מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 13 בדרך לבגרות

4 יח"ל · שאלון 035471 · 8 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 471 (4 יח"ל), בדרך לבגרות: 8 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · התפלגות נורמלית: שקיות עוגיות משתי מכונות

מכונה A במפעל ממלאת שקיות עוגיות. משקלי השקיות שהיא ממלאת מתפלגים נורמלית עם ממוצע של 250 גרם וסטיית תקן של 4 גרם. שקית שמשקלה קטן מ-243 גרם נפסלת.

א.

בוחרים באקראי שקית שמילאה מכונה A. מהי ההסתברות שהשקית תיפסל?

ב.

מכונה B ממלאת שקיות שמשקלן הממוצע 255 גרם. ביום מסוים מילאה מכונה A 600 שקיות, ומכונה B מילאה 400 שקיות.

מהו המשקל הממוצע של כל 1,000 השקיות?

ג.

נתון כי משקלי כל 1,000 השקיות מתפלגים נורמלית, וכי 159 מהן שוקלות פחות מ-247 גרם.

(1)

הראו כי ציון התקן של 247 גרם בהתפלגות של כל השקיות הוא בקירוב −1-1−1.

(2)

מצאו את סטיית התקן של משקלי כל השקיות.

ד.

בוחרים באקראי שקית מבין כל 1,000 השקיות. מהי ההסתברות שהשקית תיפסל?

ה.

כמה שקיות, בקירוב, צפויות להיפסל מבין 1,000 השקיות?

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

0.04010.04010.0401

z=243−2504=−1.75z=\frac{243-250}{4}=-1.75z=4243−250​=−1.75
P(X<243)=Φ(−1.75)=0.0401P(X<243)=\Phi(-1.75)=0.0401P(X<243)=Φ(−1.75)=0.0401
טעות נפוצה: לענות 1−0.0401=0.95991-0.0401=0.95991−0.0401=0.9599 - זו ההסתברות שהשקית לא תיפסל.

סעיף ב

תשובה:

252 גרם

xˉ=600⋅250+400⋅2551000=150000+1020001000=252\bar x=\frac{600\cdot250+400\cdot255}{1000}=\frac{150000+102000}{1000}=252xˉ=1000600⋅250+400⋅255​=1000150000+102000​=252
טעות נפוצה: לחשב 250+2552=252.5\frac{250+255}{2}=252.52250+255​=252.5 - מכונה A מילאה יותר שקיות, ולכן הממוצע קרוב יותר ל-250.

סעיף ג(1)

תשובה:

1591000=0.159≈Φ(−1)\frac{159}{1000}=0.159\approx\Phi(-1)1000159​=0.159≈Φ(−1)

P(X<247)=1591000=0.159P(X<247)=\frac{159}{1000}=0.159P(X<247)=1000159​=0.159
בטבלה: Φ(−1)=0.1587\Phi(-1)=0.1587Φ(−1)=0.1587, הערך הקרוב ביותר ל-0.159, ולכן z≈−1z\approx-1z≈−1.
טעות נפוצה: לקרוא בטבלה את Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413Φ(1)=0.8413 ולקבוע z=+1z=+1z=+1 - ציון תקן חיובי שייך לערך שמעל הממוצע, אבל רק 15.9% מהשקיות קלות מ-247.

סעיף ג(2)

תשובה:

5 גרם

הממוצע של כל השקיות הוא 252 (סעיף ב):
−1=247−252σ⇒σ=5-1=\frac{247-252}{\sigma}\quad\Rightarrow\quad\sigma=5−1=σ247−252​⇒σ=5
טעות נפוצה: להציב את הממוצע של מכונה A, 250: σ=3\sigma=3σ=3.

סעיף ד

תשובה:

0.03590.03590.0359

z=243−2525=−1.8P(X<243)=Φ(−1.8)=0.0359z=\frac{243-252}{5}=-1.8\qquad P(X<243)=\Phi(-1.8)=0.0359z=5243−252​=−1.8P(X<243)=Φ(−1.8)=0.0359
טעות נפוצה: להשתמש בממוצע של מכונה A עם סטיית התקן החדשה: z=243−2505=−1.4z=\frac{243-250}{5}=-1.4z=5243−250​=−1.4, ולקבל 0.0808.

סעיף ה

תשובה:

36 שקיות בקירוב

מספר צפוי = ההסתברות כפול מספר השקיות:
0.0359⋅1000=35.9≈360.0359\cdot1000=35.9\approx360.0359⋅1000=35.9≈36
טעות נפוצה: לכפול ב-600 (השקיות של מכונה A בלבד) ולקבל כ-22 שקיות. ההסתברות מסעיף ד מתייחסת לכל 1,000 השקיות.

שאלה 2 · ישר הרגרסיה: מחיר ומכירות

בעל חנות בדק במשך 5 ימים את הקשר בין מחיר של מוצר בשקלים (המשתנה xxx) ובין מספר יחידות המוצר שנמכרו באותו יום, במאות (המשתנה yyy). הנתונים מוצגים בדיאגרמת הפיזור שלפניכם.
01234560246810

א.

האם הקשר בין xxx ל-yyy חיובי או שלילי? האם הוא קשר מושלם? נמקו.

ב.

חשבו את הממוצע של xxx ואת הממוצע של yyy.

ג.

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yyy על פי xxx היא y=−1.6x+by=-1.6x+by=−1.6x+b. מצאו את bbb, ונבאו את מספר היחידות שיימכרו ביום שבו המחיר הוא 3.5 שקלים.

ד.

התברר שבכל אחד מ-5 הימים נמכרו 200 יחידות נוספות (2 מאות) שלא נרשמו. אחרי התיקון, האם מקדם המתאם משתנה? כתבו את משוואת ישר הרגרסיה החדש.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

קשר שלילי שאינו מושלם

ככל שהמחיר עולה, מספר היחידות שנמכרו יורד - קשר שלילי.
הנקודות אינן על ישר אחד: מ-x=1x=1x=1 ל-x=2x=2x=2 הירידה היא 1, ומ-x=2x=2x=2 ל-x=3x=3x=3 הירידה היא 2. לכן הקשר אינו מושלם (−1<r<0-1<r<0−1<r<0).
טעות נפוצה: לקבוע שהקשר מושלם (r=−1r=-1r=−1) כי כל נקודה נמוכה מקודמתה. קשר מושלם דורש שכל הנקודות יהיו על ישר אחד, כלומר ירידה קבועה.

סעיף ב

תשובה:

xˉ=3\bar x=3xˉ=3, yˉ=6\bar y=6yˉ​=6

xˉ=1+2+3+4+55=3,yˉ=9+8+6+4+35=305=6\bar x=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3,\qquad\bar y=\frac{9+8+6+4+3}{5}=\frac{30}{5}=6xˉ=51+2+3+4+5​=3,yˉ​=59+8+6+4+3​=530​=6
טעות נפוצה: לקרוא את הנקודה שב-x=3x=3x=3 כ-(3,7)(3,7)(3,7) (קו הרשת הקרוב) ולקבל yˉ=315=6.2\bar y=\frac{31}{5}=6.2yˉ​=531​=6.2. ערכי הנקודות נקראים בדיוק מול קווי הרשת.

סעיף ג

תשובה:

b=10.8b=10.8b=10.8; ניבוי: 5.25.25.2 מאות יחידות (520 יחידות)

ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים (3,6)(3,6)(3,6):
6=−1.6⋅3+b⇒b=6+4.8=10.86=-1.6\cdot3+b\quad\Rightarrow\quad b=6+4.8=10.86=−1.6⋅3+b⇒b=6+4.8=10.8
ניבוי עבור x=3.5x=3.5x=3.5:
y=−1.6⋅3.5+10.8=−5.6+10.8=5.2y=-1.6\cdot3.5+10.8=-5.6+10.8=5.2y=−1.6⋅3.5+10.8=−5.6+10.8=5.2
כלומר כ-520 יחידות.
טעות נפוצה: לכתוב 6=−1.6⋅3+b6=-1.6\cdot3+b6=−1.6⋅3+b ולהעביר אגף עם סימן שגוי: b=6−4.8=1.2b=6-4.8=1.2b=6−4.8=1.2, ואז הניבוי יוצא −4.4-4.4−4.4 - מספר שלילי של יחידות.

סעיף ד

תשובה:

מקדם המתאם לא משתנה; y=−1.6x+12.8y=-1.6x+12.8y=−1.6x+12.8

מוסיפים 2 לכל ערכי yyy - כל הנקודות זזות 2 למעלה. הסידור היחסי שלהן לא משתנה, ולכן rrr לא משתנה, וגם SyS_ySy​ לא משתנה. לכן השיפוע נשאר −1.6-1.6−1.6.
הממוצע החדש: yˉ=6+2=8\bar y=6+2=8yˉ​=6+2=8. הישר עובר ב-(3,8)(3,8)(3,8):
8=−1.6⋅3+b′⇒b′=12.88=-1.6\cdot3+b'\quad\Rightarrow\quad b'=12.88=−1.6⋅3+b′⇒b′=12.8
טעות נפוצה: להוסיף 2 לשיפוע במקום לחותך ולקבל y=0.4x+10.8y=0.4x+10.8y=0.4x+10.8 - ישר עולה, אף על פי שהנקודות רק זזו למעלה.

שאלה 3 · הסתברות מותנית: קריאת ספרים וציון במבחן

בשכבה של בית ספר 25% מהתלמידים קוראים ספרים בקביעות, והשאר אינם קוראים בקביעות. 80% מהתלמידים שקוראים בקביעות קיבלו ציון גבוה במבחן בספרות. 40% מהתלמידים שאינם קוראים בקביעות קיבלו ציון גבוה במבחן בספרות.

א.

בנו טבלה דו-ממדית של הסתברויות: קורא בקביעות / לא קורא בקביעות מול ציון גבוה / ציון לא גבוה.

ב.

בוחרים באקראי תלמיד מהשכבה. מהי ההסתברות שהוא קיבל ציון גבוה במבחן?

ג.

ידוע כי נבחר תלמיד שקיבל ציון גבוה. מהי ההסתברות שהוא קורא ספרים בקביעות?

ד.

יעל קוראת ספרים בקביעות, ואורי אינו קורא בקביעות. למי מהם הסתברות גדולה יותר לקבל ציון גבוה במבחן? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

קורא וגבוה 0.2, קורא ולא גבוה 0.05, לא קורא וגבוה 0.3, לא קורא ולא גבוה 0.45

כל תא בטבלה הוא הסתברות של חיתוך: הסתברות הקבוצה כפול ההסתברות המותנית בתוכה.
P(קורא∩גבוה)=0.25⋅0.8=0.2,P(קורא∩לא גבוה)=0.25⋅0.2=0.05P(\text{קורא}\cap\text{גבוה})=0.25\cdot0.8=0.2,\qquad P(\text{קורא}\cap\text{לא גבוה})=0.25\cdot0.2=0.05P(קורא∩גבוה)=0.25⋅0.8=0.2,P(קורא∩לא גבוה)=0.25⋅0.2=0.05
P(לא קורא∩גבוה)=0.75⋅0.4=0.3,P(לא קורא∩לא גבוה)=0.75⋅0.6=0.45P(\text{לא קורא}\cap\text{גבוה})=0.75\cdot0.4=0.3,\qquad P(\text{לא קורא}\cap\text{לא גבוה})=0.75\cdot0.6=0.45P(לא קורא∩גבוה)=0.75⋅0.4=0.3,P(לא קורא∩לא גבוה)=0.75⋅0.6=0.45
בדיקה: סכום ארבעת התאים 0.2+0.05+0.3+0.45=10.2+0.05+0.3+0.45=10.2+0.05+0.3+0.45=1.
טעות נפוצה: לכתוב בתא "קורא וגבוה" את 0.8 - זו ההסתברות המותנית בתוך הקוראים; אז סכום התאים יוצא גדול מ-1.

סעיף ב

תשובה:

0.5

ציון גבוה מתקבל בשני מקרים זרים: קורא וגבוה, או לא קורא וגבוה. מחברים את שני התאים מהטבלה:
P(גבוה)=0.2+0.3=0.5P(\text{גבוה})=0.2+0.3=0.5P(גבוה)=0.2+0.3=0.5
טעות נפוצה: לחשב ממוצע פשוט של האחוזים, 0.8+0.42=0.6\frac{0.8+0.4}{2}=0.620.8+0.4​=0.6, בלי להתחשב בכך שהקוראים הם רק רבע מהתלמידים.

סעיף ג

תשובה:

0.4

התנאי הוא "ציון גבוה", ולכן מחלקים בהסתברות שמצאנו בסעיף ב:
P(קורא∣גבוה)=P(קורא∩גבוה)P(גבוה)=0.20.5=0.4P(\text{קורא}\mid\text{גבוה})=\frac{P(\text{קורא}\cap\text{גבוה})}{P(\text{גבוה})}=\frac{0.2}{0.5}=0.4P(קורא∣גבוה)=P(גבוה)P(קורא∩גבוה)​=0.50.2​=0.4
טעות נפוצה: לענות 0.8 - זו ההסתברות לציון גבוה מתוך הקוראים, כלומר ההתניה בכיוון ההפוך.

סעיף ד

תשובה:

ליעל

משווים הסתברויות מותנות, כל אחת בתוך הקבוצה של התלמיד:
P(גבוה∣קורא)=0.8>P(גבוה∣לא קורא)=0.4P(\text{גבוה}\mid\text{קורא})=0.8>P(\text{גבוה}\mid\text{לא קורא})=0.4P(גבוה∣קורא)=0.8>P(גבוה∣לא קורא)=0.4
ולכן ליעל הסתברות גדולה יותר.
טעות נפוצה: להשוות את התאים בטבלה - 0.3>0.20.3>0.20.3>0.2 - ולענות שלאורי הסתברות גדולה יותר. התאים מושפעים מגודל הקבוצות, ולא מתארים את הסיכוי של תלמיד בתוך הקבוצה שלו.

שאלה 4 · מקבילית במערכת צירים: קודקוד, זווית ודמיון

במקבילית ABCDABCDABCD: A(−9,0)A(-9,0)A(−9,0), B(3,0)B(3,0)B(3,0), C(0,6)C(0,6)C(0,6). הקודקוד CCC נמצא על ציר ה-yyy, ו-OOO היא ראשית הצירים. האלכסון BDBDBD חותך את COCOCO בנקודה EEE (ראו ציור).
ABCDEO

א.

מצאו את שיעורי הקודקוד DDD.

ב.

חשבו את הזווית ABCABCABC.

ג.

הוכיחו כי המשולשים OEBOEBOEB ו-CEDCEDCED דומים, ומצאו את יחס הדמיון.

ד.

מצאו את שיעורי הנקודה EEE.

ה.

חשבו את שטח המשולש BECBECBEC.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

D(−12,6)D(-12,6)D(−12,6)

במקבילית DC∥ABDC\parallel ABDC∥AB, ולכן DCDCDC אופקי ו-DDD על הישר y=6y=6y=6.
DC=AB=3−(−9)=12DC=AB=3-(-9)=12DC=AB=3−(−9)=12, ו-DDD משמאל ל-CCC: xD=0−12=−12x_D=0-12=-12xD​=0−12=−12.
D(−12,6)D(-12,6)D(−12,6).
טעות נפוצה: להציב את DDD בדיוק מעל AAA, D(−9,6)D(-9,6)D(−9,6) - כך מתקבל טרפז ולא מקבילית (DC=9≠ABDC=9\neq ABDC=9=AB).

סעיף ב

תשובה:

∠ABC≈63.43∘\angle ABC\approx63.43^\circ∠ABC≈63.43∘

במשולש BOCBOCBOC (∠O=90∘\angle O=90^\circ∠O=90∘): OB=3OB=3OB=3, OC=6OC=6OC=6.
tan⁡∠ABC=OCOB=63=2⇒∠ABC≈63.43∘\tan\angle ABC=\frac{OC}{OB}=\frac63=2\quad\Rightarrow\quad\angle ABC\approx63.43^\circtan∠ABC=OBOC​=36​=2⇒∠ABC≈63.43∘
טעות נפוצה: להפוך את היחס, tan⁡=36\tan=\frac36tan=63​, ולקבל 26.57∘26.57^\circ26.57∘ - זו הזווית OCBOCBOCB.

סעיף ג

תשובה:

דומים לפי ז.ז.; יחס הדמיון OBCD=14\frac{OB}{CD}=\frac14CDOB​=41​

CO⊥ABCO\perp ABCO⊥AB ו-DC∥ABDC\parallel ABDC∥AB, ולכן ∠EOB=∠ECD=90∘\angle EOB=\angle ECD=90^\circ∠EOB=∠ECD=90∘. ∠OEB=∠CED\angle OEB=\angle CED∠OEB=∠CED (קודקודיות). לפי ז.ז. המשולשים דומים.
יחס הדמיון: OBCD=312=14\frac{OB}{CD}=\frac{3}{12}=\frac14CDOB​=123​=41​.
טעות נפוצה: לחשב OBOA=39=13\frac{OB}{OA}=\frac39=\frac13OAOB​=93​=31​ - OAOAOA אינה צלע במשולש CEDCEDCED.

סעיף ד

תשובה:

E(0,1.2)E(0,1.2)E(0,1.2)

לפי הדמיון OEEC=14\frac{OE}{EC}=\frac14ECOE​=41​: OC=6OC=6OC=6 מחולק ל-5 חלקים שווים, ו-OEOEOE הוא אחד מהם.
OE=15⋅6=1.2OE=\frac15\cdot6=1.2OE=51​⋅6=1.2
E(0,1.2)E(0,1.2)E(0,1.2).
טעות נפוצה: לקחת OE=14⋅6=1.5OE=\frac14\cdot6=1.5OE=41​⋅6=1.5 - היחס 1:41:41:4 פירושו שבכל הקטע יש 5 חלקים.

סעיף ה

תשובה:

7.2

הבסיס ECECEC על ציר ה-yyy: EC=6−1.2=4.8EC=6-1.2=4.8EC=6−1.2=4.8. הגובה מ-BBB לציר ה-yyy הוא OB=3OB=3OB=3.
SBEC=4.8⋅32=7.2S_{BEC}=\frac{4.8\cdot3}{2}=7.2SBEC​=24.8⋅3​=7.2
טעות נפוצה: לקחת את כל OCOCOC כבסיס ולקבל 6⋅32=9\frac{6\cdot3}{2}=926⋅3​=9 - זה שטח המשולש BOCBOCBOC.

שאלה 5 · מעגל חסום במשולש ישר זווית: ריבוע, משוואה ומשיקים

המשולש ABOABOABO ישר זווית, OOO ראשית הצירים, AAA על החלק השלילי של ציר ה-xxx ו-BBB על החלק החיובי של ציר ה-yyy.
במשולש חסום מעגל שמרכזו CCC, המשיק לצלעות AOAOAO, BOBOBO ו-ABABAB בנקודות DDD, EEE ו-FFF בהתאמה.
ABCDEFO

א.

הוכיחו כי המרובע OECDOECDOECD הוא ריבוע.

ב.

נתון: D(−3,0)D(-3,0)D(−3,0).

מצאו את משוואת המעגל.

ג.

נתון: A(−7,0)A(-7,0)A(−7,0).

מצאו את אורך הקטע AFAFAF.

ד.

חשבו את גודל הזווית CADCADCAD.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

הוכחה: מלבן עם צלעות סמוכות שוות

∠DOE=90∘\angle DOE=90^\circ∠DOE=90∘ (הצירים מאונכים).
רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה: CD⊥AOCD\perp AOCD⊥AO ו-CE⊥BOCE\perp BOCE⊥BO, ולכן ∠CDO=∠CEO=90∘\angle CDO=\angle CEO=90^\circ∠CDO=∠CEO=90∘.
מרובע עם שלוש זוויות ישרות הוא מלבן, ו-CD=CECD=CECD=CE (רדיוסים) - מלבן עם שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.
טעות נפוצה: להסתפק בזוויות הישרות - כך מתקבל מלבן; הריבוע נובע מ-CD=CECD=CECD=CE.

סעיף ב

תשובה:

(x+3)2+(y−3)2=9(x+3)^2+(y-3)^2=9(x+3)2+(y−3)2=9

CD=OD=3CD=OD=3CD=OD=3, והמרכז מעל DDD: C(−3,3)C(-3,3)C(−3,3).
(x+3)2+(y−3)2=9(x+3)^2+(y-3)^2=9(x+3)2+(y−3)2=9
טעות נפוצה: לכתוב (x−3)2+(y+3)2=9(x-3)^2+(y+3)^2=9(x−3)2+(y+3)2=9.

סעיף ג

תשובה:

AF=4AF=4AF=4

AD=7−3=4AD=7-3=4AD=7−3=4.
AFAFAF ו-ADADAD הם קטעי משיקים מאותה נקודה AAA, ולכן AF=AD=4AF=AD=4AF=AD=4.
טעות נפוצה: לבלבל בין ADADAD ל-AOAOAO ולענות AF=7AF=7AF=7.

סעיף ד

תשובה:

∠CAD≈36.87∘\angle CAD\approx36.87^\circ∠CAD≈36.87∘

במשולש CDACDACDA: ∠CDA=90∘\angle CDA=90^\circ∠CDA=90∘, הניצב שמול הזווית CD=3CD=3CD=3 והניצב הסמוך AD=4AD=4AD=4:
tan⁡∠CAD=34⇒∠CAD≈36.87∘\tan\angle CAD=\frac34\quad\Rightarrow\quad\angle CAD\approx36.87^\circtan∠CAD=43​⇒∠CAD≈36.87∘
טעות נפוצה: להפוך את היחס, tan⁡∠CAD=43\tan\angle CAD=\frac43tan∠CAD=34​, ולקבל 53.13∘53.13^\circ53.13∘.

שאלה 6 · פונקציה רציונלית: נגזרת, קיצון והזזה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+3x−1f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}f(x)=x−1x2+3​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת משוואת האסימפטוטה האנכית.

ב.

הראו ש-f′(x)=x2−2x−3(x−1)2f'(x)=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}f′(x)=(x−1)2x2−2x−3​.

ג.

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגן.

ד.

באילו תחומים הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) חיובית?

ה.

מהן נקודות הקיצון של הפונקציה g(x)=f(x)−6g(x)=f(x)-6g(x)=f(x)−6?

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

x≠1x\ne1x=1; x=1x=1x=1

המכנה מתאפס ב-x=1x=1x=1, ולכן התחום x≠1x\ne1x=1. המונה שם 1+3=4≠01+3=4\ne01+3=4=0, ולכן x=1x=1x=1 אסימפטוטה אנכית.
טעות נפוצה: לכתוב x=−1x=-1x=−1 - הפתרון של x−1=0x-1=0x−1=0 הוא x=1x=1x=1.

סעיף ב

תשובה:

f′(x)=x2−2x−3(x−1)2f'(x)=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}f′(x)=(x−1)2x2−2x−3​

f′(x)=2x(x−1)−(x2+3)⋅1(x−1)2=2x2−2x−x2−3(x−1)2=x2−2x−3(x−1)2f'(x)=\frac{2x(x-1)-(x^2+3)\cdot1}{(x-1)^2}=\frac{2x^2-2x-x^2-3}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}f′(x)=(x−1)22x(x−1)−(x2+3)⋅1​=(x−1)22x2−2x−x2−3​=(x−1)2x2−2x−3​
טעות נפוצה: לגזור את x2+3x^2+3x2+3 כ-2x+32x+32x+3 ולקבל במונה (2x+3)(x−1)−(x2+3)=x2+x−6(2x+3)(x-1)-(x^2+3)=x^2+x-6(2x+3)(x−1)−(x2+3)=x2+x−6.

סעיף ג

תשובה:

מקסימום (−1,−2)(-1,-2)(−1,−2), מינימום (3,6)(3,6)(3,6)

x2−2x−3=(x−3)(x+1)=0x^2-2x-3=(x-3)(x+1)=0x2−2x−3=(x−3)(x+1)=0: x=3x=3x=3 או x=−1x=-1x=−1. המכנה חיובי, ולכן הסימן של f′f'f′ הוא הסימן של המונה:
xxxx<−1x<-1x<−1−1-1−1−1<x<1-1<x<1−1<x<11<x<31<x<31<x<3333x>3x>3x>3
f′(x)f'(x)f′(x)+++0−-−−-−0+++
f(−1)=4−2=−2f(-1)=\frac{4}{-2}=-2f(−1)=−24​=−2 - מקסימום; f(3)=122=6f(3)=\frac{12}{2}=6f(3)=212​=6 - מינימום.
טעות נפוצה: לקבוע את הסוג לפי ערך ה-yyy ("6 גדול, לכן מקסימום") ולכתוב מקסימום (3,6)(3,6)(3,6) ומינימום (−1,−2)(-1,-2)(−1,−2). בפונקציה עם אסימפטוטה ערך המינימום יכול להיות גדול מערך המקסימום.

$x$	$x<-1$	$-1$	$-1<x<1$	$1<x<3$	$3$	$x>3$
$f'(x)$	$+$	0	$-$	$-$	0	$+$

סעיף ד

תשובה:

x<−1x<-1x<−1 או x>3x>3x>3

מהטבלה: f′(x)>0f'(x)>0f′(x)>0 עבור x<−1x<-1x<−1 או x>3x>3x>3.
טעות נפוצה: לענות −1<x<3-1<x<3−1<x<3 (x≠1x\ne1x=1) - שם המונה שלילי.

סעיף ה

תשובה:

מקסימום (−1,−8)(-1,-8)(−1,−8), מינימום (3,0)(3,0)(3,0)

הגרף של ggg הוא הגרף של fff מוזז 6 יחידות למטה: שיעורי ה-xxx והסוג נשמרים, וה-yyy קטן ב-6.
מקסימום (−1,−8)(-1,-8)(−1,−8), מינימום (3,0)(3,0)(3,0).
טעות נפוצה: להזיז למעלה ולענות מקסימום (−1,4)(-1,4)(−1,4), מינימום (3,12)(3,12)(3,12).

שאלה 7 · פולינום, מתיחה אנכית ושטח בין הגרפים

נתונה הפונקציה: f(x)=−x3+3x2f(x)=-x^3+3x^2f(x)=−x3+3x2.

א.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים.

ב.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

נתונה הפונקציה g(x)=3f(x)g(x)=3f(x)g(x)=3f(x). רשמו את שיעורי נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

ה.

הראו שהגרפים של fff ושל ggg נפגשים רק בנקודות שבהן f(x)=0f(x)=0f(x)=0, וחשבו את השטח המוגבל בין שני הגרפים.

◂ פתרון מלא לשאלה 7

סעיף א

תשובה:

(0,0)(0,0)(0,0), (3,0)(3,0)(3,0)

f(x)=−x2(x−3)f(x)=-x^2(x-3)f(x)=−x2(x−3)
f=0f=0f=0 ב-x=0x=0x=0 וב-x=3x=3x=3; החיתוך עם ציר ה-yyy הוא הראשית.
טעות נפוצה: לכתוב −x2(x+3)-x^2(x+3)−x2(x+3) ולקבל (−3,0)(-3,0)(−3,0).

סעיף ב

תשובה:

min⁡(0,0)\min(0,0)min(0,0), max⁡(2,4)\max(2,4)max(2,4)

f′(x)=−3x2+6x=−3x(x−2)f'(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)f′(x)=−3x2+6x=−3x(x−2)
x<0x<0x<0: יורדת; 0<x<20<x<20<x<2: עולה; x>2x>2x>2: יורדת.
min⁡(0,0)\min(0,0)min(0,0), f(2)=−8+12=4f(2)=-8+12=4f(2)=−8+12=4: max⁡(2,4)\max(2,4)max(2,4).
טעות נפוצה: להחליף בין הסוגים ולכתוב max⁡(0,0)\max(0,0)max(0,0), min⁡(2,4)\min(2,4)min(2,4).

סעיף ג

תשובה:

יורד מ-+∞+\infty+∞ אל (0,0)(0,0)(0,0) (משיק לציר ה-xxx), עולה ל-(2,4)(2,4)(2,4), חוצה את הציר ב-(3,0)(3,0)(3,0) ויורד ל-−∞-\infty−∞

מקדם מוביל שלילי: משמאל +∞+\infty+∞, מימין −∞-\infty−∞. בראשית שורש כפול ומינימום - הגרף נוגע בציר. מקסימום (2,4)(2,4)(2,4), ואחר כך חוצה ב-3.
טעות נפוצה: לצייר את הגרף חוצה את ציר ה-xxx בראשית - אבל f(x)=x2(3−x)≥0f(x)=x^2(3-x)\ge0f(x)=x2(3−x)≥0 כש-x<3x<3x<3.

סעיף ד

תשובה:

min⁡(0,0)\min(0,0)min(0,0), max⁡(2,12)\max(2,12)max(2,12)

הכפלה ב-3: אותם שיעורי xxx, שיעורי yyy פי 3, אותם סוגים.
טעות נפוצה: להכפיל ב-3 גם את שיעור ה-xxx ולכתוב max⁡(6,12)\max(6,12)max(6,12).

סעיף ה

תשובה:

13.5 יח"ר

3f(x)=f(x)  ⟺  2f(x)=0  ⟺  f(x)=03f(x)=f(x)\iff2f(x)=0\iff f(x)=03f(x)=f(x)⟺2f(x)=0⟺f(x)=0, כלומר x=0x=0x=0 או x=3x=3x=3.
בין 0 ל-3 f≥0f\ge0f≥0, ולכן g=3f≥fg=3f\ge fg=3f≥f: ggg העליונה.
S=∫03(3f−f) dx=2∫03(−x3+3x2) dx=2[−x44+x3]03=2(−814+27)=272=13.5S=\int_0^3(3f-f)\,dx=2\int_0^3(-x^3+3x^2)\,dx=2\left[-\frac{x^4}4+x^3\right]_0^3=2\left(-\frac{81}4+27\right)=\frac{27}2=13.5S=∫03​(3f−f)dx=2∫03​(−x3+3x2)dx=2[−4x4​+x3]03​=2(−481​+27)=227​=13.5
טעות נפוצה: לחשב את השטח מתחת ל-ggg בלבד, ∫03g dx=20.25\int_0^3g\,dx=20.25∫03​gdx=20.25.

שאלה 8 · בעיית קיצון: מלבן בין הצירים לפרבולה

נתונה הפונקציה f(x)=12−x2f(x)=12-x^2f(x)=12−x2. הנקודה AAA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון. הנקודה BBB היא ההיטל של AAA על ציר ה-xxx, והנקודה CCC היא ההיטל של AAA על ציר ה-yyy, כך ש-OBACOBACOBAC הוא מלבן (OOO - ראשית הצירים). נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של AAA.
OBAC

א.

הביעו באמצעות ttt את אורכי הצלעות OBOBOB ו-ABABAB ואת שטח המלבן. מהו תחום הערכים של ttt?

ב.

מצאו את הערך של ttt שבעבורו שטח המלבן מקסימלי, והראו שזו אכן נקודת מקסימום.

ג.

מהו השטח המקסימלי? האם ייתכן מלבן כזה ששטחו 20? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 8

סעיף א

תשובה:

OB=tOB=tOB=t, AB=12−t2AB=12-t^2AB=12−t2, S(t)=12t−t3S(t)=12t-t^3S(t)=12t−t3, 0<t<120<t<\sqrt{12}0<t<12​

A(t,12−t2)A(t,12-t^2)A(t,12−t2). OBOBOB הוא שיעור ה-xxx: ttt. ABABAB הוא שיעור ה-yyy: 12−t212-t^212−t2.
S(t)=t(12−t2)=12t−t3S(t)=t(12-t^2)=12t-t^3S(t)=t(12−t2)=12t−t3
ברביע הראשון t>0t>0t>0 ו-12−t2>012-t^2>012−t2>0, כלומר 0<t<120<t<\sqrt{12}0<t<12​.
טעות נפוצה: לכתוב את הגובה כ-12−t12-t12−t (לשכוח את הריבוע) ולקבל S=12t−t2S=12t-t^2S=12t−t2.

סעיף ב

תשובה:

t=2t=2t=2

S′(t)=12−3t2=0⇒t2=4⇒t=2S'(t)=12-3t^2=0\quad\Rightarrow\quad t^2=4\quad\Rightarrow\quad t=2S′(t)=12−3t2=0⇒t2=4⇒t=2
(t=−2t=-2t=−2 אינו בתחום.)
S′>0S'>0S′>0 ב-0<t<20<t<20<t<2 ו-S′<0S'<0S′<0 ב-2<t<122<t<\sqrt{12}2<t<12​: השטח עולה ואחר כך יורד - מקסימום.
טעות נפוצה: לענות t=±2t=\pm2t=±2 ולהשאיר את −2-2−2 - שיעור xxx שלילי אינו ברביע הראשון.

סעיף ג

תשובה:

16; לא, כי 20>1620>1620>16

S(2)=12⋅2−23=24−8=16S(2)=12\cdot2-2^3=24-8=16S(2)=12⋅2−23=24−8=16
זה השטח הגדול ביותר האפשרי (בקצוות השטח שואף ל-0), ולכן שטח 20 אינו אפשרי.
טעות נפוצה: לחשב S(2)=12⋅2−22=20S(2)=12\cdot2-2^2=20S(2)=12⋅2−22=20 (להעלות בריבוע במקום בשלישית) ולענות "כן, בדיוק בשטח המקסימלי".

שאלה 1 · התפלגות נורמלית: שקיות עוגיות משתי מכונות

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג(1)

סעיף ג(2)

סעיף ד

סעיף ה

שאלה 2 · ישר הרגרסיה: מחיר ומכירות

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 3 · הסתברות מותנית: קריאת ספרים וציון במבחן

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 4 · מקבילית במערכת צירים: קודקוד, זווית ודמיון

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

שאלה 5 · מעגל חסום במשולש ישר זווית: ריבוע, משוואה ומשיקים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 6 · פונקציה רציונלית: נגזרת, קיצון והזזה

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

שאלה 7 · פולינום, מתיחה אנכית ושטח בין הגרפים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

שאלה 8 · בעיית קיצון: מלבן בין הצירים לפרבולה

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד