מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 6 מעל רמת בגרות

22.66% מן הרצים סיימו בפחות מ-225 דקות, ולכן $\Phi(z)=0.2266$, כאשר $z$ הוא ציון התקן של 225.

ההסתברות קטנה מ-0.5, ולכן $z$ שלילי (225 קטן מהממוצע). בטבלה מחפשים את המשלים: $1-0.2266=0.7734$, ומוצאים $\Phi(0.75)=0.7734$.

לפי הסימטריה $\Phi(-0.75)=0.2266$, ולכן $z=-0.75$.

מציבים בהגדרת ציון התקן:

סטיית התקן היא 40 דקות.

טעות נפוצה: לפרש את 22.66% כשטח שבין 225 לממוצע ולחפש בטבלה $0.5+0.2266=0.7266$. כך מתקבל $z\approx0.6$ ו-$S=\frac{30}{0.6}=50$ דקות. 22.66% הם כל הרצים שסיימו בפחות מ-225 דקות, כלומר כל השטח משמאל ל-225.

ציון התקן של 325:

בטבלה: $\Phi(1.75)=0.9599$ - זה החלק של הרצים שסיימו בפחות מ-325 דקות.

הרצים שלא נכללו בדירוג סיימו ביותר מ-325 דקות, ולכן לוקחים את המשלים:

4.01% מן הרצים לא נכללו בדירוג הרשמי.

טעות נפוצה: לענות 95.99% - זה הערך שבטבלה, $\Phi(1.75)$, כלומר אחוז הרצים שסיימו בפחות מ-325 דקות. הטבלה נותנת תמיד את השטח משמאל לערך.

1,604 רצים הם 4.01% מכל הרצים שסיימו את המרתון, ולכן מספר הרצים הכולל הוא:

הרצים שנכללו בדירוג ולא קיבלו אישור הם אלה שזמן הסיום שלהם בין 225 ל-325 דקות. החלק שלהם הוא המשלים של שני הזנבות:

29,332 רצים נכללו בדירוג הרשמי ולא קיבלו אישור השתתפות.

טעות נפוצה: להחסיר רק את הרצים שלא נכללו בדירוג, $40{,}000-1{,}604=38{,}396$, ולשכוח את 22.66% שקיבלו אישור השתתפות.

החלק של הרצים שקיבלו אישור: $\frac{3340}{50000}=0.0668$, כלומר 6.68% סיימו בפחות מ-225 דקות.

$\Phi(z)=0.0668$: ההסתברות קטנה מ-0.5 ולכן $z$ שלילי. בטבלה $\Phi(1.5)=0.9332=1-0.0668$, ולכן $z=-1.5$.

מציבים בהגדרת ציון התקן, כשהפעם הממוצע הוא הנעלם:

זמן הסיום הממוצע הוא 277.5 דקות. בדיקה: 225 קטן מהממוצע, כמו שמתאים לזנב של 6.68%.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולקבל $\bar x=225-52.5=172.5$ דקות. אם רק 6.68% מן הרצים סיימו בפחות מ-225 דקות, הממוצע חייב להיות גדול מ-225.

הסטיות: $-3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3$; ריבועיהן מסתכמים ב-$9+1+0+1+9=20$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$S_x^2=4$ ולענות 4. זו השונות; סטיית התקן היא השורש שלה.

ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים, ולכן:

נסמן ב-$a$ את המהירות במסלול ג':

טעות נפוצה: להציב $x=5$ בישר ולענות 11, כאילו הישר עובר בנקודה של מסלול ג'. הישר עובר בנקודת הממוצעים, ולכן 11 הוא הממוצע $\bar y$ - לא המהירות במסלול ג'.

סטיית התקן של $y$: הסטיות מ-11 הן $3,\ 1,\ -1,\ -1,\ -2$, וסכום ריבועיהן $16$:

שיפוע הישר $b=r\cdot\frac{S_y}{S_x}$, ולכן:

טעות נפוצה: לחשוב ש-$r$ שווה לשיפוע, $r=-0.85$. השיפוע תלוי ביחידות; $r$ מתקבל מהשיפוע רק אחרי הכפלה ב-$\frac{S_x}{S_y}$.

הנקודה החדשה $(5,11)$ היא בדיוק נקודת הממוצעים, ולכן הממוצעים $\bar x=5$, $\bar y=11$ לא משתנים.

לנקודה החדשה סטייה 0 בשני המשתנים. לכן סכום ריבועי הסטיות של $x$, סכום ריבועי הסטיות של $y$ וסכום המכפלות של הסטיות נשארים כשהיו - רק מספר הנתונים גדל מ-5 ל-6.

השיפוע הוא מנה של שני סכומים: $b=\frac{\sum(x-\bar x)(y-\bar y)}{\sum(x-\bar x)^2}$ - החלוקה ב-$n$ מצטמצמת, ולכן $b$ לא משתנה, והישר עדיין עובר ב-$(5,11)$: אותו ישר.

גם $r=\frac{\sum(x-\bar x)(y-\bar y)}{\sqrt{\sum(x-\bar x)^2\cdot\sum(y-\bar y)^2}}$ הוא מנה של אותם סכומים, ולכן לא משתנה.

(סטיות התקן כן קטנות: $S_x=\sqrt{20/6}$ ו-$S_y=\sqrt{16/6}$.)

טעות נפוצה: לטעון ש-$r$ יגדל בערכו המוחלט "כי הנקודה החדשה נמצאת על ישר הרגרסיה". נקודה על הישר בנקודת הממוצעים לא תורמת דבר לסכומים, ולכן $r$ נשאר $-0.95$.

"כרטיס רגיל ושכר מדריך קולי" הוא חיתוך של שני מאורעות. ידועות לנו ההסתברות לשכור מדריך קולי, וההסתברות לכרטיס רגיל בתוך השוכרים:

טעות נפוצה: לענות $\frac34=0.75$ - זה החלק של בעלי כרטיס רגיל מבין שוכרי המדריך הקולי בלבד, ולא מבין כל המבקרים.

נבנה טבלה דו-ממדית (בשברים מתוך כל המבקרים).

המבקרים עם כרטיס רגיל שלא שכרו מדריך הם פי 4 מאלה ששכרו:

10% מן המבקרים קנו כרטיס סטודנט.

טעות נפוצה: לחשב $1-0.18=0.82$, כלומר לחסר רק את בעלי הכרטיס הרגיל ששכרו מדריך, ולענות 82% - שוכחים את בעלי הכרטיס הרגיל שלא שכרו מדריך.

מהטבלה: $P(\text{סטודנט}\cap\text{מדריך})=0.24-0.18=0.06$.

התנאי הוא "כרטיס סטודנט", ולכן מחלקים בהסתברות לכרטיס סטודנט:

טעות נפוצה: לענות $0.06$ - זו ההסתברות לבחור מכל המבקרים סטודנט ששכר מדריך; כאן כבר ידוע שנבחר סטודנט, ולכן מחלקים ב-$0.1$.

"אחוז השוכרים מבין המבקרים עם כרטיס סטודנט" חושב בסעיף ג: $0.6$.

"אחוז השוכרים מבין המבקרים עם כרטיס רגיל" היא הסתברות מותנית - התנאי הוא "כרטיס רגיל":

$0.6>0.2$: 60% מבעלי כרטיס הסטודנט שכרו מדריך קולי, לעומת 20% מבעלי הכרטיס הרגיל. לכן המשפט נכון.

טעות נפוצה: להשוות את החיתוכים - $0.06$ סטודנטים ששכרו מדריך לעומת $0.18$ בעלי כרטיס רגיל ששכרו - ולקבוע שהמשפט אינו נכון. יש יותר שוכרים עם כרטיס רגיל רק כי יש הרבה יותר מבקרים עם כרטיס רגיל; האחוז בתוך כל קבוצה מחושב בחלוקה בגודל הקבוצה.

טעות נפוצה: לחלק את הפרש ה-$x$ בהפרש ה-$y$ ולקבל $y=-\frac34x+11$.

$CB\perp AB$, ולכן $m_{CB}=\frac34$, והישר $CB$: $y=\frac34(x-c)+11$.

טעות נפוצה: לקחת $m_{CB}=\frac43$ (רק החלפת סימן) ולקבל $B\left(\frac c2,\ 11-\frac{2c}{3}\right)$.

$E(-3,11)$. האלכסון $EC$ על הישר $y=11$, ואורכו $c+3$.

גובה המשולש $AEC$: $15-11=4$. גובה המשולש $EBC$: המרחק של $B$ מהישר $y=11$, כלומר $0.48c$.

$c>0$, ולכן $c=50$ (ואז $B(18,-13)$).

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בנוסחת שטח המשולש, $(c+3)(4+0.48c)=742$, ולקבל $0.48c^2+5.44c-730=0$, כלומר $c\approx33.74$.

$\angle AEP=\angle CBP=90^\circ$ ו-$\angle APE=\angle CPB$ (קודקודיות), ולכן $\triangle AEP\sim\triangle CBP$. הצלעות המתאימות $AP=5$ ו-$CP=c$, ויחס הדמיון $\frac c5$.

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

(בדיקה בעזרת סעיף ב: $PB=0.6c=12$, $CB=0.8c=16$, $S_{CBP}=96=16\cdot6=16\cdot S_{AEP}$.)

טעות נפוצה: להשוות את יחס השטחים ליחס הדמיון עצמו, $\frac c5=16$, ולקבל $c=80$.

טעות נפוצה: לחשב $4-(-4)$ כ-0, ומקבלים $AC=4$.

מרכז המעגל $O(1,2)$, רדיוס 5. המשולש $AOC$ שווה שוקיים ($OA=OC=5$).

האנך מ-$O$ ל-$AC$ חוצה את המיתר ואת הזווית המרכזית. אם $M$ אמצע $AC$, אז $AM=\frac{\sqrt{80}}{2}=\sqrt{20}$, ובמשולש ישר הזווית $AMO$:

$\sphericalangle AOC\approx126.87^\circ$, והזווית ההיקפית $ABC$ הנשענת על אותה קשת היא מחציתה: $\sphericalangle ABC\approx63.43^\circ$.

(אפשר גם במשפט הסינוסים: $\frac{AC}{\sin\sphericalangle ABC}=2R=10$, $\sin\sphericalangle ABC=\frac{\sqrt{80}}{10}$, והזווית חדה כי $B$ על הקשת הגדולה.)

טעות נפוצה: במשפט הסינוסים לבחור את הזווית הקהה, $180^\circ-63.43^\circ=116.57^\circ$ - זו הזווית $ADC$, שנשענת על הקשת הגדולה.

מכפלת השיפועים $-1$: המשולש $ABE$ ישר זווית ב-$A$.

טעות נפוצה: לקחת את $AE$ ואת $BE$ כניצבים, ומקבלים $\frac{\sqrt{200}\cdot\sqrt{250}}{2}\approx111.8$.

המרובע $ABCD$ חסום במעגל, ולכן סכום הזוויות הנגדיות $ABC$ ו-$ADC$ הוא $180^\circ$.

הזווית $EDC$ צמודה לזווית $ADC$ ($A$, $D$, $E$ על ישר אחד), ולכן $\sphericalangle EDC=180^\circ-\sphericalangle ADC=\sphericalangle ABC$.

הזווית $E$ משותפת לשני המשולשים.

לכן $\triangle ABE\sim\triangle CDE$ לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow D$, $E\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: להתאים את $A$ ל-$D$ ואת $B$ ל-$C$ (לפי הסדר שבו הנקודות מופיעות על הישרים) - הזווית $EDC$ שווה ל-$\sphericalangle ABC$, ולכן $D$ מתאימה ל-$B$.

$EA$ מתאימה ל-$EC$:

טעות נפוצה: להתאים את $EB$ ל-$EC$, ומקבלים $\frac{\sqrt{250}}{\sqrt{40}}=2.5$.

טעות נפוצה: לחלק ב-$k$ ולא ב-$k^2$: $\frac{50}{\sqrt5}\approx22.36$.

תחום ההגדרה: $x\ne0$.

$f'(x)=-\frac{4}{x^2}+a=\frac{ax^2-4}{x^2}$

$f'(x)=0 \Rightarrow x^2=\frac4a \Rightarrow x=\pm\frac{2}{\sqrt a}$

המכנה $x^2$ חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $ax^2-4$: חיובי עבור $x<-\frac{2}{\sqrt a}$ ועבור $x>\frac{2}{\sqrt a}$, ושלילי בין הנקודות האלה (פרט ל-$x=0$).

לכן ב-$x=-\frac{2}{\sqrt a}$ יש מקסימום וב-$x=\frac{2}{\sqrt a}$ יש מינימום.

$f\left(\frac{2}{\sqrt a}\right)=\frac{4\sqrt a}{2}+\frac{2a}{\sqrt a}=2\sqrt a+2\sqrt a=4\sqrt a$, ומאחר ש-$f$ אי-זוגית, $f\left(-\frac{2}{\sqrt a}\right)=-4\sqrt a$.

מקסימום: $\left(-\frac{2}{\sqrt a},-4\sqrt a\right)$, מינימום: $\left(\frac{2}{\sqrt a},4\sqrt a\right)$.

הנקודה $(1,0)$ נמצאת על גרף $g$:

$g(1)=4+a-8=0$

$a=4$

בדיקה: המשיק בנקודה הוא ציר ה-$x$, ולכן $g'(1)=f'(1)=-4+a=0$, וגם מכאן $a=4$. (לפי סעיף א, עבור $a=4$ המינימום של $f$ הוא $\left(1,8\right)$, ולכן המינימום של $g$ הוא $(1,0)$.)

$g(x)=\frac4x+4x-8$. לפי סעיף א (עם $a=4$): מקסימום של $f$ ב-$(-1,-8)$ ומינימום ב-$(1,8)$, ולכן ל-$g$ מקסימום $(-1,-16)$ ומינימום $(1,0)$.

בתחום $x>0$: $g$ יורדת מ-$+\infty$ (כאשר $x\to0^+$) עד $0$ ב-$x=1$, ואחר כך עולה ל-$+\infty$. בתחום $x>0$ מתקיים $g(x)\ge0$.

בתחום $x<0$: $g$ עולה מ-$-\infty$ (כאשר $x\to-\infty$) עד $-16$ ב-$x=-1$, ואחר כך יורדת ל-$-\infty$ (כאשר $x\to0^-$). בתחום $x<0$ מתקיים $g(x)\le-16$.

$g(x)=-16$: רק נקודת המקסימום $x=-1$, פתרון אחד.

$g(x)=-10$: הערך $-10$ גדול מ-$-16$ וקטן מ-$0$, ולכן אין פתרון.

$g(x)=5$: בתחום $x>0$ יש פתרון אחד מכל צד של המינימום, ובתחום $x<0$ אין פתרון. סך הכול שני פתרונות.

$5-x\ge0$, ולכן $x\le5$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ge5$ (להפוך את האי-שוויון בטעות).

גוזרים מכפלה. הנגזרת של $\sqrt{5-x}$ היא $\frac{-1}{2\sqrt{5-x}}$ (כולל הנגזרת הפנימית $-1$):

מכנה משותף $2\sqrt{5-x}$:

$f'=0$ ב-$x=-3$ וב-$x=4$ (שתיהן בתוך התחום). המכנה חיובי, והמונה $-5(x-4)(x+3)$ שלילי מחוץ לשורשים וחיובי ביניהם:

$x<-3$: יורדת. $-3<x<4$: עולה. $4<x<5$: יורדת.

$f(-3)=(9-15-10)\sqrt8=-16\cdot2\sqrt2=-32\sqrt2\approx-45.25$, $f(4)=(16+20-10)\sqrt1=26$.

לכן $\min(-3,-32\sqrt2)$ ו-$\max(4,26)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $-1$, לקבל מונה $-3x^2+15x+40$ ואפסים $x\approx-1.93$ ו-$x\approx6.93$ (מחוץ לתחום) - ולפספס את שתי נקודות הקיצון האמיתיות.

מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך של הגרף עם הישר $y=-20$.

$x<-3$: $f$ יורדת מאינסוף עד $-32\sqrt2\approx-45.25<-20$ - חותכת את $y=-20$ פעם אחת.

$-3<x<4$: $f$ עולה מ-$-45.25$ עד 26 - פעם אחת.

$4<x\le5$: $f$ יורדת מ-26 עד $f(5)=0$ - כל הערכים בין 0 ל-26, אין חיתוך.

סך הכול 2 פתרונות.

טעות נפוצה: להסתכל רק על הקטע שבין המינימום למקסימום ולענות "פתרון אחד" - הענף השמאלי, שבו $f$ יורדת מאינסוף אל המינימום, חותך גם הוא את $y=-20$.

$f'>0$ היכן ש-$f$ עולה, ו-$f'<0$ היכן ש-$f$ יורדת (סעיף א(2)).

חיוביות: $-3<x<4$. שליליות: $x<-3$ ו-$4<x<5$.

טעות נפוצה: להתעלם מהמקדם $-5$ במונה ולקבוע את הסימן לפי $(x-4)(x+3)$ בלבד - ואז מתקבל הפוך: חיוביות ב-$x<-3$ וב-$4<x<5$, שליליות ב-$-3<x<4$, בסתירה לכך ש-$f$ עולה מהמינימום למקסימום.

אפסים של $f'$: $x=-3$ ו-$x=4$. סימנים מסעיף ב(1).

ליד $x=5$ המונה $-5\cdot1\cdot8=-40<0$ והמכנה שואף ל-0, ולכן $f'\to-\infty$.

משמאל ($x\to-\infty$) $f'$ שלילית ושואפת למינוס אינסוף (המונה, כ-$-5x^2$, גדל מהר יותר מהשורש שבמכנה).

הסקיצה: עולה מהשליליים, חוצה את ציר ה-$x$ ב-$-3$, "גבעה" חיובית, חוצה שוב ב-4, ויורדת למינוס אינסוף ליד הקו $x=5$.

טעות נפוצה: לסרטט את $f'$ שואפת ל-$+\infty$ ליד $x=5$ - אבל בקטע $4<x<5$ היא שלילית.

בתחום $-4\le x\le-3$ הנגזרת שלילית (סעיף ב(1)), ולכן השטח הוא מינוס האינטגרל.

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$:

$f(-4)=(16-20-10)\sqrt9=-42$, $f(-3)=-32\sqrt2$: