מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 1 מעל רמת בגרות

הזנבות אינם שווים, ולכן אין סימטריה - בונים שתי משוואות.

משמאל ל-27 נמצאות 6.68%: $\Phi(-1.5)=1-0.9332=0.0668$, ולכן $z=-1.5$.

מימין ל-39 נמצאות 30.85%, כלומר משמאל לו 69.15%: $\Phi(0.5)=0.6915$, ולכן $z=0.5$.

מחסרים: $2\sigma=12$, $\sigma=6$, ו-$\mu=39-3=36$.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.3085 עבור 39 ולקבל $z=-0.5$. אז $\mu-0.5\sigma=39$ ו-$\mu-1.5\sigma=27$, ומקבלים $\sigma=12$, $\mu=45$ - ממוצע שגדול משני הערכים, למרות שרוב המנורות פועלות פחות מ-39 אלף שעות.

טעות נפוצה: לאבד את הסימן של $z_1$ ולחשב $\Phi(1.5)-\Phi(1)=0.9332-0.8413=9.19\%$.

אחרי הכפלה ב-$k$: הממוצע $36k$ וסטיית התקן $6k$.

$\Phi(z)=0.0062$: בטבלה $\Phi(2.5)=0.9938$, ולכן $z=-2.5$.

טעות נפוצה: להכפיל ב-$k$ רק את הממוצע: $\frac{42-36k}{6}=-2.5$, ומקבלים $k\approx1.58$.

אחרי השיפור ציון התקן של 42 הוא $z(k)=\frac{42-36k}{6k}$, והאחוז שמשמאל ל-42 הוא $\Phi\big(z(k)\big)$.

$\Phi(z)<0.01$ כש-$z<-2.33$ (בטבלה $\Phi(-2.33)=0.0099$).

(הכפלנו ב-$6k>0$, ולכן כיוון אי-השוויון נשמר.) בדיקה: עבור $k=2$ מסעיף ג האחוז הוא 0.62%, פחות מ-1%, ואכן $2>1.907$.

טעות נפוצה: להפוך את כיוון אי-השוויון ולקבל $k<1.907$ - אבל ככל ש-$k$ גדל, המנורות פועלות זמן רב יותר והאחוז שמתחת ל-42 קטן.

ככל ששעות האימון גדלות, מספר הנקודות נוטה לגדול - מגמה עולה, ולכן $r>0$. זה פוסל את היגדים II ו-III.

הנקודות אינן על ישר אחד: ב-$x=6$ יש שתי נקודות עם ערכי $y$ שונים. לכן הקשר אינו מושלם, $r\ne1$.

מהדיאגרמה אפשר לקבוע את טווח הערכים, ולכן היגד IV אינו נכון. היגד I נכון: $0<r<1$.

טעות נפוצה: לבחור בהיגד IV, כי "בלי חישוב אי אפשר לדעת את $r$". את הערך המדויק אי אפשר לקרוא, אבל את הסימן ואת העובדה שהקשר אינו מושלם רואים בדיאגרמה.

ערכי $x$ של 6 הנקודות: $2,4,6,6,8,10$ (שתי נקודות ב-$x=6$).

טעות נפוצה: לספור את $x=6$ פעם אחת ולחלק ב-6: $\frac{30}{6}=5$.

ערכי $y$: $10,20,15,25,20,30$.

טעות נפוצה: להשמיט את אחת הנקודות שב-$x=6$ ולקבל, למשל, $\frac{105}{6}=17.5$.

ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים $(6,20)$:

טעות נפוצה: להציב את הממוצעים הפוך, $6=2\cdot20+b$, ולקבל $b=-34$.

מציבים $x=7$ ב-$y=2x+8$:

טעות נפוצה: להציב 7 במקום $y$ ולפתור $7=2x+8$, $x=-0.5$.

הסטיות מהממוצע $\bar x=6$: $-4,-2,0,0,2,4$.

סכום ריבועי הסטיות: $16+4+0+0+4+16=40$.

טעות נפוצה: לעצור בשונות ולענות $S_x=\frac{20}{3}\approx6.67$ - בלי להוציא שורש.

שיפוע ישר הרגרסיה הוא $r\cdot\frac{S_y}{S_x}$, ולכן $r=2\cdot\frac{S_x}{S_y}$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $r=2\cdot\frac{S_y}{S_x}=5$ - מחוץ לתחום $-1\le r\le1$.

הפחתת 3 מכל ערכי $y$ מזיזה את כל הנקודות 3 יחידות למטה.

$S_y$ לא משתנה (הפיזור סביב הממוצע זהה), $r$ לא משתנה ו-$S_x$ לא משתנה. לכן השיפוע $r\cdot\frac{S_y}{S_x}$ נשאר 2.

טעות נפוצה: לענות שהשיפוע קטן (ל-$-1$, "2 פחות 3"), כי ערכי $y$ קטנו. הזזה אנכית אינה משנה שיפוע.

השיפוע נשאר 2. הממוצע החדש של $y$: $20-3=17$, ו-$\bar x=6$.

משוואת הישר: $y=2x+5$.

טעות נפוצה: להוסיף 3 במקום להחסיר ולקבל $y=2x+11$.

ממגירה ב': $P(\text{תפוח})=\frac{n}{n+6}$, $P(\text{אגס})=\frac{6}{n+6}$.

טעות נפוצה: לכתוב את ההסתברות לאגס ממגירה ב' כ-$\frac{6}{n}$ (בלי לספור את האגסים בסך הכול), ולקבל $\frac{7}{18}\cdot\frac6n+\frac{11}{18}\cdot\frac{n}{n+6}$.

"התפוח ממגירה ב'" בתוך "סוגים שונים" הוא המסלול אגס מא' ותפוח מב':

טעות נפוצה: להשוות את $\frac{22}{43}$ להסתברות הלא מותנית $\frac{11}{18}\cdot\frac{n}{n+6}$, ולקבל $473n=396n+2376$, כלומר $n\approx30.9$ - לא מספר שלם. הנתון הוא הסתברות מותנית - מחלקים בהסתברות לסוגים שונים.

עם $n=4$: $P(\text{לפחות תפוח})=1-\frac{11}{18}\cdot\frac{6}{10}=\frac{114}{180}$.

"אגס מא'" בתוך "לפחות תפוח אחד" הוא המסלול אגס מא' ותפוח מב': $\frac{11}{18}\cdot\frac{4}{10}=\frac{44}{180}$.

טעות נפוצה: לענות $\frac{11}{18}$, ההסתברות לאגס ממגירה א' בלי התנאי. הידיעה שהוצא תפוח מקטינה את הסיכוי שמא' יצא אגס (אז התפוח חייב לבוא מב').

במגירה ג': 17 אגסים ו-$11+x$ תפוחים, בסך הכול $28+x$ פירות.

השורש החיובי: $x=\frac{-55+\sqrt{3025+7856}}{2}=\frac{-55+\sqrt{10881}}{2}\approx24.66$.

הביטוי חיובי מימין לשורש, ו-$x$ שלם, ולכן $x\ge25$.

בדיקה: $x=24$ נותן $\frac{272}{52\cdot51}\approx0.1026$, ו-$x=25$ נותן $\frac{272}{53\cdot52}\approx0.0987$.

טעות נפוצה: לעגל את $24.66$ למטה ולענות 24. ב-24 תפוחים ההסתברות עדיין גדולה מ-$0.1$; צריך את השלם הראשון שמימין לשורש.

במרובע חסום במעגל $\angle B+\angle D=180^\circ$. לפי הנתון הן שוות, ולכן $\angle B=\angle D=90^\circ$.

$\angle ABC$ היא זווית היקפית הנשענת על המיתר $AC$, והיא בת $90^\circ$ - ולכן $AC$ קוטר.

טעות נפוצה: להסיק ש-$BD$ הוא הקוטר, כי הזוויות השוות נמצאות ב-$B$ וב-$D$. הזווית ב-$B$ נשענת על המיתר שמולה, $AC$.

המרכז הוא אמצע הקוטר $AC$:

$AC=8-(-2)=10$, ולכן $R=5$.

טעות נפוצה: לכתוב $R^2=100$ (אורך הקוטר כרדיוס) ולקבל $(x-3)^2+(y-1)^2=100$.

$\angle B=90^\circ$, ולכן $BC\perp AB$:

הישר עובר דרך $C(8,1)$:

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי להחליף סימן, $m_{BC}=\frac13$, ולקבל $y=\frac13x-\frac53$.

$B$ על הישר $BC$ ועל המעגל. מהישר: $y-1=\frac{8-x}{3}$. מציבים במשוואת המעגל:

$x=8$ הוא הנקודה $C(8,1)$. לכן $x=-1$, $y=-\frac13\cdot(-1)+\frac{11}3=4$: $B(-1,4)$.

בדיקה: שיפוע $AB$ הוא $\frac{4-1}{-1+2}=3$, כנתון.

טעות נפוצה: לבחור את הפתרון $x=8$ ולענות $(8,1)$ - זו הנקודה $C$, שגם היא על הישר ועל המעגל.

הזווית $B$ ישרה, ולכן במשולש $ABE$ הניצבים הם $AB$ ו-$BE$:

טעות נפוצה: לקחת את כל הצלע $BC=3\sqrt{10}$ כניצב ולקבל 15 - זה שטח המשולש $ABC$.

במשולש $ABE$ (ישר-זווית ב-$B$), מול הזווית $AEB$ נמצא הניצב $AB$, וליד הזווית - הניצב $BE$:

טעות נפוצה: להחליף בין הניצב שמול הזווית לניצב שלידה, $\tan=\frac{BE}{AB}=1.5$, ולקבל $56.31^\circ$ - זו הזווית $BAE$.

$\angle CAE=\angle CAB-\angle EAB$, ושתי הזוויות נמצאות במשולשים ישרי-זווית ב-$B$.

במשולש $ABC$: $\tan\angle CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=3\ \Rightarrow\ \angle CAB\approx71.57^\circ$.

במשולש $ABE$: $\tan\angle EAB=\frac{BE}{AB}=1.5\ \Rightarrow\ \angle EAB\approx56.31^\circ$.

טעות נפוצה: לחשב $\tan\angle CAE=\frac{CE}{AE}$ כאילו המשולש $ACE$ ישר-זווית, ולקבל כ-$39.76^\circ$.

המעגל משיק לציר ה-$x$, ולכן $R=t$:

ב-$x=0$: $64+(y-t)^2=t^2$, כלומר $(y-t)^2=t^2-64$ (חיובי, כי $t>8$).

$B$ העליונה: $B\left(0,\ t+\sqrt{t^2-64}\right)$.

טעות נפוצה: לקחת $R=8$ (המרחק מציר ה-$y$). אז $(y-t)^2=0$, ומתקבלת נקודה אחת $B(0,t)$ - מעגל המשיק לציר ה-$y$, בסתירה לנתון שיש שתי נקודות חיתוך.

$MB\perp BC$ (משיק ורדיוס) ו-$AC\perp BC$ (נתון), ולכן $AC\parallel MB$.

$\angle CAB=\angle ABM$ - זוויות מתחלפות בין המקבילים $AC$ ו-$MB$.

$MA=MB$ (רדיוסים), ולכן $\angle MAB=\angle MBA$.

מכאן $\angle CAB=\angle MAB$: $AB$ חוצה את $\angle CAM$.

טעות נפוצה: להסתפק ב-$MA=MB$ ולהסיק ש-$AB$ חוצה את הזווית - בלי ההקבלה $AC\parallel MB$ אין קשר בין $\angle CAB$ למשולש $MAB$, וההוכחה פסולה.

$MA$ מאונך לציר ה-$x$, וגם $OB$ (ציר ה-$y$) מאונך לציר ה-$x$, ולכן $MA\parallel OB$.

$AB$ חותך את המקבילים האלה: $\angle MAB=\angle ABO$ (זוויות מתחלפות).

לפי סעיף ב, $\angle CAB=\angle MAB$, ולכן $\angle CAB=\angle OBA$.

במשולשים $ACB$ ו-$BOA$: $\angle ACB=\angle BOA=90^\circ$, $\angle CAB=\angle OBA$, ולכן גם הזווית השלישית שווה: $\angle CBA=\angle OAB$. הצלע $AB$ משותפת.

לפי ז.צ.ז. $\triangle ACB\cong\triangle BOA$, ולכן $AC=BO$ (צלעות מול הזוויות השוות $\angle CBA=\angle OAB$).

טעות נפוצה: להתאים את הקודקודים בסדר הלא נכון ($\triangle ACB\cong\triangle AOB$) ולהסיק $AC=AO=8$ - צלע שמול זווית אחרת. ההתאמה נקבעת לפי הזוויות השוות: $A\leftrightarrow B$, $C\leftrightarrow O$.

לפי סעיף ג, $OB=AC=32$, כלומר שיעור ה-$y$ של $B$ הוא 32 (אין צורך למצוא את $C$):

מעלים בריבוע (צריך $32-t\ge0$):

בדיקה: $17+\sqrt{289-64}=17+15=32$, ו-$t=17>8$.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע בלי לבודד את השורש: $t^2+(t^2-64)=1024$, ולקבל $t^2=544$, $t\approx23.3$. בבדיקה: $23.3+\sqrt{480}\approx45.2\ne32$.

פונקציה רציונלית מוגדרת כשהמכנה שונה מאפס:

טעות נפוצה: לפסול גם את $x=-9$, שבו המונה מתאפס. שם הפונקציה מוגדרת ושווה ל-$-b$.

לפי כלל המנה, עם $u=6x+54$, $v=16x-x^2$:

$6x^2+108x-864=6(x^2+18x-144)=6(x+24)(x-6)=0$: $x=-24$ או $x=6$.

המכנה חיובי: $f'>0$ עבור $x<-24$, $f'<0$ עבור $-24<x<6$ ($x\neq0$), $f'>0$ עבור $x>6$ ($x\neq16$). לכן מקסימום ב-$x=-24$ ומינימום ב-$x=6$.

טעות נפוצה: להפוך את הסדר במונה של כלל המנה ($uv'-u'v$) ולקבל את הסוגים הפוכים: $\max\left(6,\frac32-b\right)$, $\min\left(-24,\frac3{32}-b\right)$.

בנקודת קיצון המשיק אופקי, וגובהו הוא ערך הפונקציה בנקודה. לכן ערך המינימום הוא $-2.5$:

טעות נפוצה: להשתמש בערך המקסימום, $\frac3{32}-b=-2.5$, ולקבל $b=\frac{83}{32}\approx2.59$.

$f(x)=\frac{6x+54}{16x-x^2}-4$.

אסימפטוטות אנכיות באפסי המכנה, שבהם המונה אינו מתאפס ($54\neq0$, $150\neq0$): $x=0$, $x=16$.

מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן השבר שואף ל-0 כאשר $x\to\pm\infty$, ו-$f(x)\to-4$: אסימפטוטה אופקית $y=-4$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=0$ כי "מעלת המונה קטנה" - ולשכוח את האיבר $-4$ שמזיז את כל הגרף כלפי מטה.

ציר ה-$y$: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך.

ציר ה-$x$: $f(x)=0$:

$x=\frac{29\pm\sqrt{841-216}}{4}=\frac{29\pm25}{4}$: $x=1$ או $x=13.5$, שניהם בתחום: $(1,0)$, $(13.5,0)$.

טעות נפוצה: לאפס רק את המונה, $6x+54=0$, ולקבל $(-9,0)$. בגלל ה-$-4$ יש להשוות את השבר ל-4, ו-$f(-9)=-4\neq0$.