מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 12 מעל רמת בגרות

ציון התקן: $Z=\frac{X-\mu}{S}$. מציבים $X=584$, $\mu=500$, $Z=1.2$:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק - $S=84\cdot1.2=100.8$.

72.57% מהנבחנים קיבלו פחות ממאיה, ולכן השטח המצטבר משמאל לציון התקן שלה הוא 0.7257.

בטבלה: $\Phi(0.6)=0.7257$, ולכן $Z=0.6$.

$542\ge535$, ולכן מאיה יכולה להתקבל למגמת עיצוב.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את $1-0.7257=0.2743$ (כאילו נתון אחוז הנבחנים שקיבלו יותר ממאיה), לקבל $Z=-0.6$ ו-$X=458$, ולענות שמאיה אינה יכולה להתקבל.

ציון התקן של 626:

$\Phi(1.8)=0.9641$ הוא השטח משמאל. מתקבלים מי שקיבלו לפחות 626 - השטח מימין:

3.59% מהנבחנים.

טעות נפוצה: לענות 96.41% - זה אחוז הנבחנים שקיבלו פחות מ-626.

התנאי הוא $535\le X<626$.

ציון התקן של 535: $Z=\frac{535-500}{70}=0.5$, ושל 626: $Z=1.8$.

27.26% מהנבחנים.

טעות נפוצה: לחשב רק את מי שעוברים את סף העיצוב, $1-\Phi(0.5)=30.85\%$, בלי להוריד את מי שעוברים גם את סף האדריכלות.

לפי ג(2), 27.26% מכלל הנבחנים הם 8,178 נבחנים:

לפי ג(1), 3.59% יכולים להתקבל לאדריכלות:

טעות נפוצה: להפעיל את האחוז על 8,178 במקום על כל הנבחנים: $0.0359\cdot8178\approx294$.

משוואת הממוצע:

($y$ מתבטל: משקי הבית עם מחשב אחד נמצאים בדיוק על הממוצע.)

טעות נפוצה: להשמיט מהמכנה את 26 משקי הבית בלי מחשב: $y+2x+18=x+y+6$, ומתקבל $x=-12$. כל משקי הבית נספרים במכנה.

סכום ריבועי הסטיות מהממוצע 1 (משקי הבית עם מחשב אחד תורמים 0):

השונות היא $0.8^2=0.64$, ולכן אם $N$ הוא מספר משקי הבית:

טעות נפוצה: להשוות את $\frac{64}{N}$ לסטיית התקן 0.8 ולקבל $N=80$ (ואז $y=34$). המנה $\frac{64}{N}$ היא השונות.

נסמן ב-$k$ את מספר משקי הבית שהצטרפו. לכל אחד מהם מחשב אחד - בדיוק הממוצע.

הממוצע לא משתנה: הסכום גדל ב-$k$ ומספר משקי הבית גדל ב-$k$:

(סכום המחשבים לפני ההצטרפות הוא $1\cdot100=100$.)

לכן גם הסטיות של משקי הבית הישנים מהממוצע לא משתנות, ולכל משק בית חדש סטייה 0. סכום ריבועי הסטיות נשאר 64, ורק המכנה גדל:

טעות נפוצה: להשוות את $\frac{64}{100+k}$ ל-0.5 במקום ל-$0.5^2$, ולקבל $k=28$.

החציון של 100 ערכים הוא ממוצע הערכים במקומות 50 ו-51. ממוצע של שני ערכים שלמים שווה 0.5 רק אם במקום 50 הערך 0 ובמקום 51 הערך 1.

לכן ל-50 משקי בית בדיוק אין מחשב.

נסמן: $a$ משקי בית עם מחשב אחד, $b$ עם 2 מחשבים ו-$b$ עם 3 מחשבים. מספר משקי הבית:

הממוצע 1.1, ולכן סכום המחשבים הוא $1.1\cdot100=110$:

מחסרים את המשוואה הראשונה מהשנייה: $3b=60$, כלומר $b=20$, ואז $a=50-40=10$.

טעות נפוצה: לשכוח את 50 משקי הבית בלי מחשב במשוואת מספר משקי הבית ולכתוב $a+2b=100$; אז $3b=10$ ו-$b$ לא שלם.

נסמן ב-$H$ את המאורע "התלמיד משתתף בחוג". היחס בין המספרים הוא גם היחס בין ההסתברויות:

$P(\bar H)=0.25$, $P(H)=0.75$.

טעות נפוצה: לפרש "פי 3" כ"שליש אינם משתתפים", ולקבל $P(H)=1-\frac13=\frac23$ - יש 3 חלקים משתתפים וחלק אחד לא, כלומר 4 חלקים.

הסתברות שתלמיד גר מחוץ לעיר: $1-\frac35=0.4$.

"70% מן הגרים מחוץ לעיר משתתפים בחוג" היא הסתברות מותנית: $P(H\mid\text{מחוץ})=0.7$.

טעות נפוצה: לכפול ב-$P(H)$: $0.75\cdot0.7=0.525$ - ה-70% נמדדים מתוך הגרים מחוץ לעיר.

טבלה דו-ממדית:

$P(\text{מחוץ}\cap\bar H)=0.4-0.28=0.12$.

טעות נפוצה: לחשב $P(\bar H\mid\text{מחוץ})=\frac{0.12}{0.4}=0.3$ - זו ההסתברות שתלמיד מחוץ לעיר אינו בחוג, לא ההפך.

לפי סעיף א(2) התא "מחוץ לעיר ובחוג" הוא 0.28 מכל התלמידים:

מהטבלה: $P(\text{בעיר}\cap H)=0.75-0.28=0.47$.

טעות נפוצה: להניח אי-תלות ולחשב $0.6\cdot0.75\cdot300=135$ - ההשתתפות בחוג תלויה במקום המגורים, ולכן לוקחים את התא מהטבלה.

$\sphericalangle AEC=\sphericalangle ACE$ (כי $AE=AC$) ו-$\sphericalangle BAC=\sphericalangle BCA$ (כי $AB=CB$), ולכן $\triangle ABC\sim\triangle EAC$ (ז.ז.: $\sphericalangle C$ משותפת).

$BC=12+4=16$, ומהדמיון:

טעות נפוצה: לכתוב $AC^2=BE\cdot BC=12\cdot16$ ולקבל $AC\approx13.86$. בדיקה מראה את הטעות: אז $EC=\frac{AC^2}{BC}=12$, ולא 4.

$\cos\sphericalangle C=\frac{AC/2}{BC}=\frac{4}{16}=\frac14$, ולכן $\sphericalangle C=\sphericalangle BAC\approx75.52^\circ$.

$\sphericalangle ABC=180^\circ-2\cdot75.52^\circ\approx28.96^\circ$, ומהדמיון $\sphericalangle EAC=\sphericalangle ABC\approx28.96^\circ$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$\sphericalangle EAC\approx28.96^\circ$ ולענות אותה - זה החלק השני של הזווית $A$.

נסמן $\sphericalangle ABC=\beta$. לכל משולש כזה $\sphericalangle EAC=\beta$ (מהדמיון).

$AE$ חוצה את $\sphericalangle BAC$ אם ורק אם $\sphericalangle BAC=2\sphericalangle EAC=2\beta$. זווית הבסיס $C$ שווה ל-$A$, ולכן גם היא $2\beta$:

טעות נפוצה: לחשוב שזווית הבסיס $C$ שווה ל-$\beta$ (כמו $\sphericalangle EAC$) ולא ל-$\sphericalangle BAC=2\beta$, לכתוב במשולש $ABC$: $\beta+2\beta+\beta=180^\circ$, ולענות $\sphericalangle ABC=45^\circ$.

כש-$\sphericalangle BAE=\sphericalangle ABE=36^\circ$, המשולש $ABE$ שווה שוקיים: $BE=AE=AC$.

מהדמיון: $EC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{AC^2}{AB}$.

נסמן $r=\frac{AB}{AC}$ ונחלק ב-$AC$:

(הפתרון השלילי נפסל - יחס אורכים חיובי.)

טעות נפוצה: לבנות את המשוואה ליחס ההפוך, $\frac{AC}{AB}$, ולענות $\frac{\sqrt5-1}{2}\approx0.618$ - אבל השוק $AB$ ארוכה מהבסיס.

$\angle CAB$ היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר $CB$, ולכן $\angle CAB=90^\circ$, כלומר $AC\perp AB$.

$AB\parallel y$, ולכן $AC\perp y$, ולכן $AC\parallel x$.

טעות נפוצה: לחפש את הזווית הישרה ב-$B$ או ב-$C$, הקודקודים שעל הקוטר. הזווית ההיקפית שנשענת על הקוטר היא בקודקוד השלישי, $A$.

$\angle BAC=90^\circ$ (סעיף א(1)).

משיק מאונך לקוטר בנקודת ההשקה: $\angle FCD=90^\circ$.

$AC\parallel FD$, והחותך $CD$ יוצר זוויות מתחלפות: $\angle ACB=\angle CDF$.

לכן $\triangle ABC\sim\triangle CFD$ (ז.ז.), עם $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow F$, $C\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: לכתוב את ההתאמה $B\leftrightarrow D$ (כי $B$ ו-$D$ על אותו ישר). ההתאמה נקבעת לפי הזוויות השוות: $C\leftrightarrow D$, ולכן $B\leftrightarrow F$.

$F(-44,0)$, ולכן $FD=6-(-44)=50$.

טעות נפוצה: לכפול ב-$\frac34$ במקום לחלק בו: $x=-24.75$, ו-$FD=30.75$.

$CD\perp CF$, ושיפוע המשיק $\frac34$, ולכן שיפוע $CD$ הוא $-\frac43$.

טעות נפוצה: לקחת שיפוע $\frac43$ (בלי להפוך סימן) ולקבל $y=\frac43x-8$.

$y=-\frac43\cdot(-12)+8=24$, ולכן $C(-12,24)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ($x=12$), לקבל $C(12,-8)$ ו-$CD=10$.

טעות נפוצה: לכפול בריבוע יחס הדמיון, $120\cdot\frac{9}{100}=10.8$ - כך משנים שטח, לא היקף.

אנכית: $x=1$. אופקית: השבר שואף ל-0, ולכן $y=-1$.

ציר ה-$x$: $\frac{a}{(x-1)^2}=1$, $(x-1)^2=a$, $x=1\pm\sqrt a$.

ציר ה-$y$: $f(0)=a-1$, הנקודה $(0,a-1)$.

טעות נפוצה: לקחת רק את השורש החיובי ולתת נקודה אחת, $(1+\sqrt a,0)$.

$f'(x)=a\cdot(-2)(x-1)^{-3}=\frac{-2a}{(x-1)^3}$. המונה שלילי (כי $a>0$).

ל-$x<1$ המכנה שלילי, ולכן $f'>0$; ל-$x>1$ המכנה חיובי, ולכן $f'<0$.

הנגזרת חיובית משמאל לאסימפטוטה ושלילית מימינה - גרף III.

טעות נפוצה: לבחור בגרף II כי "המכנה של $f$ בריבוע, ולכן גם הנגזרת חיובית". בגזירה החזקה יורדת ל-3, והמכנה $(x-1)^3$ מחליף סימן.

בתחום $[2,3]$ $f'<0$ (סעיף ב), ולכן השטח הוא $f(2)-f(3)$:

טעות נפוצה: לחשב $f(3)-f(2)=-\frac{3a}4$ (בלי להתחשב בכך שהגרף מתחת לציר), לקבל $a=-2$ ולהסיק שאין $a>0$ מתאים.

בתחום $[-1,0]$ $f'>0$, ולכן השטח הוא $f(0)-f(-1)$:

בתחום $[2,3]$ השטח הוא $f(2)-f(3)=\frac{3a}{4}$ (כמו בסעיף ג) - אותו ערך, לכל $a$.

הסבר: $f(1+u)=f(1-u)$ - הגרף של $f$ סימטרי ביחס לישר $x=1$. השטח מתחת לגרף $f'$ הוא השינוי בגובה של $f$ בקטע. הקטע $[-1,0]$ הוא השיקוף של $[2,3]$ סביב $x=1$, ולכן $f$ עולה בו בדיוק באותו שיעור שבו היא יורדת ב-$[2,3]$.

טעות נפוצה: לחשב $f(-1)-f(0)=-\frac{3a}4$ ולהסיק שהשטחים שונים ("אחד שלילי"). שטח אינו שלילי; סימן האינטגרל רק מראה שהגרף מעל הציר או מתחתיו.

$f$ פולינום - מוגדרת לכל $x$.

$g=\frac{16}{f}$ אינה מוגדרת כש-$f(x)=0$: $(x+1)^2=0$, כלומר $x=-1$. לכן התחום של $g$: $x\ne-1$.

טעות נפוצה: לפתור $x+1=0$ בטעות סימן ולכתוב $x\ne1$ - הערך $x=1$ מאפס את $x-1$, לא את $x+1$.

$f$ פרבולה "מחייכת" שקודקודה $(-1,0)$: יורדת ב-$x<-1$ ועולה ב-$x>-1$.

$f$ חיובית בתחום של $g$, והמונה 16 חיובי, ולכן במקום ש-$f$ גדלה $g=\frac{16}{f}$ קטנה, ולהפך: $g$ עולה ב-$x<-1$ ויורדת ב-$x>-1$.

(בגזירה: $g'(x)=-\frac{32}{(x+1)^3}$, חיובית ב-$x<-1$ ושלילית ב-$x>-1$.)

טעות נפוצה: לתת ל-$g$ את אותם תחומים כמו ל-$f$ (ירידה ב-$x<-1$ ועלייה ב-$x>-1$), בלי לשים לב שהיא מנה ש-$f$ במכנה שלה.

גרף I הוא פרבולה שקודקודה על ציר ה-$x$ - זו $f$, שמתאפסת ב-$x=-1$.

לגרף II יש אסימפטוטה אנכית במקום שבו הפרבולה נוגעת בציר, והוא שואף ל-0 בקצוות - כך מתנהגת $g$, שאינה מוגדרת ב-$x=-1$.

טעות נפוצה: להתאים ל-$f$ את הגרף שגבוה יותר ליד ציר ה-$y$ ("לפרבולה ערכים גדולים") ולענות I: $g$, II: $f$. בדיקה: $f(0)=1$ ו-$g(0)=16$ - ליד ציר ה-$y$ דווקא $g$ גבוהה.

$f$ פולינום - אין לה אסימפטוטות. ל-$g$:

אנכית: כש-$x\to-1$, $f(x)\to0^+$, ולכן $g(x)\to+\infty$: $x=-1$.

אופקית: כש-$x\to\pm\infty$, $f(x)\to\infty$, ולכן $g(x)=\frac{16}{f(x)}\to0$: $y=0$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמונה 16 קובע את האסימפטוטה האופקית ולענות $y=16$ - המונה קבוע והמכנה שואף לאינסוף, ולכן המנה שואפת ל-0.

הערכים שווים, ולכן הגרפים נפגשים ב-$(1,4)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הריבוע במכנה ולחשב $g(1)=\frac{16}{2}=8$, ולהסיק שהגרפים אינם נפגשים ב-$x=1$.

השטח בין $x=0$ (ציר ה-$y$) ל-$x=1$ (נקודת המפגש). בתחום זה $g$ מעל $f$ (למשל $g(0)=16$, $f(0)=1$).

פונקציות קדומות: של $\frac{16}{(x+1)^2}=16(x+1)^{-2}$ - $-\frac{16}{x+1}$; של $(x+1)^2$ - $\frac{(x+1)^3}{3}$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן של הפונקציה הקדומה של $\frac{16}{(x+1)^2}$ (לכתוב $+\frac{16}{x+1}$) - אז האינטגרל של $g$ יוצא $8-16=-8$, ומתקבל $-8-\frac73=-\frac{31}{3}$, כלומר "שטח" $\frac{31}{3}$.