מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 10 מעל רמת בגרות

נתון: $\sigma=400$ ו-$P(X<3160)=0.2743$.

ההסתברות קטנה מ-$0.5$, ולכן 3,160 משמאל לממוצע וציון התקן שלו שלילי.

בטבלה: $\Phi(z)=1-0.2743=0.7257$ מתקבל עבור $z=0.6$, ולכן ציון התקן של 3,160 הוא $z=-0.6$.

ממוצע משקל הלידה: 3,400 גרם.

טעות נפוצה: לקחת $z=+0.6$ ולקבל $\mu=3160-240=2920$ - ממוצע קטן מ-3,160, בסתירה לכך שרק 27.43% מתחת ל-3,160.

בטבלה: $\Phi(2)=0.9772$ - זה השטח משמאל ל-4,200. מבקשים את השטח מימין:

2.28% מן התינוקות נחשבים "תינוקות גדולים".

טעות נפוצה: לענות $97.72\%$ - זה אחוז התינוקות ששוקלים פחות מ-4,200 גרם.

לממוצע ציון תקן $0$, ול-4,200 ציון תקן $2$ (סעיף ב).

9,544 תינוקות הם $47.72\%$ מכלל התינוקות. נסמן ב-$N$ את מספר התינוקות:

טעות נפוצה: לחלק ב-$0.9772$ (כל מי שמתחת ל-4,200, כולל מי שמתחת לממוצע) ולקבל $N\approx9{,}767$ - פחות מ-9,544 התינוקות שבקטע לבדו.

ציון התקן של משקל הלידה של נועם:

גם ציון התקן של אורך גופו הוא $1.2$. נסמן ב-$\sigma$ את סטיית התקן של אורך הגוף:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $\sigma=1.2\cdot3.6=4.32$. בדיקה: עם $\sigma=4.32$ ציון התקן של 53.6 הוא כ-$0.83$, לא $1.2$.

ציון התקן של 30: $\Phi(z_1)=0.1056$. בטבלה $\Phi(1.25)=0.8944$, ולכן מהסימטריה $z_1=-1.25$.

ציון התקן של 63: השטח מימין 0.0668, ולכן משמאל $1-0.0668=0.9332$, כלומר $z_2=1.5$.

שתי משוואות בשני נעלמים:

מחסירים את הראשונה מהשנייה: $33=2.75\sigma$, ולכן $\sigma=12$, ומכאן $\mu=30+1.25\cdot12=45$.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.0668 עצמו ולקבל גם ל-63 ציון תקן שלילי, $-1.5$. אז $33=-0.25\sigma$ ו-$\sigma=-132$ - סטיית תקן שלילית, סימן לטעות.

טעות נפוצה: לקחת רק $\Phi(0.42)=0.6628$ ולקבל $500\cdot0.6628\approx331$ - אלה כל העצים שמניבים פחות מ-50 ק"ג.

בשנה השחונה השטח מימין ל-63 הוא 0.0228, ולכן משמאל 0.9772, כלומר ציון התקן של 63 הוא 2.

הממוצע ירד מ-45 ל-39, ירידה של 6 ק"ג. האחוז מחושב ביחס לממוצע המקורי:

טעות נפוצה: לחשב את האחוז ביחס לממוצע החדש, $\frac{6}{39}\approx15.38\%$. "ירד ב..." נמדד תמיד ביחס לערך שלפני השינוי.

בשנה השחונה: $z=\frac{30-39}{12}=-0.75$, ו-$\Phi(-0.75)=1-0.7734=0.2266$.

בשנה רגילה (נתון): $500\cdot0.1056\approx53$.

ירידה של 6 ק"ג בממוצע הכפילה את מספר העצים החלשים, כי 30 קרוב יותר לממוצע החדש.

טעות נפוצה: לחשב את השנה השחונה עם הממוצע הישן 45 ולקבל שוב 53 עצים, כלומר "אין שינוי". הממוצע זז, ולכן ציון התקן של 30 משתנה.

נסמן את ההסתברות לבחור ספר לימוד ב-$p$. ספרי הקריאה רבים פי 3, ולכן ההסתברות לספר קריאה היא $3p$.

טעות נפוצה: לענות $\frac13\approx0.333$ - זה היחס בין מספר ספרי הלימוד למספר ספרי הקריאה, ולא החלק שלהם מכל הספרים.

עץ הסתברויות: קריאה (0.75) או לימוד (0.25).

קריאה $\to$ קשה (0.6) או רכה (0.4); לימוד $\to$ קשה (0.8) או ספירלה (0.2).

טעות נפוצה: לענות 0.4 - החלק של הכריכות הרכות בין ספרי הקריאה בלבד, ולא מבין כל הספרים.

שני ענפים מסתיימים בכריכה קשה:

טעות נפוצה: ממוצע פשוט של האחוזים, $\frac{0.6+0.8}{2}=0.7$, בלי להתחשב בכך שספרי הקריאה רבים פי 3.

טעות נפוצה: להפוך את ההתניה ולענות 0.6 - ההסתברות שספר קריאה הוא בכריכה קשה.

על מדף א' אחוז ספרי הקריאה הוא $P(\text{קריאה}\mid\text{קשה})\approx0.692$ (סעיף ג(2)).

על מדף ב' יש $1-0.65=0.35$ מן הספרים, ומתוכם ספרי הקריאה הם אלה בכריכה רכה, $0.3$ (סעיף ב):

$0.692<0.857$, ולכן אחוז ספרי הקריאה על מדף א' קטן מאחוזם על מדף ב'.

טעות נפוצה: להשוות את $0.45$ (קריאה וקשה) ל-$0.3$ (קריאה ורכה) ולקבוע שעל מדף א' האחוז גדול יותר. על מדף א' יש גם הרבה יותר ספרים, ולכן צריך לחלק בגודל של כל מדף.

$B$ על ציר ה-$y$: $y_B=-2\cdot0+2=2$, כלומר $B(0,2)$. $A$ על הישר ו-$y_A=8$: $8=-2x+2$, $x=-3$, כלומר $A(-3,8)$. $C(k,2)$.

הישר דרך $A$: $y=8+m_{AC}(x+3)$. ב-$x=0$:

$E$ על $AB$ באותו גובה: $y_D=-2x_E+2$, ולכן $x_E=\frac{2-y_D}{2}=-3+\frac{9}{k+3}$.

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע כ-$\frac{\Delta x}{\Delta y}=-\frac{k+3}{6}$ ולקבל $y_D=8-\frac{k+3}{2}=\frac{13-k}{2}$ - למשל בעבור $k=13$ יוצא $D(0,0)$, מתחת ל-$B$, אף ש-$D$ על הקטע $AC$ שגבהיו בין 2 ל-8.

$DE\parallel BC$ תמיד; $DE$ קטע אמצעים בדיוק כש-$D$ אמצע $AC$ (אז לפי המשפט ההפוך גם $E$ אמצע $AB$).

$D$ על ציר ה-$y$, ולכן היא אמצע $AC$ אם ורק אם שיעור ה-$x$ של אמצע $AC$ הוא 0:

בדיקה עם סעיף א: $DE=\frac{9}{6}=1.5=\frac{BC}{2}$.

טעות נפוצה: לכתוב את שיעור ה-$x$ של האמצע כ-$\frac{-3-k}{2}$ (חיסור במקום חיבור), לקבל $k=-3$ ולהסיק שאין $k$ מתאים.

$DE\parallel BC$, ולכן $\triangle AED\sim\triangle ABC$ ביחס $\frac{DE}{BC}=\frac{2.25}{9}=\frac14$.

טעות נפוצה: להשתמש ביחס הדמיון בלי ריבוע: המשולש הקטן הוא $\frac14$ מהגדול, הטרפז $\frac34$, והתשובה פי $\frac43$.

לפי סעיף א, $DE=3-\frac{9}{k+3}$. לכל $k>0$ השבר $\frac{9}{k+3}$ חיובי, ולכן $DE<3$.

הסבר גאומטרי: $E$ נמצאת על הצלע $AB$, בין $A$ ל-$B$. המרחק האופקי מ-$A$ לציר ה-$y$ הוא 3, ו-$E$ קרובה לציר יותר מ-$A$ - ולכן $DE<3$, ככל שיהיה $BC$ ארוך.

ככל ש-$k$ גדל, $DE$ מתקרב ל-3 אבל לא מגיע אליו.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$DE$ גדל עם $BC$ באותו יחס כמו בקטע אמצעים ($DE=\frac k2$), ולענות כן - בעבור $k\ge6$. הנוסחה $\frac k2$ נכונה רק כש-$D$ אמצע $AC$, כלומר רק ב-$k=3$.

$AC$ קוטר, ו-$\angle ABC$ היא זווית היקפית הנשענת עליו, ולכן $\angle ABC=90^\circ$.

$OA$ משיק למעגל ב-$A$, ו-$MA$ רדיוס (חלק מהקוטר $AC$). משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן $\angle OAC=90^\circ$.

$B$ נמצאת על הקטע $OC$, ולכן $\angle ACB=\angle OCA$ - זווית משותפת לשני המשולשים.

לפי משפט הדמיון ז.ז.: $\Delta ABC\sim\Delta OAC$, בהתאמה $A\leftrightarrow O$, $B\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: להתאים את $A$ ל-$A$ ולכתוב $\Delta ABC\sim\Delta AOC$. ההתאמה נקבעת לפי הזוויות השוות - הזווית הישרה $B$ מתאימה לזווית הישרה $A$ - ובהתאמה השגויה יוצא $\frac{BC}{OC}=\frac{AC}{AC}=1$, כלומר $BC=OC$, אבסורד.

מהדמיון: $\frac{AC}{OC}=\frac{BC}{AC}$, ולכן:

טעות נפוצה: לכפול ב-$OB=18$ במקום ב-$OC$ ולקבל $AC^2=36$, $AC=6$.

$R=\frac{AC}{2}=\sqrt{10}$, ולכן $R^2=10$.

טעות נפוצה: לשים $AC^2=40$ באגף ימין, כאילו הקוטר הוא הרדיוס: $(x-9)^2+(y-17)^2=40$.

$MA\perp$ המשיק, ולכן $m_{AM}\cdot3=-1$, כלומר $m_{AM}=-\frac13$.

טעות נפוצה: לקחת את שיפוע המשיק (3) ולקבל $y=3x-10$.

בדיקה: $(6-9)^2+(18-17)^2=10$.

טעות נפוצה: לכתוב $3x-\frac13x=20$ (להעביר אגף בלי להחליף סימן), לקבל $x=7.5$ ו-$A(7.5,22.5)$ - נקודה שאינה על המעגל.

$F(0,20)$. הזווית החדה בין $AM$ לציר ה-$x$: $\tan\alpha=\frac13$, $\alpha\approx18.435^\circ$.

במשולש ישר הזווית ש-$AM$ יוצר עם הצירים, הזווית ב-$F$ היא $\angle OFA$:

טעות נפוצה: לענות $18.435^\circ$ - זו הזווית עם ציר ה-$x$.

$f'=0$ ב-$x=\pm\sqrt a$. הסימן כסימן $x^2-a$: חיובי מחוץ ל-$[-\sqrt a,\sqrt a]$, שלילי בתוכו (בלי $x=0$).

$f(\sqrt a)=\sqrt a+\frac{a}{\sqrt a}=2\sqrt a$ - מינימום; $f(-\sqrt a)=-2\sqrt a$ - מקסימום.

טעות נפוצה: להחליף את הסוגים כי $-2\sqrt a<2\sqrt a$ ולענות מינימום ב-$x=-\sqrt a$.

קיצון של $g$ - היכן ש-$g'=f-13$ מתאפסת ומחליפה סימן, כלומר היכן שגרף $f$ חוצה את הישר $y=13$.

ב-$x<0$: $f(x)<0<13$, ולכן $g'<0$ ואין קיצון.

ב-$x>0$: $f$ יורדת מ-$+\infty$ עד המינימום $2\sqrt a$ ועולה ל-$+\infty$.

•אם $2\sqrt a<13$, כלומר $a<42.25$: הגרף חוצה את $y=13$ פעמיים - שתי נקודות קיצון של $g$ (מקסימום ואחריו מינימום).

•אם $2\sqrt a=13$: הגרף נוגע ב-$y=13$ בלי לחצות - $g'\ge0$ ואין קיצון.

•אם $a>42.25$: $g'>0$ ב-$x>0$ - אין קיצון.

טעות נפוצה: לענות שב-$a=42.25$ יש לפונקציה $g$ נקודת קיצון אחת - בנקודת ההשקה $g'$ מתאפסת אבל לא מחליפה סימן.

$g'(1)=0$: $f(1)=13$, כלומר $1+a=13$ ו-$a=12$ (ואכן $12<42.25$).

$g'>0$ ב-$0<x<1$, $g'<0$ ב-$1<x<12$, $g'>0$ ב-$x>12$: מקסימום ב-$x=1$, מינימום ב-$x=12$.

טעות נפוצה: לדרוש $f'(1)=0$ במקום $g'(1)=0$ ולקבל $a=1$ - מבלבלים בין קיצון של $f$ לקיצון של $g$.

עבור $a=12$: מקסימום $\left(-2\sqrt3,-4\sqrt3\right)$ ומינימום $\left(2\sqrt3,4\sqrt3\right)$ ($4\sqrt3\approx6.93$).

ענף ימני: יורד מ-$+\infty$ עד $4\sqrt3$ ועולה ל-$+\infty$ - מקבל כל ערך $m>4\sqrt3$ פעמיים ואת $4\sqrt3$ פעם אחת.

ענף שמאלי: עולה מ-$-\infty$ עד $-4\sqrt3$ ויורד ל-$-\infty$ - מקבל כל ערך $m<-4\sqrt3$ פעמיים ואת $-4\sqrt3$ פעם אחת.

לכן: $|m|>4\sqrt3$ - שני פתרונות; $m=\pm4\sqrt3$ - פתרון אחד; $-4\sqrt3<m<4\sqrt3$ - אין פתרון.

טעות נפוצה: להסתכל רק על הענף הימני ולענות שאין פתרון לכל $m<4\sqrt3$ - גם ערכים שליליים כמו $m=-10$ מתקבלים בענף השמאלי.

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת: $f'(x)=3ax^2+18x$.

טעות נפוצה: להציב $x=3$ בפונקציה במקום בנגזרת: $f(3)=27a+81=0$, ולקבל $a=-3$.

$f(x)=-2x^3+9x^2$. מוציאים גורם משותף $x^2$:

$f=0$ ב-$x=0$ (שורש כפול) וב-$x=4.5$. החיתוך עם ציר ה-$y$: $f(0)=0$, הראשית.

נקודות החיתוך: $(0,0)$ ו-$(4.5,0)$.

טעות נפוצה: לחלק את המשוואה $-2x^3+9x^2=0$ ב-$x^2$ ולקבל רק $x=4.5$ - כך הולכת לאיבוד הנקודה $(0,0)$.

$f'=0$ ב-$x=0$ וב-$x=3$. המקדם המוביל שלילי: $x<0$: $f'<0$; $0<x<3$: $f'>0$; $x>3$: $f'<0$.

ב-$x=0$ מירידה לעלייה - מינימום: $f(0)=0$. ב-$x=3$ מעלייה לירידה - מקסימום: $f(3)=-54+81=27$.

$\min(0,0)$, $\max(3,27)$.

טעות נפוצה: להתעלם מהמינוס שלפני $6x^2$ ולקבוע את הסימנים כמו בפרבולה "מחייכת" - ואז הסוגים מתחלפים: $\max(0,0)$, $\min(3,27)$. מינימום שגבוה מהמקסימום הוא סימן לטעות.

פולינום ממעלה שלישית עם מקדם מוביל שלילי: משמאל $+\infty$, מימין $-\infty$.

בראשית שורש כפול ומינימום - הגרף נוגע בציר ה-$x$ ולא חוצה אותו. אחר כך עולה ל-$(3,27)$, יורד וחוצה את הציר ב-4.5.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף חוצה את ציר ה-$x$ בראשית - אבל $f(x)=x^2(9-2x)\ge0$ לכל $x<4.5$.

הכפלה בקבוע חיובי $\frac13$ מכווצת את הגרף אנכית: שיעורי ה-$x$ לא משתנים, שיעורי ה-$y$ מוכפלים ב-$\frac13$, וסוג הקיצון נשמר (כי $g'=\frac13f'$ עם אותו סימן).

$\min(0,0)$, $\max(3,9)$.

טעות נפוצה: לחלק ב-3 גם את שיעור ה-$x$ ולכתוב $\max(1,9)$.

$g$ מתאפסת ב-0 וב-4.5 כמו $f$, וכל ערך שלה הוא שליש מהערך של $f$.

בין 0 ל-4.5 ($f>0$) הגרף של $g$ מתחת לגרף של $f$; כש-$x<0$ או $x>4.5$ הוא קרוב יותר לציר - מתחת ל-$f$ משמאל (שם $f>0$) ומעליו מימין (שם $f<0$).