מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 13 מעל רמת בגרות

מכל נתון מוצאים ציון תקן בטבלה:

$\Phi(1)=0.8413$, ולכן ציון התקן של 190 הוא $1$.

0.0668 קטן מ-0.5, ולכן ציון התקן שלילי: $\Phi(1.5)=0.9332=1-0.0668$, ולכן ציון התקן של 130 הוא $-1.5$.

כותבים כל ערך כממוצע ועוד ציון התקן כפול סטיית התקן:

מחסרים את המשוואות: $60=2.5\sigma$, ולכן $\sigma=24$, ומהמשוואה הראשונה $\mu=190-24=166$.

טעות נפוצה: לקחת ל-130 ציון תקן חיובי $1.5$. אז מתקבל $\sigma-1.5\sigma=190-130$, כלומר $\sigma=-120$ - סטיית תקן שלילית מראה שהסימן שגוי.

הארכה ב-5% פירושה שכל ערך מוכפל ב-1.05, ולכן הממוצע וסטיית התקן מוכפלים ב-1.05:

טעות נפוצה: להכפיל את סטיית התקן ב-$1.05^2$ (כמו השונות) ולקבל $\sigma_{new}\approx26.46$.

הערך 190 קבוע, אבל ההתפלגות השתנתה. ציון התקן שלו בהתפלגות החדשה:

"יותר מ" - השטח מימין:

כלומר כ-26.76% (לפני השיפור: $1-0.8413$, כלומר 15.87%).

טעות נפוצה: לחשב את ציון התקן עם סטיית התקן הישנה, $Z=\frac{190-174.3}{24}\approx0.65$, ולקבל $1-0.7422$, כלומר 25.78%.

נסמן את מקדם ההגדלה $k=1+\frac{p}{100}$. כל ערך מוכפל ב-$k$, ולכן $\mu_{new}=166k$ ו-$\sigma_{new}=24k$.

15.87% מעל 228, ולכן $P(X<228)=0.8413$, וציון התקן של 228 הוא $1$.

(בדיקה: ההכפלה ב-$k$ מזיזה כל ערך יחד עם האחוז שלו - 190, שמעליו היו 15.87%, הופך ל-$190\cdot1.2=228$.)

טעות נפוצה: להשאיר את סטיית התקן 24: $166k+24=228$, כלומר $k\approx1.2289$ ו-$p\approx22.89$.

$\bar x=\frac{4+6+8+10+12}{5}=8$, והסטיות של $x$: $-4,\ -2,\ 0,\ 2,\ 4$. לכן $S_x^2=\frac{16+4+0+4+16}{5}=8$.

שיפוע ישר הרגרסיה הוא $m=r\cdot\frac{S_y}{S_x}=\frac{\text{cov}(x,y)}{S_x^2}$.

גם $\bar y$ תלוי ב-$k$, אבל סכום הסטיות של $x$ הוא 0, ולכן $\sum(x-\bar x)(y-\bar y)=\sum(x-\bar x)\,y-\bar y\sum(x-\bar x)=\sum(x-\bar x)\,y$:

בדיקה עם $k=27$: $\bar y=15$, הסטיות $-8,\ -5,\ -2,\ 3,\ 12$, סכום המכפלות $32+10+0+6+48=96$, ו-$\frac{96/5}{8}=2.4$.

טעות נפוצה: לחלק את השונות המשותפת בסטיית התקן $S_x=\sqrt8$ במקום בשונות $S_x^2=8$. מתקבל $\frac{4k-12}{5\sqrt8}=2.4$, כלומר $k\approx11.49$ - ערך שאפילו אינו שלם.

עם $k=27$: $\bar y=\frac{7+10+13+18+27}{5}=15$, והסטיות של $y$: $-8,\ -5,\ -2,\ 3,\ 12$.

מהקשר בין השיפוע למקדם המתאם:

(או ישירות: $r=\frac{96/5}{\sqrt8\cdot\sqrt{49.2}}\approx0.968$.)

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $r=m\cdot\frac{S_y}{S_x}\approx5.95$ - ערך גדול מ-1, שאינו יכול להיות מקדם מתאם.

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(8,15)$:

ניבוי של 20 שאלות: מציבים $y=20$ ופותרים:

כ-10.08 שעות תרגול בשבוע.

טעות נפוצה: להציב 20 במקום $x$ ולענות 43.8 - זה הניבוי לתלמיד שמתרגל 20 שעות, לא מספר השעות שמתאים ל-20 שאלות.

כל $x$ מוכפל ב-1.25 וכל $y$ ב-1.1. ממוצע וסטיית תקן מוכפלים באותו קבוע:

$\bar x=10$, $S_x=1.25\sqrt8$; $\bar y=16.5$, $S_y=1.1\sqrt{49.2}$.

מקדם המתאם לא משתנה בכפל של כל משתנה בקבוע חיובי: $r\approx0.968$.

הישר עובר בנקודת הממוצעים החדשה $(10,16.5)$:

טעות נפוצה: להכפיל את השיפוע בשני הקבועים, $2.4\cdot1.1\cdot1.25=3.3$, ולקבל $y=3.3x-16.5$. כשה-$x$ גדלים, הישר נמתח אופקית והשיפוע קטן: מחלקים ב-1.25.

ההסתברות לעבור בכל מבחן:

נסמן ב-$p$ את ההסתברות שמועמד נבחן במבחן הראשון. לפי עץ ההסתברויות:

25% מהמועמדים נבחנו במבחן הראשון.

טעות נפוצה: לשייך את $p$ למבחן השני, $(1-p)\cdot0.1587+p\cdot0.2119=0.1986$, ולקבל 75%.

זו הסתברות מותנית - מבין העוברים:

טעות נפוצה: לענות $0.0397$ - זו ההסתברות שמועמד (מבין כולם) נבחן במבחן הראשון וגם עבר, בלי לחלק בהסתברות לעבור.

לכל חלוקה $p$ (בין 0 ל-1):

זה ממוצע משוקלל של $0.1587$ ושל $0.2119$, ולכן הוא תמיד ביניהם: הקטן ביותר כשכולם במבחן הראשון ($p=1$), והגדול ביותר כשכולם בשני ($p=0$).

$0.25>0.2119$, ולכן אי אפשר שבדיוק 25% יעברו.

טעות נפוצה: לחבר את שתי ההסתברויות ($0.1587+0.2119=0.3706$), לחשוב שזה הערך הגדול ביותר, ולהסיק ש-25% אפשרי.

במבחן הראשון ההסתברות לעבור היא 0.1587, וציון התקן של הסף שם הוא 1. אותה הסתברות לעבור פירושה אותו ציון תקן גם במבחן השני:

טעות נפוצה: להשתמש בסטיית התקן של המבחן הראשון ($68+8=76$) - ציון התקן מחושב בכל מבחן לפי סטיית התקן שלו.

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $E$ היא אמצע האלכסון $AC$.

נתון ש-$F$ היא אמצע הצלע $BC$.

במשולש $ABC$ הקטע $FE$ מחבר את אמצעי הצלעות $CB$ ו-$CA$, ולכן הוא קטע אמצעים: $FE\parallel AB$.

טעות נפוצה: לנמק ש-$E$ אמצע $AC$ "כי האלכסונים במקבילית שווים" - הם חוצים זה את זה, אבל בדרך כלל אינם שווים.

$FE\parallel AB$, ולכן $\angle CFE=\angle CBA$ (זוויות מתאימות), ו-$\angle C$ משותפת: $\triangle CEF\sim\triangle CAB$ (ז.ז.).

יחס הדמיון: $\frac{CF}{CB}=\frac12$.

טעות נפוצה: לענות $1:2$ - יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון, לא יחס הדמיון עצמו.

$E$ אמצע $AC$:

דרך $B(5,1)$: $y-1=3(x-5)$, כלומר $y=3x-14$.

ל-$A$ ול-$B$ אותו שיעור $y$, ולכן $AB$: $y=1$.

טעות נפוצה: למצוא את $C$ כקצה האלכסון שיוצא מ-$B$ ($2E-B=(-1,7)$) - זו הנקודה $D$, והישר שמתקבל הוא האלכסון $BD$: $y=-x+6$.

זווית הנטייה של $BC$: $\tan\alpha=3$, $\alpha\approx71.57^\circ$ - זו הזווית בין $BC$ לכיוון החיובי של ציר ה-$x$.

הצלע $BA$ יוצאת מ-$B$ שמאלה (בכיוון השלילי של ציר ה-$x$), ולכן הזווית $ABC$ משלימה ל-$180^\circ$:

טעות נפוצה: לענות $71.57^\circ$ - זו הזווית בין $BC$ להמשך של $AB$ מעבר ל-$B$, ולא הזווית שבתוך המקבילית.

במשולש $CAB$ הבסיס $AB$ אופקי: $AB=5-(-3)=8$. הגובה הוא המרחק של $C$ מהישר $y=1$: $7-1=6$.

לפי סעיף א(2): $S_{CEF}=\frac{24}{4}=6$.

טעות נפוצה: להשתמש ביחס הדמיון במקום ביחס השטחים ולקבל $S_{CEF}=\frac{24}{2}=12$.

הטרפז $ABFE$ הוא המשולש $CAB$ בלי המשולש $CEF$:

טעות נפוצה: להחסיר את המשולש $CEF$ מכל המקבילית ($48-6=42$) ולענות פי 7 - הטרפז הוא רק חלק מהמשולש $CAB$.

$MA=MB=MC$ (רדיוסים) ו-$AB=CB$, ולכן $\triangle AMB\cong\triangle CMB$ (צ.צ.צ.) ו-$\angle AMB=\angle CMB$.

במשולש שווה השוקיים $AMC$ ($MA=MC$) חוצה זווית הראש הוא גם גובה, ולכן $MB\perp AC$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$MB\perp AC$ "כי $MB$ עובר דרך אמצע $AC$" - בלי להוכיח ש-$MB$ חוצה את $AC$; זה נובע מהחפיפה ולא להפך.

נסמן ב-$N$ את נקודת המפגש של $MB$ ו-$AC$, וב-$\alpha$ את $\angle BMC$. לפי סעיף א, $\angle NMC=\angle BMC=\alpha$ (כי $N$ על $MB$).

במשולש ישר הזווית $MNC$: $MN=MC\cos\alpha=r\cos\alpha$, ולכן $BN=r-r\cos\alpha$.

הבסיס $AC$ משותף, ולכן יחס השטחים הוא יחס הגבהים:

$\alpha\approx53.13^\circ$, ו-$\angle BAC$ זווית היקפית הנשענת על הקשת $BC$: $\angle BAC=\frac{\alpha}{2}\approx26.57^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה של $AMC$ את הרדיוס $MB$: $\frac{r}{BN}=\frac{1}{1-\cos\alpha}=1.5$, כלומר $\cos\alpha=\frac13$, ולקבל $\angle BAC\approx35.26^\circ$.

הרדיוס $r=\sqrt{20}$. לפי משפט הקוסינוסים במשולש $MBC$:

האנך מ-$M$ למיתר חוצה אותו, ולכן מחצית המיתר 2, והמרחק של המיתר מ-$M$ הוא $\sqrt{20-4}=4$.

המיתר אופקי ומתחת ל-$M(1,6)$, ולכן הוא על הישר $y=2$, והקצוות $x=1\pm2$: $B(-1,2)$, $C(3,2)$.

טעות נפוצה: לקחת את המיתר מעל $M$, על הישר $y=10$, ולקבל $B(-1,10)$, $C(3,10)$ - בסתירה לנתון שהמיתר מתחת ל-$M$.

מסעיף ב: $\frac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\frac{\cos\alpha}{1-\cos\alpha}$, כאשר $\alpha=\angle BMC=2\angle BAC$ ו-$\cos\alpha>0$ ($M$ ו-$B$ משני צדי $AC$).

$\angle BAC=\frac{\alpha}{2}$, ולכן $0^\circ<\angle BAC<30^\circ$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$\alpha<60^\circ$ ולענות $\angle BAC<60^\circ$ - התנאי הוא על הזווית המרכזית, וההיקפית היא מחציתה.

אסור לחלק באפס, ולכן המכנה $x^2$ חייב להיות שונה מאפס.

$x^2=0$ רק כש-$x=0$. תחום ההגדרה: $x\ne0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>0$, כאילו יש שורש. הביטוי $\frac{48}{x^2}$ מוגדר גם בעבור $x$ שלילי.

פותרים $f(x)=0$ וכופלים ב-$x^2$ (מותר, כי $x\ne0$):

טעות נפוצה: לאבד את הסימן בהעברת אגפים ($x^5=48$) ולענות $(2.17,0)$. בעבור $x>0$ שני המחוברים חיוביים, ולכן אין שם אפס.

כותבים $\frac{48}{x^2}=48x^{-2}$ וגוזרים:

$f'(x)=0$: $3x^2=\frac{96}{x^3}$, כלומר $x^5=32$, $x=2$. $f(2)=8+\frac{48}{4}=20$.

בטבלת הסימנים חייבים לכלול גם את $x=0$ (שם הפונקציה אינה מוגדרת):

$x<0$: $x^3<0$, ולכן $-\frac{96}{x^3}>0$ ו-$f'(x)>0$ - עולה. $0<x<2$: למשל $f'(1)=3-96=-93<0$ - יורדת. $x>2$: למשל $f'(3)=27-\frac{96}{27}>0$ - עולה.

לכן ב-$x=2$ יש מינימום: $\min(2,20)$.

טעות נפוצה: לגזור את $\frac{48}{x^2}$ ל-$\frac{96}{x^3}$ בלי הסימן השלילי. אז $3x^2+\frac{96}{x^3}=0$ נותן $x^5=-32$, $x=-2$, ומתקבלת נקודה שגויה $(-2,4)$.

מה ידוע על $f(x)$:

ליד $x=0$ המחובר $\frac{48}{x^2}$ גדל מאוד והוא חיובי משני הצדדים, ולכן הגרף עולה ל-$+\infty$ משני צדי ציר ה-$y$.

בעבור $x<0$ הפונקציה עולה (סעיף ג) וחותכת את ציר ה-$x$ ב-$-2.17$ (סעיף ב).

בעבור $x>0$ יש מינימום ב-$(2,20)$, מעל ציר ה-$x$.

גרף I: הענף השמאלי יורד ל-$-\infty$ ליד ציר ה-$y$ - נפסל. גרף III: הענף הימני מתחת לציר ה-$x$ - נפסל. גרף II מתאים לכל התכונות.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I, כי בענף הימני שלו יש מינימום מעל ציר ה-$x$ - בלי לבדוק את הענף השמאלי, שאצלו יורד ל-$-\infty$ ליד ציר ה-$y$, בניגוד ל-$\frac{48}{x^2}>0$.

בקטע $1\le x\le2$ שני המחוברים חיוביים, ולכן הגרף מעל ציר ה-$x$ והשטח הוא האינטגרל עצמו.

פונקציה קדומה: ל-$x^3$ היא $\frac{x^4}4$, ול-$48x^{-2}$ היא $\frac{48x^{-1}}{-1}=-\frac{48}x$.

טעות נפוצה: לכתוב את הקדומה של $\frac{48}{x^2}$ כ-$+\frac{48}x$ (בלי המינוס): $\left[\frac{x^4}4+\frac{48}x\right]_1^2=28-48.25=-20.25$ - ושטח לא יכול להיות שלילי.

צריך $x^2-4x+k\ge0$ לכל $x$: הפרבולה "מחייכת", ולכן הדרישה היא שאין לה שני שורשים שונים - דיסקרימיננטה לא חיובית:

(ב-$k=4$: $f(x)=(x-2)^2\ge0$ - גם מתאים.)

טעות נפוצה: לדרוש $16-4k<0$ ולענות $k>4$ - ב-$k=4$ הביטוי $(x-2)^2$ אי-שלילי לכל $x$.

המכנה חיובי לכל $x$ (כש-$k>4$). $g'<0$ ב-$x<2$, $g'>0$ ב-$x>2$: מינימום ב-$x=2$.

טעות נפוצה: לחשב $f(2)=4+8+k$ (סימן) ולקבל מינימום $\left(2,\sqrt{k+12}\right)$.

$x^2-4x+k=0$: $x=\frac{4\pm\sqrt{16-4k}}{2}=2\pm\sqrt{4-k}$ (שני שורשים, כי $k<4$).

התחום - מחוץ לשורשים: $x\le2-\sqrt{4-k}$ או $x\ge2+\sqrt{4-k}$.

$g'=\frac{x-2}{\sqrt{f(x)}}$ מתאפסת רק ב-$x=2$, שבין השורשים ולכן מחוץ לתחום: אין קיצון פנימי. $g$ יורדת בענף השמאלי ועולה בימני.

בקצוות $g=0$: מינימום בקצה ב-$\left(2-\sqrt{4-k},0\right)$ וב-$\left(2+\sqrt{4-k},0\right)$.

טעות נפוצה: להעתיק מסעיף ב מינימום ב-$\left(2,\sqrt{k-4}\right)$ - עבור $k<4$ הביטוי $k-4$ שלילי ו-$x=2$ אינו בתחום.