מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 11 מעל רמת בגרות

$15.87\%$ מתחת ל-7: $\Phi(z)=0.1587$, ולכן $z=-1$: $\frac{7-\mu}{\sigma}=-1$, כלומר $\mu-\sigma=7$.

$2.28\%$ מעל 19, כלומר $97.72\%$ מתחת: $\Phi(z)=0.9772$, $z=2$: $\mu+2\sigma=19$.

מחסרים את המשוואות: $3\sigma=12$, ולכן $\sigma=4$ ו-$\mu=11$.

טעות נפוצה: לקחת $z=1$ עבור "15.87% מתחת ל-7" (לשכוח שהערך מתחת לממוצע) ולקבל $\mu+\sigma=7$, $\mu+2\sigma=19$, כלומר $\sigma=12$ ו-$\mu=-5$ - ממוצע שלילי, שאין לו משמעות.

מחפשים $t$ כך ש-$P(X<t)\le0.01$. בטבלה $\Phi(-2.33)=0.0099$, ולכן $t\le11-2.33\cdot4=1.68$.

מספר שנים שלם שאינו עולה על 1.68: שנה אחת.

בדיקה: שנה אחת - $z=\frac{1-11}{4}=-2.5$, $\Phi(-2.5)=0.0062\le1\%$. שנתיים - $z=-2.25$, $\Phi(-2.25)=0.0122>1\%$.

טעות נפוצה: לעגל את 1.68 לשנתיים - אז היצרן מחליף $1.22\%$ מהמקררים, יותר מהתקרה.

$z=\frac{15-11}{4}=1$, ולכן $p=P(X>15)=1-0.8413=0.1587$.

"בדיוק אחד" - שני סדרים: הראשון כן והשני לא, או להפך:

טעות נפוצה: לחשב רק סדר אחד ולענות $0.1587\cdot0.8413\approx0.134$.

זו הסתברות מותנית: התנאי הוא $X>15$.

(המאורע "יותר מ-19" כלול במאורע "יותר מ-15", ולכן החיתוך הוא $P(X>19)$.)

טעות נפוצה: להתעלם מהמידע שהמקרר כבר עבד 15 שנים ולענות $P(X>19)=0.0228$.

הממוצע 12 על עשרה שחקנים, ולכן סכום הנקודות הוא 120:

טעות נפוצה: לחלק את סכום תשעת הערכים הידועים ב-9 ולהציב $k=\frac{110}{9}\approx12.2$ - כלומר להניח שהנתון החסר שווה לממוצע של האחרים.

ריבועי הסטיות: $9,9,1,1,0,0,1,1,9,9$, וסכומם 40:

מקדם המתאם: $r=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{n\,\sigma_x\sigma_y}$. מכפלות הסטיות ($\bar y=12$):

$(-3)(-6)+(-3)(-4)+(-1)(-2)+(-1)(-3)+0+0+1\cdot1+1\cdot3+3\cdot5+3\cdot8=18+12+2+3+1+3+15+24=78$

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-$n$: $r=\frac{78}{2\cdot4.099}\approx9.51$ - מקדם מתאם תמיד בין $-1$ ל-$1$.

(ובלי עיגול ביניים: $b=\frac{78/10}{\sigma_x^2}=\frac{7.8}{4}=1.95$.)

הישר עובר דרך $(4,\ 12)$: $y=1.95(x-4)+12=1.95x+4.2$.

טעות נפוצה: לכתוב $b=r\cdot\frac{\sigma_x}{\sigma_y}=0.951\cdot\frac{2}{4.099}\approx0.464$ ולקבל $y=0.464x+10.14$.

הזמן האמיתי הוא $X'=X+0.5$. הוספת קבוע ל-X מזיזה את הממוצע ל-4.5, ולא משנה את $\sigma_x$ ואת $r$ - לכן השיפוע נשאר 1.95.

הישר החדש עובר דרך $(4.5,\ 12)$:

שחקן שמתאמן בפועל 6 שעות נרשם ביומן כ-5.5 שעות. הישר החדש הוא הישר הישן מוזז ב-0.5 ימינה, ולכן:

טעות נפוצה: להוסיף 0.5 לחותך עם ציר ה-$y$ (כאילו התיקון היה ב-Y) ולקבל $y=1.95x+4.7$; כך הניבוי לאותו שחקן היה משתנה, למרות שרק השתנו המספרים ביומן.

שני מסלולים מובילים לאבחנה "חולה": חולה שאובחן ($p\cdot0.85$) ובריא שאובחן ($(1-p)\cdot0.04$).

טעות נפוצה: לשכוח את הבריאים שאובחנו כחולים ולענות $0.85p$.

משווים את הביטוי מסעיף א ל-0.283:

כלומר 30% מתושבי היישוב חולים בשפעת.

טעות נפוצה: לפתור $0.85p=0.283$ (בלי הבריאים שאובחנו) ולקבל $p\approx0.333$.

זו הסתברות מותנית: מתוך מי שאובחנו כחולים, מה החלק של החולים באמת.

טעות נפוצה: לענות 0.85 - זו ההסתברות שחולה יאובחן, כלומר התנאי בכיוון ההפוך.

אבחנה שגויה: חולה שלא אובחן ($p\cdot0.15$) או בריא שאובחן כחולה ($(1-p)\cdot0.04$).

הביטוי עולה עם $p$. עבור $0<p<1$: $0.04<0.04+0.11p<0.04+0.11=0.15$.

לכן בכל יישוב אחוז האבחנות השגויות בין 4% ל-15%, ו-16% אינו אפשרי.

טעות נפוצה: לחבר את שני שיעורי הטעות ($0.15+0.04=0.19$) ולטעון שאחוז האבחנות השגויות יכול להגיע עד 19%, ולכן 16% אפשרי - כל שיעור טעות חל רק על החלק המתאים באוכלוסייה.

$AB\parallel DC$ ו-$\angle D=90^\circ$, ולכן $\angle A=90^\circ$: $AB\perp AD$.

שיפוע $AD$ הוא $-3$, ולכן שיפוע $AB$ הוא $\frac13$ (מכפלתם $-1$).

$B$ על ציר ה-$y$: $B(0,4)$.

טעות נפוצה: לקחת את השיפוע ההפכי בלי לשנות סימן, $-\frac13$: $y=-\frac13x+6$ ו-$B(0,6)$ - מכפלת השיפועים חייבת להיות $-1$.

$C(c,0)$, ו-$BC=5$:

$C$ על החלק השלילי של ציר ה-$x$: $C(-3,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב $c^2+4=25$ (בלי להעלות את 4 בריבוע) ולקבל $c=-\sqrt{21}\approx-4.58$.

המשולש $CBO$ ישר זווית ב-$O$. מול הזווית $CBO$ נמצא הניצב $OC=3$, וליד הזווית הניצב $OB=4$.

טעות נפוצה: להחליף בין הניצבים, $\tan\angle CBO=\frac43$, ולקבל $53.13^\circ$ - זו הזווית $BCO$.

$CD\parallel AB$, ולכן שיפועו $\frac13$, והוא עובר דרך $C(-3,0)$:

טעות נפוצה: להשתמש בשיפוע $-3$ של $AD$ ולקבל $y=-3x-9$ - $CD$ מקביל ל-$AB$, ולכן מאונך ל-$AD$.

$H(0,1)$ - חיתוך $CD$ עם ציר ה-$y$; $B(0,4)$ מעליה.

זווית השיפוע של $CD$: $\tan\alpha=\frac13$, $\alpha=\angle HCO\approx18.43^\circ$.

$\angle CHB$ היא זווית חיצונית למשולש $CHO$:

טעות נפוצה: לחשב את הזווית הפנימית $CHO=90^\circ-18.43^\circ=71.57^\circ$ - הזווית המבוקשת פונה כלפי $B$.

הבסיס $BE$ נמצא על $AB$ והקודקוד $C$ על $CD$, ולכן גובה המשולש הוא גובה הטרפז - האורך של $AD$.

$A$: $\frac13x+4=-3x+24$, $\frac{10}{3}x=20$, $x=6$: $A(6,6)$.

$D$: $\frac13x+1=-3x+24$, $\frac{10}{3}x=23$, $x=6.9$: $D(6.9,3.3)$.

טעות נפוצה: לקחת את $BC=5$ כגובה ולקבל $\frac12\sqrt{10}\cdot5\approx7.91$ - $BC$ אינו מאונך ל-$BE$.

מציבים $y=k$:

הגובה אנכי ועובר דרך $M(-2,1)$; $C$ הקצה העליון של הקוטר האנכי, $C(-2,7)$, ו-$D(-2,k)$:

טעות נפוצה: לקחת את $C$ כמרכז או לשכוח את הרדיוס ולכתוב $CD=1-k$ - זה רק $MD$.

לשני המשולשים גובה משותף מ-$A$ לישר $CD$, ולכן יחס השטחים הוא יחס הבסיסים:

$k=-1$ או $k=3$. המיתר מתחת למרכז ($k<1$), ולכן $k=3$ נפסל ו-$k=-1$.

אז $MD=2$, $CD=8$, ו-$AD=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}$:

טעות נפוצה: להעלות את יחס הבסיסים בריבוע, $\left(\frac{6}{MD}\right)^2=3$, ולקבל $MD=2\sqrt3$ ו-$k=1-2\sqrt3$.

המשולש שווה שוקיים בכל מקרה ($CD$ אנך אמצעי של $AB$). הוא שווה צלעות כאשר $\angle ACB=60^\circ$.

הזווית המרכזית $\angle AMB$ נשענת על אותה קשת כמו הזווית ההיקפית $\angle ACB$, ולכן $\angle AMB=120^\circ$. $MD$ חוצה אותה ($MA=MB$), ולכן $\angle AMD=60^\circ$. במשולש ישר הזווית $AMD$:

(בדיקה: $AD=\sqrt{27}$, $AB=2\sqrt{27}$, $CA=\sqrt{27+81}=\sqrt{108}=2\sqrt{27}$.)

טעות נפוצה: להשתמש בסינוס במקום בקוסינוס, $MD=6\sin60^\circ=3\sqrt3$, ולקבל $k=1-3\sqrt3$.

$\angle ACB=\frac12\angle AMB=\angle AMD$, ובמשולש $AMD$:

$\angle AMD$ חדה, והקוסינוס יורד כשהזווית גדלה. לכן:

יחד עם התנאי שהמיתר מתחת למרכז: $-2<k<1$. ככל שהמיתר מתקרב למרכז, זווית הראש גדלה (עד $90^\circ$ כשהמיתר קוטר).

טעות נפוצה: לשכוח שהקוסינוס יורד ולהפוך את כיוון האי-שוויון, ולענות $-5<k<-2$ - שם המיתר רחוק מהמרכז והזווית קטנה מ-$60^\circ$.

תחום ההגדרה: $x\neq2$ ו-$x\neq-2$.

טעות נפוצה: לשכוח את הפתרון השלילי ולכתוב רק $x\neq2$.

$f'(x)=0$ רק ב-$x=0$. המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f'$ כסימן של $x$: משמאל ל-0 יורדת, מימין עולה - מינימום.

טעות נפוצה: לאבד מינוס בנגזרת, לקבל $f'=\frac{-24x}{(x^2-4)^2}$ ולקבוע "מקסימום".

בטבלת הסימנים: $x=0$ ונקודות אי-ההגדרה $x=\pm2$.

$x<-2$ ו-$-2<x<0$: $f'<0$; $0<x<2$ ו-$x>2$: $f'>0$.

טעות נפוצה: לכתוב "יורדת ב-$x<0$, עולה ב-$x>0$" בלי לפצל ב-$x=\pm2$, שבהן הפונקציה אינה מוגדרת.

הישר האופקי משיק בנקודת הקיצון, ולכן ערך הקיצון הוא 1:

טעות נפוצה: לחשב $\frac{-12}{-4}=-3$ (טעות בסימן), כלומר $f(0)=-3+b$, ולקבל $b=4$.

$f(x)=\frac{-12}{x^2-4}-2$.

אנכיות: $x=\pm2$ (המכנה מתאפס והמונה לא).

אופקית: השבר שואף ל-0 באינסוף, ולכן $y=-2$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=0$ ולשכוח את הקבוע $-2$ שמזיז את הגרף.

ל-$|x|>2$: $x^2-4>0$ והשבר $\frac{-12}{x^2-4}$ שלילי, ולכן הגרף מתחת ל-$y=-2$; משמאל יורד, מימין עולה; ליד $x=\pm2$ שואף ל-$-\infty$.

ל-$-2<x<2$: השבר חיובי וגדול מ-3 או שווה לו, ולכן הקשת מעל 1: יורדת עד המינימום $(0,1)$ ועולה, ושואפת ל-$+\infty$ ליד $x=\pm2$.

לגרף אין נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לצייר את הקשת האמצעית כלפי מטה (כמו בפונקציה שהמונה שלה חיובי). ב-$x=0$ יש מינימום, והקשת פתוחה כלפי מעלה.

מסעיף ב(2): $f'<0$ לכל $x<0$ בתחום ההגדרה, $f'>0$ לכל $x>0$, ו-$f'(0)=0$.

גרף I שלילי משמאל, עובר דרך הראשית וחיובי מימין - מתאים.

גרף III הפוך בסימן. גרף II אינו מתאפס ב-0 - זה גרף הפונקציה $f$ עצמה.

טעות נפוצה: לבחור בגרף III, מתוך הרגל מהפונקציה שבה המונה חיובי (שם הנגזרת חיובית משמאל). כאן המונה שלילי והסימנים מתהפכים.

$f'$ מתאפסת ב-0, ולכן התחום $0\le x\le1$; שם $f'>0$ והשטח מעל ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: להציב רק את הגבול העליון ולענות $f(1)=2$.

התחום: $x\le4$. $f'(x)=1-\frac{a}{2\sqrt{4-x}}$.

משמאל לנקודה $\sqrt{4-x}>\frac a2$ ו-$f'>0$; מימינה $f'<0$ - מקסימום:

הפונקציה יורדת עד קצה התחום, ולכן $(4,4)$ - מינימום (קצה).

טעות נפוצה: להציב $4-x=\frac{a^2}{4}$ בלי השורש ולקבל $f=4-\frac{a^2}4+\frac{a^3}{4}$.

$f'$ מתאפסת ב-$x_0=4-\frac{a^2}{4}$, והשטח הוא בין $x=0$ ל-$x_0$; $f$ היא פונקציה קדומה של $f'$:

המקסימום ברביע הראשון: $x_0>0$, כלומר $a^2<16$, $a<4$. לכן $a=2$ (עבור $a=6$: $x_0=-5$, והמקסימום ברביע השני).

טעות נפוצה: לעצור ב-$a=2$ או $a=6$ - בלי להשתמש בנתון על מיקום המקסימום. שני הערכים נותנים שטח 1, אבל רק אחד מתאים.

ציר ה-$y$: $f(0)=2\sqrt4=4$.

ציר ה-$x$: $2\sqrt{4-x}=-x$, ולכן $x\le0$. בריבוע: $4(4-x)=x^2$, $x^2+4x-16=0$, $x=-2\pm2\sqrt5$.

$-2+2\sqrt5\approx2.47>0$ - נפסל. נשאר $x=-2-2\sqrt5\approx-6.47$.

טעות נפוצה: לבחור את $x=-2+2\sqrt5\approx2.47$ - שם $f\approx4.94\neq0$.