בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2024 מועד א'

בקופסאות הרגילות נארזים המלפפונים שאורכם קטן מ-12 ס"מ, ולכן מחפשים את $P(X<12)$.

מחשבים את ציון התקן של 12:

הטבלה המצטברת נותנת את השטח משמאל לציון התקן: $\Phi(0.48)=0.6844$.

כלומר 68.44% מהמלפפונים נארזים בקופסאות רגילות.

טעות נפוצה: לחשב $1-\Phi(0.48)=0.3156$ ולענות 31.56% - זה אחוז המלפפונים הארוכים מ-12 ס"מ, שנארזים בקופסאות הגדולות.

המלפפונים הקצרים במיוחד הם רבע מתוך הקבוצה של המלפפונים הקצרים מ-12 ס"מ, ולפי סעיף א הקבוצה הזאת היא 68.44% מכל המלפפונים.

רבע מתוך 68.44% מכל המלפפונים:

טעות נפוצה: לענות 25% - רבע הוא חלק מהמלפפונים הקצרים מ-12 ס"מ, לא מכל המלפפונים.

הקצרים במיוחד הם 17.11% הקצרים ביותר. האורך המבוקש $x$ הוא הגבול שמשמאלו 17.11% מהמלפפונים: $\Phi(z)=0.1711$.

השטח קטן מחצי, ולכן ציון התקן שלילי. בטבלה: $\Phi(0.95)=0.8289$, ולכן $\Phi(-0.95)=1-0.8289=0.1711$, כלומר $z=-0.95$.

מחזירים לאורך:

האורך של המלפפון הארוך ביותר מבין הקצרים במיוחד הוא 7.71 ס"מ.

טעות נפוצה: לקחת $z=+0.95$ ולקבל $x=10.56+2.85=13.41$ ס"מ - אורך שגדול אפילו מ-12, כלומר מלפפון שבכלל לא נמצא בקבוצת הקצרים.

ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן בדיוק 50% מהערכים קטנים מהממוצע. מכאן הממוצע במשלוח החדש: $\mu=11.5$.

12.5% ארוכים מ-14.26, ולכן השטח משמאל ל-14.26 הוא $1-0.125=0.875$.

בטבלה: $\Phi(1.15)=0.8749\approx0.875$, ולכן ציון התקן של 14.26 הוא $z=1.15$.

טעות נפוצה: להמשיך להשתמש בממוצע של המשלוח הקודם, 10.56, ולקבל $\sigma=\frac{14.26-10.56}{1.15}\approx3.22$ - במשלוח החדש הממוצע נקבע מהנתון "50% קצרים מ-11.5".

כל זוג הוא נקודה $(x,y)$: מספר הילדים על הציר האופקי וההוצאה על הציר האנכי.

הנקודות: $(0,1500)$, $(1,1800)$, $(3,2900)$, $(4,3800)$.

על ציר $x$ מסמנים 0, 1, 3, 4, ועל ציר $y$ מסמנים 1,500, 1,800, 2,900, 3,800. הנקודות עולות משמאל לימין, קרוב לקו ישר.

טעות נפוצה: להחליף בין הצירים ולשים את ההוצאה על הציר האופקי - המשתנה $x$ (מספר הילדים) תמיד על הציר האופקי.

טעות נפוצה: לחלק את סכום הילדים ב-3 (כי לזוג הראשון אין ילדים) ולקבל $\frac83$ - הזוג בלי ילדים הוא תצפית עם $x=0$ ונספר במכנה.

הסטיות מהממוצע: ב-$x$: $-2,-1,1,2$; ב-$y$: $-1000,-700,400,1300$.

טעות נפוצה: לא לחלק את סכום המכפלות ב-$n$ ולהציב 5,700 במונה - מתקבל $r\approx3.95$, ומקדם מתאם אף פעם אינו גדול מ-1.

שיפוע ישר הרגרסיה של $y$ על פי $x$:

הישר עובר דרך נקודת הממוצעים $(2,2500)$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולחשב $b=r\cdot\frac{S_x}{S_y}\approx0.0017$ - זה השיפוע של ישר הניבוי של $x$ לפי $y$, והוא נותן $\hat y\approx0.0017x+2500$, ישר כמעט אופקי.

עלייה של 6% פירושה שכל ערך של $y$ הוכפל ב-1.06.

כשמכפילים את כל הנתונים בקבוע חיובי, גם כל הסטיות מהממוצע מוכפלות בו, ולכן סטיית התקן מוכפלת באותו קבוע: $S_{y'}=1.06\cdot S_y$.

$1.06>1$, ולכן סטיית התקן גדלה.

טעות נפוצה: לחשוב שסטיית התקן "לא משתנה כי כל הזוגות השתנו באותה מידה" - זה נכון רק להוספת קבוע, לא להכפלה באחוז.

ההכפלה ב-1.06 היא שינוי יחידות של $y$: המונה $\text{cov}(x,y)$ מוכפל ב-1.06, וגם המכנה $S_xS_y$ מוכפל ב-1.06.

המתאם אינו תלוי בשינוי יחידות (הכפלה בקבוע חיובי), ולכן הוא לא השתנה.

טעות נפוצה: לענות "גדל" - ההוצאות גדלו, אבל עוצמת הקשר בין מספר הילדים להוצאה לא השתנתה.

נסמן ב-$F$ את המאורע "הדירה משופצת". מספר המשופצות גדול פי 4 ממספר הלא משופצות, ולכן גם ההסתברויות באותו יחס:

טעות נפוצה: לפרש "פי 4" כ"רבע מהדירות אינן משופצות", כלומר $P(\bar F)=\frac14$ ו-$P(F)=0.75$ - אם המשופצות הן 4 חלקים והלא משופצות חלק אחד, יש 5 חלקים, ולכן $P(\bar F)=\frac15$.

הנתון "32% מן הדירות הפונות לכיוון הכביש הן משופצות" הוא הסתברות מותנית: $P(F\mid \text{כביש})=0.32$.

הסתברות שדירה פונה לכביש: $P(\text{כביש})=1-\frac34=0.25$.

לפי כלל הכפל:

טעות נפוצה: לכפול ב-$P(F)$ במקום ב-$P(\text{כביש})$: $0.8\cdot0.32=0.256$ - ה-32% נמדדים מתוך הדירות שפונות לכביש.

מסדרים את הנתונים בטבלה דו-ממדית (הסתברויות):

בשורת הכביש: $P(\text{כביש}\cap\bar F)=0.25-0.08=0.17$.

הבחירה היא מתוך הדירות שאינן משופצות, ולכן התנאי הוא $\bar F$:

טעות נפוצה: להפוך את כיוון ההתניה ולחשב $P(\bar F\mid \text{כביש})=\frac{0.17}{0.25}=0.68$ - כאן יודעים שהדירה אינה משופצת ושואלים לאן היא פונה.

לפי סעיף א(2), הדירות שפונות לכביש ומשופצות הן 0.08 מכל הדירות. נסמן ב-$N$ את מספר הדירות במתחם:

מהטבלה: $P(\text{פארק}\cap F)=0.8-0.08=0.72$.

טעות נפוצה: להניח שהכיוון והשיפוץ בלתי תלויים ולחשב $0.75\cdot0.8\cdot600=360$ - הנתונים מראים שהם תלויים (בכביש רק 32% משופצות), ולכן משתמשים בתא מהטבלה.

$AB\parallel DC$ ו-$\angle D=90^\circ$, ולכן גם $\angle A=90^\circ$ (זוויות חד-צדדיות בין מקבילים משלימות ל-$180^\circ$). כלומר $AB\perp AD$.

שיפוע $AD$ הוא $-2$. מכפלת שיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$, ולכן שיפוע $AB$ הוא $\frac12$.

$AB$ עובר דרך $E(2,7)$:

$B$ על ציר ה-$y$ ($x=0$): $B(0,6)$.

טעות נפוצה: להעביר דרך $E$ ישר עם השיפוע של $AD$: $y=-2x+11$, ולקבל $B(0,11)$ - $AB$ מאונך ל-$AD$, לא מקביל לו.

$C$ על ציר ה-$x$, נסמן $C(c,0)$. לפי נוסחת המרחק בין $B(0,6)$ ל-$C$:

$c=\pm6$. $C$ על החלק השלילי של ציר ה-$x$, ולכן $C(-6,0)$.

טעות נפוצה: לא להעלות בריבוע את ההפרש ב-$y$ ולכתוב $c^2+6=72$, כלומר $c=-\sqrt{66}\approx-8.12$.

המשולש $CBO$ ישר זווית ב-$O$ (הצירים מאונכים). הניצבים: $OC=6$ (מול הזווית $CBO$) ו-$OB=6$ (ליד הזווית).

טעות נפוצה: לחשב במחשבון במצב רדיאנים ולקבל $\tan^{-1}(1)\approx0.785$ - יש לוודא שהמחשבון במעלות.

$CD\parallel AB$, ולכן לשניהם אותו שיפוע: $\frac12$.

$CD$ עובר דרך $C(-6,0)$:

טעות נפוצה: להשתמש בשיפוע של $AD$ ($-2$) כי "CD מאונך ל-AD" ולקבל $y=-2x-12$ - הישר המאונך ל-$AD$ שיפועו $\frac12$, לא $-2$.

$H$ היא נקודת החיתוך של $CD$ עם ציר ה-$y$: $H(0,3)$, ו-$B(0,6)$ נמצאת מעליה.

זווית השיפוע של $CD$: $\tan\alpha=\frac12$, ולכן $\alpha=\angle HCO\approx26.57^\circ$.

הזווית $CHB$ היא זווית חיצונית למשולש $CHO$ (ליד הקודקוד $H$), ולכן שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה:

טעות נפוצה: לחשב את הזווית $CHO$ שבתוך המשולש, $90^\circ-26.57^\circ=63.43^\circ$ - הזווית $CHB$ פונה כלפי מעלה, לכיוון $B$, והיא הצמודה לה.

ניקח את $BE$ כבסיס. הקודקוד $C$ נמצא על $CD$, ולכן הגובה ממנו לבסיס $AB$ הוא המרחק בין הבסיסים המקבילים - גובה הטרפז, שהוא $AD$ (כי $AD$ מאונכת לשני הבסיסים).

$A$ = חיתוך $AB$ ו-$AD$: $\frac12x+6=-2x+16$, $x=4$: $A(4,8)$.

$D$ = חיתוך $CD$ ו-$AD$: $\frac12x+3=-2x+16$, $x=5.2$: $D(5.2,5.6)$.

טעות נפוצה: לקחת את $BC$ כגובה ולחשב $\frac12\sqrt5\cdot\sqrt{72}\approx9.49$ - $BC$ אינו מאונך לבסיס $BE$.

$MA$ הוא רדיוס, ו-$CD$ משיק למעגל ב-$A$. משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן $\angle MAC=\angle MAD=90^\circ$.

$AM$ חוצה את הזווית $CMD$, ולכן $\angle CMA=\angle DMA$.

במשולשים $CMA$ ו-$DMA$: $\angle CMA=\angle DMA$, הצלע $MA$ משותפת, ו-$\angle MAC=\angle MAD$. לכן $\triangle CMA\cong\triangle DMA$ לפי ז.צ.ז.

מהחפיפה: $MC=MD$ (צלעות מתאימות), כלומר המשולש $CMD$ שווה שוקיים.

טעות נפוצה: להסיק $MC=MD$ רק מכך ש-$AM$ חוצה זווית - בלי הזווית הישרה (רדיוס מאונך למשיק) אין חפיפה; חוצה זווית לבדו אינו מבטיח שוקיים שוות.

$B$ על ציר ה-$y$: מציבים $x=0$ במשוואת המעגל:

שיעור ה-$y$ של $B$ גדול מ-8, ולכן $B(0,14)$.

המרכז $M(-3,8)$ הוא אמצע הקוטר $AB$: $\frac{x_A+0}{2}=-3$, $\frac{y_A+14}{2}=8$, ולכן $A(-6,2)$.

טעות נפוצה: לחשב את $A$ כאמצע של $B$ ו-$M$: $\left(\frac{0-3}{2},\frac{14+8}{2}\right)=(-1.5,11)$ - $M$ הוא האמצע, ו-$A$ הוא הקצה השני של הקוטר.

שיפוע הרדיוס $MA$: $m_{MA}=\frac{8-2}{-3-(-6)}=\frac63=2$.

המשיק $CD$ מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן שיפועו $-\frac12$, והוא עובר דרך $A(-6,2)$:

$CM$ מקביל לציר ה-$x$, ולכן ל-$C$ אותו שיעור $y$ כמו ל-$M$: $y_C=8$.

טעות נפוצה: לקחת למשיק את השיפוע $-2$ (רק להפוך סימן) ולקבל $y=-2x-10$ ו-$C(-9,8)$ - שיפוע מאונך הוא ההופכי עם סימן הפוך: $-\frac12$.

במשולשים $CMD$ ו-$EMF$ הזווית $M$ משותפת.

$E$ אמצע $CM$, ולכן $\frac{ME}{MC}=\frac12$; $F$ אמצע $DM$, ולכן $\frac{MF}{MD}=\frac12$.

שתי צלעות פרופורציונליות והזווית שביניהן שווה, ולכן $\triangle CMD\sim\triangle EMF$ (צ.ז.צ).

(דרך נוספת: $EF$ קטע אמצעים במשולש $CMD$, ולכן $EF\parallel CD$, והזוויות המתאימות שוות - דמיון ז.ז.)

טעות נפוצה: לכתוב את היחס בסדר לא מתאים, למשל $\frac{ME}{MD}$ - היחסים חייבים להיות בין צלעות מתאימות, שתיהן על אותה שוק של הזווית $M$.

יחס הדמיון בין $CMD$ ל-$EMF$ הוא $\frac{MC}{ME}=2$.

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לענות 2 - זה יחס האורכים; השטח תלוי בשני ממדים, ולכן היחס מועלה בריבוע.

פונקציה רציונלית מוגדרת בכל מקום שבו המכנה שונה מ-0:

טעות נפוצה: לכתוב רק $x\ne3$ - ל-$x^2=9$ יש שני פתרונות.

אסימפטוטות אנכיות: בנקודות אי-ההגדרה המונה $2x^2=18\ne0$, ולכן $x=3$ ו-$x=-3$ הן אסימפטוטות.

אסימפטוטה אופקית: כש-$x\to\pm\infty$ המנה $\frac{2x^2}{x^2-9}$ שואפת ליחס המקדמים המובילים, $\frac21=2$, ולכן:

טעות נפוצה: לשכוח את ה-$+4$ ולכתוב $y=2$ - הקבוע שמתווסף למנה מזיז גם את האסימפטוטה.

גוזרים לפי נגזרת של מנה (הקבוע 4 נגזר ל-0):

$f'(x)=0$ רק כאשר $x=0$. המכנה חיובי תמיד, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $-36x$:

$f(0)=0+4=4$, ולכן $\max(0,4)$.

טעות נפוצה: לגזור את המנה בסדר הפוך (מכנה כפול נגזרת המונה פחות...), לקבל $f'=\frac{36x}{(x^2-9)^2}$ ולהסיק $\min(0,4)$.

עם ציר ה-$y$: $f(0)=4$, הנקודה $(0,4)$.

עם ציר ה-$x$: $f(x)=0$:

$\pm\sqrt6\approx\pm2.45$ בתחום ההגדרה. הנקודות: $(\sqrt6,0)$, $(-\sqrt6,0)$.

טעות נפוצה: להשוות רק את המונה לאפס, $2x^2=0$, ולענות שהגרף חותך את ציר ה-$x$ ב-$(0,0)$ - אבל $f(0)=4$; האפסים של מנה ועוד קבוע הם לא האפסים של המונה.

משרטטים את האסימפטוטות $x=\pm3$ ו-$y=6$.

בתחום $-3<x<3$: המכנה שלילי, ולכן $\frac{2x^2}{x^2-9}\le0$ ו-$f\le4$. הגרף עולה עד $(0,4)$ ויורד, חותך את ציר ה-$x$ ב-$\pm\sqrt6$ ושואף ל-$-\infty$ כש-$x\to\pm3$.

בתחום $|x|>3$: המנה גדולה מ-2, ולכן $f>6$. משמאל ל-$-3$ הגרף עולה (לפי טבלת הסימנים) מ-6 ל-$+\infty$; מימין ל-3 הוא יורד מ-$+\infty$ ל-6.

הגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$ (הפונקציה זוגית).

טעות נפוצה: לצייר את הענפים החיצוניים מתחת ל-$y=6$ (כמו "המשך" של הכיפה) - בתחום $|x|>3$ מתקיים $\frac{2x^2}{x^2-9}>2$, ולכן $f>6$.

לפי סעיף ב: $f'>0$ בתחומים $x<-3$ ו-$-3<x<0$, $f'(0)=0$, ו-$f'<0$ בתחומים $0<x<3$ ו-$x>3$.

גרפים I ו-II: בענף האמצעי הם עולים, ושליליים מיד מימין ל-$-3$ - אבל שם $f$ עולה ו-$f'>0$. נפסלים.

גרף III: חותך את ציר ה-$x$ בנקודה חיובית ולא ב-$x=0$, כלומר לפיו $f'(0)>0$ - אבל ל-$f$ יש קיצון ב-$x=0$. נפסל.

גרף IV: חיובי משמאל ל-$-3$ ובין $-3$ ל-0, מתאפס בראשית, ושלילי מימין לה - מתאים.

טעות נפוצה: לבחור את גרף I (עולה דרך הראשית), מתוך מחשבה שבמקסימום הנגזרת עוברת משלילית לחיובית - במקסימום היא עוברת מחיובית לשלילית.

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בה.

(1) בתחום $x>3$: $f'(x)=\frac{-36x}{(x^2-9)^2}<0$ (המונה שלילי, המכנה חיובי) - $f$ יורדת והשיפוע שלילי. ההיגד לא נכון.

(2) בתחום $x<-3$: המונה $-36x>0$, ולכן $f'>0$ - $f$ עולה והשיפוע חיובי. ההיגד נכון.

טעות נפוצה: לבדוק את סימן $f$ במקום את סימן $f'$: בתחום $x>3$ מתקיים $f>6>0$, ולכן לענות ש-(1) נכון - הפונקציה חיובית שם, אבל יורדת.