מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 4 ברמת בגרות

$P(X<8.88)=0.7257$. בטבלה המצטברת $\Phi(0.6)=0.7257$, ולכן ציון התקן של 8.88 הוא $z=0.6$.

טעות נפוצה: לכפול - $\sigma=0.48\cdot0.6=0.288$ מטר. עם סטיית תקן כזאת ציון התקן של 8.88 היה כ-1.67, לא 0.6.

בטבלה $\Phi(2)=0.9772$ - החלק שזרק פחות מ-10 מטרים.

הזוכים זרקו יותר, ולכן:

טעות נפוצה: לענות 97.72% - זה אחוז מי שזרקו פחות מ-10 מטרים.

טעות נפוצה: לחלק ב-2.28 במקום ב-0.0228 ולקבל 25 משתתפים - פחות מפי 2 ממספר הזוכים, וזה לא ייתכן כשרק 2.28% זוכים.

משווים ציוני תקן:

ציון התקן בזריקת כדור ברזל גבוה יותר, ולכן שם אחוז המשתתפים שהשיגו פחות ממנו גדול יותר ($\Phi(1.5)=0.9332$ לעומת $\Phi(1.25)=0.8944$).

טעות נפוצה: להשוות הפרשים במטרים - 1.2 מטר בכדור ברזל לעומת 5 מטרים בכידון - ולענות "בהטלת כידון".

העקומה הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן חצי מהנסיעות קצרות מהממוצע וחצי ארוכות ממנו.

לכן החציון שווה לממוצע: 42 דקות.

טעות נפוצה: לענות 45 דקות - הערך הנוסף שבשאלה. ארוכות ממנו רק 22.66% מהנסיעות, לא 50%.

הטבלה נותנת שטח משמאל לציון התקן, ולכן עוברים למשלים: $100\%-22.66\%=77.34\%$ מהנסיעות נמשכות פחות מ-45 דקות.

מציבים בנוסחת ציון התקן:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $\sigma=3\cdot0.75=2.25$ דקות. בדיקה: עם סטיית תקן כזאת ציון התקן של 45 היה $1.33$, ומעליו רק כ-9%.

לפי הסימטריה:

כלומר 6.68% מהנסיעות.

טעות נפוצה: לקרוא $\Phi(1.5)=0.9332$ ולענות 93.32% - מתעלמים מכך שציון התקן שלילי (36 קטן מהממוצע).

סטיית תקן אחת מתחת לממוצע היא ציון תקן $-1$; שתי סטיות תקן מעליו - ציון תקן $2$.

כלומר 81.85% מהנסיעות (בין 38 ל-50 דקות).

טעות נפוצה: לחשב $\Phi(2)-\Phi(1)=0.1359$ ולענות 13.59% - שוכחים שהגבול התחתון הוא ציון תקן שלילי.

האזור מוגדר בציוני תקן: מ-$z=-1$ עד $z=2$.

בכל התפלגות נורמלית השטח בין שני ציוני תקן זהה, בלי קשר לממוצע ולסטיית התקן.

לכן האחוז לא השתנה: $81.85\%$ (עכשיו בין 42 ל-57 דקות).

טעות נפוצה: לענות שהאחוז השתנה, כי "ההתפלגות התרחבה וזזה". גבולות האזור זזו והתרחבו בדיוק באותה מידה.

קופסה א': $P(\text{אדום})=\frac{5}{12}$, $P(\text{כחול})=\frac{7}{12}$. קופסה ב': $P(\text{אדום})=\frac{6}{15}$, $P(\text{כחול})=\frac{9}{15}$.

טעות נפוצה: לחשב רק "אדום מא' וכחול מב'" ולקבל $\frac{45}{180}=\frac14$. יש גם את המסלול ההפוך.

המשלים הוא "שני עטים כחולים":

טעות נפוצה: לחסר מ-1 את ההסתברות לשני אדומים, $1-\frac{30}{180}=\frac56$. המשלים של "לפחות אדום אחד" הוא "אף אדום".

$P(\text{שני אדומים})=\frac{5}{12}\cdot\frac{6}{15}=\frac{30}{180}$, והמאורע מוכל ב"לפחות אדום אחד":

טעות נפוצה: לענות $\frac{30}{180}=\frac16$, ההסתברות הלא מותנית.

בקופסה ג': $11+x$ אדומים ו-16 כחולים, בסך הכול $27+x$ עטים.

$x=-61$ נפסל, ולכן $x=8$.

טעות נפוצה: לחשב עם החזרה, $\left(\frac{16}{27+x}\right)^2=\frac{24}{119}$, ולקבל $x\approx8.6$ - לא מספר שלם של עטים.

$AE$ מקביל לציר ה-$y$, ו-$EP$ (על הישר $CP$) מקביל לציר ה-$x$. לכן $AE\perp EP$, כלומר $\angle AEP=90^\circ$.

$P$ נמצאת על הצלע $AB$, ולכן $\angle CBP=\angle ABC=90^\circ$ (נתון).

$\angle APE=\angle CPB$ - זוויות קודקודיות (הישרים $AB$ ו-$EC$ נחתכים ב-$P$).

לכן $\triangle AEP\sim\triangle CBP$ לפי משפט הדמיון ז.ז. (סדר הקודקודים: $A\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow B$, $P\leftrightarrow P$).

טעות נפוצה: לנמק ש-$\angle EAP=\angle BCP$ כזוויות מתחלפות בין 'הישרים המקבילים' $AE$ ו-$CB$ - אבל $CB$ אינו מקביל ל-$AE$ (הוא אינו אנכי), ולכן הנימוק פסול. השוויון נובע מהדמיון, לא להפך.

$AP$ ו-$CP$ הן צלעות מתאימות (כל אחת מול הזווית הישרה במשולש שלה):

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולקבל $AP=\frac52\cdot25=62.5$.

$P(0,y_P)$, ו-$AP=10$:

נתון $y_P<17$, ולכן $P(0,9)$. $C$ על הישר $y=9$, במרחק 25 מ-$P$, מימין לציר ה-$y$: $C(25,9)$.

טעות נפוצה: לבחור $y_P=25$ ולקבל $P(0,25)$ ו-$C(25,25)$, בניגוד לנתון.

$P(0,9)$ היא נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$: $y=-\frac43x+9$.

טעות נפוצה: לחלק את הפרש ה-$x$ בהפרש ה-$y$ ולקבל $y=-\frac34x+9$.

$CB\perp AB$, ולכן $m_{CB}=\frac34$. דרך $C(25,9)$: $y=\frac34(x-25)+9$.

$y=-\frac43\cdot9+9=-3$, ולכן $B(9,-3)$.

טעות נפוצה: להחליף רק את הסימן ($m_{CB}=\frac43$) ולקבל $B\left(12.5,\,-7\tfrac23\right)$ - שם $CB$ אינו מאונך ל-$AB$.

$E(-6,9)$. האלכסון $EC$ על הישר $y=9$: $EC=25-(-6)=31$.

גובה המשולש $AEC$: $17-9=8$. גובה המשולש $EBC$: $9-(-3)=12$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה של $B$ את המרחק שלה מציר ה-$x$ (3) ולקבל $\frac{31\cdot(8+3)}{2}=170.5$.

$M(0,k)$ ו-$MA=MB$:

טעות נפוצה: לחבר הפרשים במקום לחשב מרחקים, $5+(k-4)=4+(7-k)$, ולקבל $k=5$.

טעות נפוצה: לכתוב $x^2+(y+4)^2=25$.

$y=0$: $x^2+16=25$, $x=\pm3$. לפי הסרטוט $C$ מימין: $C(3,0)$, $D(-3,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ולקבל $(0,9)$ ו-$(0,-1)$.

טעות נפוצה: לחשב $3-(-5)$ כ-$-2$ ולקבל $\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$.

האפשרויות: $63.435^\circ$ או $116.565^\circ$. המשולש חד זוויות, ולכן $\angle ABC\approx63.435^\circ$.

טעות נפוצה: להציב $2R=50$ ולקבל $\sin\angle ABC\approx0.179$, כלומר כ-$10.3^\circ$.

$ABCE$ מרובע חסום במעגל ($E$ על הקשת שאין עליה את $B$), ו-$B$, $E$ קודקודים נגדיים:

טעות נפוצה: לענות $2\cdot63.435^\circ=126.87^\circ$, כאילו זו זווית מרכזית.

במשולש $AEC$ (חסום באותו מעגל): $\sin\angle EAC=\frac{EC}{2R}=\frac{8}{10}=0.8$, ולכן $\angle EAC\approx53.13^\circ$ (חדה, כי $\angle AEC$ קהה).

טעות נפוצה: להציב $\sin\angle EAC=0.8$ במקום סינוס הזווית שבין $AC$ ל-$EC$, ולקבל $\frac12\cdot\sqrt{80}\cdot8\cdot0.8\approx28.6$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ne4$ - לשכוח להוציא שורש מ-$x^2=4$.

התחום $x\ne\pm2$ סימטרי ביחס ל-0.

טעות נפוצה: לכתוב $(-x)^2=-x^2$ ולקבל $f(-x)=\frac{-3x^2}{-x^2-4}+a=\frac{3x^2}{x^2+4}+a\ne f(x)$, ולהסיק שהפונקציה "אינה זוגית".

$f(1)=0$:

טעות נפוצה: לחשב $\frac{3}{1-4}=1$ (לשכוח את הסימן של המכנה) ולקבל $a=-1$.

$f(x)=\frac{3x^2}{x^2-4}+1$.

ציר ה-$y$: $f(0)=0+1=1$, הנקודה $(0,1)$.

ציר ה-$x$: $\frac{3x^2}{x^2-4}=-1$, $3x^2=-x^2+4$, $4x^2=4$, $x=\pm1$.

הנקודות: $(0,1)$, $(-1,0)$, $(1,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את $+1$ ולפתור $3x^2=0$, ולקבל שהגרף חותך את ציר ה-$x$ רק ב-$(0,0)$.

$f'(x)=0$ רק ב-$x=0$; משמאל $f'>0$ ומימין $f'<0$ - מקסימום. $f(0)=1$.

טעות נפוצה: להפוך את סדר האיברים במונה של כלל המנה, לקבל $f'=\frac{24x}{(x^2-4)^2}$ ולקבוע "מינימום" ב-$(0,1)$.

המכנה של $f'$ חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הפוך לסימן של $x$. מסמנים בטבלה גם את $x=\pm2$:

עלייה: $x<-2$ או $-2<x<0$. ירידה: $0<x<2$ או $x>2$.

טעות נפוצה: לכתוב "עלייה: $x<0$; ירידה: $x>0$" ולהתעלם מכך ש-$x=\pm2$ אינן בתחום.

אנכיות: $x=\pm2$ (המכנה מתאפס והמונה $12\ne0$).

אופקית: $\frac{3x^2}{x^2-4}\to3$, ולכן $f(x)\to3+1=4$: $y=4$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=3$ - לשכוח את התוספת $+1$.

מרכזים: אסימפטוטות $x=\pm2$, $y=4$; מקסימום $(0,1)$; חיתוכים $(\pm1,0)$; עלייה משמאל ל-0 וירידה מימין (בלי $\pm2$).

ענף אמצעי: מ-$-\infty$ ליד $x=-2$ עולה ל-$(0,1)$ ויורד ל-$-\infty$ ליד $x=2$.

ענף ימני: יורד מ-$+\infty$ ליד $x=2$ אל $y=4$ (מלמעלה). הענף השמאלי - שיקוף.

טעות נפוצה: לצייר את הענף האמצעי כ"גומה" (מינימום ב-$(0,1)$) הפונה למעלה. לפי ד(2) זו נקודת מקסימום, והענף יורד משני צדדיה אל $-\infty$.

$g(x)=f(x+5)$ - הזזה של גרף $f$ ב-5 יחידות שמאלה.

אנכיות: $x=2-5=-3$ ו-$x=-2-5=-7$. אופקית: לא משתנה, $y=4$.

טעות נפוצה: להזיז ימינה ולקבל $x=7$ ו-$x=3$.

גרף $g$ סימטרי ביחס לישר $x=-5$, לא ביחס לציר ה-$y$.

גם התחום אינו סימטרי ביחס ל-0: $g(3)$ מוגדרת אבל $g(-3)$ לא. לכן $g$ אינה זוגית.

טעות נפוצה: לענות "כן, כי $g$ היא הזזה של פונקציה זוגית". הזזה אופקית מזיזה גם את ציר הסימטריה.

טעות נפוצה: לפתור $3x+15>0$ (אי-שוויון חזק) ולהשמיט את $x=-5$, שבה השורש שווה 0 ומוגדר.

$f(0)=0$ - $(0,0)$.

$x^2=0$ או $\sqrt{3x+15}=0$: $x=0$ או $x=-5$ - $(0,0)$, $(-5,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את אפס השורש ולענות רק $(0,0)$.

הנגזרת של $\sqrt{3x+15}$ היא $\frac{3}{2\sqrt{3x+15}}$:

$f'=0$ ב-$x=-4$ וב-$x=0$.

סימנים: $-5<x<-4$ - $f'>0$; $-4<x<0$ - $f'<0$; $x>0$ - $f'>0$.

$x=-4$: עלייה ואז ירידה - מקסימום, $f(-4)=16\sqrt{3}$. $x=0$: ירידה ואז עלייה - מינימום $(0,0)$.

$x=-5$: התחום מתחיל שם והפונקציה עולה ממנו - מינימום בקצה $(-5,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם 3 מהנגזרת הפנימית ($\frac{1}{2\sqrt{3x+15}}$). מקבלים $f'=\frac{13x^2+60x}{2\sqrt{3x+15}}$ ומקסימום שגוי ב-$x=-\frac{60}{13}$.

הגרף מתחיל בנקודה $(-5,0)$ (נקודה מלאה), עולה למקסימום $(-4,16\sqrt3)\approx(-4,27.7)$, יורד למינימום $(0,0)$, ומשם עולה בלי הגבלה.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף גם משמאל ל-$x=-5$ - שם הפונקציה אינה מוגדרת.