מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך - שאלון 471

4 יח"ל · שאלון 035471 · 7 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

כאן תמצאו את המבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך בשאלון 471, כל 7 השאלות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · התפלגות נורמלית: השוואת הישגים בריצה ובקפיצה

ביום ספורט בבית ספר מסוים נמצא כי ההישגים בקפיצה למרחק וההישגים בריצת מאה מטר מתפלגים נורמלית.
יוסי קפץ למרחק 4.9 מטר. ההישג הממוצע בקפיצה למרחק היה 4.6 מטר וסטיית התקן 0.7 מטר.
יוסי רץ מאה מטר ב-11.8 שניות. ההישג הממוצע בריצת מאה מטר היה 12.6 שניות וסטיית התקן 1.1 שניות.

א.

בתחרות ריצה ככל שזמן הריצה קטן יותר, ההישג טוב יותר. מהו אחוז התלמידים בבית ספר שהישגיהם בריצה טובים פחות מההישג של יוסי?

ב.

יוסי יכול לייצג את בית ספרו בתחרות הארצית במקצוע אחד בלבד.
האם כדאי שיוסי יתחרה בקפיצה למרחק או בריצת מאה מטר? נמק.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

76.73%76.73\%76.73%

בריצה הישג "טוב פחות" מזה של יוסי הוא זמן ארוך יותר מ-11.8 שניות, ולכן מחפשים את P(X>11.8)P(X>11.8)P(X>11.8).
ציון התקן של זמן הריצה של יוסי:
z=11.8−12.61.1≈−0.73z=\frac{11.8-12.6}{1.1}\approx-0.73z=1.111.8−12.6​≈−0.73
מהטבלה: Φ(−0.73)=0.2327\Phi(-0.73)=0.2327Φ(−0.73)=0.2327 - זה אחוז התלמידים שרצו מהר יותר מיוסי.
P(X>11.8)=1−0.2327=0.7673P(X>11.8)=1-0.2327=0.7673P(X>11.8)=1−0.2327=0.7673
כ-76.73%76.73\%76.73% מהתלמידים השיגו בריצה הישג טוב פחות מזה של יוסי.
טעות נפוצה: לקרוא מהטבלה את Φ(−0.73)\Phi(-0.73)Φ(−0.73) ולענות 23.27%23.27\%23.27% - זה אחוז התלמידים שרצו מהר יותר מיוסי, כלומר שהישגם טוב יותר.

סעיף ב

תשובה:

כדאי שיתחרה בריצת מאה מטר

משווים את המיקום היחסי של יוסי בשני המקצועות.
קפיצה: ציון התקן
z=4.9−4.60.7≈0.43z=\frac{4.9-4.6}{0.7}\approx0.43z=0.74.9−4.6​≈0.43
Φ(0.43)=0.6664\Phi(0.43)=0.6664Φ(0.43)=0.6664: יוסי קפץ רחוק יותר מ-66.64%66.64\%66.64% מהתלמידים, כלומר הישגו טוב מזה של 66.64%66.64\%66.64% מהם.
ריצה: מסעיף א, הישגו טוב מזה של 76.73%76.73\%76.73% מהתלמידים.
76.73%>66.64%76.73\%>66.64\%76.73%>66.64%, ולכן יחסית לתלמידי בית הספר ההישג של יוסי בריצה טוב יותר - כדאי שיתחרה בריצת מאה מטר.
טעות נפוצה: להשוות את ציוני התקן כמו שהם - 0.43>−0.730.43>-0.730.43>−0.73 - ולהסיק שכדאי לו להתחרות בקפיצה. בריצה ציון תקן שלילי הוא הישג טוב, כי זמן קצר מהממוצע.

שאלה 2 · הסתברות: מבחן של שלושה תרגילים, עובר בשניים לפחות

במכללה מסוימת הסטודנטים למחשבים נבחנים בסוף השנה במבחן באלגברה וגאומטריה.
במבחן יש שני תרגילים באלגברה ותרגיל אחד בגאומטריה.
נבחן מקבל בכל תרגיל במבחן ציון עובר או ציון נכשל.
כדי לקבל ציון עובר במבחן כולו על הנבחן לקבל ציון עובר בשני תרגילים לפחות מבין השלושה.
ההסתברות שסטודנט יקבל ציון עובר באלגברה היא 0.6,
וההסתברות שסטודנט יקבל ציון עובר בגאומטריה היא 0.8.
ההסתברויות לקבל ציון עובר או נכשל בתרגילים השונים אינן תלויות זו בזו.

א(1).

מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשלושת התרגילים במבחן?

א(2).

מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר בשני תרגילים במבחן וציון נכשל בתרגיל אחד?

א(3).

מהי ההסתברות שנבחן יקבל ציון עובר במבחן כולו?

ב.

ידוע כי נבחן קיבל ציון עובר במבחן כולו.
מהי ההסתברות שהנבחן קיבל ציון עובר בשני התרגילים באלגברה וציון נכשל בתרגיל בגאומטריה?

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א(1)

תשובה:

0.288

ההסתברות 0.6 היא לעבור כל אחד משני תרגילי האלגברה, וההסתברויות אינן תלויות, ולכן כופלים:
P=0.6⋅0.6⋅0.8=0.288P=0.6\cdot0.6\cdot0.8=0.288P=0.6⋅0.6⋅0.8=0.288
טעות נפוצה: להתייחס לאלגברה כאל תרגיל אחד ולחשב 0.6⋅0.8=0.480.6\cdot0.8=0.480.6⋅0.8=0.48.

סעיף א(2)

תשובה:

0.456

התרגיל שבו הנבחן נכשל יכול להיות התרגיל בגאומטריה או אחד משני התרגילים באלגברה:
נכשל בגאומטריה: 0.6⋅0.6⋅0.2=0.0720.6\cdot0.6\cdot0.2=0.0720.6⋅0.6⋅0.2=0.072.
נכשל באחד מתרגילי האלגברה (שתי אפשרויות - הראשון או השני): 2⋅0.6⋅0.4⋅0.8=0.3842\cdot0.6\cdot0.4\cdot0.8=0.3842⋅0.6⋅0.4⋅0.8=0.384.
P=0.072+0.384=0.456P=0.072+0.384=0.456P=0.072+0.384=0.456
טעות נפוצה: לספור רק סדר אחד של כישלון באלגברה, 0.072+0.6⋅0.4⋅0.8=0.2640.072+0.6\cdot0.4\cdot0.8=0.2640.072+0.6⋅0.4⋅0.8=0.264.

סעיף א(3)

תשובה:

0.744

עובר במבחן = עובר בשני תרגילים בדיוק או בשלושתם (מאורעות זרים):
P=0.288+0.456=0.744P=0.288+0.456=0.744P=0.288+0.456=0.744
טעות נפוצה: לחשב את המשלים של "נכשל בכל התרגילים", 1−0.4⋅0.4⋅0.2=0.9681-0.4\cdot0.4\cdot0.2=0.9681−0.4⋅0.4⋅0.2=0.968 - זו ההסתברות לעבור תרגיל אחד לפחות, לא שניים.

סעיף ב

תשובה:

331≈0.097\frac{3}{31}\approx0.097313​≈0.097

זו הסתברות מותנית - התנאי הוא "עבר במבחן":
P(A∣B)=P(A∩B)P(B)P(\text{A}\mid\text{B})=\frac{P(\text{A}\cap\text{B})}{P(\text{B})}P(A∣B)=P(B)P(A∩B)​
מי שעבר בשני תרגילי האלגברה עבר את המבחן, ולכן החיתוך הוא פשוט 0.6⋅0.6⋅0.2=0.0720.6\cdot0.6\cdot0.2=0.0720.6⋅0.6⋅0.2=0.072.
P=0.0720.744=331≈0.097P=\frac{0.072}{0.744}=\frac{3}{31}\approx0.097P=0.7440.072​=313​≈0.097
טעות נפוצה: לחלק בהסתברות לעבור בדיוק שני תרגילים (0.456) במקום בהסתברות לעבור את המבחן, ולקבל 0.0720.456≈0.158\frac{0.072}{0.456}\approx0.1580.4560.072​≈0.158.

שאלה 3 · טרפז במערכת צירים: אלכסון חוצה זווית ודמיון משולשים

בטרפז ABCDABCDABCD (CD∥ABCD\parallel ABCD∥AB) האלכסון DBDBDB חוצה את הזווית ADCADCADC.
אלכסוני הטרפז נפגשים בנקודה EEE.
נסמן: ∠ADB=α\angle ADB=\alpha∠ADB=α.
ABCDE

א(1).

הוכח: AB=ADAB=ADAB=AD.

א(2).

הוכח: המשולשים AEBAEBAEB ו-CEDCEDCED דומים.

נתון: A(0,3)A(0,3)A(0,3), D(−4,0)D(-4,0)D(−4,0), האלכסון BDBDBD נמצא על ציר ה-xxx, הצלע BCBCBC מאונכת לציר ה-xxx והנקודה CCC נמצאת ברביע הרביעי (ראה ציור).

ב.

מצא את שיעורי הנקודות BBB ו-CCC.

ג.

חשב את יחס השטחים של המשולשים CEDCEDCED ו-AEBAEBAEB.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א(1)

תשובה:

הוכחה: ∠ABD=∠ADB=α\angle ABD=\angle ADB=\alpha∠ABD=∠ADB=α

DBDBDB חוצה את הזווית ADCADCADC, ולכן ∠BDC=∠ADB=α\angle BDC=\angle ADB=\alpha∠BDC=∠ADB=α.
AB∥CDAB\parallel CDAB∥CD, ולכן ∠ABD=∠BDC=α\angle ABD=\angle BDC=\alpha∠ABD=∠BDC=α (זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים).
במשולש ABDABDABD: ∠ABD=∠ADB=α\angle ABD=\angle ADB=\alpha∠ABD=∠ADB=α, ולכן המשולש שווה שוקיים: מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות, AD=ABAD=ABAD=AB.
טעות נפוצה: לכתוב ש-∠ABD=∠ADB\angle ABD=\angle ADB∠ABD=∠ADB כי "DBDBDB חוצה זווית" - חוצה הזווית נותן רק ∠ADB=∠BDC\angle ADB=\angle BDC∠ADB=∠BDC; את המעבר ל-∠ABD\angle ABD∠ABD נותנות המקבילות, ובלעדיהן אי אפשר להסיק AB=ADAB=ADAB=AD.

סעיף א(2)

תשובה:

הוכחה: ז.ז.

∠AEB=∠CED\angle AEB=\angle CED∠AEB=∠CED (זוויות קודקודיות).
∠ABE=∠CDE\angle ABE=\angle CDE∠ABE=∠CDE (זוויות מתחלפות, AB∥CDAB\parallel CDAB∥CD).
לכן △AEB∼△CED\triangle AEB\sim\triangle CED△AEB∼△CED לפי ז.ז.
טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר קודקודים לא מתאים, △AEB∼△DEC\triangle AEB\sim\triangle DEC△AEB∼△DEC - אז AAA מותאם ל-DDD, וכשמשתמשים בדמיון בסעיף ג יוצא יחס צלעות שגוי.

סעיף ב

תשובה:

B(4,0)B(4,0)B(4,0), C(4,−6)C(4,-6)C(4,−6)

AD=(0+4)2+(3−0)2=5AD=\sqrt{(0+4)^2+(3-0)^2}=5AD=(0+4)2+(3−0)2​=5
מסעיף א(1) AB=AD=5AB=AD=5AB=AD=5. BBB על ציר ה-xxx, נסמן B(b,0)B(b,0)B(b,0):
b2+32=25⇒b=±4b^2+3^2=25\quad\Rightarrow\quad b=\pm4b2+32=25⇒b=±4
b=−4b=-4b=−4 היא הנקודה DDD, ולכן B(4,0)B(4,0)B(4,0).
mAB=0−34−0=−34m_{AB}=\frac{0-3}{4-0}=-\frac34mAB​=4−00−3​=−43​
DC∥ABDC\parallel ABDC∥AB, ולכן משוואת DCDCDC: y=−34(x+4)y=-\frac34(x+4)y=−43​(x+4).
BCBCBC מאונכת לציר ה-xxx, ולכן ל-CCC שיעור x=4x=4x=4: y=−34⋅8=−6y=-\frac34\cdot8=-6y=−43​⋅8=−6. C(4,−6)C(4,-6)C(4,−6) - ברביע הרביעי, כנדרש.
טעות נפוצה: להפוך את השיפוע ולקחת ל-DCDCDC שיפוע −43-\frac43−34​ - מתקבל C(4,−1023)C\left(4,-10\frac23\right)C(4,−1032​).

סעיף ג

תשובה:

SCEDSAEB=4\frac{S_{CED}}{S_{AEB}}=4SAEB​SCED​​=4

מסעיף א(2) △AEB∼△CED\triangle AEB\sim\triangle CED△AEB∼△CED, והצלעות המתאימות הן ABABAB ו-CDCDCD.
CD=(4+4)2+(−6−0)2=10,AB=5CD=\sqrt{(4+4)^2+(-6-0)^2}=10,\qquad AB=5CD=(4+4)2+(−6−0)2​=10,AB=5
יחס הדמיון CDAB=2\frac{CD}{AB}=2ABCD​=2, ויחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון:
SCEDSAEB=22=4\frac{S_{CED}}{S_{AEB}}=2^2=4SAEB​SCED​​=22=4
טעות נפוצה: לענות שיחס השטחים הוא 2 - זה יחס הדמיון, ויחס השטחים הוא הריבוע שלו.

שאלה 4 · מעגל חסום במשולש ישר זווית במערכת צירים

המשולש ABOABOABO הוא ישר זווית.
הנקודה OOO היא ראשית הצירים.
הצלע AOAOAO נמצאת על ציר ה-xxx, והצלע BOBOBO נמצאת על ציר ה-yyy (ראה ציור).
במשולש ABOABOABO חסום מעגל שמרכזו CCC (הנקודה CCC נמצאת ברביע השני).
הצלעות AOAOAO, BOBOBO ו-ABABAB משיקות למעגל בנקודות DDD, EEE ו-FFF בהתאמה.
ABCDEFO

א(1).

הוכח: המרובע OECDOECDOECD הוא ריבוע.

א(2).

הוכח: המרובע ADCFADCFADCF הוא דלתון.

נתון: D(−2,0)D(-2,0)D(−2,0).

ב.

מצא את משוואת המעגל.

נתון: שיפוע הצלע ABABAB הוא 34\frac3443​.

ג(1).

חשב את גודל הזווית CADCADCAD.

ג(2).

חשב את שטח הטרפז ACEOACEOACEO.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א(1)

תשובה:

הוכחה: מלבן (3 זוויות ישרות) עם צלעות סמוכות שוות

∠DOE=90∘\angle DOE=90^\circ∠DOE=90∘ (הצירים מאונכים).
רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה: CD⊥AOCD\perp AOCD⊥AO ו-CE⊥BOCE\perp BOCE⊥BO, ולכן ∠CDO=∠CEO=90∘\angle CDO=\angle CEO=90^\circ∠CDO=∠CEO=90∘.
מרובע עם שלוש זוויות ישרות הוא מלבן, ו-CD=CECD=CECD=CE (רדיוסים) - מלבן עם שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.
טעות נפוצה: להסתפק בכך שיש למרובע ארבע זוויות ישרות - כך מוכיחים מלבן בלבד; בלי CD=CECD=CECD=CE אין ריבוע.

סעיף א(2)

תשובה:

הוכחה: AD=AFAD=AFAD=AF, CD=CFCD=CFCD=CF

AD=AFAD=AFAD=AF - קטעי משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה AAA שווים.
CD=CFCD=CFCD=CF - רדיוסים.
במרובע ADCFADCFADCF יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, ולכן הוא דלתון.
טעות נפוצה: לטעון ש-AF=CFAF=CFAF=CF - אלה קטע משיק ורדיוס, ואין סיבה שיהיו שווים; הזוגות השווים הם AD=AFAD=AFAD=AF ו-CD=CFCD=CFCD=CF.

סעיף ב

תשובה:

(x+2)2+(y−2)2=4(x+2)^2+(y-2)^2=4(x+2)2+(y−2)2=4

OECDOECDOECD ריבוע, ולכן CD=OD=2CD=OD=2CD=OD=2: הרדיוס 2.
CCC נמצאת מעל DDD (כי CD⊥AOCD\perp AOCD⊥AO) ובמרחק 2 ממנה, ברביע השני: C(−2,2)C(-2,2)C(−2,2).
(x+2)2+(y−2)2=4(x+2)^2+(y-2)^2=4(x+2)2+(y−2)2=4
טעות נפוצה: להפוך את הסימנים במשוואה ולכתוב (x−2)2+(y+2)2=4(x-2)^2+(y+2)^2=4(x−2)2+(y+2)2=4 - זה מעגל שמרכזו (2,−2)(2,-2)(2,−2), ברביע הרביעי.

סעיף ג(1)

תשובה:

∠CAD≈18.43∘\angle CAD\approx18.43^\circ∠CAD≈18.43∘

השיפוע של ABABAB הוא הטנגנס של הזווית שהישר יוצר עם ציר ה-xxx:
tan⁡∠BAO=34⇒∠BAO≈36.87∘\tan\angle BAO=\frac34\quad\Rightarrow\quad\angle BAO\approx36.87^\circtan∠BAO=43​⇒∠BAO≈36.87∘
מרכז המעגל החסום הוא נקודת המפגש של חוצי הזוויות, ולכן ACACAC חוצה את הזווית BAOBAOBAO:
∠CAD=36.87∘2≈18.43∘\angle CAD=\frac{36.87^\circ}{2}\approx18.43^\circ∠CAD=236.87∘​≈18.43∘
טעות נפוצה: לעצור ב-36.87∘36.87^\circ36.87∘ - זו הזווית BAOBAOBAO כולה, ו-ACACAC חוצה אותה.

סעיף ג(2)

תשובה:

10

במשולש CDACDACDA (∠CDA=90∘\angle CDA=90^\circ∠CDA=90∘):
AD=CDtan⁡∠CAD=2tan⁡18.43∘≈6AD=\frac{CD}{\tan\angle CAD}=\frac{2}{\tan18.43^\circ}\approx6AD=tan∠CADCD​=tan18.43∘2​≈6
(בדיוק: tan⁡∠CAD=13\tan\angle CAD=\frac13tan∠CAD=31​, ולכן AD=6AD=6AD=6.) AO=AD+DO=6+2=8AO=AD+DO=6+2=8AO=AD+DO=6+2=8.
CE∥AOCE\parallel AOCE∥AO (CECECE מאונך לציר ה-yyy), ולכן ACEOACEOACEO טרפז שבסיסיו CE=2CE=2CE=2, AO=8AO=8AO=8, וגובהו EO=2EO=2EO=2:
S=(2+8)⋅22=10S=\frac{(2+8)\cdot2}{2}=10S=2(2+8)⋅2​=10
טעות נפוצה: לחשב את ADADAD עם הזווית 36.87∘36.87^\circ36.87∘, לקבל AD=83AD=\frac83AD=38​, AO=143AO=\frac{14}{3}AO=314​, ושטח 203≈6.67\frac{20}{3}\approx6.67320​≈6.67.

שאלה 5 · חקירת פונקציה רציונלית וזיהוי גרף הנגזרת

נתונה הפונקציה f(x)=x2−5x+3f(x)=\frac{x^2-5}{x+3}f(x)=x+3x2−5​.
בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV.
גרף I
גרף II
גרף III
גרף IV

א(1).

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.

א(2).

מצא את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים (אם יש כאלה).

א(3).

מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

א(4).

מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן.

א(5).

סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.

ב(1).

מצא את האסימפטוטות המקבילות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).

ב(2).

מבין הגרפים I, II, III, IV שלפניך, איזה גרף מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x)? נמק.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א(1)

תשובה:

x≠−3x\neq-3x=−3

המכנה מתאפס ב-x=−3x=-3x=−3, ולכן התחום: כל xxx פרט ל-x=−3x=-3x=−3.
טעות נפוצה: לפסול את אפסי המונה, x=±5x=\pm\sqrt5x=±5​, ולכתוב x≠±5x\neq\pm\sqrt5x=±5​ - הפונקציה מוגדרת שם ושווה 0.

סעיף א(2)

תשובה:

אנכית: x=−3x=-3x=−3; אין אסימפטוטה אופקית

ב-x=−3x=-3x=−3 המכנה מתאפס והמונה 9−5=4≠09-5=4\neq09−5=4=0, ולכן x=−3x=-3x=−3 אסימפטוטה אנכית.
מעלת המונה (2) גדולה ממעלת המכנה (1): כש-x→±∞x\to\pm\inftyx→±∞ הפונקציה אינה שואפת למספר, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
טעות נפוצה: להפעיל את הכלל של מעלת מונה קטנה ממעלת המכנה ולענות שהאסימפטוטות הן x=−3x=-3x=−3 ו-y=0y=0y=0 - כאן מעלת המונה גדולה, והפונקציה אינה שואפת למספר.

סעיף א(3)

תשובה:

(5,0)(\sqrt5,0)(5​,0), (−5,0)(-\sqrt5,0)(−5​,0), (0,−53)\left(0,-\frac53\right)(0,−35​)

ציר ה-xxx: x2−5=0x^2-5=0x2−5=0, x=±5≈±2.24x=\pm\sqrt5\approx\pm2.24x=±5​≈±2.24 (שניהם בתחום).
ציר ה-yyy: f(0)=−53f(0)=\frac{-5}{3}f(0)=3−5​.
נקודות החיתוך: (5,0)(\sqrt5,0)(5​,0), (−5,0)(-\sqrt5,0)(−5​,0), (0,−53)\left(0,-\frac53\right)(0,−35​).
טעות נפוצה: להציב x=0x=0x=0 רק במונה ולקבל (0,−5)(0,-5)(0,−5).

סעיף א(4)

תשובה:

max⁡(−5,−10)\max(-5,-10)max(−5,−10), min⁡(−1,−2)\min(-1,-2)min(−1,−2)

f′(x)=2x(x+3)−(x2−5)⋅1(x+3)2=x2+6x+5(x+3)2=(x+1)(x+5)(x+3)2f'(x)=\frac{2x(x+3)-(x^2-5)\cdot1}{(x+3)^2}=\frac{x^2+6x+5}{(x+3)^2}=\frac{(x+1)(x+5)}{(x+3)^2}f′(x)=(x+3)22x(x+3)−(x2−5)⋅1​=(x+3)2x2+6x+5​=(x+3)2(x+1)(x+5)​
f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 ב-x=−5x=-5x=−5 וב-x=−1x=-1x=−1. המכנה חיובי, והסימן הוא הסימן של (x+1)(x+5)(x+1)(x+5)(x+1)(x+5):
xxxx<−5x<-5x<−5−5-5−5−5<x<−3-5<x<-3−5<x<−3−3-3−3−3<x<−1-3<x<-1−3<x<−1−1-1−1x>−1x>-1x>−1
f′(x)f'(x)f′(x)+++0−-−לא מוגדרת−-−0+++
f(x)f(x)f(x)↗מקסימום↘↘מינימום↗
f(−5)=25−5−2=−10,f(−1)=1−52=−2f(-5)=\frac{25-5}{-2}=-10,\qquad f(-1)=\frac{1-5}{2}=-2f(−5)=−225−5​=−10,f(−1)=21−5​=−2
מקסימום (−5,−10)(-5,-10)(−5,−10), מינימום (−1,−2)(-1,-2)(−1,−2). (ערך המקסימום קטן מערך המינימום - הם על ענפים שונים של הגרף.)
טעות נפוצה: לקבוע את הסוג לפי הערכים - "−10<−2-10<-2−10<−2, ולכן (−5,−10)(-5,-10)(−5,−10) מינימום ו-(−1,−2)(-1,-2)(−1,−2) מקסימום" - במקום לפי סימן הנגזרת.

$x$	$x<-5$	$-5$	$-5<x<-3$	$-3$	$-3<x<-1$	$-1$	$x>-1$
$f'(x)$	$+$	0	$-$	לא מוגדרת	$-$	0	$+$
$f(x)$	↗	מקסימום	↘		↘	מינימום	↗

סעיף א(5)

תשובה:

ענף שמאלי: עולה מ-−∞-\infty−∞ למקסימום (−5,−10)(-5,-10)(−5,−10) ויורד ל-−∞-\infty−∞ ליד x=−3x=-3x=−3; ענף ימני: יורד מ-+∞+\infty+∞ ליד x=−3x=-3x=−3, חותך ב-−5-\sqrt5−5​, מינימום (−1,−2)(-1,-2)(−1,−2), עולה דרך (0,−53)\left(0,-\frac53\right)(0,−35​) ו-(5,0)(\sqrt5,0)(5​,0) ל-+∞+\infty+∞

מרכזים: אסימפטוטה x=−3x=-3x=−3, מקסימום (−5,−10)(-5,-10)(−5,−10), מינימום (−1,−2)(-1,-2)(−1,−2), חיתוכים (±5,0)(\pm\sqrt5,0)(±5​,0) ו-(0,−53)\left(0,-\frac53\right)(0,−35​).
ליד האסימפטוטה המונה חיובי (4): משמאל המכנה שלילי קטן - f→−∞f\to-\inftyf→−∞; מימין חיובי קטן - f→+∞f\to+\inftyf→+∞.
הענף השמאלי כולו מתחת לציר ה-xxx; הענף הימני יורד מ-+∞+\infty+∞, חותך את ציר ה-xxx ב-−5-\sqrt5−5​, מגיע למינימום, ועולה דרך (0,−53)\left(0,-\frac53\right)(0,−35​) ו-(5,0)(\sqrt5,0)(5​,0).
טעות נפוצה: לסרטט את הענף הימני כולו מתחת לציר ה-xxx כי המינימום שלילי - ולשכוח שליד x=−3x=-3x=−3 מימין הגרף מגיע מ-+∞+\infty+∞ וחותך את הציר ב-−5-\sqrt5−5​.

סעיף ב(1)

תשובה:

x=−3x=-3x=−3, y=1y=1y=1

f′(x)=x2+6x+5(x+3)2=(x+3)2−4(x+3)2=1−4(x+3)2f'(x)=\frac{x^2+6x+5}{(x+3)^2}=\frac{(x+3)^2-4}{(x+3)^2}=1-\frac{4}{(x+3)^2}f′(x)=(x+3)2x2+6x+5​=(x+3)2(x+3)2−4​=1−(x+3)24​
ב-x=−3x=-3x=−3 המכנה מתאפס והמונה 9−18+5=−4≠09-18+5=-4\neq09−18+5=−4=0: אסימפטוטה אנכית x=−3x=-3x=−3.
מעלות המונה והמכנה שוות (2), יחס המקדמים 11\frac1111​: אסימפטוטה אופקית y=1y=1y=1.
טעות נפוצה: לכתוב y=0y=0y=0 כי "השבר 4(x+3)2\frac{4}{(x+3)^2}(x+3)24​ שואף ל-0" - ולשכוח את ה-1 שלפניו.

סעיף ב(2)

תשובה:

גרף IV

מה ידוע על f′f'f′: אסימפטוטה אנכית x=−3x=-3x=−3 ואופקית y=1y=1y=1; f′(x)=1−4(x+3)2<1f'(x)=1-\frac{4}{(x+3)^2}<1f′(x)=1−(x+3)24​<1 לכל xxx, ולכן הגרף מתחת ל-y=1y=1y=1 ומתקרב אליה מלמטה; ליד x=−3x=-3x=−3, f′→−∞f'\to-\inftyf′→−∞ משני הצדדים; f′f'f′ מתאפסת ב-x=−5x=-5x=−5 וב-x=−1x=-1x=−1.
גרף I חיובי כולו ושואף ל-+∞+\infty+∞ ליד האסימפטוטה - נפסל. גרף II אין לו אסימפטוטה אופקית - נפסל. גרף III רציף, בלי אסימפטוטה אנכית - נפסל.
גרף IV: מתחת לאסימפטוטה אופקית חיובית, יורד ל-−∞-\infty−∞ משני צדי האסימפטוטה האנכית, וחותך את ציר ה-xxx פעמיים - זה גרף f′(x)f'(x)f′(x).
טעות נפוצה: לבחור את גרף I - לחשוב שליד אסימפטוטה אנכית של fff גם f′f'f′ "עולה לאינסוף"; כאן fff יורדת משני צדי x=−3x=-3x=−3, ולכן f′→−∞f'\to-\inftyf′→−∞.

שאלה 6 · פולינום עם פרמטר: קיצון, משיק ושטח מורכב

בציור מוצגת סקיצה של הפונקציה f(x)=2x3−9x2+12x−af(x)=2x^3-9x^2+12x-af(x)=2x3−9x2+12x−a, aaa הוא פרמטר.

א.

מצא את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), והוכח שאחת מהן היא מקסימום והאחרת היא מינימום.

נתון כי שיעור ה-yyy של נקודת המינימום הוא −2-2−2.

ב.

חשב את הערך של הפרמטר aaa.

ג.

מעבירים משיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yyy, ומעבירים אנך לציר ה-xxx דרך נקודת המקסימום של הפונקציה.
חשב את השטח המוגבל על ידי המשיק, על ידי האנך, על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ועל ידי ציר ה-xxx (השטח המקווקו בציור).

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

x=1x=1x=1 מקסימום, x=2x=2x=2 מינימום

f′(x)=6x2−18x+12=6(x2−3x+2)=6(x−1)(x−2)f'(x)=6x^2-18x+12=6(x^2-3x+2)=6(x-1)(x-2)f′(x)=6x2−18x+12=6(x2−3x+2)=6(x−1)(x−2)
f′(x)=0f'(x)=0f′(x)=0 ב-x=1x=1x=1 וב-x=2x=2x=2 (לא תלוי ב-aaa).
xxxx<1x<1x<11111<x<21<x<21<x<2222x>2x>2x>2
f′(x)f'(x)f′(x)+++0−-−0+++
f(x)f(x)f(x)↗מקסימום↘מינימום↗
הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית ב-x=1x=1x=1 - מקסימום; משלילית לחיובית ב-x=2x=2x=2 - מינימום.
טעות נפוצה: לפרק x2−3x+2x^2-3x+2x2−3x+2 עם סימנים הפוכים, (x+1)(x+2)(x+1)(x+2)(x+1)(x+2), ולקבל נקודות קיצון ב-x=−1x=-1x=−1 וב-x=−2x=-2x=−2.

$x$	$x<1$	$1$	$1<x<2$	$2$	$x>2$
$f'(x)$	$+$	0	$-$	0	$+$
$f(x)$	↗	מקסימום	↘	מינימום	↗

סעיף ב

תשובה:

a=6a=6a=6

המינימום ב-x=2x=2x=2:
f(2)=16−36+24−a=4−a=−2⇒a=6f(2)=16-36+24-a=4-a=-2\quad\Rightarrow\quad a=6f(2)=16−36+24−a=4−a=−2⇒a=6
טעות נפוצה: להציב את שיעור ה-xxx של המקסימום, f(1)=5−a=−2f(1)=5-a=-2f(1)=5−a=−2, ולקבל a=7a=7a=7.

סעיף ג

תשובה:

1

עם a=6a=6a=6: f(x)=2x3−9x2+12x−6f(x)=2x^3-9x^2+12x-6f(x)=2x3−9x2+12x−6, f(0)=−6f(0)=-6f(0)=−6, f′(0)=12f'(0)=12f′(0)=12. המשיק: y=12x−6y=12x-6y=12x−6, והוא חותך את ציר ה-xxx ב-x=12x=\frac12x=21​.
האנך דרך המקסימום: x=1x=1x=1 (מ-f(1)=−1f(1)=-1f(1)=−1 עד ציר ה-xxx).
f(x)−(12x−6)=2x3−9x2=x2(2x−9)<0f(x)-(12x-6)=2x^3-9x^2=x^2(2x-9)<0f(x)−(12x−6)=2x3−9x2=x2(2x−9)<0 ב-0<x<10<x<10<x<1, כלומר המשיק מעל הגרף.
מפצלים ב-x=12x=\frac12x=21​, שם הגבול העליון מתחלף מהמשיק לציר ה-xxx:
S1=∫012((12x−6)−f(x))dx=∫012(9x2−2x3)dx=[3x3−x42]012=38−132=1132S_1=\int_0^{\frac12}\big((12x-6)-f(x)\big)dx=\int_0^{\frac12}(9x^2-2x^3)dx=\Big[3x^3-\frac{x^4}{2}\Big]_0^{\frac12}=\frac38-\frac1{32}=\frac{11}{32}S1​=∫021​​((12x−6)−f(x))dx=∫021​​(9x2−2x3)dx=[3x3−2x4​]021​​=83​−321​=3211​
S2=∫121(0−f(x))dx=−[x42−3x3+6x2−6x]121=2132S_2=\int_{\frac12}^{1}\big(0-f(x)\big)dx=-\Big[\frac{x^4}{2}-3x^3+6x^2-6x\Big]_{\frac12}^{1}=\frac{21}{32}S2​=∫21​1​(0−f(x))dx=−[2x4​−3x3+6x2−6x]21​1​=3221​
S=1132+2132=1S=\frac{11}{32}+\frac{21}{32}=1S=3211​+3221​=1
טעות נפוצה: לחשב את השטח בין המשיק לגרף מ-0 עד 1 בלי לפצל, ∫01(9x2−2x3)dx=2.5\int_0^1(9x^2-2x^3)dx=2.5∫01​(9x2−2x3)dx=2.5 - כך נכלל גם משולש שנמצא מעל ציר ה-xxx.

שאלה 7 · בעיית קיצון: היקף מרבי של מלבן

נתון מלבן ABCDABCDABCD.
הנקודה FFF היא אמצע הצלע BCBCBC.
EEE היא נקודה על הצלע ADADAD, כך ש-EFEFEF מאונך ל-ADADAD.
הנקודה KKK נמצאת על EFEFEF כך ש-EK=KC=10EK=KC=10EK=KC=10 ס"מ (ראה ציור).
FC=xFC=xFC=x.
ADCBFEK

א.

הבע את FKFKFK באמצעות xxx.

ב.

חשב את אורך צלע המלבן BCBCBC שעבורו היקף המלבן ABCDABCDABCD יהיה מקסימלי (תוכל להשאיר שורש בתשובתך).

◂ פתרון מלא לשאלה 7

סעיף א

תשובה:

FK=100−x2FK=\sqrt{100-x^2}FK=100−x2​

EF⊥ADEF\perp ADEF⊥AD ו-AD∥BCAD\parallel BCAD∥BC, ולכן EF⊥BCEF\perp BCEF⊥BC: המשולש KFCKFCKFC ישר זווית ב-FFF.
לפי משפט פיתגורס, עם היתר KC=10KC=10KC=10:
FK2+FC2=KC2⇒FK=100−x2FK^2+FC^2=KC^2\quad\Rightarrow\quad FK=\sqrt{100-x^2}FK2+FC2=KC2⇒FK=100−x2​
(0<x<100<x<100<x<10.)
טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר - FK=100+x2FK=\sqrt{100+x^2}FK=100+x2​ - כאילו FKFKFK הוא היתר.

סעיף ב

תשובה:

BC=85≈17.89BC=8\sqrt5\approx17.89BC=85​≈17.89 ס"מ

FFF אמצע BCBCBC, ולכן BC=2xBC=2xBC=2x. AB=EF=EK+KF=10+100−x2AB=EF=EK+KF=10+\sqrt{100-x^2}AB=EF=EK+KF=10+100−x2​.
P(x)=2⋅2x+2(10+100−x2)=4x+20+2100−x2,0<x<10P(x)=2\cdot2x+2\left(10+\sqrt{100-x^2}\right)=4x+20+2\sqrt{100-x^2},\qquad0<x<10P(x)=2⋅2x+2(10+100−x2​)=4x+20+2100−x2​,0<x<10
P′(x)=4+2⋅−2x2100−x2=4−2x100−x2P'(x)=4+2\cdot\frac{-2x}{2\sqrt{100-x^2}}=4-\frac{2x}{\sqrt{100-x^2}}P′(x)=4+2⋅2100−x2​−2x​=4−100−x2​2x​
P′(x)=0⇒2100−x2=x⇒4(100−x2)=x2⇒x2=80P'(x)=0\quad\Rightarrow\quad2\sqrt{100-x^2}=x\quad\Rightarrow\quad4(100-x^2)=x^2\quad\Rightarrow\quad x^2=80P′(x)=0⇒2100−x2​=x⇒4(100−x2)=x2⇒x2=80
x=80=45≈8.94x=\sqrt{80}=4\sqrt5\approx8.94x=80​=45​≈8.94 (הפתרון השלילי נפסל).
בדיקת סוג: P′(1)=4−299>0P'(1)=4-\frac{2}{\sqrt{99}}>0P′(1)=4−99​2​>0, P′(9)=4−1819≈−0.13<0P'(9)=4-\frac{18}{\sqrt{19}}\approx-0.13<0P′(9)=4−19​18​≈−0.13<0 - מקסימום.
BC=2x=85≈17.89BC=2x=8\sqrt5\approx17.89BC=2x=85​≈17.89 ס"מ.
טעות נפוצה: לעצור ב-x=45x=4\sqrt5x=45​ ולענות שזה אורך BCBCBC - אבל x=FCx=FCx=FC הוא חצי מהצלע.

שאלה 1 · התפלגות נורמלית: השוואת הישגים בריצה ובקפיצה

סעיף א

סעיף ב

שאלה 2 · הסתברות: מבחן של שלושה תרגילים, עובר בשניים לפחות

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף א(3)

סעיף ב

שאלה 3 · טרפז במערכת צירים: אלכסון חוצה זווית ודמיון משולשים

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 4 · מעגל חסום במשולש ישר זווית במערכת צירים

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף ב

סעיף ג(1)

סעיף ג(2)

שאלה 5 · חקירת פונקציה רציונלית וזיהוי גרף הנגזרת

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף א(3)

סעיף א(4)

סעיף א(5)

סעיף ב(1)

סעיף ב(2)

שאלה 6 · פולינום עם פרמטר: קיצון, משיק ושטח מורכב

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 7 · בעיית קיצון: היקף מרבי של מלבן

סעיף א

סעיף ב

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד