בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2026 מועד א'

32.6% מן הצמחים קצרים מ-55 ס"מ, ולכן $\Phi(z)=0.326$, כאשר $z$ הוא ציון התקן של 55.

ההסתברות קטנה מ-0.5, ולכן $z$ שלילי (55 קטן מהממוצע). בטבלה מחפשים את המשלים: $1-0.326=0.674$, ומוצאים $\Phi(0.45)=0.6736\approx0.674$.

לפי הסימטריה $\Phi(-0.45)=0.326$, ולכן $z=-0.45$.

מציבים בהגדרת ציון התקן:

סטיית התקן היא 20 ס"מ.

טעות נפוצה: לפרש את 32.6% כשטח שבין הממוצע ל-55 ולחפש בטבלה $0.5+0.326=0.826$. כך מתקבל $z=0.94$ ו-$S=\frac{9}{0.94}\approx9.57$ ס"מ. 32.6% הם כל הצמחים שקצרים מ-55 ס"מ, כלומר השטח משמאל ל-55.

ציון התקן של 80:

בטבלה: $\Phi(0.8)=0.7881$ - זה החלק של הצמחים שקצרים מ-80 ס"מ.

הצמחים שנשלחו לייצוא ארוכים מ-80 ס"מ, ולכן לוקחים את המשלים:

כ-21.2% מן הצמחים נשלחו לייצוא.

טעות נפוצה: לענות 78.8% - זה הערך שבטבלה, $\Phi(0.8)$, כלומר אחוז הצמחים שקצרים מ-80 ס"מ. הטבלה נותנת תמיד את השטח משמאל לערך.

9,540 צמחים הם 21.2% מכל הצמחים במשתלה, ולכן מספר הצמחים הכולל הוא:

הצמחים שלא נשלחו לייצוא ולא נמכרו לחנויות הם אלה שאורכם בין 55 ל-80 ס"מ. החלק שלהם הוא המשלים של שני הזנבות:

20,790 צמחים לא נשלחו לייצוא ולא נמכרו לחנויות מקומיות.

טעות נפוצה: להחסיר רק את הצמחים שנשלחו לייצוא, $45{,}000-9{,}540=35{,}460$, ולשכוח את 32.6% שנמכרו לחנויות המקומיות.

החלק של הצמחים שנמכרו לחנויות: $\frac{4000}{40000}=0.1$, כלומר 10% קצרים מ-55 ס"מ.

$\Phi(z)=0.1$: ההסתברות קטנה מ-0.5 ולכן $z$ שלילי. בטבלה $\Phi(1.28)=0.8997\approx0.9$, ולכן $z=-1.28$.

מציבים בהגדרת ציון התקן, כשהפעם הממוצע הוא הנעלם:

האורך הממוצע הוא 87 ס"מ. בדיקה: 55 קטן מהממוצע, כמו שמתאים לזנב של 10%.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולקבל $\bar x=55-32=23$ ס"מ. אם רק 10% מן הצמחים קצרים מ-55 ס"מ, הממוצע חייב להיות גדול מ-55.

מחברים את חמשת הערכים ומחלקים במספר החברות:

ממוצע ההוצאות על פרסום הוא 20 אלף שקלים.

טעות נפוצה: לחלק ב-4 (מספר הרווחים בין הערכים) במקום ב-5, ולקבל 25 אלף שקלים.

הסטיות מהממוצע: $-10,\ -5,\ 0,\ 5,\ 10$.

השונות היא ממוצע ריבועי הסטיות:

סטיית התקן היא השורש של השונות:

טעות נפוצה: לעצור בשונות ולענות $S_x=50$. סטיית התקן היא שורש השונות, ונמדדת באותן יחידות כמו הנתונים.

מקדם המתאם: $r=\frac{\text{cov}(x,y)}{S_x\cdot S_y}$, כאשר $\text{cov}(x,y)$ הוא ממוצע המכפלות של הסטיות מהממוצעים.

הסטיות של $x$: $-10,\ -5,\ 0,\ 5,\ 10$. הסטיות של $y$ מהממוצע 31: $-15,\ -14,\ -11,\ 3,\ 37$.

המכפלות: $150,\ 70,\ 0,\ 15,\ 370$, וסכומן 605.

זה קשר חיובי חזק.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק את סכום המכפלות ב-5 ולחשב $r=\frac{605}{5\sqrt2\cdot8\sqrt6}\approx4.37$. מקדם מתאם תמיד בין $-1$ ל-$1$, ולכן תוצאה כזאת מסמנת טעות בחישוב.

שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$:

ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים $(20,31)$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולחשב $m=r\cdot\frac{S_x}{S_y}\approx0.315$, כלומר $y=0.315x+24.7$ - זה שיפוע הישר לניבוי $x$ על פי $y$ (הפוך), לא לניבוי $y$.

ההוצאות על פרסום הן המשתנה $x$, ולכן מציבים $x=24$ בישר מסעיף ג(1):

הניבוי: הכנסות של 40.68 אלף שקלים.

טעות נפוצה: להציב 24 במקום $y$ ולפתור $24=2.42x-17.4$, כך שמתקבל $x\approx17.11$. הנתון הוא ההוצאות על פרסום, כלומר $x$.

גידול של 15% הוא כפל כל הכנסה ב-1.15. כשכופלים כל ערך בקבוע, גם הממוצע וגם סטיית התקן מוכפלים בו.

I: סטיית התקן החדשה $1.15\cdot8\sqrt6=9.2\sqrt6\ne10\sqrt6$. ההיגד לא נכון.

II: מקדם המתאם לא משתנה בכפל בקבוע חיובי, אבל $S_y$ גדל פי 1.15, ולכן השיפוע $m=r\cdot\frac{S_y}{S_x}$ גדל פי 1.15: $2.42\cdot1.15=2.783$. ההיגד לא נכון.

III: הממוצע החדש של ההכנסות $31\cdot1.15=35.65$, וממוצע ההוצאות נשאר 20. ישר רגרסיה עובר תמיד בנקודת הממוצעים, ולכן $(20,35.65)$ על הישר החדש. ההיגד נכון.

טעות נפוצה: לקבוע שהיגד II נכון "כי מקדם המתאם לא השתנה". $r$ אכן לא משתנה, אבל השיפוע תלוי גם ביחס בין סטיות התקן, ו-$S_y$ גדל פי 1.15.

נסמן את ההסתברות לבחור פלפל קטן ב-$p$. הפלפלים הגדולים רבים פי 4, ולכן ההסתברות לבחור פלפל גדול היא $4p$.

כל פלפל הוא גדול או קטן, ולכן סכום ההסתברויות הוא 1:

טעות נפוצה: לענות $\frac14=0.25$ - זה היחס בין מספר הקטנים למספר הגדולים, ולא החלק של הקטנים מכל הפלפלים (מתוך כל 5 פלפלים, אחד קטן).

בונים עץ הסתברויות. בשלב הראשון: גדול (0.8) או קטן (0.2).

בשלב השני: גדול $\to$ אדום (0.6) או צהוב (0.4); קטן $\to$ אדום (0.75) או ירוק (0.25).

"גדול צהוב" הוא ענף אחד בעץ, וכופלים לאורכו:

טעות נפוצה: לענות 0.4 - זה החלק של הצהובים בין הפלפלים הגדולים בלבד (הסתברות מותנית). השאלה היא על פלפל שנבחר מבין כל הפלפלים.

יש שני ענפים שמסתיימים באדום - גדול אדום וקטן אדום. מחברים אותם:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע פשוט של שני האחוזים, $\frac{0.6+0.75}{2}=0.675$. הגדולים רבים יותר, ולכן לאחוז שלהם משקל גדול יותר.

זו הסתברות מותנית: מבין הפלפלים האדומים, איזה חלק גדולים.

טעות נפוצה: להפוך את ההתניה ולענות 0.6 - זו ההסתברות שפלפל גדול הוא אדום, ולא ההסתברות שפלפל אדום הוא גדול.

אחוז הגדולים בבית אריזה א' הוא החלק של הגדולים מבין האדומים - ההסתברות המותנית מסעיף ג(2): $0.762$.

לבית אריזה ב' מגיעים הפלפלים שאינם אדומים: $1-0.63=0.37$ מכלל הפלפלים. מתוכם הגדולים הם הצהובים, $0.32$ (סעיף ב).

$0.762<0.865$, ולכן אחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה א' קטן מאחוזם בבית אריזה ב'.

טעות נפוצה: להשוות את ההסתברויות של "גדול ואדום" ($0.48$) ו"גדול וצהוב" ($0.32$) ולקבוע שבבית אריזה א' האחוז גדול יותר. אלה חלקים מכל הפלפלים במשק, ולא אחוזים בתוך כל בית אריזה - צריך לחלק בגודל של כל בית אריזה.

$AC\perp CD$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$. שיפוע $CD$ הוא $-2$, ולכן שיפוע $AC$ הוא $\frac12$.

הנקודה $E(4,15)$ נמצאת על $AC$ (היא אמצע הצלע):

טעות נפוצה: לקחת רק את הסימן ההפוך, שיפוע $2$, ולקבל $y=2x+7$. שיפוע של ישר מאונך הוא ההופכי עם סימן הפוך: $-\frac{1}{-2}=\frac12$.

$C$ הוא נקודת החיתוך של $AC$ ו-$CD$:

$y=-2\cdot10+38=18$, ולכן $C(10,18)$.

טעות נפוצה: להעביר אגפים בלי להפוך סימן, $\frac12x-2x=25$, ולקבל $x\approx-16.67$ - נקודה משמאל לציר ה-$y$, בניגוד לסרטוט.

$E$ אמצע $AC$, ולכן $E=\frac{A+C}{2}$, כלומר $A=2E-C$:

המשולש שווה שוקיים, ולכן $AB=AC$:

$AB=\sqrt{180}=6\sqrt5\approx13.42$.

טעות נפוצה: לחשב את $A$ כאמצע הקטע $EC$, $A=\left(7,16.5\right)$, ולקבל $AB=AC=\sqrt{11.25}\approx3.35$. הנקודה $E$ היא האמצע, ולכן $A$ נמצאת מהצד השני של $E$.

$B$ על ציר ה-$x$, ולכן $B(b,0)$, ו-$AB^2=180$:

$b+2=6$ או $b+2=-6$, כלומר $b=4$ או $b=-8$.

$B$ על החלק השלילי של ציר ה-$x$, ולכן $B(-8,0)$.

טעות נפוצה: לקחת רק את השורש החיובי, $b+2=6$, ולענות $B(4,0)$ - נקודה על החלק החיובי של הציר.

הזווית שבין ישר לכיוון החיובי של ציר ה-$x$ מקיימת $\tan\alpha=m$ (השיפוע). $BD$ מונח על ציר ה-$x$, ו-$D$ מימין ל-$B$.

שיפוע $AB$: $\frac{12-0}{-2-(-8)}=\frac{12}{6}=2$, ולכן $\tan\angle ABD=2$, $\angle ABD\approx63.435^\circ$.

שיפוע $BC$: $\frac{18-0}{10-(-8)}=\frac{18}{18}=1$, ולכן $\tan\angle CBD=1$, $\angle CBD=45^\circ$.

טעות נפוצה: לחשב שיפוע כהפרש ה-$x$ חלקי הפרש ה-$y$. ל-$AB$ מתקבל $\frac{6}{12}=\frac12$ ו-$\angle ABD\approx26.57^\circ$ - זו הזווית שבין $AB$ לציר ה-$y$.

$\angle ABC=\angle ABD-\angle CBD\approx63.435^\circ-45^\circ=18.435^\circ$.

$AB=\sqrt{180}$, ו-$BC=\sqrt{18^2+18^2}=18\sqrt2$.

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן:

בדיקה: המרחק מ-$B(-8,0)$ לישר $x-2y+26=0$ (הישר $AC$) הוא $\frac{|-8+26|}{\sqrt5}=\frac{18}{\sqrt5}$, ו-$\frac12\cdot\sqrt{180}\cdot\frac{18}{\sqrt5}=54$.

טעות נפוצה: להציב בנוסחת השטח את $\angle ABD$ במקום $\angle ABC$, ולקבל $\frac12\cdot\sqrt{180}\cdot18\sqrt2\cdot\sin63.435^\circ\approx152.7$. הזווית בנוסחה היא הזווית שבין שתי הצלעות שמציבים.

הזווית $CAB$ היא זווית היקפית שנשענת על הקוטר $CB$, ולכן $\angle CAB=90^\circ$.

כלומר $AC\perp AB$.

$AB$ מקבילה לציר ה-$y$, ולכן $AC$ מאונכת לציר ה-$y$.

ישר המאונך לציר ה-$y$ מקביל לציר ה-$x$, ולכן $AC\parallel x$.

טעות נפוצה: לקבוע שהזווית הישרה היא $\angle ACB$ ("הזווית שליד הקוטר") ולהסיק ש-$AC\perp CB$. זווית היקפית הנשענת על קוטר נמצאת בקודקוד שאינו על הקוטר - כאן $A$.

$\angle BAC=90^\circ$ (סעיף א(1)).

$CF$ משיק למעגל ב-$C$, ו-$CB$ קוטר שעובר בנקודת ההשקה. משיק מאונך לרדיוס (ולקוטר) בנקודת ההשקה, ולכן $\angle FCD=90^\circ$.

$AC\parallel FD$ (סעיף א(1); $FD$ מונח על ציר ה-$x$), ו-$CD$ חותך את שניהם. לכן $\angle ACB=\angle CDF$ (זוויות מתחלפות).

שתי זוויות שוות: $\triangle ABC\sim\triangle CFD$ (ז.ז.), כאשר $A\leftrightarrow C$, $B\leftrightarrow F$, $C\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\angle ACB=\angle CFD$ "כי שתיהן זוויות חדות ליד הבסיס". הזוויות המתחלפות נוצרות על ידי החותך $CD$, ולכן הזווית השווה ל-$\angle ACB$ היא $\angle CDF$, ולא $\angle CFD$.

$F$ היא נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה-$x$, ולכן מציבים $y=0$:

$F(-23.25,0)$ ו-$D(8,0)$ על ציר ה-$x$, ולכן:

טעות נפוצה: לכפול ב-$\frac43$ במקום לחלק בו, $x=-31\cdot\frac43\approx-41.33$, ולקבל $FD\approx49.33$.

$CD$ מכיל את הקוטר $CB$, ולכן $CD\perp CF$ (סעיף א(2)).

שיפוע המשיק $\frac43$, ולכן שיפוע $CD$ הוא $-\frac34$.

$CD$ עובר דרך $D(8,0)$:

טעות נפוצה: להפוך את השבר בלי להפוך את הסימן, שיפוע $\frac34$, ולקבל $y=\frac34x-6$ - ישר שאינו מאונך למשיק.

$C$ היא נקודת החיתוך של המשיק עם $CD$:

$y=-\frac34\cdot(-12)+6=15$, ולכן $C(-12,15)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בפתרון המשוואה ($x=12$), לקבל $C(12,-3)$ ו-$CD=5$ - נקודה מתחת לציר ה-$x$, בניגוד לסרטוט.

היקף המשולש $CFD$: $FD=31.25$, $CD=25$, ו-$CF$ לפי מרחק בין $C(-12,15)$ ל-$F(-23.25,0)$:

יחס ההיקפים של משולשים דומים שווה ליחס הדמיון:

טעות נפוצה: להשתמש בריבוע יחס הדמיון (כמו ביחס שטחים): $75\cdot\frac{64}{625}=7.68$. היקף הוא אורך, ולכן הוא מוכפל ביחס הדמיון עצמו.

בשבר $\frac{72-18x}{x^2+9}$ מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן כאשר $x\to\pm\infty$ השבר שואף ל-0.

לכן $f(x)\to0-1=-1$, והאסימפטוטה האופקית היא $y=-1$.

טעות נפוצה: לענות $y=0$ ("מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה") ולשכוח את ה-$-1$ שמחוץ לשבר.

חיתוך עם ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{72}{9}-1=8-1=7$, הנקודה $(0,7)$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $f(x)=0$, כלומר $\frac{72-18x}{x^2+9}=1$. המכנה חיובי תמיד, ולכן כופלים בו:

$x=-21$ או $x=3$: הנקודות $(-21,0)$ ו-$(3,0)$.

טעות נפוצה: להשוות רק את המונה של השבר לאפס, $72-18x=0$, ולקבל נקודה אחת $(4,0)$ - בלי ה-$-1$ זו לא אותה פונקציה.

גוזרים לפי כלל המנה $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ עם $u=72-18x$, $v=x^2+9$ (נגזרת הקבוע $-1$ היא 0):

$f'(x)=0$: $x^2-8x-9=0$, $(x-9)(x+1)=0$, כלומר $x=-1$ או $x=9$.

המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $18(x-9)(x+1)$: חיובי עבור $x<-1$, שלילי עבור $-1<x<9$, חיובי עבור $x>9$.

$f(-1)=\frac{90}{10}-1=8$, $f(9)=\frac{72-162}{90}-1=-2$.

$x=-1$: עלייה ואחריה ירידה - מקסימום $(-1,8)$. $x=9$: ירידה ואחריה עלייה - מינימום $(9,-2)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן של האיבר השני במונה ולכתוב $-18(x^2+9)+2x(72-18x)=-54x^2+144x-162=-18(3x^2-8x+9)$. לביטוי הזה אין אפסים, ומסיקים בטעות שאין לפונקציה נקודות קיצון.

מטבלת הסימנים של $f'(x)$ בסעיף ג(1):

עלייה ($f'>0$): $x<-1$ או $x>9$. ירידה ($f'<0$): $-1<x<9$.

טעות נפוצה: לקבוע עלייה וירידה לפי הסימן של $f(x)$ עצמה - $f>0$ בין $-21$ ל-$3$ - ולענות "עלייה: $-21<x<3$".

מסכמים: אסימפטוטה $y=-1$; חיתוכים $(-21,0)$, $(0,7)$, $(3,0)$; מקסימום $(-1,8)$; מינימום $(9,-2)$; עלייה עד $x=-1$, ירידה עד $x=9$, ועלייה אחר כך.

משמאל: עבור $x<-21$ השבר חיובי וקטן מ-1, ולכן $-1<f(x)<0$ - הגרף מתקרב לאסימפטוטה $y=-1$ מלמעלה, ועולה לעבר $(-21,0)$.

באמצע: ממשיך לעלות עד $(-1,8)$, יורד דרך $(0,7)$ ו-$(3,0)$ עד $(9,-2)$ - מתחת לאסימפטוטה.

מימין: עולה מ-$(9,-2)$ לעבר $y=-1$, ומתקרב אליה מלמטה (בלי לחצות אותה, כי אין עוד נקודות קיצון).

טעות נפוצה: לצייר את הזנב השמאלי מתחת ל-$y=-1$. כדי להגיע משם לנקודה $(-21,0)$ הגרף היה צריך לרדת ואז לעלות - כלומר מינימום נוסף, שאינו קיים.

כאשר $x\to\pm\infty$, $f(x)\to-1$, ולכן $g(x)=|f(x)|\to|-1|=1$.

האסימפטוטה האופקית של $g$ היא $y=1$.

טעות נפוצה: לחשוב שערך מוחלט "מבטל" את האסימפטוטה, כי הגרף "מתהפך", ולענות שאין ל-$g$ אסימפטוטה אופקית. השיקוף ביחס לציר ה-$x$ מעביר גם את הישר $y=-1$ אל $y=1$.

הגרף של $g=|f|$: החלקים שבהם $f\ge0$ נשארים, והחלקים שבהם $f<0$ משתקפים מעל ציר ה-$x$.

לפי סעיף ה(1) ל-$g$ אסימפטוטה $y=1$ - גרפים I ו-II מתקרבים לציר ה-$x$ בקצוות, ולכן נפסלים.