מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 11 ברמת בגרות

בכל יום ייצרו 15 ליטרים יותר מביום שלפניו, לכן הכמויות היומיות של השמן הסורי יוצרות סדרה חשבונית עם הפרש $d=15$.

נסמן ב-$a_1$ את הכמות ביום הראשון. לפי האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d$, ביום השישי ייצרו $a_6=a_1+5\cdot15=a_1+75$.

ביום השישי ייצרו פי 2 מאשר ביום הראשון, ולכן:

ביום הראשון ייצרו 75 ליטרים של שמן סורי.

בדיקה: $a_6=75+75=150=2\cdot75$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_6=a_1+6d$, כלומר $a_1+90=2a_1$, ולקבל $a_1=90$. בין היום הראשון ליום השישי מוסיפים את $d$ רק חמש פעמים.

הכמות הכוללת היא סכום 20 האיברים הראשונים בסדרה החשבונית, עם $a_1=75$ ו-$d=15$:

בסך הכול ייצרו 4,350 ליטרים של שמן סורי.

טעות נפוצה: לכתוב $20\cdot15$ במקום $19\cdot15$ בתוך הסוגריים, ולקבל $10\cdot(150+300)=4500$ ליטרים.

הכמות הכוללת של שמן הברנע קטנה ב-1,900 ליטרים מכמות השמן הסורי:

גם הכמויות היומיות של שמן הברנע יוצרות סדרה חשבונית. ידועים האיבר האחרון ($a_{20}=208$) והסכום, לכן נוח להשתמש בנוסחת הסכום לפי האיבר הראשון והאחרון:

עכשיו מוצאים את ההפרש מהאיבר הכללי:

בדיקה: $10\cdot(37+208)=2450$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_{20}=a_1+20d$, כלומר $208=37+20d$, ולקבל $d=8.55$. מהיום הראשון עד היום ה-20 מוסיפים את $d$ רק 19 פעמים.

בבית הבד ייצרו בסך הכול משני הזנים: $4350+2450=6800$ ליטרים.

כל הכמות הזו נמכרה ב-4 חודשים, ובכל חודש נמכרה כמות גדולה פי 3 מבחודש שלפניו. לכן הכמויות החודשיות יוצרות סדרה הנדסית עם $q=3$, וסכום 4 האיברים הראשונים שלה הוא 6,800.

נסמן ב-$b_1$ את הכמות שנמכרה בחודש הראשון:

בחודש הראשון נמכרו 170 ליטרים של שמן.

בדיקה: $170+510+1530+4590=6800$.

טעות נפוצה: לחלק את 6,800 ב-4, כאילו בכל חודש נמכרה אותה כמות, ולקבל 1,700 ליטרים.

במנסרה הבסיס העליון חופף לבסיס התחתון ומוזז ממנו בווקטור $\underline w$, ולכן המקצוע העליון שווה למקצוע התחתון שמתחתיו: $\vec{A'B'}=\overrightarrow{AB}=\underline{u}$.

כדי להביע את $\overrightarrow{CE}$ נמצא קודם את $\vec{CA'}$ (מ-$C$ ל-$A$ ומשם ל-$A'$):

באותו אופן, מ-$C$ ל-$A$, משם ל-$B$ ומשם ל-$B'$:

טעות נפוצה: לכתוב $\vec{CA'}=\underline{v}-\underline{w}$ (ההתחלה פחות הסוף) ולקבל $\overrightarrow{CE}=\frac23\underline{v}-\frac23\underline{w}$ - וקטור בכיוון ההפוך.

עוברים מ-$E$ ל-$F$ דרך $C$:

הרכיבים של $\underline{v}$ ושל $\underline{w}$ מתבטלים, ולכן $\overrightarrow{EF}$ מובע באמצעות $\underline{u}$ בלבד.

טעות נפוצה: לחבר $\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{CF}$ במקום לחסר, ולקבל $\frac23\underline{u}-\frac43\underline{v}+\frac43\underline{w}$ - הכיוון של $\overrightarrow{EC}$ הפוך לכיוון של $\overrightarrow{CE}$.

מסעיף א $\vec{A'B'}=\underline{u}$, ומסעיף ב(1):

וקטור אחד הוא כפולה בסקלר של השני, לכן הווקטורים קולינאריים.

הנקודה $E$ נמצאת על האלכסון $CA'$ ושונה מ-$A'$, ולכן אינה על הישר $A'B'$ (הישר הזה פוגש את הפאה $ACC'A'$ רק ב-$A'$). לכן הישרים $EF$ ו-$A'B'$ אינם מתלכדים, והם מקבילים.

טעות נפוצה: להסתפק ב-$\overrightarrow{EF}=\frac23\vec{A'B'}$ ולא לבדוק שהקטעים אינם על אותו ישר - וקטורים קולינאריים יכולים להיות גם על ישר אחד, ואז אין הקבלה.

וקטור בין שתי נקודות: שיעורי הסוף פחות שיעורי ההתחלה.

מסעיף ב(2): $\overrightarrow{EF}=\frac23\vec{A'B'}$:

טעות נפוצה: לחשב $A'-B'$ ולקבל את הווקטורים הנגדיים $(-9,-3,0)$ ו-$(-6,-2,0)$.

מגיעים ל-$F$ מ-$E$ בעזרת הווקטור $\overrightarrow{EF}$:

טעות נפוצה: לחסר את $\overrightarrow{EF}$ מ-$E$ ולקבל $(-2,1,4)$ - כלומר ללכת בכיוון ההפוך.

הזווית $EAF$ היא הזווית בין הווקטורים $\overrightarrow{AE}$ ו-$\overrightarrow{AF}$ היוצאים מ-$A$:

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\overrightarrow{EA}$ במקום $\overrightarrow{AE}$ באחד הווקטורים - מתקבל קוסינוס שלילי והזווית המשלימה, $\approx151.19^\circ$.

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן:

(בחישוב מדויק: $\sin\angle EAF=\sqrt{1-\frac{46^2}{2756}}=\sqrt{\frac{640}{2756}}$, ולכן $S=\frac12\sqrt{640}=4\sqrt{10}$.)

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac12$ בנוסחת השטח ולקבל $8\sqrt{10}\approx25.30$ - זה שטח המקבילית שנבנית על $\overrightarrow{AE}$ ו-$\overrightarrow{AF}$.

נסמן ב-$M_0$ את מספר ההשאלות בשנת 2012, וב-$q$ את מנת הדעיכה ($0<q<1$). אחוז הירידה השנתי הוא $1-q$ (כשבר).

בשנת 2013 היו $M_0q$ השאלות, ובשנת 2014 היו $M_0q^2$.

הירידה משנת 2012 לשנת 2014, כחלק ממספר ההשאלות בשנת 2012:

$q<1$, ולכן $1+q<2$, ומכאן $(1-q)(1+q)<2(1-q)$: אחוז הירידה בשנתיים קטן מפעמיים אחוז הירידה השנתי.

במילים: בשנה השנייה יורד אותו אחוז, אבל מכמות שכבר קטנה, ולכן הירידה בשנה השנייה קטנה יותר.

דוגמה: בירידה של 10% בשנה ($q=0.9$) הירידה בשנתיים היא $1-0.81=0.19$, כלומר 19% ולא 20%.

טעות נפוצה: לענות "כן" ולחבר את האחוזים - למשל לטעון שירידה של 10% בשנה היא ירידה של 20% בשנתיים, בעוד שהירידה היא 19%.

בספרייה A המנה היא $0.94$ (קטן ב-6%). מ-2012 עד 2020 עברו 8 שנים:

בספרייה B, עם מנה $q$: $M_B(8)=109{,}000\cdot q^8$. בשנת 2020 המספרים שווים:

מנה $0.91$ פירושה ירידה של $1-0.91=0.09$, כלומר 9% בכל שנה.

טעות נפוצה: לענות 91%. המנה היא החלק שנשאר, והירידה היא $1-q$.

בספרייה B: $M_B(t)=109{,}000\cdot0.91^t$. דורשים:

לוקחים לוגריתם משני האגפים:

כעבור 12 שנים בקירוב, כלומר בשנת 2024.

טעות נפוצה: לחשב כאילו בכל שנה יורד אותו מספר השאלות (9% מ-109,000, כלומר 9,810 בשנה), ולקבל $\frac{109{,}000-35{,}000}{9810}\approx7.54$ שנים. בתהליך מעריכי הירידה השנתית קטנה משנה לשנה, ולכן צריך לוגריתם.

נסמן ב-$M$ את מספר ההשאלות בספרייה A בשנת 2022. גידול של 5% בשנה: מנה $1.05$.

"גדל ב-30%" פירושו שהמספר הגיע ל-$1.3M$:

$M$ מצטמצם - לא צריך לחשב את מספר ההשאלות בשנת 2022.

כעבור כ-5.38 שנים.

טעות נפוצה: לחלק את 30% ב-5% ולענות 6 שנים, כאילו בכל שנה נוסף אותו מספר השאלות. הגידול הוא 5% מהכמות הנוכחית, שהולכת וגדלה, ולכן מגיעים ל-30% מהר יותר.

גוזרים לפי כלל המכפלה, ו-$(e^{-x})'=-e^{-x}$ (נגזרת של $e^{g(x)}$ היא $g'(x)e^{g(x)}$):

בנקודת קיצון $f'(2)=0$:

טעות נפוצה: לגזור $e^{-x}$ כ-$e^{-x}$ (בלי המינוס). אז $f'(x)=e^{-x}(x+a+1)$ ומתקבל $a=-3$.

$f(x)=(x-1)e^{-x}$. גם $x-1$ וגם $e^{-x}$ מוגדרים לכל $x$, ולכן תחום ההגדרה הוא כל $x$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמעריך השלילי יוצר שבר עם מכנה שמתאפס. $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$, והמכנה $e^x$ לעולם אינו 0.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $(x-1)e^{-x}=0$. $e^{-x}>0$ תמיד, ולכן $x=1$. הנקודה $(1,0)$.

חיתוך עם ציר ה-$y$: $f(0)=(0-1)e^{0}=-1$. הנקודה $(0,-1)$.

טעות נפוצה: להשוות גם את $e^{-x}$ לאפס ולכתוב "$x=0$" כפתרון נוסף. $e^{-x}$ חיובי לכל $x$.

$f'(x)=0$ רק כש-$x=2$. הסימן של $f'$ נקבע לפי $2-x$:

עבור $x<2$: $f'>0$ (עולה); עבור $x>2$: $f'<0$ (יורדת). לכן ב-$x=2$ מקסימום.

טעות נפוצה: לקבוע את הסימן לפי $x-2$ במקום לפי $2-x$, ולקבל "מינימום".

$e^{-x}>0$ תמיד, ולכן $f(x)>0$ בדיוק כש-$x-1>0$:

טעות נפוצה: לענות $x<2$ - תחום העלייה של הפונקציה, ולא תחום החיוביות שלה.

הנתונים: חיתוכים $(0,-1)$ ו-$(1,0)$; מקסימום $\left(2,\frac1{e^2}\right)$; עולה עבור $x<2$, יורדת עבור $x>2$; שלילית עבור $x<1$, חיובית עבור $x>1$.

כאשר $x\to\infty$, $e^{-x}\to0$ מהר יותר מש-$x-1$ גדל, ולכן $f(x)\to0$ - והפונקציה חיובית שם, כלומר הגרף מתקרב לציר ה-$x$ מלמעלה. כאשר $x\to-\infty$, $f(x)\to-\infty$.

הסקיצה: עולה מ-$-\infty$ משמאל, דרך $(0,-1)$ ו-$(1,0)$, עד המקסימום הנמוך ב-$x=2$, ואחר כך יורדת ומתקרבת לציר ה-$x$ מלמעלה.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף יורד מתחת לציר ה-$x$ אחרי המקסימום. $f$ חיובית לכל $x>1$, ולכן מימין היא רק מתקרבת לציר.

$g$ היא הזזה אנכית של $f$ ב-$k$: נקודת הקיצון של $g$ היא מקסימום ב-$\left(2,\frac1{e^2}+k\right)$.

כל שאר ערכי $g$ קטנים מערך המקסימום, ולכן הגרף נוגע בציר ה-$x$ בלי לחצות אותו בדיוק כשהמקסימום על הציר:

טעות נפוצה: לבחור $k=+\frac1{e^2}$ מתוך הרגל ש"מזיזים את המינימום למעלה". כאן הקיצון הוא מקסימום מעל הציר, וצריך להזיז אותו למטה.

הלוגריתם דורש $2x>0$, כלומר $x>0$; המכנה דורש $x\neq0$ - כבר כלול.

תחום ההגדרה: $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>\frac12$ מתוך הדרישה $2x>1$. הארגומנט של $\ln$ צריך להיות חיובי, לא גדול מ-1.

כש-$x\to0^+$: $\ln(2x)\to-\infty$, והמכנה $x\to0^+$.

לכן $x=0$ (ציר ה-$y$) הוא אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לחפש את האסימפטוטה במקום שבו $\ln(2x)=0$, כלומר $x=\frac12$. שם הפונקציה מתאפסת, לא שואפת לאינסוף.

החיתוך עם ציר ה-$x$: $\left(\frac12,0\right)$.

$x=0$ אינו בתחום, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לפתור $2x=0$ ולקבל $x=0$; $\ln$ מתאפס כשהארגומנט שווה 1.

הנגזרת של $\ln(2x)$ היא $\frac{2}{2x}=\frac1x$. לפי כלל המנה:

עבור $0<x<\frac e2$ הנגזרת חיובית, ועבור $x>\frac e2$ שלילית - מקסימום.

טעות נפוצה: לגזור את $\ln(2x)$ כ-$\frac1{2x}$ בלי לכפול בנגזרת הפנימית 2, ולקבל מונה $\frac12-\ln(2x)$ וקיצון במקום שגוי.

ליד ציר ה-$y$ (מימין) הגרף יורד ל-$-\infty$.

הגרף עולה, חוצה את ציר ה-$x$ ב-$\left(\frac12,0\right)$, מגיע למקסימום $\left(\frac e2,\frac2e\right)\approx(1.36,\,0.74)$.

אחר כך הוא יורד ונשאר חיובי (עבור $x>\frac12$ המונה והמכנה חיוביים), ומתקרב לציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לצייר חלק של הגרף משמאל לציר ה-$y$. התחום הוא $x>0$ בלבד.

הגרף של $f(-x)$ הוא שיקוף של הגרף של $f(x)$ ביחס לציר ה-$y$: ה-$y$ נשאר וה-$x$ מחליף סימן.

המקסימום $\left(\frac e2,\frac2e\right)$ עובר ל-$\left(-\frac e2,\frac2e\right)$. שיקוף ביחס לציר ה-$y$ אינו הופך את הגרף "למעלה-למטה", ולכן הנקודה נשארת מקסימום.

טעות נפוצה: להפוך את המקסימום למינימום כמו בשיקוף ביחס לציר ה-$x$.

תחום ההגדרה של $g$: $-x>0$, כלומר $x<0$.

הגרף של $g$ הוא תמונת המראה של $f$ משמאל לציר ה-$y$: יורד ל-$-\infty$ ליד ציר ה-$y$ (משמאל), חותך ב-$\left(-\frac12,0\right)$, מקסימום ב-$\left(-\frac e2,\frac2e\right)$, ומתקרב לציר ה-$x$ מלמעלה כש-$x\to-\infty$.

טעות נפוצה: לשקף ביחס לציר ה-$x$ ולצייר את $g$ מתחת לגרף של $f$ באותו תחום.

לשתי הנקודות אותו שיעור $y$, ולכן הקטע אופקי ואורכו הוא הפרש שיעורי ה-$x$:

טעות נפוצה: להפחית את שיעורי ה-$y$ כמו בקטע אנכי ולקבל 0.