מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 7 מעל רמת בגרות

$\Phi(1.5)=0.9332$, ולכן ל-92 ציון תקן $1.5$.

$\Phi(-1)=1-0.8413=0.1587$, ולכן ל-72 ציון תקן $-1$.

מחסירים: $20=2.5\sigma$, ולכן $\sigma=8$, ו-$\mu=72+8=80$.

טעות נפוצה: לקחת ל-72 ציון תקן $+1$ (כי $0.8413$ בטבלה). אז $92=\mu+1.5\sigma$ ו-$72=\mu+\sigma$, ומתקבל $\sigma=40$, $\mu=32$. בדיקה: לפי זה 72 מעל הממוצע ויותר ממחצית הנבחנים מתחתיו - בסתירה ל-$15.87\%$. מתחת ל-72 פחות ממחצית הנבחנים, ולכן ציון התקן שלו שלילי.

ציון התקן של ציון הסף:

מתקבלים כל מי שמעל 82:

טעות נפוצה: לענות $\Phi(0.25)=59.87\%$. זה אחוז הנבחנים שמתחת לסף, כלומר אלה שלא התקבלו.

כל המצטיינים התקבלו: $10.56\%<40.13\%$, כלומר המצטיינים הם חלק מן המתקבלים.

הנבחנים שהתקבלו ואינם מצטיינים: $0.4013-0.1056=0.2957$.

ההסתברות המותנית - החיתוך חלקי התנאי:

טעות נפוצה: לענות $0.2957$, כלומר ההסתברות שנבחן כלשהו התקבל ואינו מצטיין. כאן ידוע שהנבחן התקבל, ולכן מחלקים באחוז המתקבלים.

סטיית התקן במבחן הנוסף: מעל 94 נמצאים $2.28\%$, ולכן $\Phi(z)=0.9772$ ו-$z=2$:

נסמן ב-$x$ את הציון של נדב במבחן הכניסה; במבחן הנוסף הציון שלו $x-3$. ציוני התקן שווים:

במבחן הכניסה 92, ובמבחן הנוסף 89 (ציון התקן בשניהם $1.5$).

טעות נפוצה: לכתוב את הציון במבחן הנוסף $x+3$ במקום $x-3$: $\frac{x-80}{8}=\frac{x+3-74}{10}$, $10x-800=8x-568$, ולקבל $x=116$ (ו-119 במבחן הנוסף). הציון במבחן הנוסף נמוך יותר, ולכן מחסירים 3.

$\bar x=4$, וכל ערך של $x$ רחוק 1 מהממוצע, ולכן $S_x=1$.

ב-$y$ הסטיות מ-20 מתקזזות: $-2t-t+t+t+t=0$, ולכן $\bar y=20$.

הסטיות של $y$ מהממוצע: $-2t,-t,0,0,0,t,t,t$. סכום הריבועים: $4t^2+t^2+t^2+t^2+t^2=8t^2$.

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולכתוב $S_y=t^2$ - זו השונות, לא סטיית התקן.

בדירות של 3 חדרים $x-\bar x=-1$, והסטיות של $y$ הן $-2t,-t,0,0$: סכום המכפלות $2t+t=3t$.

בדירות של 5 חדרים $x-\bar x=1$, והסטיות $0,t,t,t$: סכום המכפלות $3t$.

$t$ מצטמצם, ולכן $r=0.75$ לכל ערך של $t$.

טעות נפוצה: לשכוח את $n=8$ במכנה ולקבל $r=\frac{6t}{t}=6$ - מקדם מתאם תמיד בין $-1$ ל-1.

השיפוע: $m=r\cdot\frac{S_y}{S_x}=0.75\cdot\frac{t}{1}=0.75t$.

הישר עובר בנקודת הממוצעים $(4,20)$: $y=20+0.75t(x-4)$.

מציבים את הניבוי הנתון:

טעות נפוצה: להציב 4.5 במקום המרחק מהממוצע: $20+0.75t\cdot4.5=23$, ולקבל $t=\frac89$.

כל ערך חדש הוא $y'=1.25y-2$.

מקדם המתאם לא משתנה בהכפלה בקבוע חיובי ובהחסרת קבוע: $r=0.75$.

הממוצע עובר את אותה טרנספורמציה: $\bar y'=1.25\cdot20-2=23$.

סטיית התקן מושפעת רק מההכפלה: $S_{y'}=1.25\cdot8=10$ (עם $t=8$, $S_y=8$).

(בדיקה: $1.25(6x-4)-2=7.5x-7$ - כל ניבוי עובר את אותה טרנספורמציה.)

טעות נפוצה: להחסיר את 2 הדקות גם מסטיית התקן, $S_{y'}=8$, ולקבל שיפוע 6 וישר $y=6x-1$.

בכל הוצאה: כחול $\frac{4}{n+4}$, אדום $\frac{n}{n+4}$. "אותו צבע" = שני כחולים או שני אדומים:

טעות נפוצה: לכתוב את המכנה $n^2+16$ במקום $(n+4)^2$ (פתיחת סוגריים בלי האיבר האמצעי), ולקבל שההסתברות היא 1 לכל $n$ - כאילו אי אפשר לקבל שני צבעים שונים.

"צבעים שונים" - כחול ואחריו אדום או אדום ואחריו כחול:

שני הפתרונות שלמים וחיוביים, ולכן שתי האפשרויות תקפות (בדיקה: $\frac{8}{25}=0.32$ ו-$\frac{128}{400}=0.32$).

טעות נפוצה: לשכוח את הכפל ב-2 (שני סדרים), לפתור $\frac{4n}{(n+4)^2}=0.32$, כלומר $n^2-4.5n+16=0$, ולקבל "אין פתרון" (הדיסקרימיננטה שלילית).

צריך להראות ש-$\frac{16+n^2}{(n+4)^2}\ge\frac12$. המכנה חיובי, ולכן אפשר לכפול בו:

הטענה האחרונה נכונה לכל $n$, ולכן ההסתברות לאותו צבע היא תמיד לפחות 0.5.

שוויון מתקיים רק כאשר $(n-4)^2=0$, כלומר $n=4$ - כשיש בכד מספר שווה של כדורים מכל צבע.

טעות נפוצה: לבדוק רק את שני הערכים מסעיף ב ($n=1$ ו-$n=16$, שבהם ההסתברות 0.68) ולהסיק מהם על כל $n$; בדיקה של מקרים אינה הוכחה, והיא גם לא מגלה את מקרה השוויון $n=4$.

לפי סעיף ב, יותר אדומים מכחולים פירושו $n=16$, ולכן לפני ההוספה יש בכד 20 כדורים. אחרי ההוספה יש $20+k$ כדורים, ומהם 20 אינם ירוקים.

טעות נפוצה: לבלבל "לפחות ירוק אחד" עם "שני ירוקים" ולפתור $\left(\frac{k}{20+k}\right)^2=0.36$, כלומר $k=30$.

$\angle EOA$ ו-$\angle ECA$ הן זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת $EA$, ולכן הן שוות.

$A$ נמצאת על הקרן $OB$, ולכן $\angle EOA=\angle EOB$. $E$ נמצאת על הקטע $CB$, ולכן $\angle ECA=\angle BCA$ ו-$\angle EBO=\angle CBA$.

במשולש $ACB$ שתי זוויות שוות ($\angle ACB=\angle ABC$), ולכן הצלעות שמולן שוות: מול $\angle ABC$ נמצאת $AC$ ומול $\angle ACB$ נמצאת $AB$. לכן $AC=AB$.

טעות נפוצה: להסיק מהשוויון $\angle ACB=\angle ABC$ ש-$AC=BC$. הזוויות השוות נמצאות ב-$C$ וב-$B$, ולכן השוקיים הם הצלעות שמולן - $AB$ ו-$AC$ - והבסיס הוא $CB$.

לפי סעיף א $AB=13$, ו-$B$ מימין ל-$A$ על ציר ה-$x$:

טעות נפוצה: למדוד את 13 מראשית הצירים ולקבל $B(13,0)$.

הצירים מאונכים זה לזה, ולכן $\angle COA=90^\circ$.

$O$ נמצאת על המעגל, ולכן $\angle COA$ היא זווית היקפית. זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר, ולכן $AC$ הוא קוטר במעגל.

טעות נפוצה: לחשוב שהזווית הישרה ב-$O$ היא זווית מרכזית, ולהסיק ש-$O$ הוא מרכז המעגל. $O$ נמצאת על המעגל עצמו, ולכן הזווית ב-$O$ היקפית - והמרכז הוא אמצע $AC$.

המרכז הוא אמצע הקוטר $AC$:

$R=\frac{13}{2}=6.5$, ולכן $R^2=42.25$:

טעות נפוצה: להציב את הקוטר 13 כרדיוס ולכתוב $(x-2.5)^2+(y-6)^2=169$.

משוואת $CB$ דרך $C(0,12)$ ו-$B(18,0)$: $m=\frac{0-12}{18}=-\frac23$, ולכן $y=-\frac23x+12$.

מציבים $y=6$: $6=-\frac23x+12$, ומכאן $x=9$, כלומר $E(9,6)$.

$S_{COB}$: בסיס $OB=18$ וגובה $OC=12$:

$S_{AEB}$: בסיס $AB=13$ על ציר ה-$x$, והגובה הוא שיעור ה-$y$ של $E$, 6:

טעות נפוצה: לקחת במשולש $AEB$ את $OB=18$ כבסיס, $S_{AEB}=\frac{18\cdot6}{2}=54$, ולקבל פי 2. הבסיס של $AEB$ הוא $AB$, מ-$A$ ולא מהראשית.

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\tan\angle EOB=\frac96$, ולקבל $56.31^\circ$.

$R=MC=-9-(-24)=15$, ולכן $(x+9)^2+y^2=225$.

הישר $CA$: שיפוע $\frac13$ דרך $C(-24,0)$, כלומר $y=\frac{x+24}{3}$. מציבים במשוואת המעגל:

$(x+24)(x-3)=0$. $x=-24$ היא הנקודה $C$, ולכן $x=3$, $y=\frac{27}{3}=9$: $A(3,9)$.

טעות נפוצה: לכתוב את המרכז עם סימן הפוך, $(x-9)^2+y^2=225$, ולקבל מהחיתוך עם $CA$ את הנקודה $A\approx(15.92,\,13.31)$ - שאינה על המעגל הנכון.

הצלע $AB$ עוברת דרך $O$ ו-$A(3,9)$, ולכן היא על הישר $y=3x$:

$x=-4.8$, $y=-14.4$: $B(-4.8,-14.4)$.

זווית הנטייה של $y=3x$: $\tan\alpha=3$, $\alpha\approx71.57^\circ$, ולכן $\angle AOC=180^\circ-71.57^\circ=108.43^\circ$.

טעות נפוצה: לענות $\angle AOC\approx71.57^\circ$ - זו הזווית עם החלק החיובי של ציר ה-$x$, לא עם $OC$.

$O$ על $AB$, והבסיס המשותף $CO=24$:

טעות נפוצה: לחשב רק את המשולש $ACO$ ולקבל 108.

הישר דרך $C$ המקביל ל-$AB$: שיפוע 3, $y=3(x+24)$. מציבים במשוואת המעגל:

$x=-24$ היא $C$, ולכן $x=-21$, $y=9$: $D(-21,9)$.

$AB\parallel CD$ ו-$AB\ne CD$ ($AB=\sqrt{608.4}\approx24.67$, $CD=\sqrt{90}\approx9.49$), ולכן $ABCD$ טרפז (הבסיסים $AB$ ו-$CD$, השוקיים $BC$ ו-$DA$). טרפז החסום במעגל הוא שווה שוקיים. בדיקה: $DA=3-(-21)=24$, $BC=\sqrt{19.2^2+14.4^2}=24$.

טעות נפוצה: לכתוב את הישר המקביל דרך $C$ כ-$y=3(x-24)$ (טעות בסימן). הישר הזה אינו חותך את המעגל, ומסיקים בטעות שאין נקודה $D$ כזו.

המכנה $x^2-2x=x(x-2)$ מתאפס ב-$x=0$ וב-$x=2$, והמונה 3 אינו מתאפס - ולכן $x=0$ ו-$x=2$ אסימפטוטות אנכיות, ו-$y=2$ היא האסימפטוטה האופקית.

מעלת המונה (0) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן $\frac{3}{x^2-2x}\to0$ כש-$x\to\pm\infty$, ו-$f(x)\to b$. לכן $b=2$.

טעות נפוצה: לחשוב שהשבר שואף למונה 3 ("המקדם שבמונה"), לכתוב $3+b=2$ ולקבל $b=-1$.

המכנה צריך להיות שונה מ-0: $x^2-2x=x(x-2)\neq0$, כלומר $x\neq0$ וגם $x\neq2$.

טעות נפוצה: לפסול רק את $x=0$ (בלי לפרק את המכנה לגורמים) ולכתוב תחום $x\neq0$ - שוכחים את $x=2$.

גוזרים את השבר בכלל המנה (הנגזרת של המונה הקבוע 3 היא 0, והנגזרת של 2 היא 0):

$f'(x)=0$ כש-$x=1$ (בתחום). המכנה של $f'$ חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $-(x-1)$:

נקודת מקסימום: $(1,-1)$.

טעות נפוצה: להחליף את סדר האיברים במונה של כלל המנה ולקבל $f'(x)=\frac{6(x-1)}{(x^2-2x)^2}$; אז הסימנים הפוכים ומתקבל "מינימום ב-$(1,-1)$".

מרכזים את הנתונים: אסימפטוטות $x=0$, $x=2$ ו-$y=2$; מקסימום $(1,-1)$; עלייה ב-$x<0$ וב-$0<x<1$, ירידה ב-$1<x<2$ וב-$x>2$.

סימן השבר: $x^2-2x>0$ כש-$x<0$ או $x>2$ - שם $f>2$; ו-$x^2-2x<0$ כש-$0<x<2$ - שם השבר שלילי ו-$f$ שואפת ל-$-\infty$ ליד שתי האסימפטוטות.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $\frac{3}{x^2-2x}=-2$, כלומר $2x^2-4x+3=0$ - דיסקרימיננטה $16-24<0$, אין פתרון. אין חיתוך עם ציר ה-$y$ ($x=0$ לא בתחום).

הגרף לא חוצה את $y=2$, כי השבר $\frac{3}{x^2-2x}$ אף פעם אינו 0.

טעות נפוצה: לסרטט את הענף האמצעי מעל $y=2$, כמו שני הענפים החיצוניים - אבל ב-$0<x<2$ המכנה שלילי, ולכן שם $f(x)<2$ (והמקסימום שלו $-1$).

$g$ היא מתיחה אנכית פי 4 של $f$: $g'(x)=4f'(x)$ מתאפסת ומחליפה סימן באותו מקום ובאותו כיוון. לכן מקסימום ב-$x=1$, ו-$g(1)=4\cdot(-1)=-4$.

טעות נפוצה: לבלבל בין מתיחה להזזה ולחשוב ש-$g(x)=f(x)+4$, ולקבל מקסימום $(1,3)$.