מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 5 בדרך לבגרות

בהתפלגות נורמלית מחצית מהערכים נמוכים מהממוצע (הממוצע שווה לחציון).

50% מהתפוחים שוקלים פחות מ-180 גרם, ולכן $\mu=180$.

טעות נפוצה: לחשב $\frac{180+190}{2}=185$. רק הנתון של 50% קובע את הממוצע.

30.85% שוקלים יותר מ-190 גרם, ולכן השטח המצטבר משמאל ל-190 הוא:

בטבלה מחפשים 0.6915 בגוף הטבלה ומוצאים $\Phi(0.5)=0.6915$, ולכן $Z=0.5$.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.3085 בלי משלים ולקבל $Z=-0.5$ - זה ציון התקן של ערך שמשמאלו 30.85%, כלומר תפוח ששוקל פחות מהממוצע.

מציבים בנוסחת ציון התקן את $X=190$, $\mu=180$, $Z=0.5$:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $\sigma=10\cdot0.5=5$.

גידול ב-10% פירושו הכפלה של כל משקל ב-1.1.

הכפלה בקבוע מכפילה את הממוצע ואת סטיית התקן באותו קבוע:

טעות נפוצה: להשאיר את סטיית התקן 20 גרם, כאילו לכל תפוח נוספו 18 גרם. כל תפוח גדל ב-10% מהמשקל שלו, ולכן גם הפיזור גדל.

(1) ציוני התקן: $Z=\frac{180-180}{20}=0$, $Z=\frac{200-180}{20}=1$.

(2) אחרי הדשן: $Z=\frac{198-198}{22}=0$, $Z=\frac{220-198}{22}=1$ - שוב ציוני תקן 0 ו-1, ולכן שוב 34.13%.

המסקנה: התחום "בין הממוצע לסטיית תקן אחת מעליו" זז ומתרחב יחד עם ההתפלגות, והאחוז בו נשאר 34.13%.

טעות נפוצה: בסעיף (2) לחשב בעזרת סטיית התקן הישנה: $Z=\frac{220-198}{20}=1.1$, ולקבל $\Phi(1.1)-0.5=36.43\%$.

שיפוע ישר הרגרסיה של $y$ לפי $x$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $0.75\cdot\frac{0.5}{6}=0.0625$, ולחשוב שהשאלה שגויה.

הישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(1.2,24)$ ושיפועו 9:

טעות נפוצה: לטעות בסימן בפתיחת הסוגריים ולקבל $y=9x+34.8$.

טעות נפוצה: להציב את 2 במקום $y$ ולפתור את $x$: $x=\frac{2-13.2}{9}\approx-1.24$.

מקדם המתאם 0.75: הקשר חיובי אך אינו מושלם, והנקודות אינן נמצאות כולן על הישר.

הערך מסעיף ג הוא הערכה לפי הישר, ואחוז הילדים האמיתי יכול להיות שונה ממנו.

טעות נפוצה: לענות "כן, כי הערך חושב מהמשוואה". חישוב מהמשוואה נותן ערך מדויק רק כשהקשר מושלם ($r=\pm1$).

שלוש התוצאות מכסות את כל האפשרויות, ולכן סכום ההסתברויות 1:

טעות נפוצה: להפחית רק את הניצחון ולענות $1-0.5=0.5$ - זו ההסתברות לתיקו או הפסד.

המשחקים בלתי תלויים, ולכן כופלים:

טעות נפוצה: לחבר במקום לכפול, $0.5+0.5=1$ - כאילו בטוח שהקבוצה תנצח בשני המשחקים.

המשלים: הקבוצה לא ניצחה באף משחק. בכל משחק $1-0.5=0.5$, ובשניהם $0.5^2=0.25$.

טעות נפוצה: לחשב רק "בדיוק ניצחון אחד", $2\cdot0.5\cdot0.5=0.5$, ולשכוח את המקרה של שני ניצחונות.

זו הסתברות מותנית: $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$, כאשר $B$ - ניצחון לפחות באחד המשחקים ($P(B)=0.75$ מסעיף ג), ו-$A$ - הפסד באחד המשחקים.

בחיתוך: הקבוצה ניצחה במשחק אחד והפסידה בשני. יש שני סדרים - (ניצחון, הפסד) ו-(הפסד, ניצחון):

טעות נפוצה: לספור רק סדר אחד ולקבל $\frac{0.5\cdot0.3}{0.75}=0.2$. ההפסד יכול להיות במשחק הראשון או בשני.

ולכן $AC\perp CB$ ו-$\angle ACB=90^\circ$.

טעות נפוצה: לחסר את שיעורי ה-$y$ ואת שיעורי ה-$x$ בסדר הפוך בשיפוע של $CB$ ($\frac{6-4}{0+6}=\frac13$), לקבל מכפלה $+1$ ולהסיק שהזווית אינה ישרה.

שיפוע 3 דרך $A(-8,0)$:

בדיקה ב-$C$: $3\cdot(-6)+24=6$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=3(x-8)$ ולקבל $y=3x-24$ - הישר הזה לא עובר ב-$A$ (בשיעור $x=-8$ מקבלים $y=-48$).

טעות נפוצה: לקחת את האמצע של $AB$ במקום של $AC$ - $(-4,2)$ - ולקבל $EC=\sqrt{20}\approx4.47$. התיכון לצלע $AC$ מגיע לאמצע $AC$.

המשולש $ECB$ ישר זווית ב-$C$ (סעיף א):

טעות נפוצה: לחשב $\tan=\frac{EC}{CB}=\frac12$ ולקבל $26.57^\circ$.

שטח המשולש $ABC$ (ישר זווית ב-$C$):

התיכון $BE$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח: ל-$ABE$ ול-$CBE$ יש בסיסים שווים ($AE=EC$) ואותו גובה מ-$B$. לכן:

טעות נפוצה: לענות 20 - זה שטח כל המשולש $ABC$.

$AD$ על ציר ה-$y$ ו-$BD$ אופקי, ולכן $\angle ADB=90^\circ$.

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר, ולכן $AB$ קוטר.

טעות נפוצה: לנמק "כי $AB$ עובר דרך מרכז המעגל" - את המרכז עוד לא מצאנו; דווקא מכך ש-$AB$ קוטר נמצא את המרכז.

המרכז באמצע הקוטר $AB$: $M\left(\frac{0-16}{2},\frac{15+7}{2}\right)=(-8,11)$.

טעות נפוצה: לקחת $R=AB$ ולקבל $(x+8)^2+(y-11)^2=320$.

$E$ על $BD$, כלומר $E(x,7)$, ו-$x$ בין $-16$ ל-$0$.

$BE=x+16$, ו-$AE^2=x^2+(15-7)^2=x^2+64$:

טעות נפוצה: לחשוב ש-$E$ אמצע $BD$ ולענות $E(-8,7)$. אז $BE=8$ אבל $AE=\sqrt{64+64}\approx11.3$ - השוויון לא מתקיים.

$\angle CBD=\angle DAC$ - זוויות היקפיות הנשענות על הקשת $CD$.

$BE=AE$ (נתון), ו-$\angle BEC=\angle AED$ (קודקודיות).

לכן $\triangle CBE\cong\triangle DAE$ לפי ז.צ.ז.

טעות נפוצה: לכתוב את החפיפה $\triangle CBE\cong\triangle ADE$ - ואז בסעיף ה מקבלים $BC=DE=6$ במקום 8.

מהחפיפה, $BC$ מתאימה ל-$AD$, ו-$AD=15-7=8$. לכן $BC=8$.

טעות נפוצה: להתאים את $BC$ ל-$DE$ ולענות 6.

המכנה מתאפס ב-$x=0$ והמונה שם 16, ולכן התחום $x\neq0$ והאסימפטוטה האנכית $x=0$.

מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה - אין אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: לענות שיש גם אסימפטוטה $y=1$ (יחס המקדמים המובילים) - הכלל מתאים רק כשהמעלות שוות.

$f(x)=x+\frac{16}{x}$, ולכן $f'(x)=1-\frac{16}{x^2}=\frac{x^2-16}{x^2}$.

$f'=0$ ב-$x=\pm4$. סימן $f'$ כסימן $x^2-16$: חיובי ב-$x<-4$ וב-$x>4$, שלילי ב-$-4<x<0$ וב-$0<x<4$.

$f(-4)=-8$ - מקסימום; $f(4)=8$ - מינימום.

טעות נפוצה: להחליף את הסוגים כי $-8<8$ ולענות $\min(-4,-8)$, $\max(4,8)$.

$x^2+16>0$, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-$x$: $f<0$ ב-$x<0$ ו-$f>0$ ב-$x>0$.

טעות נפוצה: לחבר את שני הענפים דרך הראשית - $x=0$ אינו בתחום, והגרף 'קופץ' מ-$-\infty$ ל-$+\infty$.

$g'$ הוא גרף $f$ מוזז 10 למטה: בענף הימני (מינימום $(4,8)$ עובר ל-$(4,-2)$) $g'>0$ ב-$0<x<2$, $g'<0$ ב-$2<x<8$, $g'>0$ ב-$x>8$. בענף השמאלי $g'<0$.

מקסימום של $g$ ב-$x=2$, מינימום ב-$x=8$.

טעות נפוצה: להפוך את הסוגים ולענות מינימום ב-$x=2$ ומקסימום ב-$x=8$ - ב-$x=2$ הנגזרת $g'$ עוברת מחיובית לשלילית, ולכן $g$ עוברת מעלייה לירידה.

$x-3\ge0$, ולכן $x\ge3$. $f(3)=3-4\sqrt0=3$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>3$ ולהוציא את נקודת הקצה $(3,3)$ מהגרף.

$\left(\sqrt{x-3}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x-3}}$, ולכן $f'(x)=1-4\cdot\frac{1}{2\sqrt{x-3}}=1-\frac{2}{\sqrt{x-3}}$.

$f'(x)=0$: $\sqrt{x-3}=2$, $x=7$. $f(7)=7-8=-1$.

ב-$3<x<7$: $\sqrt{x-3}<2$, ולכן $f'<0$; ב-$x>7$: $f'>0$. $(7,-1)$ מינימום.

נקודת הקצה $(3,3)$: מימינה הפונקציה יורדת - מקסימום.

טעות נפוצה: לא לבדוק את נקודת הקצה ולענות רק $\min(7,-1)$.

$x=4\sqrt{x-3}$. מעלים בריבוע: $x^2=16(x-3)$, $x^2-16x+48=0$, $(x-4)(x-12)=0$.

בדיקה: $f(4)=4-4=0$ ✓, $f(12)=12-12=0$ ✓.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע בלי לרבע את 4: $x^2=4(x-3)$, $x^2-4x+12=0$ - בלי פתרון, ומכאן "אין חיתוך".

מתחילים בנקודת הקצה $(3,3)$, יורדים דרך $(4,0)$ עד המינימום $(7,-1)$, ועולים דרך $(12,0)$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף גם משמאל ל-$x=3$, שם הפונקציה אינה מוגדרת.

בקטע $4<x<7$, $f'<0$ (סעיף ב), ולכן גרף הנגזרת מתחת לציר.

הקדומה של $f'$ היא $f$:

השטח הוא הערך המוחלט: $1$.

טעות נפוצה: לענות $-1$ - ערך האינטגרל. האינטגרל שלילי כי הגרף מתחת לציר, והשטח הוא הערך המוחלט שלו.

$12-x\ge0$, כלומר $x\le12$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ge12$ - כשמחלקים ב-$-1$ כיוון אי-השוויון מתהפך.

כלל המכפלה, עם $\left(\sqrt{12-x}\right)'=\frac{-1}{2\sqrt{12-x}}$:

מכנה משותף $2\sqrt{12-x}$:

טעות נפוצה: לגזור את השורש בלי הנגזרת הפנימית ולקבל $\frac{24-x}{2\sqrt{12-x}}$.

$f'(x)=0$: $24-3x=0$, $x=8$; $f(8)=8\sqrt4=16$.

ל-$x<8$ המונה חיובי - עלייה; ל-$8<x<12$ שלילי - ירידה. לכן $(8,16)$ מקסימום.

בקצה $x=12$: $f(12)=0$, והפונקציה יורדת אליו - מינימום בקצה.

טעות נפוצה: לשכוח את נקודת הקצה ולענות רק $\max(8,16)$.

$x\sqrt{12-x}=0$: $x=0$ או $x=12$. החיתוך עם ציר ה-$y$ הוא אותה נקודה $(0,0)$.

הגרף עולה מ-$-\infty$, עובר בראשית, מגיע ל-$(8,16)$, יורד ל-$(12,0)$ ונעצר.

טעות נפוצה: לחלק ב-$x$ ולמצוא רק את $(12,0)$.

$g$ היא הזזה של $f$ ב-12 יחידות שמאלה.

תחום: $x+12\le12$, כלומר $x\le0$.

המקסימום זז גם הוא 12 שמאלה, והגובה לא משתנה: $(8-12,\ 16)=(-4,16)$.

טעות נפוצה: להזיז ימינה ולקבל $\max(20,16)$ ותחום $x\le24$.