מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 3 בדרך לבגרות

חטיבת ביניים: $0.6\cdot300=180$ באופניים, $300-180=120$ לא באופניים.

תיכון: $0.45\cdot200=90$ באופניים, $200-90=110$ לא באופניים.

סכומים: $180+90=270$ באופניים, $120+110=230$ לא באופניים, $300+200=500$ בסך הכול.

טעות נפוצה: לכתוב בתאים את האחוזים (60 ו-45) במקום מספרי תלמידים. אז סכום השורות אינו 300 ו-200, והסכום של עמודת האופניים (105) חסר משמעות.

חיתוך: תלמיד תיכון וגם לא מגיע באופניים - תא אחד בטבלה, חלקי כל התלמידים:

טעות נפוצה: לקחת את אחוז המגיעים באופניים בתיכון במקום את המשלים שלו: $\frac{0.45\cdot200}{500}=0.18$.

ידוע שהתלמיד בתיכון - המדגם מצטמצם לשורת התיכון, 200 תלמידים.

טעות נפוצה: לקחת את התא של המגיעים באופניים, $\frac{90}{200}=0.45$.

עכשיו ידוע שהתלמיד אינו מגיע באופניים - המדגם מצטמצם לעמודה "לא באופניים", 230 תלמידים.

שימו לב: אותו תא (110) כמו בסעיף ג(1), אבל מכנה אחר - כי התנאי אחר.

טעות נפוצה: לחלק בעמודה הלא נכונה, $\frac{110}{270}\approx0.407$ - 270 הם המגיעים באופניים.

"רוב התלמידים שאינם מגיעים באופניים" - הקבוצה היא 230 התלמידים שאינם מגיעים באופניים.

לפי סעיף ג(2), חלק תלמידי התיכון בה הוא $\frac{11}{23}\approx47.8\%$ - פחות ממחצית.

לכן האמירה אינה נכונה: 120 מהם בחטיבת הביניים ורק 110 בתיכון.

טעות נפוצה: להסתמך על סעיף ג(1) - "55% מתלמידי התיכון אינם מגיעים באופניים, יותר מ-40% בחטיבה" - ולקבוע שהאמירה נכונה. זה אחוז מקרב תלמידי התיכון, ולא מקרב מי שאינם מגיעים באופניים.

ההפרשים: $-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$, וסכום ריבועיהם $4+1+0+1+4=10$:

טעות נפוצה: לסכם את ההפרשים בלי ריבוע - הסכום יוצא 0 תמיד, ומתקבלת "סטיית תקן 0".

ההפרשים של $y$ מ-65: $-13,\ -5,\ -2,\ 6,\ 14$.

סכום המכפלות: 65.

טעות נפוצה: לכפול את הערכים עצמם ($1\cdot52+2\cdot60+\dots$) במקום את ההפרשים מהממוצעים - מתקבל מספר גדול (1040) ו"מקדם מתאם" גדול בהרבה מ-1.

(אותו דבר בדיוק: $b=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2}=\frac{65}{10}=6.5$.)

הישר עובר ב-$(3,\,65)$:

טעות נפוצה: להציב את נקודת הממוצעים עם $x$ ו-$y$ בהיפוך, $3=6.5\cdot65+a$, ולקבל $\hat y=6.5x-419.5$.

טעות נפוצה: לחשב $6.5\cdot3.5=22.75$ ולשכוח את 45.5.

כל הציונים עלו ב-5, ולכן גם הממוצע עלה ב-5, וההפרשים $y_i-\bar y$ לא השתנו.

סטיית התקן מחושבת מההפרשים - נשארה 9.27.

גם $r$ מחושב מההפרשים ומסטיות התקן - נשאר 0.991.

טעות נפוצה: לחשוב שסטיית התקן גדלה ב-5 (ל-14.27) - הוספת קבוע לכל הנתונים לא משנה את הפיזור.

ילדים: $0.4\cdot240=96$, ומבוגרים: $240-96=144$.

ילדים בחוג: $\frac34\cdot96=72$, ילדים שלא בחוג: $96-72=24$. מבוגרים שלא בחוג: $144-60=84$.

טעות נפוצה: לחשב $\frac34$ מכל חברי המתנ״ס, $\frac34\cdot240=180$ ילדים בחוג - יותר מכל הילדים במתנ״ס.

טעות נפוצה: לענות $\frac34$ - זו ההסתברות שילד משתתף בחוג, כלומר התניה בכיוון ההפוך.

טעות נפוצה: לחלק בכל חברי המתנ״ס: $\frac{84}{240}=\frac{7}{20}$ - זו ההסתברות לבחור מבוגר שלא בחוג מתוך כולם.

טעות נפוצה: להכפיל ב-2 'כי יש שני סדרים' ולקבל $\frac{76}{239}$ - אבל כששני הנבחרים ילדים יש רק סדר אחד (ילד ואז ילד).

במעוין האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $E$ אמצע $AC$:

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר, $\left(\frac{4-0}{2},\frac{11+1}{2}\right)=(2,6)$.

טעות נפוצה: $\frac{11-1}{4}=2.5$ - לשכוח שה-$y$ של $C$ שלילי.

האלכסונים מאונכים: $m_{BD}=-\frac13$. דרך $E(2,5)$:

טעות נפוצה: לקחת $m=-3$ (רק החלפת סימן, בלי היפוך) ולקבל $y=-3x+11$.

$B$ היא החיתוך של $AB$ ו-$BD$:

$y=-35+39=4$, ולכן $B(5,4)$.

טעות נפוצה: להכפיל ב-3 רק את צד ימין: $-7x+39=-x+17$, ולקבל $x=\frac{11}{3}$.

$E$ אמצע $BD$, ולכן $D=2E-B=(4-5,\ 10-4)=(-1,6)$.

שטח מעוין = מכפלת האלכסונים חלקי 2:

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל 80 יח"ר - זה שטח המלבן שצלעותיו האלכסונים.

במשולש $ABE$ הזווית $E$ ישרה. $AE=\frac{\sqrt{160}}{2}=\sqrt{40}$, $BE=\frac{\sqrt{40}}{2}=\sqrt{10}$.

טעות נפוצה: $\tan=\frac{BE}{AE}=\frac12$, ולקבל $26.57^\circ$ - הזווית שליד $A$.

$\frac34\cdot\left(-\frac43\right)=-1$, ולכן $AB\perp BC$ ו-$\angle ABC=90^\circ$.

טעות נפוצה: לחשב $m_{BC}=\frac{-10+4}{8-0}=-\frac34$ (הפרש ה-$x$ חלקי הפרש ה-$y$) ולקבל מכפלה $-\frac{9}{16}$, כלומר "לא מאונכים".

טעות נפוצה: לחבר את ההפרשים, $6+8=14$.

ישר מקביל ל-$BC$ - אותו שיפוע, $-\frac43$, דרך $A(0,3)$: $y=-\frac43x+3$.

$x=-3$: $y=4+3=7$, ולכן $D(-3,7)$.

טעות נפוצה: להשתמש בשיפוע המאונך $\frac34$ במקום בשיפוע של $BC$ ולקבל $D\left(-3,\frac34\right)$.

$AD\parallel BC$: $\angle DAM=\angle BCM$ ו-$\angle ADM=\angle CBM$ (זוויות מתחלפות), ולכן לפי ז.ז. המשולשים דומים.

יחס הדמיון: $\frac{BC}{AD}=\frac{10}{5}=2$.

יחס השטחים: $2^2=4$.

טעות נפוצה: לענות "פי 2" - יחס הדמיון בלי ריבוע.

תחום ההגדרה: כל $x$ פרט ל-$x=\pm1$.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש השלילי ולענות רק $x\neq1$.

ב-$x=\pm1$ המכנה מתאפס והמונה $2\neq0$: אסימפטוטות אנכיות $x=\pm1$.

מעלות שוות - האסימפטוטה האופקית היא יחס המקדמים המובילים: $y=\frac11=1$.

טעות נפוצה: לענות $y=0$ - זה נכון רק כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $x^2+1=0$ - אין פתרון, כי $x^2+1\ge1$ לכל $x$.

טעות נפוצה: לפתור $x^2+1=0$ כאילו זה $x^2-1=0$ ולענות $(\pm1,0)$ - אלה בכלל לא בתחום ההגדרה.

$\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, עם $u=x^2+1$, $v=x^2-1$:

טעות נפוצה: לגזור את המונה ואת המכנה כל אחד לחוד ולכתוב $f'(x)=\frac{2x}{2x}=1$ - זו לא הנגזרת של מנה.

$f'(x)=0$ כש-$x=0$. המכנה חיובי, והסימן של $f'$ הוא הסימן של $-4x$: חיובי משמאל ל-0, שלילי מימין.

עולה ואז יורדת - מקסימום, $f(0)=-1$: $\max(0,-1)$.

טעות נפוצה: לחשוב שנקודה שבה $y$ שלילי היא בהכרח מינימום ולענות $\min(0,-1)$ - סוג הקיצון נקבע לפי סימן הנגזרת, לא לפי סימן הערך.

הפונקציה זוגית - הגרף סימטרי לציר ה-$y$.

בין $-1$ ל-$1$: המכנה שלילי והמונה חיובי, ולכן $f(x)<0$; מקסימום $(0,-1)$, ו-$-\infty$ ליד $x=\pm1$.

מימין ל-$x=1$: $f'<0$ - יורדת מ-$+\infty$ אל $y=1$, ונשארת מעליה ($f(x)=1+\frac{2}{x^2-1}>1$). משמאל - בשיקוף.

טעות נפוצה: לחבר את הענף האמצעי לציר ה-$x$ - אין לפונקציה אפסים, והענף האמצעי כולו מתחת לציר.

הזזה אנכית ב-$k$ מזיזה את האסימפטוטה $y=1$ ל-$y=1+k$:

טעות נפוצה: לענות $k=3$ - 3 הוא מיקום האסימפטוטה החדשה, לא גודל ההזזה.

הזזה אנכית לא משנה את סוג הקיצון ולא את שיעור ה-$x$; היא מוסיפה 2 לשיעור ה-$y$:

טעות נפוצה: להפוך את סוג הקיצון כאילו יש שיקוף ולענות $\min(0,1)$ - ב-$f(x)+k$ אין שיקוף.

$x\ge0$ (מתחת לשורש).

$x-3=0\Rightarrow x=3$, או $\sqrt x=0\Rightarrow x=0$. חיתוך עם ציר ה-y: $f(0)=0$.

טעות נפוצה: לשכוח שהשורש מתאפס ב-0 ולענות רק $(3,0)$ ו"אין חיתוך עם ציר ה-y".

טעות נפוצה: לגזור כל גורם בנפרד ולכפול, $1\cdot\frac{1}{2\sqrt x}$ - זו לא נגזרת של מכפלה.

$f'=0$ ב-$x=1$. ל-$0<x<1$: $f'<0$; ל-$x>1$: $f'>0$. מינימום: $f(1)=-2$.

בקצה $x=0$: $f(0)=0$, ומיד אחריו הפונקציה יורדת - מקסימום בקצה.

טעות נפוצה: לקבוע שבקצה $x=0$ יש מינימום "כי זה ההתחלה" - הסוג נקבע לפי הכיוון: הפונקציה יורדת ממנו, ולכן זה מקסימום.

הגרף מתחיל ב-$(0,0)$, יורד למינימום $(1,-2)$, עולה וחותך את ציר ה-x ב-$(3,0)$, וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: לצייר חלק של הגרף משמאל לציר ה-y - שם $\sqrt x$ אינו מוגדר.

משיק אופקי רק בנקודה שבה $g'=f'=0$, כלומר ב-$x=1$, שם $g(1)=-2+c$.

טעות נפוצה: להשתמש גם בקצה $x=0$ ($0+c=5$) ולהוסיף $c=5$ - בקצה אין משיק אופקי.

טעות נפוצה: לשכוח את החלוקה ב-2 בנוסחת השטח ולקבל $BC=\frac8x$.

$AB$ הוא היתר:

טעות נפוצה: להעלות בריבוע רק את המונה, $\left(\frac{16}{x}\right)^2=\frac{256}{x}$.

$AB$ מינימלי כש-$AB^2$ מינימלי. נסמן $f(x)=x^2+\frac{256}{x^2}$, $x>0$:

$f'<0$ משמאל ל-4 ו-$f'>0$ מימין: מינימום. $f(4)=16+16=32$, ולכן $AB_{min}=\sqrt{32}=4\sqrt2\approx5.66$.

טעות נפוצה: לענות שהאורך המינימלי הוא 32 - זה $AB^2$, ועוד צריך להוציא שורש.

האורך הקטן ביותר של $AB$ הוא $4\sqrt2\approx5.66$, ו-$5<5.66$. לכן אין משולש כזה שבו $AB=5$.

טעות נפוצה: להשוות את 5 ל-32 (הערך המינימלי של $AB^2$) ולענות "כן". צריך להשוות $5^2=25$ ל-32, או 5 ל-$\sqrt{32}$.