מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 5 מעל רמת בגרות

$P(X<3.6)=0.1587$. בטבלה $\Phi(-1)=0.1587$, ולכן ציון התקן של 3.6 הוא $-1$.

$P(X>5.4)=0.0228$, כלומר $P(X<5.4)=0.9772$, ובטבלה $\Phi(2)=0.9772$: ציון התקן של 5.4 הוא 2.

מחסרים: $3\sigma=1.8$, ולכן $\sigma=0.6$ ו-$\mu=3.6+0.6=4.2$.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.0228 עצמו ולקבל לערך 5.4 ציון תקן $-2$. אז $\mu-\sigma=3.6$ ו-$\mu-2\sigma=5.4$, ומתקבלת סטיית תקן שלילית ($\sigma=-1.8$).

הזוכים הם 10% העליונים, ולכן 90% קפצו פחות מהסף $a$: $\Phi(z)=0.9$.

בטבלה $\Phi(1.28)=0.8997$, הערך הקרוב ביותר ל-0.9, ולכן $z\approx1.28$.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.1 במקום 0.9 ולקבל $z=-1.28$, כלומר סף של כ-3.43 מטרים - מתחת לממוצע, ואז כמעט 90% מהמשתתפים היו זוכים.

זו הסתברות מותנית: התנאי הוא $X>4.2$, ו-$P(X>4.2)=0.5$ (הממוצע הוא ציר הסימטריה).

המאורע "יותר מ-5.1" מוכל בתנאי, ולכן החיתוך הוא פשוט $P(X>5.1)$:

טעות נפוצה: לענות 0.0668 - זו ההסתברות מבין כל המשתתפים; כאן בוחרים רק מבין מי שקפץ יותר מהממוצע, ולכן מחלקים ב-0.5.

אותו אחוז מתחת לתוצאה פירושו אותו ציון תקן בשתי ההתפלגויות.

בקפיצה לרוחק (סעיף ג): $z=\frac{5.1-4.2}{0.6}=1.5$.

בקפיצה לגובה:

טעות נפוצה: להפוך את הנוסחה ולכפול - $\sigma=0.3\cdot1.5=0.45$ מטר. בדיקה: עם $\sigma=0.45$ ציון התקן של 1.7 הוא כ-0.67, ולא 1.5.

טעות נפוצה: לחלק ב-4 במקום ב-5 ולקבל 20 עובדים.

הסטיות מהממוצע: $-4,\ -2,\ 0,\ 2,\ 4$.

טעות נפוצה: לענות $S_x=8$ - זו השונות. סטיית התקן היא השורש שלה.

$r=\frac{\text{cov}(x,y)}{S_x\cdot S_y}$, כאשר $\text{cov}(x,y)$ הוא ממוצע המכפלות של הסטיות.

הסטיות של $x$: $-4,\ -2,\ 0,\ 2,\ 4$. הסטיות של $y$ מהממוצע 30: $-12,\ -8,\ -4,\ 4,\ 20$.

המכפלות: $48,\ 16,\ 0,\ 8,\ 80$, וסכומן 152.

זה קשר חיובי חזק מאוד.

טעות נפוצה: לא לחלק את סכום המכפלות ב-5 ולקבל $r=\frac{152}{32}=4.75$ - ערך בלתי אפשרי למקדם מתאם.

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(16,30)$:

טעות נפוצה: לחשב $m=r\cdot\frac{S_x}{S_y}=0.2375$ ולקבל $y=0.2375x+26.2$. ביחס שבנוסחה, סטיית התקן של המשתנה שמנבאים ($y$) נמצאת במונה.

מספר העובדים הוא $x$. מציבים $x=17$:

הניבוי: פדיון של 33.8 אלף שקלים.

טעות נפוצה: להציב 17 במקום $y$ ולקבל $x=\frac{17+30.8}{3.8}\approx12.58$.

ירידה של 10% היא כפל כל פדיון ב-0.9. גם הממוצע וגם סטיית התקן מוכפלים ב-0.9.

I: סטיית התקן החדשה $0.9\cdot8\sqrt2=7.2\sqrt2\ne8\sqrt2$. ההיגד לא נכון.

II: כפל כל הערכים של $y$ בקבוע חיובי לא משנה את מקדם המתאם - הנקודות בדיאגרמת הפיזור רק "נדחסות" אנכית, והקשר הקווי נשאר באותה עוצמה. ההיגד נכון.

III: הממוצע החדש של הפדיון $0.9\cdot30=27$, ולכן נקודת הממוצעים החדשה $(16,27)$, והישר החדש עובר בה. ב-$x=16$ יש על הישר נקודה אחת בלבד, ולכן $(16,30)$ אינה על הישר. ההיגד לא נכון.

טעות נפוצה: לקבוע שהיגד II לא נכון כי "גם $r$ ירד ב-10%" ($r=0.855$). כפל בקבוע חיובי משנה את סטיית התקן ואת השיפוע, אבל לא את מקדם המתאם.

"בדיוק אחד" - שני מסלולים: עבר מתמטיקה ונכשל באנגלית, או נכשל במתמטיקה ועבר אנגלית:

טעות נפוצה: לכתוב את המסלול הראשון כ-$0.6p$ (עבר את שניהם) במקום $0.6(1-p)$, ולקבל $0.6p=0.18$, כלומר $p=0.3$.

התנאי: לא עבר אנגלית - שני מסלולים:

נסמן: $M$ - עבר מתמטיקה, $\bar E$ - לא עבר אנגלית.

החיתוך: עבר מתמטיקה ולא עבר אנגלית - $P(M\cap\bar E)=0.6\cdot0.3=0.18$.

טעות נפוצה: לענות $0.18$ (הסתברות החיתוך) בלי לחלק בהסתברות התנאי.

ההסתברות לקבל מלגה: $0.6\cdot0.7=0.42$, ולכן מספר מקבלי המלגה הוא $0.42N=\frac{21N}{50}$.

בבחירה ללא החזרה, בבחירה השנייה נשארו $\frac{21N}{50}-1$ מקבלי מלגה מתוך $N-1$ תלמידים:

בדיקה: 21 מקבלי מלגה מתוך 50, ו-$\frac{21}{50}\cdot\frac{20}{49}=\frac{420}{2450}=\frac{6}{35}$.

טעות נפוצה: לעדכן בבחירה השנייה רק את המונה ולהשאיר את המכנה $N$: $\frac{21}{50}\cdot\frac{21N/50-1}{N}=\frac{6}{35}$, ומכאן $N\approx84.5$ - לא מספר שלם של תלמידים.

$D(0,d)$. לפי $AD=\sqrt{50}$:

$d=1$ או $d=15$. שיעור ה-$y$ של $D$ קטן מ-8, ולכן $D(0,1)$.

טעות נפוצה: לבחור $d=15$ בלי לבדוק את התנאי, ולקבל $D(0,15)$.

האלכסונים בדלתון מאונכים. שיפוע $AC$:

ולכן $m_{BD}=2$. הישר דרך $D(0,1)$: $y=2x+1$.

טעות נפוצה: לקחת את השיפוע ההופכי בלי להחליף סימן, $m=-2$, ולקבל $y=-2x+1$. ישר מאונך: מכפלת השיפועים $-1$.

משוואת $AC$: $y-8=-\frac12(x-1)$, כלומר $y=-\frac12x+8.5$.

חיתוך עם $y=2x+1$:

טעות נפוצה: להניח ש-$E$ אמצע $AC$ ולקבל $(5,6)$. האלכסון $BD$ אינו חוצה את $AC$ בדלתון.

$\triangle ABC\cong\triangle ADC$ לפי צ.צ.צ ($AB=AD$, $CB=CD$, $AC$ משותפת), ולכן $\angle BAC=\angle DAC$.

$F$ על $AC$, ולכן $\angle BAF=\angle DAF$.

$AB=AD$, $\angle BAF=\angle DAF$, $AF$ משותפת, ולכן $\triangle ABF\cong\triangle ADF$ לפי צ.ז.צ.

טעות נפוצה: לנמק את החפיפה ב-$AB=AD$, $AF$ משותפת ו-$\angle ABF=\angle ADF$ - זווית שאינה בין שתי הצלעות (צ.צ.ז), וזה אינו משפט חפיפה.

במעוין $FBAD$ האלכסונים $AF$ ו-$BD$ חוצים זה את זה. $E$ היא אמצע $BD$ (האלכסון הראשי של הדלתון חוצה את האלכסון השני), ולכן צריך ש-$E$ תהיה גם אמצע $AF$:

$F$ על הקטע $EC$: $-\frac12\cdot5+8.5=6$ ו-$3<5<9$.

טעות נפוצה: לקחת את $F$ כאמצע $EC$, $(6,5.5)$. אז $E$ אינה אמצע $AF$ והמרובע אינו מעוין.

$B=2E-D=(6,13)$.

I: בודקים את שלוש הזוויות בעזרת שיפועים. $m_{AB}=\frac{13-8}{6-1}=1$, $m_{BC}=\frac{4-13}{9-6}=-3$, $m_{AC}=-\frac12$.

$m_{AB}\cdot m_{BC}=-3$, $m_{AB}\cdot m_{AC}=-\frac12$, $m_{BC}\cdot m_{AC}=\frac32$. אף מכפלה אינה $-1$, ולכן אין במשולש זווית ישרה. הטענה לא נכונה.

II: $\angle ADC=\angle ABC$ (חפיפת המשולשים $ABC$ ו-$ADC$), ו-$\angle ABC\neq90^\circ$, ולכן $\angle B+\angle D\neq180^\circ$. בזוג הזוויות הנגדיות השני, $\angle A+\angle C=360^\circ-2\angle B\neq180^\circ$. הדלתון אינו בר חסימה. הטענה לא נכונה.

טעות נפוצה: לקבוע ש-II נכונה כי "דלתון סימטרי ולכן חסום במעגל". הסימטריה נותנת רק $\angle B=\angle D$; כדי שהדלתון יהיה בר חסימה צריך גם $\angle B+\angle D=180^\circ$, כלומר זוויות ישרות.

$\angle ADB=90^\circ$ ($AD$ על ציר ה-$y$, $BD$ אופקי), וזווית היקפית ישרה נשענת על קוטר - לכן $AB$ קוטר.

$\angle CBD=\angle DAC$ - זוויות היקפיות על הקשת $CD$; $BE=AE$ נתון; $\angle BEC=\angle AED$ קודקודיות.

לכן $\triangle CBE\cong\triangle DAE$ (ז.צ.ז.).

טעות נפוצה: לנמק $\angle CBE=\angle DAE$ כ"זוויות מתחלפות". הן היו מתחלפות רק אילו $BC\parallel AD$ - וזה לא נתון (ולא נכון: $AD$ על ציר ה-$y$ ו-$BC$ משופע). השוויון נובע מזוויות היקפיות על הקשת $CD$.

ציר ה-$y$: $x=0$, $36+(y-8)^2=45$, $y-8=\pm3$: $A(0,11)$, $D(0,5)$.

$B$ על המעגל ועל $y=5$: $(x+6)^2=36$, $x=0$ (זו $D$) או $x=-12$: $B(-12,5)$.

$E(x,5)$ עם $BE=AE$: $(x+12)^2=x^2+6^2$, $24x+144=36$, $x=-4.5$: $E(-4.5,5)$.

טעות נפוצה: לקחת את $E$ כאמצע $BD$, $E(-6,5)$ - זה מרכז הקטע, ושם $AE\neq BE$.

הישר $AE$: $m=\frac{11-5}{0+4.5}=\frac43$, $y=\frac43x+11$.

מציבים במשוואת המעגל:

$x=0$ היא $A$, ולכן $x=-7.2$, $y=-9.6+11=1.4$.

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע ל-$\frac34$ ולקבל נקודה $(-10.56,\,3.08)$, שאינה על הישר $AE$.

$AB$ קוטר, ולכן $\angle ACB=90^\circ$ (זווית היקפית הנשענת על קוטר).

מהחפיפה: $BC=AD=6$ ו-$CE=DE=4.5$, ולכן $AC=AE+EC=7.5+4.5=12$.

טעות נפוצה: לכפול את $AB$ ב-$BC$ כאילו הזווית $B$ ישרה: $\frac{\sqrt{180}\cdot6}{2}\approx40.25$.

המכנה $x^2$ מתאפס רק ב-$x=0$, ולכן התחום: $x\neq0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>0$ - $x^2$ מתאפס רק ב-0, וגם ערכים שליליים מותרים.

ב-$x=0$ המכנה מתאפס והמונה שווה ל-$a\neq0$: אסימפטוטה אנכית $x=0$.

מעלות המונה והמכנה שוות (2), ולכן $f(x)\to\frac11=1$ כש-$x\to\pm\infty$: אסימפטוטה אופקית $y=1$.

טעות נפוצה: לעצור באסימפטוטה האנכית ולענות רק $x=0$ - כאן המעלות שוות, ולכן יש גם אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: לשכוח להכפיל במכנה, $21+a=3$, ולקבל $a=-18$.

$f(x)=\frac{x^2+4x+6}{x^2}$. בכלל המנה:

$f'(x)=0$ רק ב-$x=-3$. הסימן תלוי גם ב-$x^3$, שמחליף סימן ב-0:

$f(-3)=\frac{9-12+6}{9}=\frac13$. נקודת מינימום: $\left(-3,\frac13\right)$ - נקודת הקיצון היחידה.

טעות נפוצה: לצמצם את $x^3$ ל-$x^2$ (חיובי תמיד), לקבוע את הסימן רק לפי $-4(x+3)$ ולענות $\max\left(-3,\frac13\right)$.

אסימפטוטות $x=0$ ו-$y=1$; מינימום $\left(-3,\frac13\right)$; ירידה ב-$x<-3$ וב-$x>0$, עלייה ב-$-3<x<0$.

אין חיתוך עם ציר ה-$x$: $x^2+4x+6=0$ חסרת פתרון ($16-24<0$), ולכן $f(x)>0$ לכל $x$.

$f(x)-1=\frac{4x+6}{x^2}$: שלילי ב-$x<-1.5$ (הגרף מתחת לאסימפטוטה) וחיובי ב-$x>-1.5$.

טעות נפוצה: לסרטט את הענף השמאלי מתקרב ל-$y=1$ מלמעלה - כש-$x\to-\infty$ מתקיים $f(x)<1$.

$g'(x)=f(x)-\frac12$ - הזזה של גרף $f$ חצי יחידה למטה. האסימפטוטה האופקית עוברת ל-$y=\frac12$, והמינימום ל-$\left(-3,-\frac16\right)$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $f(x)=\frac12$:

בענף הימני $f(x)>1$, ולכן $g'(x)>\frac12>0$ - אין שם חיתוך.

טעות נפוצה: להזיז את הגרף חצי יחידה שמאלה (במקום למטה), כאילו $g'(x)=f(x+0.5)$.

$g'>0$ ב-$x<-6$, $g'<0$ ב-$-6<x<-2$, $g'>0$ ב-$-2<x<0$ וגם ב-$x>0$.

ב-$x=-6$: מחיובית לשלילית - מקסימום. ב-$x=-2$: משלילית לחיובית - מינימום. ($x=0$ מחוץ לתחום.)

טעות נפוצה: להפוך את הכלל ולקבוע מינימום ב-$x=-6$ ומקסימום ב-$x=-2$ - במעבר של $g'$ מחיובית לשלילית הפונקציה $g$ עוברת מעלייה לירידה, כלומר מקסימום.

אנכית: $x=1$. אופקית: השבר שואף ל-0, ולכן $y=-1$.

ציר ה-$x$: $\frac{a}{(x-1)^2}=1$, $(x-1)^2=a$, $x=1\pm\sqrt a$.