מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 8 מעל רמת בגרות

ציון התקן של 66 במבחן הראשון:

בטבלה יש רק ציוני תקן חיוביים. לפי הסימטריה, השטח משמאל ל-$-0.75$ שווה לשטח מימין ל-$0.75$:

כלומר 22.66% מהתלמידים קיבלו ציון נמוך מזה של יואב.

טעות נפוצה: לקרוא $\Phi(0.75)=0.7734$ ולענות 77.34%, בלי לשים לב שציון התקן שלילי (יואב מתחת לממוצע).

אותו אחוז מתחת לציון - אותו ציון תקן, ולכן גם במבחן השני $Z=-0.75$.

בדיקה: הממוצע גבוה מ-61, כמו שצריך לציון תקן שלילי.

טעות נפוצה: להשמיט את הסימן של ציון התקן ולחשב $\mu_2=61-7.5=53.5$ - אז יואב היה מעל הממוצע, בניגוד לסעיף א.

ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן חצי מהציונים מתחת לממוצע וחצי מעליו.

לכן החציון שווה לממוצע: 68.5.

טעות נפוצה: לבלבל בין השטח 0.5 לבין ציון התקן 0.5 ולחשב $68.5+0.5\cdot10=73.5$. לחציון מתאים $Z=0$.

40.13% מעליה, ולכן $100\%-40.13\%=59.87\%$ מתחתיה - זה השטח משמאל שהטבלה עובדת איתו.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.4013 עצמו, לקבל $Z=-0.25$ ולענות $72-2=70$.

משווים ציוני תקן. במבחן הראשון: $Z_1=0.25$.

במבחן השני (ממוצע 68.5, סטיית תקן 10):

$Z_2>Z_1$, ולכן יחסית לשאר התלמידים נועה הצליחה יותר במבחן השני - שם הציון 74 רחוק יותר מעל הממוצע, ביחידות של סטיית תקן.

טעות נפוצה: לענות שההצלחה זהה כי הציון זהה. ציון גולמי שווה בשתי אוכלוסיות עם ממוצעים שונים אינו אותו מיקום יחסי.

בלי $m$, הנקודות $(1,4),(2,7),(4,13),(5,16)$ נמצאות על הישר $y=3x+1$. $r=1$ רק אם גם $(3,m)$ על הישר: $m=3\cdot3+1=10$.

לכל $m$: $\bar x=3$, והמונה בנוסחת $r$ הוא $\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=\sum(x_i-\bar x)y_i$ (כי $\sum(x_i-\bar x)=0$).

האיבר של $m$ מוכפל ב-$x-\bar x=3-3=0$, ולכן הוא נעלם:

המכנה חיובי, ולכן $r>0$ לכל $m$. כש-$m\neq10$ הנקודות אינן על ישר אחד, ולכן $r\neq1$, כלומר $0<r<1$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$m$ גדול מאוד או קטן מאוד "הורס" את הקשר החיובי, ולענות ש-$r>0$ רק כאשר $7<m<13$. $m$ משנה את עוצמת הקשר, אבל לא את סימנו.

$\bar x=\frac{3+4+5+6+7}{5}=5$.

ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים, ולכן:

סכום ערכי $y$ הוא $5\cdot18=90$:

טעות נפוצה: להניח שהנקודה $(5,k)$ עצמה נמצאת על ישר הרגרסיה ולקבל $k=3.2\cdot5+2=18$. רק נקודת הממוצעים מובטחת על הישר, לא נקודות הטבלה.

$\bar x=5$, $\bar y=18$. סטיות מהממוצע:

$x_i-\bar x$: $-2,-1,0,1,2$; $y_i-\bar y$: $-8,-3,4,1,6$.

בדיקה: השיפוע $\frac{32}{10}=3.2$ מתאים לישר הנתון.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש במכנה, $r=\frac{32}{1260}\approx0.025$ - קשר כמעט אפסי, בסתירה למגמה העולה בטבלה.

כל $x$ גדל ב-1, וכל $y$ גדל ב-4. כל הנקודות זזות באותו וקטור $(1,4)$.

הזזה לא משנה את הפיזור סביב הממוצע: סטיות התקן ומקדם המתאם לא משתנים, ולכן גם השיפוע $r\cdot\frac{s_y}{s_x}=3.2$ נשאר.

נקודת הממוצעים החדשה: $(5+1,\ 18+4)=(6,22)$:

הישר החדש: $y=3.2x+2.8$, ו-$r\approx0.901$ כמו קודם.

טעות נפוצה: להוסיף 4 רק לאיבר החופשי ולקבל $y=3.2x+6$. גם $x$ זז, ולכן צריך לחשב את $b$ מחדש מנקודת הממוצעים החדשה.

בהוצאה הראשונה: $P(\text{לבנה})=\frac46$, $P(\text{שחורה})=\frac26$.

אחרי לבנה (מוחזרת) השקית שוב 4 לבנות ו-2 שחורות. אחרי שחורה (לא מוחזרת) נשארות 4 לבנות ושחורה אחת - 5 גולות.

טעות נפוצה: לא לעדכן את השקית אחרי שחורה, $\frac26\cdot\frac46=\frac29$, ולקבל $\frac29+\frac29=\frac49$.

המשלים של "לכל היותר שחורה אחת" הוא "שתי שחורות":

טעות נפוצה: לחשב שתי שחורות כאילו הראשונה הוחזרה, $\frac26\cdot\frac26=\frac19$, ולקבל $\frac89$.

ענף A (יואב): $\frac{22}{45}$ (סעיף א).

ענף B (נועה, בלי החזרה) - שני סדרים:

טעות נפוצה: לחשב את השיטה של נועה כאילו היא עם החזרה, $2\cdot\frac46\cdot\frac26=\frac49$, ולקבל $\frac12\cdot\frac{22}{45}+\frac12\cdot\frac{20}{45}=\frac{7}{15}$.

"ראשונה שחורה וגם שונות" = שחורה ואז לבנה, בשני הענפים:

ענף A: $\frac26\cdot\frac45=\frac{4}{15}$. ענף B: $\frac26\cdot\frac45=\frac4{15}$.

טעות נפוצה: לקחת במונה רק את המסלול של יואב, $\frac12\cdot\frac4{15}=\frac{6}{45}$, ולקבל $\frac{6}{23}$.

$x=0$ נותן $A(0,3)$; $y=0$ נותן $E(1,0)$.

$\angle AOE=90^\circ$, $\angle CBE=90^\circ$ (זווית של מלבן), $\angle AEO=\angle CEB$ (קודקודיות), ולכן $\triangle AOE\sim\triangle CBE$ בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $O\leftrightarrow B$.

טעות נפוצה: להחליף בין החיתוכים ולקבל $A(0,1)$ ו-$E(3,0)$ - מציבים $x=0$ כדי למצוא את החיתוך עם ציר ה-$y$, ו-$y=0$ לחיתוך עם ציר ה-$x$.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון, ולכן יחס הדמיון הוא $\sqrt{10}$:

$AE=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$, ולכן $CE=\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}=10$.

$C$ על החלק החיובי של ציר ה-$x$, מימין ל-$E$: $C(1+10,0)=C(11,0)$.

טעות נפוצה: לקחת את יחס השטחים כיחס הדמיון, $CE=10\cdot AE=10\sqrt{10}$, ולקבל $C(1+10\sqrt{10},0)\approx(32.6,0)$.

$CB\perp AB$, ולכן השיפוע של $CB$ הוא $\frac13$, והוא עובר דרך $C(11,0)$: $y=\frac13(x-11)$.

$B$ היא החיתוך עם $AB$:

אלכסוני המלבן חוצים זה את זה, ולכן $A+C=B+D$:

טעות נפוצה: לבנות את $D$ מהאלכסון הלא נכון, $D=B+C-A=(13,-6)$ - כך מתקבל מרובע שבו $A$ ו-$D$ אינם קודקודים סמוכים.

מהדמיון $\angle ECB=\angle EAO$, ו-$\tan\angle EAO=\frac{OE}{OA}=\frac13$. במשולש ישר הזווית $CBE$:

בריבוע $AB=BC$, ו-$AB=AE+EB$:

(בדיקה: $B$ היא החיתוך של $AB$ עם $y=\frac13(x-6)$, כלומר $B(1.5,-1.5)$, ו-$AB=BC=\sqrt{22.5}$.)

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב $BE=3BC$; אז $AE+3BC=BC$ נותן אורך שלילי, והמסקנה השגויה היא שאין ריבוע כזה.

$BA=BC$ - קטעי משיקים למעגל מנקודה אחת שווים.

$OA=OC$ - רדיוסים.

הנקודה $B$ שווה מרחק מ-$A$ ומ-$C$, ולכן היא על האנך האמצעי של $AC$; גם $O$ שווה מרחק מ-$A$ ומ-$C$, ולכן גם היא על האנך האמצעי. דרך שתי נקודות עובר ישר אחד, ולכן הישר $OB$ הוא האנך האמצעי של $AC$:

(בדרך אחרת: $\triangle OAB\cong\triangle OCB$ לפי צ.צ.צ., ולכן $OB$ חוצה את $\angle AOC$, ובמשולש שווה השוקיים $AOC$ חוצה זווית הראש מאונך לבסיס.)

טעות נפוצה: לנמק רק ב-$BA=BC$ ("$B$ על האנך האמצעי ולכן $OB\perp AC$") - נקודה אחת לא קובעת את האנך האמצעי; צריך גם את $OA=OC$.

$\angle OAB=90^\circ$ - משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

מסעיף א: $\angle OKA=\angle AKB=90^\circ$.

במשולש $OAK$: $\angle AOK=90^\circ-\angle OAK$.

מהזווית הישרה ב-$A$: $\angle KAB=90^\circ-\angle OAK$.

לכן $\angle AOK=\angle KAB$, ויחד עם $\angle OKA=\angle AKB=90^\circ$ המשולשים $OAK$ ו-$ABK$ דומים (ז.ז.), בהתאמה $O\leftrightarrow A$, $A\leftrightarrow B$, $K\leftrightarrow K$.

טעות נפוצה: להתאים את הקודקודים לפי סדר הכתיבה בלי לבדוק את הזוויות ($O\leftrightarrow B$), ולכתוב יחס דמיון שגוי כמו $\frac{OK}{BK}=\frac{AK}{AK}$, שממנו יוצא $OK=BK$.

מהדמיון בסעיף ב:

טעות נפוצה: להכפיל את $OK$ בכל האלכסון $OB=20$ במקום ב-$KB$: $AK^2=100$ ו-$AK=10$.

במשולש ישר הזווית $OKA$:

טעות נפוצה: לטעות בסימני המרכז ולכתוב $(x+3)^2+(y-1)^2=100$.

$OA=OC=10$.

$BC=AB$ (קטעי משיקים).

טעות נפוצה: לחשב $AB^2=OA^2+OB^2=100+400=500$ כאילו $AB$ יתר במשולש $OAB$, ולקבל היקף $20+20\sqrt5\approx64.72$.

$f'(x)=0$ ב-$x=4$. ל-$-4<x<4$: $f'>0$ (כי $a>0$); ל-$x>4$: $f'<0$. מקסימום.

$f(4)=\frac{4a}{64}=\frac{a}{16}$.

טעות נפוצה: לחשב $f(4)=\frac{4a}{8^2}$ כ-$\frac{a}{2}$ (לשכוח את הריבוע במכנה), ולקבל $\max\left(4,\frac a2\right)$.

ענף שמאלי ($x<-4$): $f$ יורדת מ-0 ל-$-\infty$ - מקבלת כל $m<0$ פעם אחת.

ענף ימני: עולה מ-$-\infty$ ל-$\frac{a}{16}$ (ב-$x=4$), ואז יורדת ושואפת ל-0 מלמעלה.

ספירה: $m<0$ - פעם בכל ענף (2); $m=0$ - רק $x=0$ (1); $0<m<\frac a{16}$ - פעמיים בענף הימני (2); $m=\frac a{16}$ - פעם (1); $m>\frac a{16}$ - אף פעם.

בדיוק שני פתרונות: $m<0$ או $0<m<\frac{a}{16}$.

טעות נפוצה: לשכוח את הענף השמאלי ולענות רק $0<m<\frac{a}{16}$. גם כל ערך שלילי מתקבל פעמיים - פעם בכל ענף.

$g(x)=\frac a{16}$ פירושו $f(x)=\frac{a}{16}-1$. נסמן $m=\frac a{16}-1$; תמיד $m<\frac a{16}$.

לפי סעיף ב: אם $m<0$, כלומר $a<16$ - שני פתרונות; אם $0<m<\frac a{16}$, כלומר $a>16$ - שני פתרונות.

אם $m=0$, כלומר $a=16$ - פתרון אחד ($x=0$).

טעות נפוצה: לענות "תמיד נקודה אחת, כי $y=\frac a{16}$ משיק במקסימום". המשיק הוא לגרף $f$; גרף $g$ מוזז ביחידה למעלה.

$f'(0)=\frac{4a}{64}=\frac{a}{16}$, והמשיק בראשית: $y=\frac{a}{16}x$.

בנקודת המקסימום המשיק אופקי: $y=\frac a{16}$.

חיתוך: $\frac{a}{16}x=\frac{a}{16}$, ומכיוון ש-$a\neq0$: $x=1$ - לכל $a$.

טעות נפוצה: לחשב $f'(0)$ מהצבה ב-$f$ עצמה, $f(0)=0$, ולקבל משיק $y=0$ - ואז "המשיקים מקבילים ולא נחתכים".

השורש במכנה, ולכן הביטוי שבתוכו חיובי ממש:

טעות נפוצה: לפתור את אי-השוויון כמו $x^2<1$ ולקבל $-1<x<1$ - שם הביטוי בשורש שלילי.

כש-$x\to1^+$ או $x\to-1^-$ המכנה שואף ל-0 (חיובי) והמונה שואף ל-1, ולכן $f(x)\to+\infty$: אסימפטוטות $x=1$, $x=-1$.

כש-$x\to\pm\infty$: $\sqrt{x^2-1}$ מתנהג כמו $|x|$, ולכן $f(x)$ מתנהגת כמו $\frac{x^2}{|x|}=|x|\to\infty$. אין אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: "המעלה במונה 2 ובמכנה 2 (בתוך השורש)" ולכן $y=1$ - אבל השורש מוריד את המעלה במכנה ל-1, והפונקציה שואפת לאינסוף.

ציר ה-$y$: $x=0$ אינו בתחום, ולכן אין חיתוך.

ציר ה-$x$: $f(x)=0$ רק כש-$x^2=0$, כלומר $x=0$ - שאינו בתחום. אין חיתוך.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ במונה בלבד ולענות $(0,0)$ - אבל $\sqrt{0-1}$ אינו מוגדר.

התחום ($x<-1$ או $x>1$) סימטרי סביב 0.

טעות נפוצה: לכתוב $(-x)^2=-x^2$ ולקבל $f(-x)=\frac{-x^2}{\sqrt{-x^2-1}}$ - ביטוי לא מוגדר - ולהסיק שהפונקציה אינה זוגית.

נגזרת של מנה, עם $\left(\sqrt{x^2-1}\right)'=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$:

$f'(x)=0$: $x=0$ (לא בתחום) או $x^2=2$, כלומר $x=\pm\sqrt2$.

ב-$x>1$: ב-$1<x<\sqrt2$ $f'<0$ (יורדת), וב-$x>\sqrt2$ $f'>0$ (עולה) - מינימום ב-$x=\sqrt2$: $f(\sqrt2)=\frac{2}{1}=2$.

ב-$x<-1$ (זוגיות, או בדיקת סימן): ב-$x<-\sqrt2$ יורדת, ב-$-\sqrt2<x<-1$ עולה - מינימום $(-\sqrt2,2)$.

טעות נפוצה: לקחת גם את $x=0$, אפס של הנגזרת שאינו בתחום, ולהוסיף "מקסימום $(0,0)$".