מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 6 בדרך לבגרות

טעות נפוצה: לחלק בממוצע במקום בסטיית התקן: $\frac{20}{150}\approx0.13$.

תפוח פרימיום שוקל 170 גרם ומעלה, כלומר מחפשים את השטח מימין ל-$z=1$:

טעות נפוצה: לענות $\Phi(1)=0.8413$ - זו ההסתברות שהתפוח שוקל פחות מ-170 גרם.

משקלי שני תפוחים שנבחרו באקראי בלתי תלויים, ולכן:

טעות נפוצה: לכפול ב-2 ולענות $2\cdot0.1587=0.3174$ - כאילו מספיק שאחד מהם יהיה תפוח פרימיום.

בעץ יש שני מסלולים שבהם בדיוק תפוח אחד הוא פרימיום: "פרימיום ואחריו רגיל" ו"רגיל ואחריו פרימיום".

טעות נפוצה: לספור רק מסלול אחד ולענות $0.1587\cdot0.8413\approx0.1335$.

בהתפלגות נורמלית החציון שווה לממוצע: 50 ק"ג.

42 ו-58 נמצאים סטיית תקן אחת מתחת לממוצע ומעליו: $z=\frac{42-50}{8}=-1$, $z=\frac{58-50}{8}=1$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$\Phi(1)=0.8413$ ולענות 84.13% - זה האחוז של כל העצים שמניבים פחות מ-58 ק"ג, כולל אלה שמתחת ל-42.

הטבלה נותנת את השטח משמאל ל-62; העצים שמניבים יותר הם המשלים:

טעות נפוצה: לענות 93.32% - זה האחוז שמניבים פחות מ-62 ק"ג.

מכפילים את ההסתברות מסעיף ב במספר העצים:

טעות נפוצה: להכפיל ב-6.68 במקום ב-0.0668 ולקבל 1,670 עצים - יותר מכל העצים במטע. אחוז הופכים לשבר עשרוני לפני הכפל.

ירידה ב-10%: $\mu_{new}=50\cdot0.9=45$.

טעות נפוצה: להוריד 10 ק"ג במקום 10% - ממוצע 40, $z=\frac{22}{8}=2.75$, ולקבל $250\cdot0.003\approx1$ עץ.

החטאה בראשונה: $1-0.7=0.3$. אחרי החטאה, החטאה בשנייה: $1-0.6=0.4$.

מסלול אחד בעץ, כופלים: $0.3\cdot0.4=0.12$.

טעות נפוצה: לקחת להחטאה השנייה את $1-0.8=0.2$ (הענף שאחרי הבקעה) ולקבל $0.3\cdot0.2=0.06$.

שני מסלולים זרים: הבקעה ואז החטאה, או החטאה ואז הבקעה:

טעות נפוצה: לספור רק את הסדר "הבקעה ואז החטאה" ולענות $0.14$.

נסמן: $A$ - קליעה רק בשנייה, $B$ - קליעה רק באחת.

טעות נפוצה: לענות $0.6$ - ההסתברות להבקיע בשנייה אחרי החטאה, שהיא התנאי ההפוך (בהינתן החטאה בראשונה).

מציבים $y=0$: $0=-3x+12$, $x=4$. לכן $C(4,0)$ ו-$OC=4$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ במקום $y=0$ ולקבל את הנקודה $(0,12)$ - זו נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$.

$OD\perp BC$: $m_{OD}=\frac13$, ו-$OD$ עובר בראשית, ולכן $y=\frac13x$.

$D$ היא נקודת החיתוך של $OD$ ו-$BC$:

טעות נפוצה: לבחור לישר $OD$ שיפוע $-\frac13$ ולקבל נקודת חיתוך $(4.5,-1.5)$ - מתחת לציר ה-$x$, מחוץ למשולש.

בוחרים את $OC$ כבסיס. הגובה אליו הוא שיעור ה-$y$ של $D$:

טעות נפוצה: לקחת כגובה את שיעור ה-$x$ של $D$ ולקבל $\frac{4\cdot3.6}{2}=7.2$.

$\angle BEC=90^\circ$ ו-$\angle ODC=90^\circ$ (גבהים), והזווית $C$ משותפת.

לכן $\triangle BEC\sim\triangle ODC$ (ז.ז.), בהתאמה $B\leftrightarrow O$, $E\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: לטעון שהמשולשים דומים רק בגלל הזווית הישרה - צריך שתי זוויות שוות.

היתר $BC$ מתאים ליתר $OC$, ולכן יחס הדמיון הוא $k=\frac{BC}{OC}=\frac{\sqrt{10}}{4}$.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לקחת את יחס השטחים שווה ליחס הדמיון: $\frac{\sqrt{10}}{4}\approx0.79$, ואז $S_{BEC}\approx1.9$.

$B(x,-3x+12)$ במרחק $\sqrt{10}$ מ-$C(4,0)$:

$x=3$ או $x=5$. ב-$x=5$ מתקבל $y=-3$ (מתחת לציר), ולכן $B(3,3)$.

טעות נפוצה: לבחור $x=5$ ולקבל $B(5,-3)$ - נקודה מתחת לציר ה-$x$, שאינה מתאימה לסרטוט (ו-$E$ לא נמצאת על הצלע $OC$).

$R=MC=-1-(-6)=5$, ולכן $(x+1)^2+y^2=25$.

טעות נפוצה: לכתוב $(x-1)^2+y^2=25$ - טעות בסימן של המרכז.

$(x+4)(x-3)=0$, ולכן $A(3,3)$ ו-$B(-4,-4)$.

טעות נפוצה: לפתוח את $(x+1)^2$ כ-$x^2+1$ ולקבל $x=\pm\sqrt{12}$.

$O$ על הצלע $AB$ ומחלקת את המשולש לשני משולשים עם הבסיס $CO=6$:

טעות נפוצה: לחשב רק את המשולש שמעל ציר ה-$x$ ולקבל 9.

למשולשים $EAB$ ו-$CAB$ אותו גובה מ-$B$ לישר $AC$, ו-$AE=\frac12AC$. לכן:

טעות נפוצה: לחשוב שאמצע הצלע מקטין את השטח פי 4 (כמו בדמיון) ולענות $\frac{21}{4}=5.25$.

המכנה מתאפס ב-$x=-2$: התחום $x\neq-2$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq2$.

אנכית $x=-2$ (המונה שם $-16\neq0$); אופקית $y=0$ (מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה).

טעות נפוצה: לכתוב $y=8$.

כלל המנה, כשנגזרת המכנה היא $2(x+2)$:

טעות נפוצה: לגזור את $(x+2)^2$ כ-$(x+2)$ (לשכוח את המקדם 2). מקבלים $f'(x)=\frac{8(x+2)-8x}{(x+2)^3}=\frac{16}{(x+2)^3}$, שלא מתאפסת - ו"אין קיצון".

$f'(x)=0$ ב-$x=2$. ל-$-2<x<2$: $f'>0$; ל-$x>2$: $f'<0$.

עלייה ואחריה ירידה: מקסימום. $f(2)=\frac{16}{16}=1$.

טעות נפוצה: לקבוע "מינימום" לפי הסימן של $f'$ בצד שמאל של $x=-2$ - אבל $x=-2$ מחוץ לתחום, ומשווים רק את הסימנים משני צדי $x=2$.

אסימפטוטות $x=-2$, $y=0$, חיתוך $(0,0)$, מקסימום $(2,1)$.

ל-$x<-2$: $f<0$ ו-$f'<0$ - יורד מ-0 ל-$-\infty$. ל-$x>-2$: עולה עד $(2,1)$ ויורד לכיוון 0.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מעל הציר. $f(-3)=-24<0$.

$y=1$ הוא גובה המקסימום, ובשאר הגרף הערכים קטנים מ-1: נקודה אחת, $(2,1)$.

$y=\frac12$ בין 0 ל-1: הענף הימני עולה מ-0 עד 1 ויורד חזרה לכיוון 0, ולכן עובר בגובה $\frac12$ פעמיים. הענף השמאלי שלילי. סך הכול שתי נקודות.

טעות נפוצה: לספור רק את העלייה ולענות שגם ל-$y=\frac12$ נקודה אחת.

$x-3\ge0$, ולכן $x\ge3$. $f(3)=3-4\sqrt0=3$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>3$ ולהוציא את נקודת הקצה $(3,3)$ מהגרף.

$\left(\sqrt{x-3}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x-3}}$, ולכן $f'(x)=1-4\cdot\frac{1}{2\sqrt{x-3}}=1-\frac{2}{\sqrt{x-3}}$.

$f'(x)=0$: $\sqrt{x-3}=2$, $x=7$. $f(7)=7-8=-1$.

ב-$3<x<7$: $\sqrt{x-3}<2$, ולכן $f'<0$; ב-$x>7$: $f'>0$. $(7,-1)$ מינימום.

נקודת הקצה $(3,3)$: מימינה הפונקציה יורדת - מקסימום.

טעות נפוצה: לא לבדוק את נקודת הקצה ולענות רק $\min(7,-1)$.

$x=4\sqrt{x-3}$. מעלים בריבוע: $x^2=16(x-3)$, $x^2-16x+48=0$, $(x-4)(x-12)=0$.

בדיקה: $f(4)=4-4=0$ ✓, $f(12)=12-12=0$ ✓.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע בלי לרבע את 4: $x^2=4(x-3)$, $x^2-4x+12=0$ - בלי פתרון, ומכאן "אין חיתוך".

מתחילים בנקודת הקצה $(3,3)$, יורדים דרך $(4,0)$ עד המינימום $(7,-1)$, ועולים דרך $(12,0)$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף גם משמאל ל-$x=3$, שם הפונקציה אינה מוגדרת.

בקטע $4<x<7$, $f'<0$ (סעיף ב), ולכן גרף הנגזרת מתחת לציר.

הקדומה של $f'$ היא $f$:

השטח הוא הערך המוחלט: $1$.

טעות נפוצה: לענות $-1$ - ערך האינטגרל. האינטגרל שלילי כי הגרף מתחת לציר, והשטח הוא הערך המוחלט שלו.

$OE=6$ (רדיוס), והמשולש $ODE$ ישר זווית ב-$D$: $ED=\sqrt{36-x^2}$, $0<x<6$.

טעות נפוצה: לכתוב $ED=6-x$.

המשולש ישר זווית ב-$D$, והניצבים הם $OD=x$ ו-$ED=\sqrt{36-x^2}$:

טעות נפוצה: לשכוח את החצי ולכתוב $S(x)=x\sqrt{36-x^2}$ - זה שטח המלבן שצלעותיו $OD$ ו-$ED$.

נגזרת מכפלה, והשורש בכלל השרשרת:

טעות נפוצה: לגזור מכפלה כמכפלת הנגזרות, $\frac12\cdot1\cdot\frac{-x}{\sqrt{36-x^2}}$ - נגזרת שלילית לכל $x>0$, ולהסיק בטעות שאין מקסימום.

$S'(x)=0$: $x^2=18$, $x=3\sqrt2$ (בתחום $0<x<6$). $S'>0$ משמאל ו-$S'<0$ מימין - מקסימום.

טעות נפוצה: להציב בלי החצי ולענות שהשטח המקסימלי 18 סמ"ר.