מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 9 בדרך לבגרות

ציון התקן של 46 ס"מ:

הטבלה נותנת ישירות את השטח משמאל: $\Phi(1.2)=0.8849$.

כלומר 88.49% מהשתילים נמוכים מ-46 ס"מ.

טעות נפוצה: להפחית מ-1 ולענות 11.51% - זה אחוז השתילים הגבוהים מ-46 ס"מ. כאן מבקשים "נמוך מ-", וזה בדיוק מה שהטבלה נותנת.

ציון התקן של 33 ס"מ:

בטבלה: $\Phi(-1.4)=1-\Phi(1.4)=1-0.9192=0.0808$ - זה השטח משמאל ל-33.

השטח מימין:

כלומר 91.92% מהשתילים גבוהים מ-33 ס"מ.

טעות נפוצה: לעצור ב-$\Phi(-1.4)=0.0808$ ולענות 8.08% - זה אחוז השתילים הנמוכים מ-33 ס"מ.

השטח בין שני הערכים הוא השטח משמאל ל-46 פחות השטח משמאל ל-33 (סעיפים א ו-ב):

מספר השתילים:

טעות נפוצה: להפחית את התשובות של סעיפים א ו-ב זו מזו ($0.9192-0.8849=0.0343$) ולקבל כ-17 שתילים. מפחיתים שני שטחים משמאל - לא שטח משמאל ושטח מימין.

מעל הגובה המבוקש נמצאים 10% מהשתילים, ולכן משמאלו נמצאים 90%: מחפשים $z$ שעבורו $\Phi(z)=0.9$.

בטבלה: $\Phi(1.28)=0.8997$, הערך הקרוב ביותר, ולכן $z\approx1.28$.

מחזירים לגובה:

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.1, לקבל $z=-1.28$ ומשם גובה של 33.6 ס"מ - זה הגובה שמתחתיו נמצאים 10% הנמוכים ביותר.

טעות נפוצה: לחלק ב-4 ולקבל 3.75.

הסטיות: $-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$.

טעות נפוצה: לענות $S_x=2$ - זו השונות, בלי השורש.

הסטיות של $x$: $-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$. הסטיות של $y$ מהממוצע 6: $-3,\ -1,\ -2,\ 2,\ 4$.

המכפלות: $6,\ 1,\ 0,\ 2,\ 8$, וסכומן 17.

טעות נפוצה: לעצור בסכום ולענות 17 - השונות המשותפת היא הממוצע של המכפלות.

זה קשר חיובי חזק: שחקן שמתאמן יותר קולע בדרך כלל יותר.

טעות נפוצה: לחלק בשונויות במקום בסטיות התקן: $\frac{3.4}{2\cdot6.8}=0.25$, ולהסיק בטעות שהקשר חלש.

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(3,6)$:

טעות נפוצה: להעביר אגף עם סימן שגוי, $b=6+5.1=11.1$, ולקבל $y=1.7x+11.1$ - ישר שאינו עובר בנקודת הממוצעים.

הניבוי: כ-6.85 קליעות מתוך 10.

טעות נפוצה: להציב 3.5 במקום $y$ ולקבל $x=\frac{3.5-0.9}{1.7}\approx1.53$.

הוספת 2 לכל ערך של $y$ מגדילה את הממוצע ב-2 ($\bar y=8$) ולא משנה את הסטיות מהממוצע.

לכן לא משתנים $S_y$, השונות המשותפת ומקדם המתאם: $r\approx0.922$, והשיפוע נשאר 1.7.

הישר החדש עובר בנקודת הממוצעים $(3,8)$:

טעות נפוצה: להוסיף 2 גם לשיפוע ולכתוב $y=3.7x+0.9$. הוספת קבוע לכל ערכי $y$ מזיזה את הישר כלפי מעלה בלבד.

הבנים הם $1-0.6=0.4$ מהמשתתפים. נסמן ב-$y$ את ההסתברות לבחור בן שאינו עוסק בספורט; ההסתברות לבחור בן שעוסק בספורט היא $3y$.

טעות נפוצה: לחלק את 0.4 ב-3 ולקבל $0.133$ - אבל הבנים מתחלקים ל-4 חלקים: חלק אחד לא עוסקים ושלושה עוסקים.

הבנות הן 0.6 מהמשתתפים, ו-0.2 מכלל המשתתפים הן בנות שאינן עוסקות:

טעות נפוצה: לפרש את ה-20% כאחוז מתוך הבנות ($0.6\cdot0.2=0.12$) ולקבל $0.6-0.12=0.48$.

מחברים את שני התאים הזרים - בנים שאינם עוסקים ובנות שאינן עוסקות:

טעות נפוצה: לענות 0.2 - לספור רק את הבנות שאינן עוסקות בספורט.

הבחירה היא מבין הבנות בלבד - הסתברות מותנית:

טעות נפוצה: להפוך את ההתניה ולחשב $P(\text{בת}\mid\text{לא עוסק})=\frac{0.2}{0.3}=\frac23$.

לכן $AB\perp BC$ ו-$\angle ABC=90^\circ$.

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע של $BC$ כ-$\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{4}{2}=2$, לקבל מכפלה $-4$ ולהסיק שהצלעות אינן מאונכות.

הישר עובר דרך $A(0,6)$ בשיפוע $-2$:

מציבים $y=0$: $2x=6$, $x=3$, ולכן $E(3,0)$.

טעות נפוצה: שגיאת סימן בהעברת אגף, $-2x=6$, ולקבל $E(-3,0)$ - משמאל לראשית, בניגוד לאיור.

$\angle AOE=90^\circ$ (זווית בין הצירים), $\angle CBE=\angle ABC=90^\circ$ (סעיף א), $\angle AEO=\angle CEB$ (קודקודיות).

לכן $\triangle AOE\sim\triangle CBE$ לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $O\leftrightarrow B$, $E\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: לכתוב $\triangle AOE\sim\triangle BCE$ (להתאים את $A$ ל-$B$); אז בסעיף ד מתאימים את $AE$ ל-$BE=\sqrt5$ ומקבלים יחס $\frac{3\sqrt5}{\sqrt5}=3$ במקום $\frac{3\sqrt5}{5}$.

היתרים מתאימים:

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

(בדיקה: $S_{AOE}=\frac12\cdot3\cdot6=9$ ו-$S_{CBE}=\frac12\cdot BE\cdot BC=\frac12\cdot\sqrt5\cdot\sqrt{20}=5$.)

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולחשב $\left(\frac{CE}{AE}\right)^2=\frac{25}{45}=\frac59\approx0.556$ - זה פי כמה קטן שטח $CBE$, ולא פי כמה גדול שטח $AOE$.

מציבים $y=-2$: $(x+1)^2+16=25$, $(x+1)^2=9$, $x+1=\pm3$.

$x=-4$ או $x=2$. $B$ משמאל, ולכן $B(-4,-2)$ ו-$C(2,-2)$, ו-$BC=6$.

טעות נפוצה: לפתור את $(x+1)^2=9$ כ-$x=1\pm3$ (סימן הפוך) ולקבל $B(-2,-2)$, $C(4,-2)$ - נקודות שאינן על המעגל.

$MA=MB=MC$ (רדיוסים), $AB=CB$ (נתון), ולכן $\triangle AMB\cong\triangle CMB$ (צ.צ.צ.).

לכן $\angle AMB=\angle CMB$, ו-$MB$ חוצה את הזווית $AMC$.

טעות נפוצה: לכתוב חפיפה לפי צ.ז.צ. עם הזוויות $\angle AMB$ ו-$\angle CMB$ - אבל השוויון שלהן הוא בדיוק מה שצריך להוכיח.

במשולש שווה השוקיים $MBC$ ($MB=MC=5$) האנך מ-$M$ חוצה את $BC$, ולכן במשולש ישר הזווית שנוצר: $\cos\angle MBC=\frac{3}{5}=0.6$.

$\angle MBC\approx53.13^\circ$, וזוויות הבסיס שוות, ולכן $\angle BMC=180^\circ-2\cdot53.13^\circ=73.74^\circ$.

$\angle BAC$ זווית היקפית הנשענת על הקשת $BC$: $\angle BAC=\frac{73.74^\circ}{2}=36.87^\circ$.

טעות נפוצה: לענות ש-$\angle BAC=\angle BMC=73.74^\circ$ - הזווית ההיקפית היא מחצית המרכזית.

המשולש $AMC$ שווה שוקיים ($MA=MC$), ו-$MB$ חוצה את זווית הראש שלו (סעיף ב). חוצה זווית הראש במשולש שווה שוקיים הוא גם גובה, ולכן $MB\perp AC$.

במשולש $BNC$ ($\angle N=90^\circ$): $BN=BC\cdot\cos\angle MBC=6\cdot0.6=3.6$.

$MN=MB-BN=5-3.6=1.4$.

טעות נפוצה: לחשב $BN$ כאילו $N$ אמצע $BC$: $BN=3$ - אבל $N$ על $AC$, לא על $BC$.

לשני המשולשים בסיס משותף $AC$, והגבהים אליו הם $MN$ ו-$BN$ (שניהם על הישר $MB\perp AC$):

טעות נפוצה: לקחת כגובה של $AMC$ את הרדיוס $MB=5$ ולקבל $\frac{5}{3.6}\approx1.39$.

$x^2-1=0$ כש-$x=1$ או $x=-1$. תחום ההגדרה: $x\ne\pm1$.

טעות נפוצה: לפסול רק את $x=1$ (לשכוח את הפתרון השלילי של $x^2=1$).

ב-$x=\pm1$ המכנה מתאפס והמונה (1) לא - אסימפטוטות אנכיות.

מעלות המונה והמכנה שוות, ויחס המקדמים המובילים הוא $\frac11$: $y=1$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=0$ - זו האסימפטוטה כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה, וכאן הן שוות.

$f'=0$ רק ב-$x=0$. המכנה חיובי: $x<0$ (חוץ מ-$-1$) $f'>0$, $x>0$ (חוץ מ-1) $f'<0$.

מעלייה לירידה - מקסימום: $(0,0)$.

טעות נפוצה: לקבוע את הסוג רק לפי הסימן של $-2x$ בלי טבלה, ולטעות בכיוון - לכתוב $\min(0,0)$.

$f(-x)=f(x)$ - הגרף סימטרי לציר ה-$y$.

כש-$|x|>1$: המונה והמכנה חיוביים ו-$x^2>x^2-1$, ולכן $f(x)>1$: הענפים בצדדים מעל האסימפטוטה $y=1$ ועולים ל-$+\infty$ ליד $x=\pm1$.

בין $-1$ ל-1: המכנה שלילי, $f\le0$, מקסימום $(0,0)$ וירידה ל-$-\infty$ ליד $x=\pm1$.

טעות נפוצה: לצייר את הענפים החיצוניים מתחת ל-$y=1$ - אבל $\frac{x^2}{x^2-1}>1$ כשהמכנה חיובי.

$f$ עולה כש-$x<0$ ויורדת כש-$x>0$, ולכן $f'>0$ משמאל ל-0 ו-$f'<0$ מימין ל-0 - גם ליד האסימפטוטות.

ליד $x=-1$ הנגזרת חיובית משני הצדדים ($+\infty$), וליד $x=1$ שלילית משני הצדדים ($-\infty$). זה גרף 1.

טעות נפוצה: לבחור בגרף 2, שבו הסימנים הפוכים - כאילו $f$ יורדת משמאל ל-0.

$f'$ מתאפסת ב-0 וחיובית בין $-\frac12$ ל-0, ולכן:

טעות נפוצה: להציב בנגזרת: $f'(0)-f'\left(-\frac12\right)=0-\frac{16}9$, ולענות $\frac{16}9$.

$x^2-9=0$: $x=\pm3$. $f(0)=-9$. הפרבולה סימטרית לציר ה-$y$, והקודקוד $(0,-9)$.

טעות נפוצה: לכתוב רק $x=3$ ולשכוח את הפתרון השלילי $x=-3$.

$x^2-9\ge0$: מחוץ לשורשים, כולל השורשים. $x\le-3$ או $x\ge3$.

טעות נפוצה: להוציא שורש משני האגפים, $x\ge3$, ולאבד את הענף $x\le-3$.

$g=0$ כש-$x=\pm3$. $x=0$ אינו בתחום ($f(0)=-9$), ולכן אין חיתוך עם ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לכתוב $g(0)=\sqrt9=3$ ולהוסיף נקודה $(0,3)$ - הסימן של $-9$ נשכח.

$g'(x)=0$ רק ב-$x=0$, שאינו בתחום. הסימן של $g'$ הוא הסימן של $x$: שלילי ב-$x<-3$ (יורדת), חיובי ב-$x>3$ (עולה).

בקצוות $g=0$ ושאר הערכים חיוביים - מינימום בקצה: $(-3,0)$ ו-$(3,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב מקסימום ב-$x=0$ כי $g'(0)=0$ - $x=0$ אינו בתחום ההגדרה.

התחום $x\le-3$ או $x\ge3$, הגרף לא שלילי, ו-$g(-x)=g(x)$ - סימטרי לציר ה-$y$.

ענף שמאלי יורד ונעצר ב-$(-3,0)$; ענף ימני מתחיל ב-$(3,0)$ ועולה. בין $-3$ ל-3 אין גרף.

טעות נפוצה: לסרטט גם קשת בין $-3$ ל-3 - שם $g$ אינה מוגדרת.

$f(0)=\frac{8}{-2}=-4$: $A(0,-4)$.

טעות נפוצה: לכתוב $f'(x)=\frac{8}{(x-2)^2}$ בלי המינוס - הפונקציה יורדת בכל ענף, ולכן הנגזרת שלילית.

המשיק עובר ב-$A(0,-4)$ על ציר ה-$y$, ולכן $y=-2x-4$.

טעות נפוצה: לשכוח את הריבוע במכנה - $f'(0)=\frac{-8}{-2}=4$ - ולקבל $y=4x-4$.

$B\left(t,\frac{8}{t-2}\right)$, $C(t,-2t-4)$. $B$ מעל ציר ה-$x$ ו-$C$ מתחתיו, ולכן

טעות נפוצה: לחסר $y_C-y_B$ ולקבל ביטוי שלילי, $-\frac{8}{t-2}-2t-4$.

בתחום $t>2$: $t=4$. $BC'(3)=-6<0$, $BC'(6)=1.5>0$ - מינימום.

טעות נפוצה: לבחור את $t=0$, שנמצא בענף השמאלי ולא בתחום $t>2$.