.

מקסימום $(2,4)$, מינימום $(4,8)$.

טעות נפוצה: לקבוע שהנקודה עם הערך הגבוה, $(4,8)$, היא המקסימום - הסוג נקבע לפי סימן הנגזרת, והנקודות על ענפים שונים.

ליד $x=3$ המונה חיובי (1): משמאל $f\to-\infty$, מימין $f\to+\infty$.

הענף השמאלי עולה עד המקסימום $(2,4)$ ויורד ל-$-\infty$, ולכן חותך את ציר ה-$x$ גם ב-$2\sqrt2$, שבין 2 ל-3. הענף הימני כולו מעל $y=8$.

טעות נפוצה: לשכוח את החיתוך $(2\sqrt2,0)$ שבין המקסימום לאסימפטוטה ולסרטט את הענף השמאלי כולו מעל הציר מימין ל-$-2\sqrt2$.

אנכית: $x=3$ (המונה $-1\neq0$). אופקית: מעלות שוות, $y=1$.

טעות נפוצה: לענות $y=0$ ולשכוח את ה-1.

$f'(x)=1-\frac{1}{(x-3)^2}<1$: הגרף מתחת לאסימפטוטה $y=1$, יורד ל-$-\infty$ משני צדי $x=3$, ומתאפס ב-$x=2$ וב-$x=4$.

גרף I מעל $y=1$ ועולה ל-$+\infty$ - נפסל. גרף III אין לו אסימפטוטה אופקית - נפסל. גרף IV רציף - נפסל.

גרף II מתאים לכל התכונות.

טעות נפוצה: לבחור את גרף IV כי הוא "חיובי, שלילי, חיובי" עם שני אפסים - בלי לבדוק שלנגזרת יש אסימפטוטה אנכית ב-$x=3$.

טעות נפוצה: לגזור את $-ax$ כ-$-1$ (לשכוח את $a$): $3-1+4a-48=-9$, ומתקבל $a=9.25$.

עבור $a=12$: $f(x)=x^3-12x$.

טעות נפוצה: לפתור $x^2=4$ ולקבל רק $x=2$ - ואז לכתוב "ירידה ב-$x<2$".

מהטבלה: מקסימום $(-2,16)$, מינימום $(2,-16)$.

טעות נפוצה: להחליף בין הסוגים ולכתוב מינימום ב-$(-2,16)$ ומקסימום ב-$(2,-16)$.

חיתוכים עם ציר ה-$x$: $x(x^2-12)=0$, ולכן $x=0$, $x=\pm2\sqrt3\approx\pm3.46$. הפונקציה אי-זוגית - הגרף סימטרי ביחס לראשית.

טעות נפוצה: לסמן את נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ ב-$x=\pm2$ (שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון) במקום ב-$x=\pm2\sqrt3$.

שיעורי ה-$y$ מחליפים סימן וסוג הקיצון מתחלף: מינימום $(-2,-16)$, מקסימום $(2,16)$, אותם חיתוכים עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: להחליף רק את סוג הקיצון בלי לשנות את שיעורי ה-$y$, ולסרטט מינימום ב-$(-2,16)$.

הגרפים נפגשים כש-$f(x)=0$: $x=-2\sqrt3$, $x=0$, $x=2\sqrt3$. השטח בנוי משני חלקים שווים (הגרפים סימטריים ביחס לראשית).

בין 0 ל-$2\sqrt3$: $f\le0$, ולכן $-f$ עליון:

טעות נפוצה: לחשב רק את החלק שמימין לציר ה-$y$ ולענות 72.

המכנה $(x+1)^2$ מתאפס ב-$x=-1$ והמונה לא: אסימפטוטה אנכית $x=-1$.

כש-$x\to\pm\infty$ השבר שואף ל-0: אסימפטוטה אופקית $y=2$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=1$ - המכנה מתאפס כש-$x+1=0$, כלומר $x=-1$.

נסמן $A\left(t,\ \frac{4}{(t+1)^2}+2\right)$, $t>0$.

צלעות המלבן (בין $A$ לנקודת המפגש $(-1,2)$): $t+1$ ו-$\frac{4}{(t+1)^2}$.

$P'(t)=0$: $(t+1)^3=8$, $t+1=2$, $t=1$.

$P'<0$ ב-$0<t<1$ ו-$P'>0$ ב-$t>1$ - מינימום. $f(1)=\frac44+2=3$: $A(1,3)$ (וההיקף המינימלי 6).

טעות נפוצה: לגזור את $\frac{8}{(t+1)^2}$ כ-$-\frac{8}{(t+1)^3}$ (בלי להוריד את המעריך 2), ולקבל $(t+1)^3=4$, $t\approx0.59$.

ב-$t=1$ הצלעות $t+1=2$ ו-$\frac{4}{(t+1)^2}=1$.

טעות נפוצה: להניח שהמלבן בעל ההיקף המינימלי הוא ריבוע (כמו בפונקציה $\frac{a}{x}$), לחלק את ההיקף 6 ל-4 צלעות של $1.5$ ולענות $S=1.5^2=2.25$ - כאן הצלעות $2$ ו-$1$ אינן שוות.