מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 4 בדרך לבגרות

בטבלה המצטברת $\Phi(1)=0.8413$, כלומר 84.13% מהתפוחים שוקלים פחות מ-200 גרם.

טעות נפוצה: לחשב $z=\frac{200}{20}=10$ בלי להחסיר את הממוצע, ולענות שכמעט 100% מהתפוחים שוקלים פחות מ-200 גרם.

$\Phi(1.7)=0.9554$ - החלק הקל מ-214 גרם. התפוחים המובחרים כבדים יותר:

טעות נפוצה: לענות 95.54% - זה אחוז התפוחים שמשקלם קטן מ-214 גרם.

לפי סעיף ב, 4.46% מהתפוחים הם מסוג מובחר:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק - $223\cdot0.0446\approx9.9$ תפוחים, פחות ממספר התפוחים המובחרים עצמו.

משווים ציוני תקן, כי לכל סוג פרי ממוצע ופיזור משלו:

לתפוז ציון תקן גבוה יותר, ולכן הוא כבד יותר ביחס לתפוזים האחרים.

טעות נפוצה: להשוות את ההפרש מהממוצע בגרמים - 30 גרם לתפוח לעומת 24 גרם לתפוז - ולענות "התפוח".

84.13% ממתינים פחות מ-7 דקות - זה בדיוק מה שהטבלה נותנת (השטח משמאל לציון התקן).

מחפשים בתוך הטבלה את הערך $0.8413$:

טעות נפוצה: לעבור למשלים $1-0.8413=0.1587$ בלי צורך, ולקבל $z=-1$ - אבל 7 דקות גדול מהממוצע, ולכן ציון התקן חיובי.

מציבים בנוסחת ציון התקן $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$:

טעות נפוצה: לשכוח לחסר את הממוצע ולחשב $\sigma=\frac{7}{1}=7$ דקות.

לפי הסימטריה של העקומה:

טעות נפוצה: לקרוא $\Phi(2)$ ולענות 97.72% - מתעלמים מהסימן השלילי.

6 דקות הן הממוצע ($z=0$), ו-7 דקות הן $z=1$ (סעיף א).

טעות נפוצה: לשכוח לחסר את $\Phi(0)$ ולענות 84.13%.

בין הממוצע לסטיית תקן אחת מעליו - זה תמיד בין $z=0$ ל-$z=1$.

השטח בין שני ציוני תקן זהה בכל התפלגות נורמלית, ולכן האחוז נשאר 34.13% (עכשיו בין 4.5 ל-5.5 דקות).

טעות נפוצה: לבדוק את האזור הישן, בין 6 ל-7 דקות, בהתפלגות החדשה - שם $z$ בין 1.5 ל-2.5, והאחוז יוצא 6.06% - ולהסיק שהאחוז ירד.

ההוצאות בלתי תלויות, ולכן כופלים:

טעות נפוצה: לאחד את שתי המגירות לקבוצה אחת ולחבר מונים ומכנים: $\frac{3+4}{5+10}=\frac{7}{15}$. זו הסתברות לתפוח בהוצאה אחת מערימה משותפת, ולא ההסתברות לתפוח בכל אחת משתי ההוצאות - כאן כופלים.

שני מסלולים: תפוח ואז אגס, או אגס ואז תפוח:

טעות נפוצה: לחשב רק את המסלול הראשון ולקבל $\frac{18}{50}=\frac{9}{25}$.

המשלים הוא שני אגסים:

טעות נפוצה: לספור רק את המסלולים שמתחילים בתפוח: $\frac35\cdot\frac4{10}+\frac35\cdot\frac6{10}=\frac35$, ולשכוח את המסלול אגס ממגירה א' ותפוח ממגירה ב' ($\frac25\cdot\frac4{10}$). עם המשלים אי אפשר לפספס מסלול.

"שני תפוחים" מוכל ב"לפחות תפוח אחד":

טעות נפוצה: לחלק בהסתברות לתפוח ממגירה א' במקום בהסתברות ל"לפחות תפוח אחד": $\frac{6/25}{3/5}=\frac25$. התנאי הוא "לפחות תפוח אחד" ($\frac{19}{25}$), ובו מחלקים.

במגירה ג': $3+4+3=10$ תפוחים ו-$2+6=8$ אגסים, בסך הכול 18 פירות.

ללא החזרה, אחרי אגס אחד נשארים 7 אגסים מתוך 17 פירות:

טעות נפוצה: לחשב עם החזרה, $\left(\frac{8}{18}\right)^2=\frac{16}{81}$.

$P(0,8)$ על ציר ה-$y$, ולכן $y=-0.75x+8$.

טעות נפוצה: לחלק את הפרש ה-$x$ בהפרש ה-$y$ ולקבל $y=-\frac43x+8$.

$AE$ מקביל לציר ה-$y$, ו-$EP$ (על הישר $CP$) מקביל לציר ה-$x$. לכן $AE\perp EP$, כלומר $\angle AEP=90^\circ$.

$P$ נמצאת על הצלע $AB$, ולכן $\angle CBP=\angle ABC=90^\circ$ (נתון).

$\angle APE=\angle CPB$ - זוויות קודקודיות (הישרים $AB$ ו-$EC$ נחתכים ב-$P$).

לכן $\triangle AEP\sim\triangle CBP$ לפי משפט הדמיון ז.ז. (סדר הקודקודים: $A\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow B$, $P\leftrightarrow P$).

טעות נפוצה: לנמק ש-$\angle EAP=\angle BCP$ כזוויות מתחלפות בין 'הישרים המקבילים' $AE$ ו-$CB$ - אבל $CB$ אינו מקביל ל-$AE$ (הוא אינו אנכי), ולכן הנימוק פסול. השוויון נובע מהדמיון, לא להפך.

$CB\perp AB$, ולכן $m_{CB}=\frac43$. דרך $C(25,8)$: $y=\frac43(x-25)+8$.

$y=-0.75\cdot16+8=-4$, ולכן $B(16,-4)$.

טעות נפוצה: להחליף רק את הסימן ($m_{CB}=\frac34$) ולקבל $B(12.5,\,-1.375)$.

$AP=\sqrt{4^2+3^2}=5$ ו-$CP=25$ הן צלעות מתאימות, ולכן יחס הדמיון $\frac{AP}{CP}=\frac{5}{25}=\frac15$.

$E(-4,8)$, $EC=25-(-4)=29$. גובה $AEC$: $11-8=3$; גובה $EBC$: $8-(-4)=12$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה של $B$ את המרחק שלה מציר ה-$x$ (4) ולקבל שטח $\frac{29\cdot(3+4)}{2}=101.5$.

טעות נפוצה: לחשב את המרחק של $A$ מראשית הצירים במקום מהמרכז, $25+36=61$, ולכתוב $x^2+(y-5)^2=61$.

$y=0$: $x^2+25=26$, $x^2=1$, $x=\pm1$. $C(1,0)$, $D(-1,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ולקבל את נקודות החיתוך עם ציר ה-$y$, $(0,5\pm\sqrt{26})$.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש ולכתוב $AC=72$.

$R=\sqrt{26}$, ולכן $2R=2\sqrt{26}\approx10.2$.

המשולש חד זוויות, ולכן $\angle ABC\approx56.31^\circ$ (ולא $123.69^\circ$).

טעות נפוצה: להציב $2R=2\cdot26=52$ ולקבל $\sin\angle ABC\approx0.163$, כלומר $\angle ABC\approx9.4^\circ$.

ארבעת הקודקודים $A$, $B$, $C$, $E$ על המעגל, ולכן המרובע חסום בו. $E$ על הקשת שאין עליה את $B$, ולכן $B$ ו-$E$ קודקודים נגדיים.

במרובע חסום סכום זוויות נגדיות $180^\circ$:

טעות נפוצה: לענות $2\cdot56.31^\circ=112.62^\circ$, כאילו $\angle AEC$ זווית מרכזית.

המשולש $AEC$ חסום באותו מעגל:

$\angle AEC$ קהה, ולכן $\angle EAC$ חדה: $\angle EAC=45^\circ$.

טעות נפוצה: לחלק ב-$AC$ במקום ב-$2R$: $\sin\angle EAC=\frac{\sqrt{52}}{\sqrt{72}}\approx0.85$, כלומר כ-$58.2^\circ$.

זו הזווית שבין $AC$ ל-$EC$:

(בדיקה בשיעורים: $AE$ הוא קטע אנכי באורך 2 על הישר $x=-5$, והמרחק של $C$ מהישר הזה הוא 6, ולכן השטח $\frac12\cdot2\cdot6=6$.)

טעות נפוצה: להציב את $\sin45^\circ$ ולקבל $\frac12\cdot\sqrt{72}\cdot\sqrt{52}\cdot\sin45^\circ\approx21.6$.

$x^2-1\ne0$, ולכן $x\ne\pm1$. המונה ב-$x=\pm1$ הוא $2\ne0$, ולכן $x=\pm1$ אסימפטוטות אנכיות.

מעלות המונה והמכנה שוות (2), ולכן $y=\frac21=2$ אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: לחשב את האסימפטוטה האופקית כ-$y=0$ ("המכנה גדל"). כשהמעלות שוות האסימפטוטה היא יחס המקדמים המובילים.

כלל המנה: $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, עם $u=2x^2$, $u'=4x$, $v=x^2-1$, $v'=2x$:

טעות נפוצה: לגזור מונה ומכנה בנפרד, $\frac{4x}{2x}=2$, ולקבל "נגזרת קבועה".

$f'(x)=0$ רק ב-$x=0$. המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הפוך לסימן של $x$:

$f(0)=0$, ולכן $\max(0,0)$.

טעות נפוצה: לקבוע לפי $f'$ ש"הפונקציה עולה ב-$x<0$" כולל $x=-1$ - ולשכוח ש-$\pm1$ אינן בתחום ומחלקות אותו לקטעים נפרדים.

ענף אמצעי ($-1<x<1$): עולה מ-$-\infty$ ל-$(0,0)$ ויורד ל-$-\infty$. נקודת החיתוך היחידה עם הצירים היא $(0,0)$.

ענף ימני ($x>1$): יורד מ-$+\infty$ אל $y=2$. ענף שמאלי: שיקוף (הפונקציה זוגית).

טעות נפוצה: לצייר את הענף האמצעי חותך את ציר ה-$x$ בשתי נקודות נוספות. $f(x)=0$ רק כש-$x=0$, ולכן הענף נוגע בציר רק בראשית.

$g$ היא הזזה של גרף $f$ ב-2 יחידות למטה: האסימפטוטות האנכיות לא משתנות ($x=\pm1$), והאופקית זזה ל-$y=2-2=0$.

$g(-x)=f(-x)-2=f(x)-2=g(x)$, ולכן $g$ זוגית. הזזה אנכית לא מזיזה את ציר הסימטריה (ציר ה-$y$).

טעות נפוצה: לענות ש-$g$ "אינה זוגית כי הגרף הוזז". רק הזזה אופקית מזיזה את ציר הסימטריה.

$5-x\ge0$, כלומר $x\le5$.

$x^2=0$ או $\sqrt{5-x}=0$: $(0,0)$ ו-$(5,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ge5$ (לבלבל בכיוון) - אז $\sqrt{5-x}$ אינו מוגדר כמעט בכל התחום.

כלל המכפלה, והנגזרת של $\sqrt{5-x}$ היא $\frac{-1}{2\sqrt{5-x}}$:

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס של הנגזרת הפנימית ולקבל $\frac{4x(5-x)+x^2}{2\sqrt{5-x}}=\frac{20x-3x^2}{2\sqrt{5-x}}$.

$f'=0$ ב-$x=0$ וב-$x=4$. סימנים: $x<0$ - שלילית; $0<x<4$ - חיובית; $4<x<5$ - שלילית.

$\min(0,0)$; $\max(4,16)$ כי $f(4)=16\cdot\sqrt1=16$.

$x=5$ קצה התחום, והפונקציה יורדת אליו: $\min(5,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את נקודת הקצה $(5,0)$.

מסמנים $(0,0)$, $(4,16)$, $(5,0)$. משמאל ל-0 הפונקציה יורדת אל הראשית מערכים חיוביים גדולים; בין 0 ל-4 עולה; בין 4 ל-5 יורדת, והגרף נעצר ב-$(5,0)$.

טעות נפוצה: לצייר את החלק שמשמאל ל-0 מתחת לציר ה-$x$ - שם $x^2>0$ והשורש חיובי, ולכן $f>0$.

$g$ היא $f$ מוזזת $c$ יחידות למטה; המקסימום שלה $(4,16-c)$ והמינימום הפנימי $(0,-c)$.

$-c=10$ נותן $c<0$ - נפסל. לכן $16-c=10$, $c=6$.

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר, $16+c=10$, ולהסיק שאין $c$ חיובי.

$f$ עולה היכן ש-$f'>0$ (הגרף מעל ציר ה-$x$): $x<0$ או $x>4$.

$f$ יורדת היכן ש-$f'<0$ (הגרף מתחת לציר): $0<x<4$.

טעות נפוצה: להסתכל אם הגרף המצויר עולה או יורד (הוא יורד עד $x=2$ ועולה אחריו) ולענות "ירידה $x<2$, עלייה $x>2$" - מה שקובע הוא הסימן של $f'$, לא הכיוון של הגרף שלה.

ב-$x=0$ הפונקציה עוברת מעלייה לירידה - מקסימום. ב-$x=4$ - מירידה לעלייה - מינימום.

טעות נפוצה: לענות "מינימום ב-$x=2$" - זו נקודת המינימום של $f'$, לא של $f$.

השטח נמצא בין $x=0$ ל-$x=4$, מתחת לציר ה-$x$, ולכן $\int_0^4f'(x)\,dx=-S=-8$.

$f$ פונקציה קדומה של $f'$: $\int_0^4f'(x)\,dx=f(4)-f(0)$, ולכן $f(4)-f(0)=-8$.

טעות נפוצה: לחבר את השטח ולקבל $f(4)=18$ - אבל בין 0 ל-4 הפונקציה יורדת, ולכן $f(4)$ קטן מ-$f(0)$.

מסמנים את $(0,10)$ (מקסימום) ואת $(4,2)$ (מינימום).

משמאל ל-0 הפונקציה עולה, בין 0 ל-4 יורדת, מימין ל-4 עולה. בקצוות אין אסימפטוטה: $-\infty$ משמאל ו-$+\infty$ מימין.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף מתחת לציר ה-$x$ בין 0 ל-4, כי שם $f'$ שלילית - $f$ שם בין 2 ל-10, כולה מעל הציר.

$k>10$ או $k<2$: נקודת חיתוך אחת.

$2<k<10$: שלוש נקודות.

$k=10$: הישר נוגע במקסימום וחותך את הענף הימני - 2 נקודות. $k=2$: נוגע במינימום וחותך את הענף השמאלי - 2 נקודות.

טעות נפוצה: לענות $2<k<10$ - בתחום הזה יש שלוש נקודות חיתוך.