מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 7 בדרך לבגרות

ציון התקן אומר בכמה סטיות תקן הערך רחוק מהממוצע:

טעות נפוצה: לחלק את הערך עצמו בסטיית התקן, $\frac{50}{5}=10$, בלי להחסיר את הממוצע.

הטבלה המצטברת נותנת ישירות את השטח משמאל לציון התקן:

כלומר $97.72\%$.

טעות נפוצה: לענות $1-0.9772=2.28\%$ - זה אחוז הנסיעות שנמשכות יותר מ-50 דקות.

ציון התקן של 35: $z=\frac{35-40}{5}=-1$, ושל 50: $z=2$ (סעיף א).

כלומר $81.85\%$.

טעות נפוצה: להתעלם מהסימן של ציון התקן של 35 ולחסר את $\Phi(1)$: $0.9772-0.8413=13.59\%$ - זה האחוז בין 45 ל-50 דקות.

10% מתחתיו: $\Phi(z)=0.1$. הערך הקרוב בטבלה: $\Phi(-1.28)=0.1003$, ולכן $z=-1.28$.

טעות נפוצה: לקחת $z=1.28$ (בלי הסימן) ולענות $46.4$ דקות - זה המשך שרק 10% מהנסיעות ארוכות ממנו.

לפי סעיף ב, $97.72\%$ מהנסיעות קצרות מ-50 דקות, ולכן $2.28\%$ ארוכות ממנו.

טעות נפוצה: לכפול באחוז מסעיף ב ולענות $0.9772\cdot2{,}500=2{,}443$ נסיעות.

ריבועי הסטיות מהממוצע: $4,\ 1,\ 0,\ 1,\ 4$, וסכומם 10.

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולכתוב $\sigma_x=2$ - זו השונות, לא סטיית התקן.

בטבלה, ככל שמספר שעות הלמידה גדל, גם הציון גדל - הקשר חיובי.

לכן מקדם המתאם חיובי: $r=0.984$.

טעות נפוצה: לבחור את $-0.984$ מתוך מחשבה שהסימן מתאר את עוצמת הקשר. העוצמה נקבעת לפי הערך המוחלט (כאן הוא זהה), והסימן לפי הכיוון.

הישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(3,\ 68)$:

טעות נפוצה: לכתוב את המשוואה דרך הנקודה $(68,\ 3)$ - להחליף בין הממוצעים - ולקבל $y=6.805x-459.74$.

טעות נפוצה: להציב $x=35$ (מספר שעות בלי הנקודה העשרונית) ולקבל ניבוי של 285.76 - יותר מ-100, ולכן ברור שזו טעות.

טעות נפוצה: לענות $0.8413$ - זו ההסתברות להיכשל.

ציון המעבר שווה לממוצע: $z=\frac{60-60}{15}=0$. העקומה הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן בדיוק מחצית מהנבחנים מעליו:

טעות נפוצה: לערבב את נתוני הגרסאות ולחשב $z=\frac{60-50}{15}\approx0.67$, ולקבל $1-0.7486=0.2514$.

טעות נפוצה: ממוצע פשוט $\frac{0.1587+0.5}{2}\approx0.3294$, בלי להתחשב בכך ש-60% נבחנו בגרסה א'.

טעות נפוצה: לחשב רק את העוברים בגרסה א' ($1500\cdot0.6=900$ נבחנים, $900\cdot0.1587\approx143$) ולשכוח את גרסה ב'.

טעות נפוצה: לחבר את הפרשי השיעורים בלי שורש וריבוע, $MA=4+3=7$.

$M$ במרחק 5 משלוש הנקודות, ולכן המעגל שמרכזו $M$ ורדיוסו 5 עובר דרכן:

טעות נפוצה: לכתוב את הרדיוס במקום ריבועו: $(x-1)^2+(y-1)^2=5$.

$AB$ אנכי ($x=5$), ו-$BA$ פונה מ-$B$ כלפי מטה.

$m_{BC}=\frac{4-(-4)}{5-1}=2$: הזווית של $BC$ עם האופק היא $\theta$ שבה $\tan\theta=2$, $\theta\approx63.43^\circ$.

טעות נפוצה: לענות $63.43^\circ$ - זו הזווית של $BC$ עם הכיוון האופקי.

הבסיס $AB$ אנכי: $AB=4-(-2)=6$. הגובה מ-$C$ לישר $x=5$ הוא הפרש שיעורי ה-$x$: $5-1=4$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה את $BC=\sqrt{80}$ ולקבל $3\sqrt{80}\approx26.83$ - $BC$ אינו מאונך ל-$AB$.

מציבים $y=-5$:

$A(-12,-5)$, $B(12,-5)$.

טעות נפוצה: להעביר אגף עם סימן שגוי, $x^2=169+25=194$, ולקבל $x\approx\pm13.93$ - נקודות שאינן על המעגל.

$AB$ אופקי, ולכן הגובה $CD$ אנכי. הוא עובר דרך $M(0,0)$, ולכן הוא על הישר $x=0$.

$D$ על $AB$: $D(0,-5)$. $C$ על המעגל ועל $x=0$: $y^2=169$, $y=\pm13$. הקטע $CD$ עובר דרך $M$, ולכן $C$ בצד השני של $M$ ביחס ל-$D$: $C(0,13)$.

טעות נפוצה: לבחור $C(0,-13)$ - הקטע מ-$(0,-13)$ ל-$(0,-5)$ אינו עובר דרך המרכז.

לכן $CA=CB=\sqrt{468}=6\sqrt{13}$.

טעות נפוצה: לחשב $-5-13=-8$ ולקבל $\sqrt{144+64}=\sqrt{208}$.

במשולש ישר הזווית $ACD$: $AD=12$, $CD=13-(-5)=18$.

$CD$ חוצה את זווית הראש במשולש שווה השוקיים, ולכן $\angle ACB\approx67.38^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת $CD=13$ (רדיוס) ולקבל $\tan\angle ACD=\frac{12}{13}$, כלומר $\angle ACB\approx85.42^\circ$.

המכנה $x$ מתאפס ב-$x=0$, ולכן התחום $x\neq0$.

ב-$x=0$ המונה $4\neq0$, ולכן $x=0$ (ציר ה-$y$) אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לפסול גם את $x=\pm2$ - אלה אפסי המונה של הנגזרת (סעיף א(3)), לא של המכנה של $f$.

ציר ה-$y$: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך.

ציר ה-$x$: $x^2+4=0$ אין פתרון, כי $x^2+4\ge4$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ רק במונה ולקבל "נקודה" $(0,4)$ - ב-$x=0$ המכנה מתאפס והפונקציה אינה מוגדרת.

כלל המנה עם $u=x^2+4$, $u'=2x$, $v=x$, $v'=1$:

טעות נפוצה: לכתוב את המונה בסדר הפוך, $(x^2+4)-2x\cdot x$, ולקבל $\frac{4-x^2}{x^2}$ - נגזרת עם סימן הפוך.

$f'(x)=0$: $x^2=4$, $x=\pm2$. המכנה $x^2$ חיובי, ולכן הסימן לפי $x^2-4$:

$f(-2)=\frac{8}{-2}=-4$, $f(2)=\frac82=4$.

טעות נפוצה: לקבוע ש-$(2,4)$ מקסימום "כי הוא גבוה יותר" ו-$(-2,-4)$ מינימום. הסוג נקבע לפי סימן הנגזרת משני הצדדים.

ל-$x<0$: מונה חיובי, מכנה שלילי - הענף מתחת לציר ה-$x$; עולה עד $(-2,-4)$ ויורד ל-$-\infty$ ליד $x=0$.

ל-$x>0$: הענף מעל ציר ה-$x$; יורד מ-$+\infty$ עד $(2,4)$ ועולה.

טעות נפוצה: לחבר את שני הענפים דרך ציר ה-$y$ - ב-$x=0$ יש אסימפטוטה, והגרף אינו חוצה אותה.

ל-$x<0$ מתקיים $f(x)<0$ (סעיף א(5)), והערך המוחלט של מספר שלילי הוא הנגדי שלו: $g(x)=-f(x)$. ל-$x>0$: $g(x)=f(x)$.

הענף השמאלי משתקף: המקסימום $(-2,-4)$ הופך למינימום $(-2,4)$. הענף הימני נשאר: $\min(2,4)$.

טעות נפוצה: להשאיר את הסוג ולכתוב $\max(-2,4)$ - אחרי השיקוף זו הנקודה הנמוכה בענף.

בכל ענף של $g$ הגרף יורד מ-$+\infty$ למינימום 4 ועולה ל-$+\infty$.

$5>4$, ולכן $y=5$ חותך כל ענף פעמיים: 4 פתרונות.

(בדיקה: $f(x)=5$ נותן $x=1,4$, ו-$f(x)=-5$ נותן $x=-1,-4$.)

טעות נפוצה: לפתור רק $f(x)=5$ ולענות 2. $|f(x)|=5$ פירושו $f(x)=5$ או $f(x)=-5$.

הביטוי שבתוך השורש אינו שלילי: $5-x\ge0$, כלומר $x\le5$.

טעות נפוצה: לכתוב $x<5$ - ב-$x=5$ השורש שווה 0, וזה מותר (הנגזרת היא שאינה מוגדרת שם).

$f'=0$: $\sqrt{5-x}=2$, $x=1$. ב-$x<1$ $f'>0$, ב-$1<x<5$ $f'<0$: מקסימום $f(1)=1+4\cdot2=9$.

הפונקציה יורדת עד קצה התחום, ולכן ב-$x=5$ מינימום: $f(5)=5$.

טעות נפוצה: לשכוח את נקודת הקצה ולענות רק $\max(1,9)$.

$4\sqrt{5-x}=-x$. מעלים בריבוע: $16(5-x)=x^2$, $x^2+16x-80=0$, $(x+20)(x-4)=0$.

$x=4$: $4+4\cdot1=8\neq0$ - נפסל (אגף ימין $-4$ שלילי). $x=-20$: $-20+4\cdot5=0$ ✓.

טעות נפוצה: לא לבדוק ולענות $(4,0)$ ו-$(-20,0)$.

$f'$ מתאפסת ב-$x=1$ וחיובית בין $-20$ ל-1, ו-$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$:

טעות נפוצה: לקחת את קצה התחום $x=5$ כגבול עליון ולקבל $f(5)-f(-20)=5$ - אבל בין 1 ל-5 $f'$ שלילית, והשטח הזה אינו חלק מהתחום המבוקש.

המכנה מתאפס ב-$x=0$: אסימפטוטה אנכית $x=0$ (ציר ה-$y$). השבר שואף ל-0 באינסוף: $y=3$.

טעות נפוצה: לענות $y=0$ ולשכוח את ה-$+3$.

צלע אופקית: מ-$x=0$ עד $x=t$, אורך $t$. צלע אנכית: מ-$y=3$ עד $y=\frac9t+3$, אורך $\frac9t$.

טעות נפוצה: לקחת את הצלע האנכית עד ציר ה-$x$ ($\frac9t+3$) ולקבל $P=2t+\frac{18}{t}+6$.

$t>0$, ולכן $t=3$. $P'<0$ ב-$0<t<3$ ו-$P'>0$ ב-$t>3$ - מינימום.

$f(3)=6$: $A(3,6)$, $P(3)=6+6=12$.

טעות נפוצה: לגזור $\frac{18}{t}$ כ-$\frac{18}{t^2}$ (בלי מינוס) - אז $P'>0$ תמיד ואין מינימום.

הצלעות $3$ ו-$\frac93=3$: $S=9$.

טעות נפוצה: לחשב $t\cdot f(t)=3\cdot6=18$ - המלבן שבין $A$ לצירים.