בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2026 מועד ב'

נסמן ב-$\mu$ את הממוצע. נתון: $\sigma=800$ ו-$P(X<6944)=0.375$.

ההסתברות קטנה מ-$0.5$, ולכן 6,944 נמצא משמאל לממוצע וציון התקן שלו שלילי.

בטבלה מחפשים $\Phi(z)=1-0.375=0.625$: הערך הקרוב ביותר הוא $\Phi(0.32)=0.6255$, ולכן $z=-0.32$.

מציבים בהגדרת ציון התקן:

ממוצע מספר הצעדים היומי: 7,200.

טעות נפוצה: לקחת $z=+0.32$ (בלי לשים לב שהאחוז קטן מ-50%) ולקבל $\mu=6944-256=6688$ - ממוצע קטן מ-6,944, אף על פי שרק 37.5% נמצאים מתחת ל-6,944.

מחשבים את ציון התקן של 8,400:

הטבלה נותנת את השטח משמאל: $\Phi(1.5)=0.9332$. מבקשים את מי שהולכים יותר מ-8,400, כלומר את השטח מימין:

כ-6.7% מן המשתתפים מקיימים את ההמלצה.

טעות נפוצה: לענות $93.32\%$ - זה אחוז ההולכים פחות מ-8,400 צעדים, כי הטבלה נותנת את השטח משמאל לערך.

7,200 הוא הממוצע (סעיף א), ולכן $\Phi(0)=0.5$. ל-8,400 ציון התקן $1.5$ (סעיף ב).

כלומר 14,722 משתתפים הם $43.32\%$ מכלל המשתתפים. נסמן ב-$N$ את מספר המשתתפים:

ההפרש מ-34,000 נובע מעיגול ערכי הטבלה (עם $0.433$ מתקבל 34,000 בדיוק), ולכן במחקר השתתפו כ-34,000 איש.

טעות נפוצה: לחלק ב-$\Phi(1.5)=0.9332$ במקום ב-$0.4332$, כלומר לשכוח להחסיר את מי שהולכים פחות מ-7,200, ולקבל $N\approx15{,}776$.

ציון התקן של מספר הצעדים של שרית (ממוצע 7,200, סטיית תקן 800):

לפי הנתון, גם ציון התקן של שעות השינה שלה הוא $1.52$. נסמן ב-$\sigma$ את סטיית התקן של שעות השינה:

סטיית התקן של שעות השינה: 1.5 שעות.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק בפתרון המשוואה, $\sigma=1.52\cdot2.28\approx3.47$. בדיקה: עם $\sigma=3.47$ ציון התקן של 9.28 הוא $0.66$, לא $1.52$.

בדיאגרמה, ככל שהשטח הירוק גדל, רמת הזיהום נוטה לרדת - מגמה יורדת, ולכן הקשר שלילי: $r<0$. זה פוסל את היגד I.

הנקודות אינן נמצאות על ישר אחד (למשל, ב-$x=15$ יש שתי נקודות עם ערכי $y$ שונים, ולכן אין ישר שעובר דרך שתיהן), ולכן הקשר אינו מושלם: $r\ne-1$. זה פוסל את היגד II.

מהדיאגרמה אפשר לקבוע את הסימן ואת העובדה שהקשר אינו מושלם, ולכן היגד IV אינו נכון.

היגד III נכון: $-1<r<0$.

טעות נפוצה: לבחור בהיגד II ($r=-1$) כי "כל הנקודות יורדות". $r=-1$ רק כשכל הנקודות נמצאות בדיוק על ישר יורד.

קוראים מהדיאגרמה את ערכי $x$ של 6 הנקודות. ב-$x=15$ יש שתי נקודות (ערים שונות), ולכן 15 נספר פעמיים:

טעות נפוצה: לספור את $x=15$ פעם אחת בלבד ובכל זאת לחלק ב-6: $\frac{5+10+15+20+25}{6}=\frac{75}{6}=12.5$. יש 6 ערים, ולכן 6 ערכים בסכום.

ערכי $y$ של 6 הנקודות: $50,40,30,20,30,10$.

טעות נפוצה: להשמיט את אחת משתי הנקודות שב-$x=15$ ולקבל $\frac{160}{6}\approx26.7$ (או $\frac{150}{6}=25$).

ישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודת הממוצעים $(\bar x,\bar y)=(15,30)$ (סעיף ב).

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולכתוב $30=-27+b\Rightarrow b=3$.

מציבים $x=18$ במשוואת ישר הרגרסיה $y=-1.8x+57$:

טעות נפוצה: להציב 18 במקום $y$ ולפתור עבור $x$: $18=-1.8x+57\Rightarrow x\approx21.7$. מנבאים את $y$ על פי $x$ - מציבים את הערך הנתון של $x$.

הסטיות מהממוצע $\bar x=15$: $-10,-5,0,0,5,10$.

סכום ריבועי הסטיות: $100+25+0+0+25+100=250$.

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולענות $S_x=\frac{250}{6}\approx41.67$ - זו השונות, לא סטיית התקן.

שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ הוא $r\cdot\frac{S_y}{S_x}$. השיפוע הנתון הוא $-1.8$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב $r=-1.8\cdot\frac{S_y}{S_x}=-3.6$ - ערך מחוץ לתחום $-1\le r\le1$, סימן שהנוסחה הופעלה הפוך.

הוספת אותו מספר (4) לכל ערכי $y$ מזיזה את כל הנקודות 4 יחידות למעלה.

הפיזור סביב הממוצע לא משתנה, ולכן $S_y$ לא משתנה; הסידור היחסי של הנקודות לא משתנה, ולכן $r$ לא משתנה. $S_x$ ודאי לא משתנה.

השיפוע $r\cdot\frac{S_y}{S_x}$ נשאר $-1.8$ - לא השתנה.

טעות נפוצה: לחשוב שהשיפוע "גדל ב-4" (שיפוע $2.2$), כי הערכים גדלו. הזזה אנכית של כל הנקודות משנה רק את מיקום הישר, לא את השיפוע שלו.

השיפוע לא השתנה: $-1.8$ (סעיף ו(1)).

הממוצע החדש של $y$: $30+4=34$, ו-$\bar x=15$ לא השתנה. הישר החדש עובר ב-$(15,34)$:

משוואת הישר: $y=-1.8x+61$.

טעות נפוצה: להוסיף 4 גם לשיפוע ולכתוב $y=2.2x+61$, או להשאיר את החותך 57. כל הישר זז 4 למעלה: השיפוע זהה והחותך גדל ב-4.

בונים עץ דו-שלבי. שלב ראשון: תקין ($0.8$) או לא תקין ($0.2$). שלב שני (הסתברויות מותנות):

אחרי "תקין": תקין $0.9$, לא תקין $0.1$. אחרי "לא תקין": תקין $0.35$, לא תקין $0.65$.

"בדיוק באחת הבדיקות" = שני מסלולים זרים: תקין ואז לא תקין, או לא תקין ואז תקין.

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות המותנות $0.1+0.35=0.45$ בלי לכפול בהסתברויות של השלב הראשון.

המאורע המשלים ל"לפחות באחת תקין" הוא "לא תקין בשתי הבדיקות" - מסלול אחד בעץ:

ההסתברות שהמחשב לא תקין בשתי הבדיקות: $0.2\cdot0.65=0.13$.

ההסתברות שהמחשב תקין לפחות באחת הבדיקות: $1-0.13=0.87$.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$0.35$ כאילו הוא "לא תקין בשנייה" ולחשב $1-0.2\cdot0.35=0.93$. אחרי "לא תקין" בראשונה, ההסתברות ל"לא תקין" בשנייה היא $1-0.35=0.65$.

נסמן: $A$ - המחשב הועבר למכירה, $B$ - המחשב נמצא תקין לפחות באחת הבדיקות. מחפשים $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$, ו-$P(B)=0.87$ (סעיף ב).

מחשב שהועבר למכירה תקין בשתי הבדיקות, ולכן הוא בוודאי תקין לפחות באחת. החיתוך הוא המאורע "מכירה" עצמו:

טעות נפוצה: לענות $0.72$ - ההסתברות שמחשב כלשהו הועבר למכירה, בלי להתחשב במידע שהמחשב תקין לפחות באחת הבדיקות.

ההסתברות שמחשב הועבר למכירה היא $0.72$ (סעיף ג), כלומר 72% מן המחשבים.

טעות נפוצה: להשתמש בהסתברות "לפחות באחת תקין" ($0.87$) ולקבל $217.5$. למכירה עוברים רק מחשבים שתקינים בשתי הבדיקות.

יש 180 מחשבים שהועברו למכירה ו-$250-180=70$ שלא הועברו.

"בדיוק אחד" - שני סדרים: הראשון למכירה והשני לא, או להפך. בבחירה ללא החזרה המכנה בשלב השני הוא 249:

טעות נפוצה: לחשב רק סדר אחד ($\frac{180}{250}\cdot\frac{70}{249}\approx0.2024$) ולשכוח את המקרה שבו המחשב שהועבר למכירה נבחר שני.

שיפוע הישר דרך $A(-16,6)$ ו-$B(0,18)$:

$B$ נמצאת על ציר ה-$y$, ולכן נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$ היא 18:

טעות נפוצה: לחשב שיפוע כ-$\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{16}{12}=\frac43$ ולקבל $y=\frac43x+18$. בדיקה: $A$ לא נמצאת על הישר הזה.

המרכז $M$ נמצא על המשך הקטע $AB$ ועל ציר ה-$x$. מציבים $y=0$ במשוואת הישר:

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לנקודה $A$ שעל המעגל:

משוואת המעגל: $(x+24)^2+y^2=100$.

טעות נפוצה: לקחת את $MB$ כרדיוס ($MB^2=24^2+18^2=900$) ולכתוב $(x+24)^2+y^2=900$. הנקודה $B$ אינה על המעגל - רק $A$ עליו.

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. שיפוע הרדיוס $MA$ הוא שיפוע הישר $AB$, $\frac34$, ולכן שיפוע המשיק הוא $-\frac43$.

משוואת המשיק דרך $A(-16,6)$:

חיתוך עם ציר ה-$y$ ($x=0$): $D\left(0,-\frac{46}{3}\right)$.

טעות נפוצה: לקחת שיפוע מאונך בלי היפוך הסימן, $+\frac43$, ולקבל $y=\frac43x+\frac{82}{3}$, כלומר $D\left(0,\frac{82}{3}\right)$ - מעל $B$, בסתירה לסרטוט.

$M$ היא אמצע הקוטר $AC$, ולכן $C=2M-A$:

$B$ ו-$D$ שתיהן על ציר ה-$y$:

לכן $BD=CD$.

דרך נוספת: $BA=\sqrt{16^2+12^2}=20=AC$, כלומר $A$ אמצע $BC$, ו-$DA\perp BC$ (משיק מאונך לרדיוס). לכן $DA$ הוא אנך אמצעי ל-$BC$, וכל נקודה עליו שווה מרחק מ-$B$ ומ-$C$.

טעות נפוצה: לקחת את $C$ כשיקוף של $A$ ביחס לציר ה-$x$, $(-16,-6)$, ולקבל $CD\approx18.5$ - ואז השוויון "לא מתקיים". הקצה השני של קוטר הוא השיקוף של $A$ ביחס למרכז $M$.

$BD$ מונח על ציר ה-$y$. שיפוע $AB$ הוא $\frac34$, ולכן הזווית בין $AB$ לציר ה-$x$ היא $\alpha$ עם $\tan\alpha=\frac34$, כלומר $\alpha\approx36.87^\circ$.

ציר ה-$y$ מאונך לציר ה-$x$, ולכן במשולש ישר הזווית שנוצר עם הצירים:

בדיקה: $\tan\angle ABD=\frac{16}{12}=\frac43$ (מ-$B$ יורדים 12 לאורך ציר ה-$y$ וזזים 16 אופקית אל $A$).

טעות נפוצה: לענות $36.87^\circ$ - הזווית בין $AB$ לציר ה-$x$, לא לציר ה-$y$.

לפי סעיף ג, $BD=CD$, ולכן המשולש $BCD$ שווה שוקיים וזוויות הבסיס שלו שוות: $\angle BCD=\angle CBD$.

$M$ על הקטע $CB$ ו-$K$ על הקטע $CD$, ולכן $\angle MCK=\angle BCD=\angle CBD=\angle ABD\approx53.13^\circ$ (סעיף ד).

$\sin53.13^\circ=0.8$ (כי $\tan=\frac43$, משולש 3-4-5). $CM=R=10$.

בדיקה: $CD=\frac{100}{3}\approx33.3>22.5$, ולכן $K$ אכן על הקטע.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\sin36.87^\circ=0.6$ (הזווית עם ציר ה-$x$) ולקבל $3\cdot CK=90$, כלומר $CK=30$.

$B$ על ציר ה-$x$, ולכן $B(b,0)$. לפי נוסחת המרחק:

$B$ על החלק השלילי של ציר ה-$x$, ולכן $B(-3,0)$.

טעות נפוצה: לבחור $b=3$ ולקבל $B(3,0)$ - על החלק החיובי של הציר, בניגוד לנתון.

$\angle ABC=90^\circ$, ולכן $BC\perp AB$.

הישר דרך $B(-3,0)$:

טעות נפוצה: לכתוב ישר דרך $B$ עם שיפוע $AB$ עצמו, $y=\frac43x+4$ - זה הישר $AB$, לא $BC$.

$C$ היא נקודת החיתוך של $BC$ ושל $AC$:

$y=-\frac13\cdot(-15)+4=9$, ולכן $C(-15,9)$.

טעות נפוצה: לחבר את ההפרשים במקום להשתמש בפיתגורס: $BC=12+9=21$.

$AD\parallel BC$, והאלכסון $AC$ חותך את שניהם: $\angle DAM=\angle BCM$ (זוויות מתחלפות).

באותו אופן, האלכסון $BD$: $\angle ADM=\angle CBM$ (זוויות מתחלפות).

(אפשר גם: $\angle AMD=\angle CMB$ - זוויות קודקודיות.)

לפי משפט הדמיון ז.ז.: $\triangle DMA\sim\triangle BMC$, בהתאמה $D\leftrightarrow B$, $M\leftrightarrow M$, $A\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: להתאים $D\leftrightarrow C$ ו-$A\leftrightarrow B$ (לפי מיקום הקודקודים בשם הטרפז) ולכתוב $\frac{DM}{CM}=\frac{AD}{BC}$ - יחס שאינו נכון בטרפז הזה, שבו $\frac{DM}{BM}=\frac{AM}{CM}=\frac{AD}{BC}$.

לפי ההתאמה בסעיף ד, $AD$ ו-$CB$ צלעות מתאימות. יחס הדמיון:

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון:

טעות נפוצה: לענות "פי 5" - יחס הדמיון עצמו, בלי להעלות בריבוע.

פונקציה רציונלית מוגדרת כשהמכנה שונה מאפס:

תחום ההגדרה: $x\ne3$, $x\ne-3$.

טעות נפוצה: לכתוב רק $x\ne3$ (לשכוח את השורש השלילי של $x^2=9$).

תחום ההגדרה סימטרי ביחס ל-0: אם $x\ne\pm3$ אז גם $-x\ne\pm3$.

מציבים $-x$:

לכן $f$ זוגית.

טעות נפוצה: לכתוב $(-x)^2=-x^2$ ולקבל $f(-x)=\frac{-4x^2}{-x^2-9}+a$, ולהסיק שהפונקציה "אינה זוגית".

הנקודה $(\sqrt3,0)$ על הגרף, ולכן $f(\sqrt3)=0$:

טעות נפוצה: לאבד את הסימן של המכנה, $\frac{12}{3-9}=2$, ולקבל $a=-2$.

$f(x)=\frac{4x^2}{x^2-9}+2$.

ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{0}{-9}+2=2$, הנקודה $(0,2)$.

ציר ה-$x$: $\frac{4x^2}{x^2-9}=-2$, ולכן $4x^2=-2x^2+18$, $6x^2=18$, $x=\pm\sqrt3$.

(גם בלי חישוב: $(\sqrt3,0)$ נתונה, והפונקציה זוגית, ולכן גם $(-\sqrt3,0)$ על הגרף.)

הנקודות: $(0,2)$, $(-\sqrt3,0)$, $(\sqrt3,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את $+2$ בחיתוך עם ציר ה-$y$ ולקבל $(0,0)$.

גוזרים לפי כלל המנה (הנגזרת של הקבוע $2$ היא $0$):

$f'(x)=0$ רק כש-$x=0$. המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הפוך לסימן של $x$:

משמאל ל-0 (בסביבה) $f'>0$, ומימין $f'<0$ - מקסימום. $f(0)=2$.

נקודת הקיצון: $\max(0,2)$.

טעות נפוצה: להפוך את סדר המונה בכלל המנה ($4x^2\cdot2x-8x(x^2-9)$) ולקבל $f'=\frac{72x}{(x^2-9)^2}$, ומכאן "מינימום" ב-$(0,2)$.

$f'(x)=\frac{-72x}{(x^2-9)^2}$: המכנה חיובי בכל התחום, ולכן $f'>0$ כש-$x<0$ ו-$f'<0$ כש-$x>0$.