בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2022 מועד א'

מתרגמים את 10 דקות לציון תקן - בכמה סטיות תקן הוא רחוק מהממוצע:

הטבלה נותנת את השטח משמאל לציון תקן חיובי. לפי הסימטריה של העקומה, השטח משמאל ל-$-1.71$ שווה לשטח מימין ל-$1.71$:

כלומר 4.36% מהאנשים מאזינים פחות מ-10 דקות ביום.

טעות נפוצה: לקרוא בטבלה $\Phi(1.71)=0.9564$ ולענות 95.64% - זה אחוז האנשים שמאזינים יותר מ-10 דקות.

ציון התקן של 60 דקות:

הטבלה נותנת את השטח משמאל, ו"יותר מ-60" הוא השטח מימין - המשלים:

מעבירים מהסתברות למספר אנשים - כופלים בגודל האוכלוסייה:

כלומר כ-5,300 אנשים (בעיגול).

טעות נפוצה: לכפול את $\Phi(1.62)=0.9474$ ב-100,000 ולענות 94,740 אנשים - זה מספר האנשים שמאזינים פחות משעה.

האחוז שמתחת ל-10 דקות לא השתנה (4.36%), ולכן גם ציון התקן של 10 דקות לא השתנה: בשתי ההתפלגויות $Z=-1.71$.

מציבים את הממוצע החדש בנוסחת ציון התקן, והנעלם הוא סטיית התקן:

סטיית התקן גדלה: הממוצע התרחק מ-10, ובכל זאת אותו אחוז נשאר מתחת ל-10 - הפיזור חייב לגדול.

טעות נפוצה: להניח שאם האחוז לא השתנה גם סטיית התקן לא השתנתה, ולענות $\sigma=15$. אותו אחוז פירושו אותו ציון תקן, לא אותה סטיית תקן.

לאחר השינוי $\mu=42$, $\sigma\approx18.713$. ציון התקן של 60 דקות:

מספר האנשים: $0.1685\cdot100{,}000=16{,}850$.

לפני השינוי (סעיף ב) היו כ-5,260 אנשים כאלה. היחס:

מספר האנשים שמאזינים יותר משעה גדל בערך פי 3.2.

טעות נפוצה: לחשב את ציון התקן של 60 עם סטיית התקן הישנה, $Z=\frac{60-42}{15}=1.2$, לקבל $1-0.8849=0.1151$ ולענות "פי 2.19". סטיית התקן השתנתה בסעיף ג(1).

בונים עץ של שלושה שלבים. האחוזים בשלב השני ובשלב השלישי הם "מתוך מי שעבר את השלב הקודם", ולכן הם הסתברויות מותנות - בדיוק מה שרושמים על ענפי העץ.

מועמד מתקבל רק במסלול "עבר - עבר - עבר". הסתברות מסלול היא מכפלת ההסתברויות לאורכו:

טעות נפוצה: לכפול רק את שני השלבים האחרונים, $0.5\cdot0.4=0.2$ - ה-50% הם רק מתוך מי שעבר את מבחן ההתאמה, ולכן צריך לכפול גם ב-0.75.

"לכל היותר אחת" = אף אחת או בדיוק אחת. המשלים שלו הוא "שתיהן התקבלו".

המיון של כל אחת בלתי תלוי במיון של השנייה, ולכן:

טעות נפוצה: לחשב רק "בדיוק אחת", $2\cdot0.15\cdot0.85=0.255$, ולשכוח את המקרה שבו אף אחת מהן לא התקבלה.

זו הסתברות מותנית: התנאי הוא "לא התקבלה".

החיתוך "עברה את הריאיון וגם לא התקבלה" הוא מסלול אחד בעץ: עברה את מבחן ההתאמה, עברה את הריאיון ונכשלה בסדנה:

טעות נפוצה: לשים במונה את כל מי שעבר את הריאיון, $0.75\cdot0.5=0.375$, ולקבל $\frac{0.375}{0.85}=\frac{15}{34}$. במונה צריך רק את מי שעבר את הריאיון וגם לא התקבל.

לפי סעיף א, 85% מהמועמדים לא התקבלו. נסמן ב-$N$ את מספר המועמדים:

התקבלו $200-170=30$ מועמדים (בדיקה: $0.15\cdot200=30$).

טעות נפוצה: לכפול את 170 ב-0.15 ולקבל 25.5 - ה-15% הם מכלל המועמדים, לא מאלה שלא התקבלו.

במרובע חסום במעגל סכום כל שתי זוויות נגדיות הוא $180^\circ$:

לפי הנתון $\angle A=\angle C$, ולכן $2\angle A=180^\circ$, כלומר $\angle A=\angle C=90^\circ$.

$\angle A$ ($\angle BAD$) היא זווית היקפית הנשענת על המיתר $BD$. זווית היקפית בת $90^\circ$ נשענת על קוטר, ולכן $BD$ קוטר במעגל.

טעות נפוצה: להסיק ש-$AC$ הוא הקוטר, כי הזוויות השוות נמצאות ב-$A$ וב-$C$. הזווית ב-$A$ נשענת על המיתר שמול $A$ - כלומר על $BD$.

לפי סעיף א, $BD$ קוטר. מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר:

הרדיוס הוא חצי מאורך הקוטר: $BD=12-2=10$, ולכן $R=5$.

טעות נפוצה: לקחת את אורך הקוטר כרדיוס ולכתוב $x^2+(y-7)^2=100$.

לפי סעיף א, $\angle C=90^\circ$, כלומר $DC\perp BC$.

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$:

הישר עובר דרך $D(0,2)$, שהיא נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-$y$:

טעות נפוצה: להפוך את השבר בלי להחליף סימן, $m_{DC}=-2$, ולקבל $y=-2x+2$.

$C$ נמצאת על הישר $DC$ ועל המעגל. מציבים $y=2x+2$ במשוואת המעגל:

$x=0$ נותן את $D(0,2)$, שגם היא על הישר ועל המעגל. לכן $x=4$, $y=2\cdot4+2=10$: $C(4,10)$.

בדיקה: שיפוע $BC$ הוא $\frac{10-12}{4-0}=-\frac12$, כנתון.

טעות נפוצה: לחלק את $5x^2-20x=0$ ב-$x$ בלי לבדוק, או לבחור את הפתרון $x=0$ ולענות $(0,2)$ - זו הנקודה $D$.

$E$ אמצע $DC$: $E=\left(\frac{0+4}{2},\frac{2+10}{2}\right)=(2,6)$.

הזווית $C$ ישרה, ולכן במשולש $BCE$ הניצבים הם $BC$ ו-$CE$:

טעות נפוצה: לקחת את כל הצלע $DC=\sqrt{80}$ כניצב ולקבל $\frac12\sqrt{20}\cdot\sqrt{80}=20$ - זה שטח המשולש $BCD$.

במשולש $BCE$ הזווית ב-$C$ ישרה, ולפי סעיף ד $BC=CE=\sqrt{20}$.

(משולש ישר-זווית ושווה-שוקיים.)

טעות נפוצה: לחשוב ש-$BE$ תיכון ולכן מאונך לצלע, ולענות $90^\circ$. תיכון מאונך לבסיס רק במשולש שווה-שוקיים שהבסיס שלו הוא הצלע הזאת.

$\angle DBE$ היא ההפרש בין $\angle DBC$ ל-$\angle EBC$.

במשולש $BCD$ (ישר-זווית ב-$C$): $DC=\sqrt{4^2+8^2}=\sqrt{80}$, ולכן

במשולש $BCE$ ישר-הזווית ושווה-השוקיים $\angle EBC=45^\circ$.

טעות נפוצה: לחשב $\tan\angle DBE=\frac{DE}{BE}=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{40}}$ ולקבל $35.26^\circ$ - המשולש $DBE$ אינו ישר-זווית, ולכן אין בו יחס טנגנס כזה.

הנקודות $A$, $O$, $B$ על ישר אחד, ולכן הזוויות $\angle AOE$, $\angle EOC$, $\angle COB$ יחד יוצרות זווית שטוחה:

$\angle EOC=90^\circ$ (זווית בין ציר ה-$y$ לציר ה-$x$), ולכן $\angle AOE+\angle BOC=90^\circ$.

במשולש $AOE$ הזווית $A$ היא זווית של הריבוע, $90^\circ$, ולכן $\angle AEO+\angle AOE=90^\circ$.

שתי הזוויות $\angle AEO$ ו-$\angle BOC$ משלימות את אותה זווית $\angle AOE$ ל-$90^\circ$, ולכן הן שוות.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\angle AOE=\angle BOC$ כזוויות קודקודיות. הן לא קודקודיות (הצלע $OE$ אינה המשך של $OC$), ומכאן מגיעים לטענה השגויה $\angle AEO=90^\circ-\angle BOC$ במקום $\angle AEO=\angle BOC$.

$\angle OAE=\angle CBO=90^\circ$ (זוויות הריבוע).

$\angle AEO=\angle BOC$ (סעיף א(1)).

לפי משפט הדמיון ז.ז.: $\Delta OAE\sim\Delta CBO$, וההתאמה: $O\leftrightarrow C$, $A\leftrightarrow B$, $E\leftrightarrow O$.

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר קודקודים שגוי, $\Delta OAE\sim\Delta BCO$ - ואז היחסים בסעיפים הבאים יוצאים הפוכים.

נסמן את צלע הריבוע ב-$a$. $O$ אמצע $AB$, ולכן $OA=BO=\frac a2$, ו-$CB=a$.

מהדמיון (לפי סדר הקודקודים):

טעות נפוצה: לעצור ב-$\frac{AE}{BO}=\frac12$ ולענות $\frac12$ - השאלה מבקשת את היחס ההפוך.

מאותו דמיון: $\frac{OE}{CO}=\frac{OA}{CB}=\frac12$.

$OE=5$, ולכן $OC=2\cdot5=10$.

$C$ על החלק החיובי של ציר ה-$x$: $C(10,0)$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולחשב $OC=\frac{5}{2}=2.5$ - הקטע $OC$ הוא היתר במשולש הגדול, ולכן הוא הארוך.

הצלע $BC$ עוברת דרך $C(10,0)$:

$AB\perp BC$ (זווית של ריבוע), ולכן שיפוע $AB$ הוא 2, והוא עובר דרך $O$: $y=2x$.

$B$ היא נקודת החיתוך של שני הישרים:

טעות נפוצה: לכתוב לישר $AB$ שיפוע $-2$ (הופכי בלי החלפת סימן) ולקבל $-2x=-\frac12x+5$, כלומר $B\left(-\frac{10}3,\frac{20}3\right)$.

שטח הריבוע הוא ריבוע אורך הצלע, ולכן אין צורך להוציא שורש:

טעות נפוצה: להשתמש ב-$OB^2=2^2+4^2=20$ כשטח - $OB$ הוא רק חצי מהצלע $AB$.

במשולש $OBC$ (ישר-זווית ב-$B$): $OB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}$, $BC=\sqrt{80}$:

במשולש $OCE$ (ישר-זווית ב-$O$):

לשתי זוויות חדות עם אותו טנגנס אותו גודל, ולכן $\angle BCO=\angle OCE$ (כ-$26.57^\circ$).

טעות נפוצה: להחליף בין הניצבים במשולש $OBC$, $\tan\angle BCO=\frac{BC}{OB}=2$, ולענות שהזוויות אינן שוות.

אסור שהמכנה יתאפס:

תחום ההגדרה: כל $x$ פרט ל-$x=\pm1$.

טעות נפוצה: לאפס את המונה במקום את המכנה ולענות $x\neq\pm\frac12$ - במקומות שבהם המונה מתאפס הפונקציה מוגדרת ושווה 0.

אסימפטוטות אנכיות: בנקודות שבהן המכנה מתאפס והמונה לא. ב-$x=\pm1$ המונה הוא $4-1=3\neq0$, ולכן $x=1$ ו-$x=-1$ הן אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטה אופקית: מעלת המונה שווה למעלת המכנה (2), ולכן היא יחס המקדמים המובילים:

טעות נפוצה: לחשוב שכשהמעלות שוות אין אסימפטוטה אופקית, או שהיא $y=0$. $y=0$ מתקבלת רק כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה.

חיתוך עם ציר ה-$y$: מציבים $x=0$:

חיתוך עם ציר ה-$x$: שבר מתאפס כשהמונה מתאפס (והמכנה לא):

טעות נפוצה: לפתור $4x^2=1$ כ-$x^2=4$ ולקבל $(\pm2,0)$ - מחלקים ב-4, לא כופלים.

נגזרת של מנה: $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, עם $u=4x^2-1$, $v=x^2-1$:

$f'(x)=0$ כש-$x=0$. המכנה תמיד חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $-6x$:

ל-$x<0$ (בתחום): $f'>0$ - עולה; ל-$x>0$: $f'<0$ - יורדת. לכן ב-$x=0$ מקסימום, ו-$f(0)=1$.

טעות נפוצה: להחליף את הסדר בנוסחת המנה ($uv'-u'v$), לקבל $f'(x)=\frac{6x}{(x^2-1)^2}$ ולענות $\min(0,1)$.

מסרטטים את האסימפטוטות $x=\pm1$ ו-$y=4$, ומסמנים את $(0,1)$ ואת $\left(\pm\frac12,0\right)$.

הפונקציה זוגית ($f(-x)=f(x)$), ולכן הגרף סימטרי לציר ה-$y$.

בין $-1$ ל-$1$: עולה עד המקסימום $(0,1)$ ויורדת, חותכת את ציר ה-$x$ ב-$\pm\frac12$, ושואפת ל-$-\infty$ ליד $x=\pm1$ (המכנה שלילי וקטן, המונה חיובי).

מימין ל-$x=1$: $f'<0$ - יורדת מ-$+\infty$ אל האסימפטוטה $y=4$. אפשר לראות שהיא נשארת מעל 4, כי $f(x)=4+\frac{3}{x^2-1}$ ו-$\frac{3}{x^2-1}>0$ כש-$|x|>1$. משמאל ל-$x=-1$ - בשיקוף.

טעות נפוצה: לסרטט את הענפים החיצוניים מתחת ל-$y=4$, כשהם עולים אל האסימפטוטה - אבל ב-$|x|>1$ מתקיים $f(x)=4+\frac{3}{x^2-1}>4$.

שיקוף ביחס לציר ה-$x$ הופך את האסימפטוטה $y=4$ ל-$y=-4$, והזזה ב-$k$ מעבירה אותה ל-$y=-4+k$.

טעות נפוצה: לשכוח את השיקוף ולכתוב $4+k=1$, כלומר $k=-3$.

$g(x)=-f(x)+5$. שיקוף ביחס לציר ה-$x$ הופך מקסימום למינימום ומשנה את הסימן של שיעור ה-$y$; ההזזה מוסיפה 5. שיעור ה-$x$ לא משתנה.

(בדיקה: $g'(x)=-f'(x)$ מחליפה סימן ב-$x=0$ ממינוס לפלוס.)

טעות נפוצה: להזיז את הנקודה בלי להפוך את סוגה ולענות $\max(0,4)$.

הנקודה $(6,0)$ על הגרף, ולכן $f(6)=0$:

מעלים בריבוע: $6+a=9$, כלומר $a=3$.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע את $6=2\sqrt{6+a}$ בלי להעלות בריבוע גם את ה-2: $36=2(6+a)$, ומשם $a=12$.

$f(x)=x-2\sqrt{x+3}$. הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי:

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי להחליף סימן ולענות $x\ge3$.

הנגזרת של $\sqrt{x+3}$ היא $\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$, ולכן:

סימן הנגזרת: כש-$-3<x<-2$, $\sqrt{x+3}<1$ ולכן $\frac{1}{\sqrt{x+3}}>1$ ו-$f'<0$ (יורדת); כש-$x>-2$, $f'>0$ (עולה). לכן $(-2,-4)$ מינימום.

נקודת הקצה של התחום: $f(-3)=-3$. מיד מימינה הפונקציה יורדת, ולכן $(-3,-3)$ היא נקודת מקסימום (קצה).

טעות נפוצה: להסתפק בנקודה שבה $f'=0$ ולענות רק $\min(-2,-4)$ - נקודת הקצה של התחום היא גם נקודת קיצון.

מסמנים את נקודת הקצה $(-3,-3)$, את המינימום $(-2,-4)$, את החיתוך עם ציר ה-$y$, $f(0)=-2\sqrt3\approx-3.46$, ואת $(6,0)$.

משמאל ל-$x=-3$ אין גרף. מ-$(-3,-3)$ הגרף יורד עד $(-2,-4)$, ומשם עולה, חותך את ציר ה-$x$ ב-$(6,0)$ וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: להמשיך את הגרף משמאל ל-$x=-3$ - שם הפונקציה אינה מוגדרת.

$f'(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ מוגדרת רק ל-$x>-3$ (לא בנקודה $-3$ עצמה), ולכן גרפים III ו-IV, שמתחילים בנקודת קצה, נפסלים.

כש-$x\to-3^+$: $\frac1{\sqrt{x+3}}\to\infty$, ולכן $f'\to-\infty$ - יש אסימפטוטה אנכית $x=-3$, והגרף מגיע אליה מלמטה.

$f'$ שלילית משמאל ל-$-2$ וחיובית מימין (הפונקציה יורדת ואז עולה), וכש-$x\to\infty$, $f'\to1$.

גרף II עולה מ-$-\infty$ ליד האסימפטוטה, חותך את ציר ה-$x$ ומתקרב לאסימפטוטה אופקית חיובית - זה גרף $f'$.