מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 9 מעל רמת בגרות

ההסתברות לעבור את המבחן העיוני:

נסמן ב-$p$ את ההסתברות לעבור את המבחן המעשי. לפי אי-התלות:

בטבלה $\Phi(0.8)=0.7881$. ההסתברות לעבור היא השטח מימין לציון התקן של 60, ולכן ציון התקן של 60 במבחן המעשי הוא $-0.8$:

טעות נפוצה: לקחת את ציון התקן של 60 כ-$+0.8$ ולקבל $\mu=52$ - ממוצע מתחת לסף, שנותן הסתברות מעבר קטנה מחצי ולא 0.7881.

המבחן העיוני לא השתנה, ולכן ההסתברות לעבור אותו נשארת 0.6915. נסמן ב-$t$ את הציון העובר החדש במבחן המעשי:

בטבלה: $\Phi(1.11)=0.8665$ (לא מספיק) ו-$\Phi(1.12)=0.8686$ (מספיק). לכן ציון התקן של $t$ צריך להיות $-1.12$ או פחות:

הציון העובר הגבוה ביותר הוא 56.8.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.6 עצמו ($z\approx0.25$) ולקבל $t=68-2.5=65.5$ - שוכחים שגם המבחן העיוני צריך לעבור, והדרישה היא על החיתוך ולא על המבחן המעשי לבדו.

מאורע התנאי: "נכשל לפחות במבחן אחד" הוא המשלים של "עבר את שניהם":

מי שנכשל במבחן העיוני בוודאי נכשל לפחות באחד, ולכן החיתוך הוא פשוט "נכשל בעיוני":

טעות נפוצה: להתעלם מהתנאי ולענות 0.3085 - ההסתברות להיכשל בעיוני מבין כל המועמדים, ולא מבין אלה שנכשלו לפחות באחד.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולקבל $s_x=\frac{10\cdot8}{0.8}=100$ - סטיית תקן גדולה מכל טווח הנתונים.

הישר הוא $y=10x+c$. הניבוי הנתון אומר שהנקודה $(1.5,28.9)$ על הישר:

ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים $(\bar{x},24.6)$:

טעות נפוצה: להניח ש-1.5 הוא $\bar{x}$ ו-28.9 הוא $\bar{y}$. נקודת הממוצעים היא $(\bar{x},24.6)$; הנקודה $(1.5,28.9)$ היא סתם נקודה על הישר.

מציבים $x=\frac{x'}{10}$ ו-$y=100y'$ בישר $y=10x+13.9$:

(בדיקה בנוסחה: $\bar{x}'=10.7$, $s_{x'}=6.4$, $\bar{y}'=0.246$, $s_{y'}=0.08$, והשיפוע $0.8\cdot\frac{0.08}{6.4}=0.01$.)

מקדם המתאם אינו משתנה בכפל משתנה בקבוע חיובי - הוא לא תלוי ביחידות המדידה: $r'=0.8$.

טעות נפוצה: לכפול את מקדם המתאם באותו יחס כמו השיפוע (פי 1000 קטן) ולקבל $r'=0.0008$.

הצבה בישר נותנת $10\cdot6+13.9=73.9$.

אבל הישר חושב מנתונים שבהם אחוז הגידול לא עלה על 2.5. הערך 6 נמצא $\frac{6-1.07}{0.64}\approx7.7$ סטיות תקן מעל הממוצע - הרבה מחוץ לתחום.

אין לנו מידע שהקשר הלינארי ממשיך להתקיים שם; התוצאה (כמעט שלושה רבעים מהאוכלוסייה ילדים) אינה סבירה. ניבוי מחוץ לתחום הנתונים חסר משמעות.

טעות נפוצה: לענות "כן, אחוז הילדים הוא בערך 73.9%, כי $r=0.8$ מראה קשר חזק". עוצמת הקשר מתארת את הנתונים שנמדדו, לא ערכים רחוקים מהם.

בסך הכול $900+600=1500$ משתתפים, ולכן מספר מי שאינם צופים: $0.24\cdot1500=360$.

צעירים שאינם צופים: $0.2\cdot900=180$.

מבוגרים שאינם צופים: $360-180=180$, כלומר $\frac{180}{600}=30\%$ מהמבוגרים.

לכן אחוז המבוגרים הצופים: $100\%-30\%=70\%$.

טעות נפוצה: להניח ש-24% הוא ממוצע פשוט של שתי הקבוצות, $\frac{20\%+q}{2}=24\%$, ולקבל $q=28\%$ שאינם צופים, כלומר 72% צופים. הקבוצות בגדלים שונים, ולכן צריך לספור אנשים.

מבין 360 המשתתפים שאינם צופים, 180 צעירים (סעיף א).

טעות נפוצה: לענות $0.2$ - זו ההסתברות שצעיר אינו צופה, $P(\text{לא צופה}\mid\text{צעיר})$, כלומר ההתניה ההפוכה.

הקבוצה הנבדקת: 360 המשתתפים שאינם צופים. לפי סעיף ב, חצי מהם צעירים וחצי מבוגרים.

האחוזים שווים, ולכן אחוז המבוגרים אינו גבוה מאחוז הצעירים - האמירה אינה נכונה.

טעות נפוצה: להשוות 30% מהמבוגרים שאינם צופים ל-20% מהצעירים ולקבוע שהאמירה נכונה. האחוזים האלה מחושבים מקרב כל קבוצת גיל, לא מקרב מי שאינם צופים.

צעירים שאינם צופים: $0.2\cdot900=180$, כמו קודם. מבוגרים שאינם צופים: $0.3n$.

מקרב מי שאינם צופים, אחוז המבוגרים גבוה מאחוז הצעירים בדיוק כשמספר המבוגרים שאינם צופים גדול ממספר הצעירים שאינם צופים (המכנה, $180+0.3n$, משותף לשני האחוזים):

בסקר הראשון $n=600$ - בדיוק הגבול, ולכן שם יצא שוויון (סעיף ג).

טעות נפוצה: לחשוב שצריך יותר מבוגרים מצעירים ולענות $n>900$. מה שקובע הוא מספר מי שאינם צופים בכל קבוצה, ומבוגר "שווה" כאן יותר כי אחוז מי שאינם צופים אצל המבוגרים גבוה יותר.

$B$ על ציר ה-$y$: מציבים $x=0$ במשוואת $AB$ ומקבלים $B(0,10)$.

$BC\perp OC$ ו-$OC\parallel AB$, ולכן $BC\perp AB$:

$BC$ עובר דרך $B(0,10)$: $y=-\frac13x+10$.

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי להחליף סימן ולקבל $y=\frac13x+10$ - ישר שאינו מאונך ל-$AB$.

$OC\parallel AB$ ועובר דרך הראשית, ולכן משוואתו $y=3x$.

$C$ היא נקודת החיתוך של $OC$ ו-$BC$:

טעות נפוצה: לחתוך את $BC$ עם $AB$ במקום עם $OC$ - מקבלים את $B(0,10)$ ולא את $C$.

המשולש $BOC$ ישר זווית ב-$C$, והיתר שלו $OB=10$.

$BC$ הוא הניצב שמול הזווית $BOC$:

טעות נפוצה: לחשב $\tan\alpha=\frac{9}{3}=3$ מהשיעורים של $C$ ולענות $71.57^\circ$ - זו הזווית בין $OC$ לציר ה-$x$, ולא הזווית עם ציר ה-$y$.

$\angle AOB=90^\circ$ (בין הצירים) ו-$\angle BCO=90^\circ$ (נתון), ולכן $\angle AOB=\angle BCO$.

$AB\parallel OC$ ו-$OB$ חותך אותם, ולכן $\angle ABO=\angle BOC$ (זוויות מתחלפות).

לפי משפט הדמיון ז.ז.: $\triangle ABO\sim\triangle BOC$, בהתאמה $A\leftrightarrow B$, $B\leftrightarrow O$, $O\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: לטעון $\angle OAB=\angle BOC$ ולהתאים $A\leftrightarrow O$; מהתאמה כזו יוצא בסעיף ג(2) היחס $\left(\frac{AO}{OC}\right)^2=\frac{100/9}{90}=\frac{10}{81}$.

לפי ההתאמה בג(1), היתר $AB$ מתאים ליתר $BO$. $A\left(-\frac{10}{3},0\right)$ (הצבת $y=0$ ב-$AB$):

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

(בדיקה: $S_{ABO}=\frac{\frac{10}{3}\cdot10}{2}=\frac{50}{3}$, $S_{BOC}=\frac{\sqrt{10}\cdot\sqrt{90}}{2}=15$.)

טעות נפוצה: לענות ביחס הדמיון עצמו, $\frac{\sqrt{10}}{3}\approx1.054$, בלי להעלות בריבוע.

המרכז נמצא במרחקים שווים מ-$A$ ומ-$B$, ולכן הוא על האנך האמצעי לקטע $AB$.

אמצע $AB$: $(2,2)$. $m_{AB}=\frac{1-3}{3-1}=-1$, ולכן שיפוע האנך האמצעי 1: הישר $y=x$.

חיתוך עם $y=2x-6$: $x=2x-6$, $x=6$, ולכן $O(6,6)$.

טעות נפוצה: לתת לאנך האמצעי את השיפוע $-1$ (בלי להפוך) - הישר $y=-x+4$ - ולקבל $O\left(\frac{10}{3},\,\frac23\right)$.

$O$ אמצע הקוטר $AC$: $C=(2\cdot6-1,\ 2\cdot6-3)=(11,9)$.

$B$ על המעגל ו-$AC$ קוטר, ולכן הזווית $ABC$ ישרה (זווית היקפית הנשענת על קוטר), והשטח הוא חצי מכפלת הניצבים:

טעות נפוצה: לשכוח את החצי ולענות 32.

הבסיס $AC$ קבוע, ולכן השטח הגדול ביותר מתקבל כשהגובה מ-$P$ לקוטר גדול ככל האפשר. גובה של נקודה על המעגל מהקוטר אינו עולה על הרדיוס, והוא שווה לרדיוס בדיוק כש-$OP\perp AC$.

$m_{AC}=\frac{9-3}{11-1}=\frac35$, ולכן הישר דרך $O$ המאונך לקוטר: $y-6=-\frac53(x-6)$.

חיתוך עם המעגל: $(x-6)^2+\frac{25}{9}(x-6)^2=34$, כלומר $(x-6)^2=9$, $x=3$ או $x=9$.

$x=3\Rightarrow P(3,11)$; $x=9\Rightarrow(9,1)$ - היא בצד של $B$ (מתחת לקוטר, כמו $B$), ולכן נפסלת.

טעות נפוצה: לבחור את הנקודה הגבוהה ביותר במעגל, $(6,\,6+\sqrt{34})$. המרחק שלה מהקוטר הוא רק 5, והשטח $5\sqrt{34}\approx29.15$.

מעלת המונה בשבר $\frac{30x}{x^2+9}$ קטנה ממעלת המכנה, ולכן השבר שואף ל-0 כאשר $x\to\pm\infty$.

$f(x)\to-3$, והאסימפטוטה היא $y=-3$.

טעות נפוצה: לענות $y=0$ ולשכוח את הקבוע $-3$.

ציר ה-$y$: $f(0)=0-3=-3$, הנקודה $(0,-3)$.

ציר ה-$x$: $\frac{30x}{x^2+9}=3$, ואחרי כפל במכנה (חיובי):

הנקודות $(1,0)$ ו-$(9,0)$.

טעות נפוצה: להשוות את המונה $30x$ לאפס ולקבל את הנקודה $(0,0)$ - אבל $f(0)=-3$.

כלל המנה עם $u=30x$, $v=x^2+9$:

$f'(x)=0$: $x^2=9$, $x=\pm3$.

סימן $f'$ כסימן $9-x^2$: שלילי עבור $x<-3$, חיובי עבור $-3<x<3$, שלילי עבור $x>3$.

$f(-3)=\frac{-90}{18}-3=-8$, $f(3)=\frac{90}{18}-3=2$.

$x=-3$: ירידה ואחריה עלייה - מינימום $(-3,-8)$. $x=3$: עלייה ואחריה ירידה - מקסימום $(3,2)$.

טעות נפוצה: לכתוב במונה $uv'-u'v$ ולקבל $30(x^2-9)$ - כל הסימנים מתהפכים, ומתקבל "מקסימום" $(-3,-8)$ ו"מינימום" $(3,2)$, מקסימום שנמוך מהמינימום.

מטבלת הסימנים של סעיף ג(1): עלייה כאשר $-3<x<3$, ירידה כאשר $x<-3$ או $x>3$.

טעות נפוצה: לקבוע לפי הסימן של $f$ ($f>0$ בין 1 ל-9) ולענות "עלייה: $1<x<9$".

מסכמים: אסימפטוטה $y=-3$; חיתוכים $(0,-3)$, $(1,0)$, $(9,0)$; מינימום $(-3,-8)$, מקסימום $(3,2)$.

משמאל ($x<0$) השבר שלילי, ולכן $f<-3$: הגרף מתקרב לאסימפטוטה מלמטה, יורד עד $(-3,-8)$.

עולה דרך $(0,-3)$ - שם הוא חוצה את האסימפטוטה - ודרך $(1,0)$ עד $(3,2)$.

יורד דרך $(9,0)$, ועבור $x>9$ הוא בין $-3$ ל-0 ומתקרב לאסימפטוטה מלמעלה.

טעות נפוצה: לחשוב שגרף אינו יכול לחצות אסימפטוטה אופקית, ולצייר את כל הגרף מעל $y=-3$ - בסתירה ל-$(-3,-8)$.

$f(x)\to-3$, ולכן $g(x)=|f(x)|\to3$. האסימפטוטה: $y=3$.

טעות נפוצה: לחשוב שלפונקציה עם ערך מוחלט אין אסימפטוטה אופקית כי "הגרף מתהפך". השיקוף מעביר את $y=-3$ אל $y=3$.

$g=|f|$: החלקים שבהם $f<0$ משתקפים מעל ציר ה-$x$. לכן $g\ge0$, עם אסימפטוטה $y=3$ (סעיף ה(1)).

גרף I מתקרב לציר ה-$x$ בקצוות (אסימפטוטה $y=0$) - נפסל. גרף IV שווה 0 בקטעים שלמים (החלקים השליליים "נמחקו" במקום להשתקף) - נפסל.

$g$ נוגעת בציר ה-$x$ ב-$x=1$ וב-$x=9$, שתיהן מימין לציר ה-$y$; השיא הגבוה $g(-3)=8$ משמאל לציר ה-$y$.

משמאל $f<-3$, ולכן $g>3$ - מעל הקו המקווקו; מימין $-3<f<0$, ולכן $0<g<3$ - מתחת לקו.

כך נראה גרף II. גרף III הוא השיקוף שלו ביחס לציר ה-$y$ (נקודות ההשקה משמאל, השיא מימין). לכן גרף II.

טעות נפוצה: לבחור בגרף IV - לחשוב ש-$|f|$ "מוחק" את החלקים שמתחת לציר במקום לשקף אותם.

תחום: $x\ge4$.

$f'(x)=0$: $\sqrt{x-4}=\frac a2$, $x=4+\frac{a^2}{4}$ (תמיד בתחום, כי $a>0$).

משמאל לנקודה $f'<0$ ומימינה $f'>0$ - מינימום.

נקודת הקצה: $f(4)=4$, ומימינה הפונקציה יורדת - מקסימום $(4,4)$.

טעות נפוצה: להשמיט את נקודת הקצה ולענות רק $\min\left(4+\frac{a^2}{4},4-\frac{a^2}{4}\right)$.

הגרף מתחיל ב-$(4,4)$, מעל הציר, יורד עד המינימום ועולה ללא הגבלה.

יש חיתוך רק אם המינימום אינו מעל הציר: $4-\frac{a^2}{4}\le0$, כלומר $a\ge4$.

$a>4$: המינימום שלילי - חיתוך אחד בירידה ואחד בעלייה, שתי נקודות.

$a=4$: המינימום $(8,0)$ על הציר - נקודה אחת.

$0<a<4$: המינימום חיובי - אין נקודות חיתוך.

טעות נפוצה: לדרוש שהמינימום יהיה שלילי ממש ולענות "$a>4$: שתיים; $0<a\le4$: אין" - ולפספס את $a=4$, שבו המינימום נוגע בציר.

$x=5\sqrt{x-4}$; $x^2=25x-100$; $x^2-25x+100=0$; $x=5$ או $x=20$. בדיקה: $f(5)=5-5=0$ ✓, $f(20)=20-20=0$ ✓.

$f'$ מתאפסת ב-$x=4+\frac{25}{4}=10.25$, ושם $f(10.25)=4-\frac{25}{4}=-2.25$.

שימו לב: $\int_5^{20}f'(x)\,dx=f(20)-f(5)=0$ - אבל השטח אינו 0, כי $f'$ מחליפה סימן ב-10.25.

טעות נפוצה: לחשב אינטגרל אחד מ-5 עד 20, לקבל $0$ ולענות שהשטח 0.

$g$ היא הזזה אנכית של $f$: נקודת הקצה $(4,4+c)$, המינימום $(10.25,-2.25+c)$, ומשם עלייה ללא הגבלה.

מקרה 1 - המינימום על הציר: $-2.25+c=0$, $c=2.25$. נקודת הקצה $(4,6.25)$ מעל הציר, ולכן חיתוך אחד בלבד.

מקרה 2 - נקודת הקצה מתחת לציר: $4+c<0$, $c<-4$. אז הגרף מתחיל מתחת לציר, יורד עוד, ועולה - וחוצה את הציר פעם אחת.

ב-$c=-4$ נקודת הקצה $(4,0)$ עצמה על הציר, ויש עוד חיתוך בעלייה - שתי נקודות. ב-$-4<c<2.25$ - שתי נקודות; ב-$c>2.25$ - אין.

תשובה: $c=2.25$ או $c<-4$.

טעות נפוצה: למצוא רק את מקרה ההשקה ולענות $c=2.25$, בלי לבדוק מה קורה כשנקודת הקצה יורדת מתחת לציר.

המכנה מתאפס ב-$x=3$: התחום $x\neq3$.

טעות נפוצה: לפסול גם את $x=-1$, שבו מתאפס המונה - שם $f(-1)=0$ ומוגדרת.

ב-$x=3$ המכנה מתאפס והמונה $16\neq0$: אסימפטוטה אנכית $x=3$.

מעלת המונה (2) גדולה ממעלת המכנה (1), ולכן אין אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: לחלק את המקדמים המובילים ולהוסיף אסימפטוטה $y=1$ - הכלל הזה רק למעלות שוות.