בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2022 מועד ב'

הממוצע בטבלת שכיחויות הוא סכום המכפלות (ערך $\times$ שכיחות) חלקי מספר המשפחות:

כופלים במכנה:

$y$ מופיע בשני האגפים ומתבטל (המשפחות עם מכונית אחת נמצאות בדיוק על הממוצע), ונשאר:

טעות נפוצה: להשמיט מהמכנה את 30 המשפחות בלי מכונית (כי הן תורמות 0 למונה): $y+2x+18=x+y+6$, ומתקבל $x=-12$ - מספר משפחות שלילי. במכנה סופרים את כל המשפחות.

נסמן ב-$N$ את מספר המשפחות. השונות היא ממוצע ריבועי הסטיות מהממוצע ($\bar{x}=1$):

המשפחות עם מכונית אחת תורמות 0 למונה, ולכן לא צריך לדעת את $y$:

סטיית התקן היא $\frac67$, ולכן השונות היא $\left(\frac67\right)^2=\frac{36}{49}$:

טעות נפוצה: להשוות את $\frac{72}{N}$ לסטיית התקן עצמה, $\frac{72}{N}=\frac67$, ולקבל $N=84$. המונה הוא סכום ריבועי סטיות, ולכן משווים אותו לשונות - ריבוע סטיית התקן.

קודם מוצאים את $y$: $y=98-30-18-6=44$.

השכיח הוא הערך בעל השכיחות הגדולה ביותר: 44 משפחות עם מכונית אחת, ולכן השכיח הוא 1.

החציון: $N=98$ זוגי, ולכן החציון הוא ממוצע הערכים במקומות 49 ו-50 (כשהנתונים מסודרים מהקטן לגדול).

שכיחות מצטברת: הערך 0 תופס את המקומות 1-30, והערך 1 את המקומות 31-74.

המקומות 49 ו-50 שניהם בתחום 31-74, כלומר שני הערכים הם 1, והחציון הוא 1.

טעות נפוצה: לקחת את החציון כאמצע עמודת הערכים 0, 1, 2, 3 ולקבל 1.5. החציון נקבע לפי מקום בין 98 המשפחות, לא לפי מספר העמודות בטבלה.

ביישוב ב' יש 98 משפחות (כמו ביישוב א'), ולכן החציון הוא ממוצע הערכים במקומות 49 ו-50.

הערכים הם מספרים שלמים, וממוצע של שני ערכים שלמים יוצא 0.5 רק אם אחד מהם 0 והשני 1:

בסידור מהקטן לגדול, הערך במקום 49 הוא 0 והערך במקום 50 הוא 1. כלומר המקומות 1-49 הם 0, ומהמקום 50 והלאה אין אף 0.

לכן בדיוק ל-49 משפחות אין מכונית.

טעות נפוצה: להבין "חציון 0.5" כ"חצי מהמשפחות בלי מכונית ועוד אחת" ולענות 50. אם הערך במקום 50 היה 0, שני הערכים האמצעיים היו 0 והחציון היה 0.

ההסתברות להוציא כדור ירוק בהוצאה אחת היא $\frac{12}{x}$. עם החזרה ההרכב לא משתנה, ולכן:

$x$ חיובי, ולכן לוקחים את השורש החיובי:

טעות נפוצה: לשכוח את הריבוע ולפתור $\frac{12}{x}=0.36$ - מתקבל $x=33\frac13$, שאינו מספר שלם של כדורים.

בסל 20 כדורים: 12 ירוקים ו-8 אדומים, ולכן $P(\text{ירוק})=0.6$ ו-$P(\text{אדום})=0.4$ בהוצאה הראשונה.

המשלים של "לפחות ירוק אחד" הוא "שני הכדורים אדומים".

אם הראשון אדום, הוא מוחזר - ההרכב לא השתנה, וההסתברות שגם השני אדום היא שוב 0.4:

טעות נפוצה: לשכוח שהכדור האדום מוחזר, ולחשב $P(\text{אדום, אדום})=0.4\cdot\frac{7}{19}$. מתקבל $1-\frac{14}{95}=\frac{81}{95}\approx0.853$.

שני מסלולים בעץ נותנים צבעים שונים:

אדום ואחריו ירוק: האדום מוחזר, ולכן בהוצאה השנייה שוב 12 ירוקים מתוך 20:

ירוק ואחריו אדום: הירוק נשאר בחוץ, בסל 19 כדורים ומהם 8 אדומים:

בכל אחד מהמסלולים האלה יש כדור ירוק, ולכן החיתוך עם התנאי הוא סכום שני המסלולים. מחלקים בהסתברות התנאי (סעיף ב):

טעות נפוצה: לעצור במונה ולענות $0.24+\frac{4.8}{19}=\frac{234}{475}\approx0.493$ - זו ההסתברות לצבעים שונים בלי התנאי. "אם ידוע ש..." מחייב לחלק בהסתברות התנאי.

"כולם באותו צבע" הם שני מקרים זרים: כל הארבעה ירוקים, או כל הארבעה אדומים.

ההוצאות משני הסלים בלתי תלויות, ולכן מכפילים את ההסתברויות של כל סל.

כולם ירוקים: בסל הראשון ירוק נשאר בחוץ, ולכן $0.6\cdot\frac{11}{19}$; בסל השני (עם החזרה) $0.6^2=0.36$:

כולם אדומים: בסל הראשון $0.4\cdot0.4=0.16$ (אדום מוחזר), ובסל השני $0.4^2=0.16$:

טעות נפוצה: לחשב רק את המקרה של ארבעה ירוקים ולענות $\frac{2.376}{19}\approx0.125$. "באותו הצבע" כולל גם ארבעה אדומים.

$\angle EOA$ ו-$\angle ECA$ הן זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת $EA$, ולכן הן שוות.

$A$ נמצאת על הקרן $OB$, ולכן $\angle EOA=\angle EOB$. $E$ נמצאת על הקטע $CB$, ולכן $\angle ECA=\angle BCA$ ו-$\angle EBO=\angle CBA$.

במשולש $ACB$ שתי זוויות שוות ($\angle ACB=\angle ABC$), ולכן הצלעות שמולן שוות: מול $\angle ABC$ נמצאת $AC$ ומול $\angle ACB$ נמצאת $AB$. לכן $AC=AB$.

טעות נפוצה: להסיק מהשוויון $\angle ACB=\angle ABC$ ש-$AC=BC$. הזוויות השוות נמצאות ב-$C$ וב-$B$, ולכן השוקיים הם הצלעות שמולן - $AB$ ו-$AC$ - והבסיס הוא $CB$.

אורך $AC$ לפי נוסחת המרחק:

לפי סעיף א $AB=AC=5$. $B$ על החלק החיובי של ציר ה-$x$, מימין ל-$A$ (מחוץ למעגל), ולכן:

טעות נפוצה: למדוד את 5 מראשית הצירים ולא מ-$A$, ולקבל $B(5,0)$ - נקודה שבכלל לא נמצאת מחוץ למעגל.

הצירים מאונכים זה לזה, ולכן $\angle COA=90^\circ$.

$O$ נמצאת על המעגל, ולכן $\angle COA$ היא זווית היקפית. זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר, ולכן $AC$ הוא קוטר במעגל.

טעות נפוצה: לחשוב שהזווית הישרה ב-$O$ היא זווית מרכזית, ולהסיק ש-$O$ הוא מרכז המעגל. $O$ נמצאת על המעגל עצמו, ולכן הזווית ב-$O$ היקפית - והמרכז הוא אמצע $AC$.

$AC$ קוטר, ולכן מרכז המעגל הוא אמצע $AC$:

הרדיוס הוא חצי הקוטר: $R=\frac{AC}{2}=\frac52=2.5$, ולכן $R^2=6.25$.

טעות נפוצה: להציב את אורך הקוטר כרדיוס ולכתוב $(x-2)^2+(y-1.5)^2=25$.

משוואת הישר $CB$ דרך $C(0,3)$ ו-$B(9,0)$: השיפוע $m=\frac{0-3}{9-0}=-\frac13$, ולכן $y=-\frac13x+3$.

מציבים $x=4.5$: $y=-1.5+3=1.5$, כלומר $E(4.5,1.5)$.

לשני המשולשים בסיס משותף $OB=9$ על ציר ה-$x$. הגובה לבסיס הוא שיעור ה-$y$ של הקודקוד השלישי:

טעות נפוצה: לקחת במשולש $EOB$ את $OA=4$ כבסיס במקום $OB$: $S_{EOB}=\frac{4\cdot1.5}{2}=3$, ולקבל פי 4.5.

הזווית $EOB$ היא הזווית בין הישר $OE$ לציר ה-$x$. שיפוע $OE$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\tan\angle EOB=\frac{4.5}{1.5}=3$, ולקבל $71.57^\circ$. הטנגנס הוא הניצב שמול הזווית ($y$) חלקי הניצב שליד הזווית ($x$).

$\angle AOD=90^\circ$ - הזווית בין הצירים.

$CB$ מקביל לציר ה-$x$, וציר ה-$x$ מאונך לציר ה-$y$, ולכן גם $CB\perp$ ציר ה-$y$: $\angle CED=90^\circ$.

$\angle ADO=\angle CDE$ - זוויות קודקודיות.

שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן $\Delta AOD\sim\Delta CED$ (ז.ז.), בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $O\leftrightarrow E$, $D\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר קודקודים שגוי, $\Delta AOD\sim\Delta DEC$. הזווית הישרה ב-$O$ מתאימה לזווית הישרה ב-$E$, והזווית ב-$D$ לזווית ב-$D$ - ובסדר השגוי היחסים שנכתבים אחר כך יוצאים לא נכונים.

$D$ היא נקודת החיתוך של $AC$ עם ציר ה-$y$: מציבים $x=0$ ומקבלים $y=4$, כלומר $D(0,4)$ ו-$DO=4$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולחשב $DE=\frac23\cdot4=\frac83$. $DO$ במונה, ולכן $DE$ גדול מ-$DO$.

$E$ נמצאת על ציר ה-$y$, מעל $D$ (ראו סרטוט), במרחק $DE=6$ ממנה:

$CB$ מקביל לציר ה-$x$ ועובר דרך $E$, ולכן משוואתו $y=10$.

טעות נפוצה: לסמן את $E$ מתחת ל-$D$ ולכתוב $y=4-6=-2$. לפי הסרטוט $E$ מעל $D$ ($C$ ו-$B$ מעל ציר ה-$x$).

$A$ על ציר ה-$x$: מציבים $y=0$ במשוואת $AC$: $0=-\frac43x+4$, ולכן $x=3$ ו-$A(3,0)$.

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$: $m_{AB}\cdot\left(-\frac43\right)=-1$, ולכן $m_{AB}=\frac34$.

טעות נפוצה: להפוך את השבר בלי להחליף סימן, $m_{AB}=-\frac34$, ולקבל $y=-\frac34x+2\frac14$.

$\angle CDE=\angle ODA$ (זוויות קודקודיות).

במשולש ישר הזווית $AOD$: הניצב שמול $\angle ODA$ הוא $OA=3$, והניצב שלידה $OD=4$:

טעות נפוצה: לחשב $\tan=\frac{OD}{OA}=\frac43$ ולקבל $53.13^\circ$ - זו הזווית $OAD$, ליד $A$.

$B$ היא החיתוך של $AB$ עם $CB$: $10=\frac34x-\frac94$, ולכן $x=\frac{49}{3}$ ו-$B\left(\frac{49}{3},10\right)$.

המרובע $ADEB$ הוא הטרפז $OABE$ בלי המשולש $OAD$.

הטרפז $OABE$: הבסיסים $OA=3$ ו-$EB=\frac{49}{3}$ מקבילים לציר ה-$x$, והגובה $OE=10$:

טעות נפוצה: לחשב רק את הטרפז $OABE$ ולענות $96\frac23$ - המשולש $OAD$ אינו חלק מהמרובע $ADEB$.

פונקציה רציונלית מוגדרת בכל מקום שבו המכנה שונה מ-0:

טעות נפוצה: לפסול גם את הערך שבו המונה מתאפס, $x=\frac b2$, ולכתוב $x\neq4,\ x\neq\frac b2$. מונה שמתאפס נותן נקודת חיתוך עם ציר ה-$x$, לא נקודה שבה הפונקציה לא מוגדרת.

מציבים $x=0$ ודורשים $f(0)=2.5$:

טעות נפוצה: לאבד את הסימן של המכנה ולכתוב $-\frac b4+1=2.5$, ולקבל $b=-6$.

$f(x)=\frac{2x-6}{x-4}+1$.

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב-$x=4$, והמונה שם $2\cdot4-6=2\neq0$, ולכן $x=4$.

אסימפטוטה אופקית: במנה המעלות שוות, ולכן היא שואפת ליחס המקדמים המובילים, $\frac21=2$; ועוד 1:

טעות נפוצה: לשכוח את התוספת $+1$ ולכתוב $y=2$.

פותרים $f(x)=0$:

כופלים במכנה ($x\neq4$):

טעות נפוצה: לאפס רק את המונה של השבר, $2x-6=0$, ולענות $(3,0)$. השבר צריך להיות שווה $-1$, לא 0, בגלל התוספת $+1$.

גוזרים לפי כלל המנה (הנגזרת של הקבוע 1 היא 0):

המכנה חיובי לכל $x\neq4$ והמונה שלילי, ולכן $f'(x)<0$ בכל תחום ההגדרה.

הפונקציה יורדת בתחום $x<4$ ובתחום $x>4$, ואין לה תחומי עלייה.

טעות נפוצה: להחליף את הסדר במונה של כלל המנה, $(2x-6)-2(x-4)=2$, ולקבל $f'>0$ - "עולה בכל התחום".

מסכמים: אסימפטוטות $x=4$ ו-$y=3$; חיתוך עם הצירים $(0,2.5)$ ו-$\left(3\frac13,0\right)$; יורדת בכל אחד מהתחומים.

בענף השמאלי ($x<4$) הפונקציה יורדת ומתקרבת ל-$y=3$ משמאל, ולכן היא מתחת ל-3: עוברת דרך $(0,2.5)$, חוצה את ציר ה-$x$ ב-$3\frac13$ ויורדת ל-$-\infty$ כש-$x\to4^-$.

בענף הימני ($x>4$) היא יורדת מ-$+\infty$ ליד $x=4$ ומתקרבת ל-$y=3$ מלמעלה.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מעל האסימפטוטה $y=3$. נקודת החיתוך $(0,2.5)$ נמצאת מתחת ל-3, וזה קובע את מיקום הענף כולו.

לפי סעיף ה, $f'(x)=\frac{-2}{(x-4)^2}<0$ לכל $x\neq4$, ו-$f'$ לא מוגדרת ב-$x=4$.

לכן גרף הנגזרת נמצא כולו מתחת לציר ה-$x$, משני צדי אסימפטוטה אנכית.

רק בגרף II שני הענפים מתחת לציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לבחור את גרף I כי הוא "נראה כמו" הגרף של $f$ (ענף שמאלי למטה וימני למעלה). גרף הנגזרת מתאר את סימן השיפוע, לא את צורת הפונקציה.

בקטע $0\le x\le1$ מתקיים $f'(x)<0$, ולכן השטח מתחת לציר ה-$x$ ושווה למינוס האינטגרל.

$f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f'(x)$, ולכן:

טעות נפוצה: להציב את הגבולות בנגזרת במקום בפונקציה הקדומה: $f'(1)-f'(0)=-\frac29+\frac18=-\frac{7}{72}$, ולענות $\frac{7}{72}$.

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי:

טעות נפוצה: לכתוב $x>0$. השורש של 0 מוגדר ($\sqrt0=0$), ולכן $x=0$ בתחום.

חיתוך עם ציר ה-$x$: מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0:

שני הערכים בתחום. חיתוך עם ציר ה-$y$: $f(0)=(0-3)\cdot0=0$ - אותה נקודה $(0,0)$.

טעות נפוצה: לאפס רק את הגורם $x-3$ ולענות שהחיתוך היחיד עם ציר ה-$x$ הוא $(3,0)$. גם השורש מתאפס, ב-$x=0$.

כלל המכפלה. הנגזרת של $\sqrt{2x}$ (כולל הנגזרת הפנימית 2) היא $\frac{2}{2\sqrt{2x}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}$:

$f'(x)=0$ כש-$3x-3=0$, כלומר $x=1$. $f(1)=(1-3)\sqrt2=-2\sqrt2$.

סימן הנגזרת: עבור $0<x<1$ המונה שלילי, $f'<0$ (יורדת); עבור $x>1$, $f'>0$ (עולה). לכן $\left(1,-2\sqrt2\right)$ מינימום.

בקצה התחום $x=0$: $f(0)=0$, ומיד אחריו הפונקציה יורדת. לכן $(0,0)$ מקסימום קצה.

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית של $\sqrt{2x}$ ולגזור $\frac{1}{2\sqrt{2x}}$. מתקבל $f'=\frac{5x-3}{2\sqrt{2x}}$ ומינימום שגוי ב-$x=0.6$.

מסכמים: תחום $x\ge0$; חיתוכים $(0,0)$ ו-$(3,0)$; מקסימום קצה $(0,0)$; מינימום $\left(1,-2\sqrt2\right)\approx(1,-2.83)$; יורדת ב-$0<x<1$ ועולה ב-$x>1$.

הגרף מתחיל בראשית, יורד עד המינימום, עולה דרך $(3,0)$ וממשיך לעלות בלי הגבלה.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף גם משמאל לציר ה-$y$. הפונקציה מוגדרת רק עבור $x\ge0$, והגרף מתחיל בראשית.