מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 8 בדרך לבגרות

רון רץ מהר מהממוצע, ולכן ציון התקן שלילי.

טעות נפוצה: להפוך את סדר החיסור במונה, $\frac{30-27}{2}$, ולקבל $z=1.5$ - ציון תקן חיובי, כאילו רון רץ לאט מהממוצע.

הישג טוב יותר פירושו זמן קצר יותר מ-27 שניות:

$6.68\%$ מהתלמידים רצו מהר יותר מרון.

טעות נפוצה: לחשב $1-\Phi(-1.5)=93.32\%$ - זה אחוז התלמידים שרצו לאט יותר מרון.

ציון התקן של 33: $z=\frac{33-30}{2}=1.5$.

$86.64\%$ מהתלמידים.

טעות נפוצה: לחשב רק את החצי שמעל הממוצע, $\Phi(1.5)-0.5=0.4332$, ולענות $43.32\%$.

בריצה ההישג של רון טוב מזה של כל מי שרץ לאט יותר ממנו:

כלומר הישגו בריצה טוב מזה של $93.32\%$ מהתלמידים, ובקפיצה - מזה של $80\%$ בלבד. לכן ההישג בריצה טוב יותר יחסית.

טעות נפוצה: להשוות את $6.68\%$ מסעיף ב ל-$80\%$ ולהסיק שההישג בקפיצה טוב יותר - $6.68\%$ הם התלמידים שטובים מרון, לא אלה שהוא טוב מהם.

הממוצע הוא סכום המכפלות חלקי מספר התלמידים:

כופלים במכנה:

מספר התלמידים: $10+20+15+5=50$.

טעות נפוצה: להשמיט מהמכנה את 10 התלמידים שלא ביקרו כלל: $35+2x=1.3(25+x)$, ומתקבל $x\approx-3.6$ - מספר שלילי. כל התלמידים נספרים במכנה.

השונות היא ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע 1.3:

סטיית התקן היא השורש של השונות:

טעות נפוצה: לעצור בשונות ולענות 0.81. סטיית התקן היא השורש הריבועי של השונות.

השכיח: לערך 1 השכיחות הגדולה ביותר (20 תלמידים), ולכן השכיח הוא 1.

החציון: 50 תלמידים, ולכן החציון הוא ממוצע הערכים במקומות 25 ו-26.

שכיחות מצטברת: 0 - מקומות 1-10; 1 - מקומות 11-30.

המקומות 25 ו-26 בתחום 11-30, שניהם 1, והחציון הוא 1.

טעות נפוצה: לענות שהשכיח הוא 20 - זו השכיחות. השכיח הוא הערך עצמו, ביקור אחד.

יש 50 תלמידים, ולכן החציון הוא ממוצע הערכים במקומות 25 ו-26.

ממוצע של שני ערכים שלמים יוצא 1.5 רק כך:

במקום 25 הערך 1 ובמקום 26 הערך 2. לכן המקומות 1-25 הם 0 או 1, ומהמקום 26 והלאה כל הערכים 2 לפחות.

מספר התלמידים שביקרו פעם אחת לכל היותר הוא 25.

טעות נפוצה: לענות 26 - כאילו גם התלמיד שבמקום 26 ביקר פעם אחת לכל היותר. במקום 26 הערך כבר 2.

נסמן ב-$N$ את מספר הכדורים בתיבה:

מספר הכדורים הירוקים: $20-3-5=12$.

טעות נפוצה: לענות $N=20$ - זה מספר כל הכדורים, לא מספר הירוקים.

בכל הוצאה (עם החזרה): אדום $0.15$, כחול $\frac{5}{20}=0.25$, ירוק $\frac{12}{20}=0.6$. בעץ שתי קומות, ובכל קומה אותם שלושה ענפים עם אותן הסתברויות.

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות לאורך המסלול, $0.25+0.25=0.5$. לאורך מסלול בעץ כופלים.

שלושה מסלולים בעץ: שני אדומים, שני כחולים, שני ירוקים:

טעות נפוצה: לקחת רק את המסלול של הצבע השכיח, $0.6^2=0.36$, ולשכוח את שני הצבעים האחרים.

ההסתברות שכדור אינו ירוק: $0.4$. המשלים של "לפחות ירוק אחד" הוא "אף ירוק":

טעות נפוצה: לחבר $0.6+0.6=1.2$ - תוצאה גדולה מ-1; המקרה של שני ירוקים נספר פעמיים.

$AB\parallel CD$: הזוויות $ABC$ ו-$BCD$ חד-צדדיות, ולכן $\sphericalangle ABC=180^\circ-2\alpha$.

$BE$ חוצה אותה: $\sphericalangle EBC=\frac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha$.

טעות נפוצה: לכתוב $\sphericalangle ABC=2\alpha$, כאילו אלה זוויות מתחלפות.

$\sphericalangle ECB=\alpha$ ($CE$ חוצה את $2\alpha$), ו-$\sphericalangle EBC=90^\circ-\alpha$ מסעיף א.

טעות נפוצה: לשכוח לחצות את הזווית $ABC$ ולהציב $\sphericalangle EBC=180^\circ-2\alpha$, ומקבלים $\sphericalangle BEC=180^\circ-(180^\circ-2\alpha)-\alpha=\alpha$.

מציבים $y=-1.5x-0.5$ במשוואת $BC$:

$C(5,-8)$.

$m_{EB}=\frac{3-1}{2-(-1)}=\frac23$ ו-$m_{EC}=-\frac32$; המכפלה $-1$, ולכן $EB\perp EC$ - כמו שהוכח בסעיף ב.

טעות נפוצה: להכפיל ב-3 רק את $-1.5x$: $11x-4.5x-0.5=31$, ומקבלים $x\approx4.85$.

במשולש ישר הזווית $BEC$: $\tan\sphericalangle ECB=\frac{EB}{EC}=\frac13$, ולכן $\sphericalangle ECB\approx18.43^\circ$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ($\tan=3$) ולקבל $71.57^\circ$ - זו הזווית $EBC$.

$\sphericalangle A=\sphericalangle D=90^\circ$. $\sphericalangle BCD=2\cdot18.43^\circ=36.87^\circ$, ו-$\sphericalangle ABC=180^\circ-36.87^\circ=143.13^\circ$.

טעות נפוצה: לתת לזווית $C$ את $18.43^\circ$ (מחצית הזווית), ולקבל $\sphericalangle B\approx161.57^\circ$.

לכן $AB\perp BC$, והזווית $ABC$ ישרה.

טעות נפוצה: לחשב את שיפוע $BC$ הפוך, $\frac{9-1}{1-5}=-2$, לקבל מכפלה $-4$ ולהסיק שהזווית אינה ישרה.

הזווית $ABC$ היא זווית היקפית של $90^\circ$, וזווית היקפית ישרה נשענת על קוטר - לכן $AC$ קוטר.

המרכז הוא אמצע הקוטר:

טעות נפוצה: לחשוב שמרכז המעגל החוסם הוא מפגש התיכונים, ולקבל $\left(\frac{-1+1+9}{3},\,\frac{1+5+1}{3}\right)=\left(3,\,\frac73\right)$.

הרדיוס הוא חצי הקוטר: $AC=9-(-1)=10$, ולכן $R=5$.

בדיקה: $B(1,5)$: $9+16=25$.

טעות נפוצה: לקחת את אורך הקוטר כרדיוס ולכתוב $(x-4)^2+(y-1)^2=100$.

שטח העיגול: $25\pi$.

$AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$, $BC=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}$, ולכן $S_{ABC}=\frac{\sqrt{20}\cdot\sqrt{80}}{2}=\frac{40}{2}=20$.

טעות נפוצה: לשכוח את החצי בשטח המשולש ולקבל $\frac{25\pi}{40}\approx1.96$.

המכנה מתאפס ב-$x=2$: התחום $x\neq2$, ו-$x=2$ אסימפטוטה אנכית.

השבר שואף ל-0 כש-$x\to\pm\infty$, ולכן $y=1$ אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: לכתוב $y=0$ - שוכחים את ההזזה ב-1 למעלה.

$f(0)=\frac{1}{4}+1=1.25$, הנקודה $(0,1.25)$.

$\frac{1}{(x-2)^2}>0$, ולכן $f(x)>1>0$ לכל $x$ בתחום - הגרף לא מגיע לציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לכתוב $f(0)=\frac{1}{-4}+1=0.75$ - $(0-2)^2=4$, חיובי.

$f(x)=(x-2)^{-2}+1$, ולכן $f'(x)=-2(x-2)^{-3}=\frac{-2}{(x-2)^3}$.

ל-$x<2$: $(x-2)^3<0$, ולכן $f'>0$ - עלייה. ל-$x>2$: $f'<0$ - ירידה.

טעות נפוצה: לקבוע את הסימן לפי המונה בלבד ("$-2$ שלילי, אז $f$ יורדת בכל מקום") ולענות: ירידה בכל התחום.

הגרף כולו מעל $y=1$; משמאל ל-2 עולה מגובה 1 דרך $(0,1.25)$ ל-$+\infty$, ומימין יורד מ-$+\infty$ לכיוון 1.

טעות נפוצה: לצייר את הענף הימני יורד ל-$-\infty$ ליד האסימפטוטה - המכנה בריבוע, ולכן הפונקציה גדולה מ-1 משני הצדדים.

לפי סעיף ג: משמאל ל-2 $f$ עולה, ולכן $f'>0$; מימין $f$ יורדת, ולכן $f'<0$.

רק בגרף II הגרף מעל ציר ה-$x$ משמאל לאסימפטוטה ומתחתיו מימין.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I כי "גם $f$ חיובית משני הצדדים". הנגזרת חיובית רק היכן ש-$f$ עולה.

בתחום $3\le x\le4$ $f'(x)<0$ (סעיף ג) - הגרף מתחת לציר.

השטח הוא הערך המוחלט: $S=0.75$.

טעות נפוצה: לענות $-0.75$ - אינטגרל של פונקציה שלילית יוצא שלילי, אבל שטח הוא תמיד חיובי.

$f'(x)=3x^2+1$. לכל $x$, $3x^2\ge0$, ולכן $f'(x)\ge1>0$.

הנגזרת אף פעם לא מתאפסת, ולכן אין נקודות קיצון (הפונקציה עולה תמיד).

טעות נפוצה: לגזור $f'(x)=3x^2+x$ (לשכוח שנגזרת של $x$ היא 1) ולקבל אפסים $x=0$ ו-$x=-\frac13$ - ולהסיק שיש קיצון.

$3x^2+1=4$, כלומר $x^2=1$, $x=\pm1$.

$f(1)=4$ ו-$f(-1)=0$. הנקודה $(-1,0)$ על ציר ה-$x$, ולכן $A(1,4)$.

טעות נפוצה: לבחור $x=-1$ ולקבל $A(-1,0)$ - נקודה על ציר ה-$x$, לא ברביע הראשון.

$y-4=4(x-1)$, כלומר $y=4x$ - המשיק עובר בראשית הצירים.

טעות נפוצה: לכתוב $y-1=4(x-4)$ (החלפת השיעורים) ולקבל $y=4x-15$.

בתחום $0\le x\le1$ הגרף מעל המשיק (למשל $f(0)=2>0$), ולכן:

טעות נפוצה: לחשב רק $\int_0^1f(x)\,dx=2.75$ - בלי להחסיר את השטח שמתחת למשיק.

$g(x)=\frac{1}{3x^2+1}$. המכנה חיובי תמיד (סעיף א), ולכן $g$ מוגדרת לכל $x$ ואין אסימפטוטה אנכית.

כאשר $x\to\pm\infty$ המכנה גדל ללא הגבלה, ולכן $g(x)\to0$: אסימפטוטה אופקית $y=0$.

טעות נפוצה: לענות שהאסימפטוטה האופקית היא $y=1$ (הערך $g(0)$) - זו נקודת המקסימום של $g$, לא אסימפטוטה.

$EB=8-x$. לפי משפט פיתגורס במשולש $AEB$:

טעות נפוצה: לפתוח $(8-x)^2=64-x^2$ ולקבל $AB^2=64$ קבוע.

$BC=AB$ (שווה שוקיים) והזווית ב-$B$ ישרה, ולכן

טעות נפוצה: לכתוב את השטח כ-$AB\cdot BC=AB^2$ בלי החצי, ולקבל $2x^2-16x+64$.

$S_{AEB}=\frac{x(8-x)}{2}=4x-\frac{x^2}{2}$.

טעות נפוצה: לשכוח את החצי בשטח $AEB$ ולקבל $x^2-8x+32+8x-x^2=32$.

$S'(x)=x-4=0$, ולכן $x=4$ (בתחום $0<x<8$). $S'<0$ משמאל ל-4 ו-$S'>0$ מימין - מינימום.

$S(4)=8-16+32=24$ סמ"ר.

טעות נפוצה: לגזור את $\frac{x^2}{2}$ כ-$2x$ (לשכוח את החצי), לקבל $2x-4=0$, $x=2$ ושטח 26.