מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 13 ברמת בגרות

78.81% עברו פחות מ-2,640 מטרים, כלומר $P(X<2640)=0.7881$.

מחפשים בגוף הטבלה המצטברת את הערך 0.7881: $\Phi(0.8)=0.7881$, ולכן ציון התקן של 2,640 הוא $z=0.8$.

מציבים בהגדרת ציון התקן:

סטיית התקן היא 300 מטרים.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק - לכתוב $\sigma=240\cdot0.8=192$ מטרים. בדיקה: עם $\sigma=192$ ציון התקן של 2,640 היה 1.25, ולא 0.8.

מחשבים את ציון התקן של 2,820 (עם $\sigma=300$ מסעיף א):

בטבלה: $\Phi(1.4)=0.9192$ - זה החלק שעבר פחות מ-2,820 מטרים.

מקבלי התעודה עברו יותר, ולכן לוקחים את המשלים:

8.08% מן התלמידים קיבלו תעודת הצטיינות.

טעות נפוצה: לענות 91.92% - הערך בטבלה הוא השטח משמאל ל-$z$ (מי שעבר פחות), ולא מי שעבר יותר.

נסמן ב-$N$ את מספר התלמידים. לפי סעיף ב, 8.08% מהם קיבלו תעודת הצטיינות:

בריצה השתתפו 1,250 תלמידים.

טעות נפוצה: לחלק באחוז עצמו ולא בשבר - $\frac{101}{8.08}=12.5$ תלמידים. האחוז צריך להפוך לשבר עשרוני (0.0808) לפני החילוק. בדיקה: 12.5 תלמידים זה פחות מ-101 התלמידים שקיבלו תעודת הצטיינות, ולכן התוצאה בלתי אפשרית.

כדי להשוות מיקום יחסי בשתי אוכלוסיות שונות (ובשתי יחידות מידה שונות) משווים ציוני תקן, ולא תוצאות גולמיות.

ריצת 12 דקות:

כפיפות בטן:

$z_1>z_2$: בריצה התוצאה של יואב רחוקה יותר מהממוצע ביחידות של סטיית תקן, ולכן אחוז התלמידים שהשיגו פחות ממנו גדול יותר ($\Phi(1.6)=0.9452$ לעומת $\Phi(1.25)=0.8944$).

התוצאה בריצת 12 הדקות מדורגת במקום גבוה יותר.

טעות נפוצה: להשוות בכמה אחוזים התוצאה גבוהה מהממוצע - בריצה $\frac{2880}{2400}=1.2$ (20% מעל הממוצע) ובכפיפות הבטן $\frac{50}{40}=1.25$ (25% מעל הממוצע) - ולענות "בכפיפות הבטן". המרחק מהממוצע צריך להימדד ביחס לפיזור של כל מבחן, כלומר בסטיות תקן.

טעות נפוצה: להקליד במחשבון $3+5+6+8+9+11\div6$ בלי סוגריים ולקבל $32.83$ - המחשבון מחלק ב-6 רק את 11. צריך $(3+5+6+8+9+11)\div6$.

סטיות מהממוצע 7: $-4,-2,-1,1,2,4$.

סכום ריבועי הסטיות: $16+4+1+1+4+16=42$.

טעות נפוצה: לחלק ב-5 במקום ב-6 ולקבל $\sqrt{8.4}\approx2.898$.

סטיות $y$ מהממוצע 2: $-0.9,-0.3,-0.4,0.3,0.6,0.7$.

מכפלות הסטיות: $3.6,\ 0.6,\ 0.4,\ 0.3,\ 1.2,\ 2.8$. סכום: $8.9$.

טעות נפוצה: לא לחלק ב-6: $\frac{8.9}{1.5275}\approx5.83$ - ערך שגדול מ-1 ולכן אינו יכול להיות מקדם מתאם.

(בדיוק: $m=\frac{1.4833}{7}\approx0.2119$.)

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(7,\,2)$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $m=r\cdot\frac{S_x}{S_y}\approx4.45$, ולקבל ישר שבו כל שעת שמש מוסיפה 445 גלידות.

I. כשכל נתון גדל פי 1.5, גם הסכום גדל פי 1.5, ולכן הממוצע גדל פי 1.5: $1.5\cdot2=3$.

II. כל סטייה מהממוצע גדלה פי 1.5 ($1.5y-1.5\bar y=1.5(y-\bar y)$), ריבוע הסטייה גדל פי $2.25$, השונות פי $2.25$, וסטיית התקן - השורש - פי 1.5: $1.5\cdot\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\approx0.866$.

טעות נפוצה: לבלבל עם הוספת קבוע ולקבוע שסטיית התקן לא השתנתה. הוספת קבוע מזיזה את כל הנתונים ולא משנה את הפיזור; כפל בקבוע מותח את הפיזור.

מקדם המתאם לא משתנה כשמכפילים משתנה בקבוע חיובי - עוצמת הקשר וכיוונו נשארים.

$S_x$ לא השתנתה, ו-$S_y$ גדלה פי 1.5 (סעיף ד).

טעות נפוצה: להכפיל פי 1.5 גם את $r$ וגם את $S_y$, ולקבל שיפוע גדול פי $2.25$, כ-$0.477$ (ו-$r\approx1.46$, גדול מ-1, שאינו אפשרי).

נסמן ב-$N$ את מספר הפתקים. עם החזרה, ההסתברות ללבן בכל הוצאה היא $\frac{10}{N}$:

מספר הפתקים השחורים: $25-10-4=11$.

טעות נפוצה: לשכוח את הריבוע ולפתור $\frac{10}{N}=0.16$, כלומר $N=62.5$ - מספר לא שלם, שמראה שמשהו בבניית המשוואה שגוי.

בכל הוצאה: לבן $\frac{10}{25}=0.4$, צהוב $\frac{4}{25}=0.16$, שחור $\frac{11}{25}=0.44$.

טעות נפוצה: לחשב בלי החזרה, $\frac{10\cdot9+4\cdot3+11\cdot10}{25\cdot24}\approx0.353$, אף על פי שהפתק הראשון מוחזר.

"צבעים שונים" הוא המשלים של "אותו צבע":

ולכן ההסתברות לצבעים שונים גדולה יותר.

טעות נפוצה: לחשב $0.4\cdot0.16+0.4\cdot0.44+0.16\cdot0.44=0.3104$ בלי שני הסדרים, ולענות "קטנה".

ההסתברות שפתק אינו צהוב: $1-0.16=0.84$.

טעות נפוצה: לחשב $1-0.16^2=0.9744$ - המשלים של "שני צהובים", ולא של "אף צהוב".

$AB\parallel CD$, ולכן הזוויות $ABC$ ו-$BCD$ הן זוויות חד-צדדיות בין ישרים מקבילים, וסכומן $180^\circ$:

טעות נפוצה: לחשוב שהן זוויות מתחלפות ושוות, ולכתוב $\sphericalangle ABC=2\alpha$.

$CE$ חוצה את הזווית $BCD$: $\sphericalangle ECB=\alpha$.

$BE$ חוצה את הזווית $ABC$: $\sphericalangle EBC=\frac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha$.

סכום הזוויות במשולש $BEC$:

לכן המשולש $BEC$ ישר זווית (הזווית הישרה ב-$E$).

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 את הזווית $ABC$ ולכתוב $\sphericalangle EBC=180^\circ-2\alpha$ - ואז יוצא $\sphericalangle BEC=\alpha$, כאילו המשולש אינו ישר זווית.

לפי סעיף א(2), $EC\perp EB$.

$EC$ עובר דרך $E(2,1)$: $y-1=-\frac12(x-2)$, כלומר $y=-\frac12x+2$.

טעות נפוצה: לבנות את $EC$ מאונך ל-$BC$ (שיפוע $BC$ הוא $-\frac74$, ולכן שיפוע $\frac47$), ולקבל $y=\frac47x-\frac17$.

מציבים $y=-\frac12x+2$ במשוואת $BC$:

$C(8,-2)$.

טעות נפוצה: להכפיל ב-4 רק את ה-2 ולא את $-\frac12x$: $7x-\frac12x+8=48$, ומקבלים $x\approx6.15$.

במשולש ישר הזווית $BEC$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\tan=\frac32$, ולקבל $56.31^\circ$ - זו הזווית $EBC$.

$\sphericalangle A=\sphericalangle D=90^\circ$.

$\sphericalangle BCD=2\cdot33.69^\circ=67.38^\circ$, ו-$\sphericalangle ABC=180^\circ-67.38^\circ=112.62^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את $33.69^\circ$ כזווית הטרפז ב-$C$, ולקבל $\sphericalangle B\approx146.31^\circ$.

הזווית $CBA$ היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AC$, ולכן היא ישרה: $90^\circ$.

טעות נפוצה: לחשב את הזווית בין $AB$ לקוטר ולקבל כ-$59.04^\circ$ - זו הזווית $BAC$.

$BC\perp AB$ (סעיף א).

דרך $B(4,1)$: $y-1=x-4$, כלומר $y=x-3$.

טעות נפוצה: להעביר דרך $B$ ישר המאונך לקוטר (שיפוע $-4$) ולקבל $y=-4x+17$.

$C$ על $BC$ ועל הקוטר:

$C(9,6)$, והמרכז הוא אמצע הקוטר $AC$:

טעות נפוצה: לקחת את אמצע $AB$ ולקבל $(2.5,\,2.5)$.

בדיקה: $B(4,1)$: $1+16=17$.

טעות נפוצה: לקחת את הקוטר כרדיוס: $AC^2=8^2+2^2=68$, ולכתוב $(x-5)^2+(y-5)^2=68$.

שטח העיגול: $17\pi$.

המשולש ישר זווית ב-$B$: $AB=\sqrt{3^2+3^2}=\sqrt{18}$, $BC=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}$.

טעות נפוצה: לשכוח את החצי בשטח המשולש ולקבל $\frac{17\pi}{30}\approx1.78$.

תחום ההגדרה: $x\ne2$, $x\ne4$.

טעות נפוצה: לפתור $x^2+6x+8=0$ (לאבד סימן) ולקבל $x\ne-2$, $x\ne-4$.

ב-$x=2$ וב-$x=4$ המכנה מתאפס והמונה ($8$ ו-$32$) לא - אסימפטוטות אנכיות.

מעלות שוות: $y=\frac{2}{-1}=-2$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=2$ - להתעלם מהמקדם $-1$ של $x^2$ במכנה.

$f'=0$: $x=0$ או $x=\frac83$. המכנה חיובי, והסימן נקבע לפי $4x(3x-8)$:

$x<0$: עולה; $0<x<2$ ו-$2<x<\frac83$: יורדת; $\frac83<x<4$ ו-$x>4$: עולה.

$x=0$: מקסימום, $f(0)=0$. $x=\frac83$: מינימום, $f\left(\frac83\right)=\frac{2\cdot\frac{64}9}{-\frac{64}9+16-8}=\frac{\frac{128}9}{\frac89}=16$.

טעות נפוצה: להחליף את הסדר במונה של כלל המנה - הסימן מתהפך, ומקבלים $\min(0,0)$ ו-$\max\left(\frac83,16\right)$.

$f(x)+2=\frac{12x-16}{-x^2+6x-8}$: כש-$x\to-\infty$ המונה והמכנה שליליים - הגרף מעל $y=-2$; כש-$x\to\infty$ - מתחת.

ענף שמאלי: עולה מ-$-2$ עד $(0,0)$ ויורד ל-$-\infty$ ליד $x=2$ (המכנה שלילי משמאל ל-2).

ענף אמצעי: המכנה חיובי - מ-$+\infty$ יורד למינימום $\left(\frac83,16\right)$ ועולה ל-$+\infty$.

ענף ימני: עולה מ-$-\infty$ אל $y=-2$.

טעות נפוצה: לצייר את הענף הימני מעל $y=-2$ - אבל שם $f(x)+2<0$, ולכן הענף מתקרב לאסימפטוטה מלמטה.

$f'>0$ כש-$x<0$, $f'<0$ בין 0 ל-$\frac83$, ו-$f'>0$ כש-$x>\frac83$.

ליד $x=2$ הנגזרת שלילית משני הצדדים (הגרף יורד ל-$-\infty$ משני הצדדים), וליד $x=4$ חיובית משני הצדדים.

זה גרף 3. בגרף 2 כל הסימנים הפוכים, ובגרף 1 הסימן מתחלף באסימפטוטות.

טעות נפוצה: לבחור בגרף 2 - מי שמחליף את הסדר בכלל המנה מקבל נגזרת עם סימן הפוך בכל מקום.

$f'$ מתאפסת ב-$x=0$ וחיובית בין $-2$ ל-0.

טעות נפוצה: להציב בנגזרת: $f'(0)-f'(-2)=-\frac{112}{576}=-\frac7{36}$, ולענות $\frac7{36}$.

ל-$f'(x)=0$ אין פתרון והמקדם המוביל חיובי, ולכן $f'(x)>0$ תמיד - $f$ עולה ואין לה קיצון.

טעות נפוצה: לחשב $\Delta=36+48=84>0$ ולהסיק שיש שתי נקודות קיצון.

$x=0$ או $x=2$. נקודה עם $x=0$ נמצאת על ציר ה-$y$ ולא ברביע הראשון, ולכן $x_A=2$.

טעות נפוצה: לבחור $x=0$ - נקודה על ציר ה-$y$ אינה ברביע הראשון.

טעות נפוצה: להחליף בין שיעורי $A$: $y-2=4(x-6)$, כלומר $y=4x-22$.

$f(2)=6$: $8-12+8+b=6$, ולכן $b=2$.

טעות נפוצה: להציב $f(2)=4$ (השיפוע) ולקבל $b=0$.

המשיק חותך את ציר ה-$x$ ב-$x=\frac12$.

השטח = השטח מתחת ל-$f$ בין 0 ל-2, פחות המשולש מתחת למשיק בין $\frac12$ ל-2.

המשולש: בסיס $2-\frac12=1.5$, גובה 6, שטח $4.5$.

טעות נפוצה: לחשב $\int_0^2\left(f(x)-(4x-2)\right)dx=4$ - זה כולל את המשולש הקטן מתחת לציר ה-$x$ בין $x=0$ ל-$x=\frac12$.

$g(x)=\frac{1}{3x^2-6x+4}$: המונה קבוע והמכנה ממעלה שנייה, ולכן כאשר $x\to\pm\infty$, $g(x)\to0$.

האסימפטוטה: $y=0$.

טעות נפוצה: לענות $y=\frac13$ (ההופכי של המקדם המוביל).

אסימפטוטה אנכית של $\frac{1}{f'(x)}$ יכולה להיות רק היכן שהמכנה $f'(x)$ מתאפס.

בסעיף א ראינו ש-$f'(x)>0$ לכל $x$, ולכן המכנה לא מתאפס, $g$ מוגדרת לכל $x$, ואין לה אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לפתור $3x^2-6x+4=0$ עם $\Delta=84$ (טעות הסימן מסעיף א) ולהסיק שיש שתי אסימפטוטות אנכיות.

$f(x)>0$ לכל $x$ (מונה ומכנה חיוביים), ו-$f(0)=3$.

$g(x)=\frac{5(x+1)}{x^2+5}$: מתאפסת ב-$x=-1$ ושלילית עבור $x<-1$; $g(0)=1$.

גרף א יורד מתחת לציר ה-$x$ משמאל - זה $g$. גרף ב חיובי לכל $x$ וחותך את ציר ה-$y$ גבוה יותר - זה $f$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמונה הקבוע 15 קטן מ-$5x+5$ ולכן $f$ היא הגרף הנמוך, ולענות גרף א: $f$, גרף ב: $g$ - אבל $f$ חיובית לכל $x$, וגרף א יורד מתחת לציר.