מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 12 ברמת בגרות

מספר הקילומטרים בכל שבוע גדול במספר קבוע ממספרם בשבוע שלפניו, לכן המרחקים השבועיים יוצרים סדרה חשבונית. נסמן ב-$a_1$ את המרחק בשבוע הראשון וב-$d$ את ההפרש.

נתון ראשון - השבוע השני והשבוע החמישי ($a_2=a_1+d$, $a_5=a_1+4d$):

נתון שני - בשבוע ה-11 רצה פי 2 מאשר בשבוע הראשון. לפי האיבר הכללי $a_{11}=a_1+10d$:

מציבים במשוואה הראשונה: $2\cdot10d+5d=75$, כלומר $25d=75$ ו-$d=3$.

לכן $a_1=10\cdot3=30$.

בדיקה: $a_2+a_5=33+42=75$, ו-$a_{11}=30+10\cdot3=60=2\cdot30$.

בשבוע הראשון רצה נועה 30 קילומטרים.

טעות נפוצה: לכתוב $a_{11}=a_1+11d$. אז $a_1=11d$, מתקבל $27d=75$, ו-$a_1=\frac{275}{9}\approx30.56$. מהשבוע הראשון לשבוע ה-11 מוסיפים את $d$ רק 10 פעמים.

מחפשים את מספר השבועות $n$ שבהם סכום המרחקים הוא 558. זה סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה, עם $a_1=30$ ו-$d=3$:

כופלים ב-2 ופותחים סוגריים:

מחלקים ב-3: $n^2+19n-372=0$.

$n=12$ או $n=-31$. מספר שבועות הוא מספר טבעי, לכן $n=12$.

סך כל הקילומטרים הגיע ל-558 לאחר 12 שבועות.

טעות נפוצה: לשכוח לכפול ב-2 את אגף ימין כשמבטלים את $\frac n2$, כלומר לכתוב $n(57+3n)=558$. מתקבל $n^2+19n-186=0$, ו-$n\approx7$ ($n\approx7.12$).

המרחק הכולל של ארבע הריצות שווה למרחק שרצה נועה בשבוע השישי:

בשבוע השישי רצה נועה 45 קילומטרים.

אורכי הריצות יוצרים סדרה הנדסית: כל ריצה ארוכה פי 2 מקודמתה, לכן $q=2$. נסמן ב-$p$ את אורך הריצה הראשונה. סכום ארבע הריצות הוא 45:

(אפשר גם לחבר ישירות: $p+2p+4p+8p=15p$.)

הריצה הראשונה הייתה באורך 3 קילומטרים (והריצות: $3,6,12,24$).

טעות נפוצה: לחשב את המרחק בשבוע השישי כ-$a_1+6d=48$ (כלומר $a_7$), ולקבל ריצה ראשונה של $3.2$ קילומטרים.

הבסיס העליון חופף לבסיס התחתון ומקביל לו, ולכן $\vec{A'B'}=\underline u$ ו-$\vec{A'C'}=\underline v$.

את $\overrightarrow{FE}$ מבטאים במסלול לאורך מקצועות: מ-$F$ ל-$A$, עולים ל-$A'$, ממשיכים ל-$B'$ ומשם ל-$E$:

$AF=\frac14AB$, לכן $\overrightarrow{FA}=-\frac14\underline u$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{FA}=+\frac14\underline u$. הווקטור $\underline u$ מכוון מ-$A$ ל-$B$, ו-$\overrightarrow{FA}$ בכיוון ההפוך; עם הסימן השגוי מתקבל $\overrightarrow{FE}=\frac78\underline u+\frac38\underline v+\underline w$.

$|\underline u|=|\underline v|=8$, ו-$\angle BAC=90^\circ$, כלומר $\underline u\cdot\underline v=0$.

(זה גם היתר של משולש ישר-זווית שניצביו 8 ו-8.)

טעות נפוצה: לחשב $|\vec{B'C'}|=|\underline u|+|\underline v|=16$ ולקבל $|\vec{B'E}|=6$. אורכים של וקטורים לא מתחברים כשהם לא באותו כיוון.

במנסרה ישרה המקצוע הצדדי מאונך לבסיס, ובבסיס $\underline u\perp\underline v$. לכן $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ ניצבים זה לזה בזוגות, וכל המכפלות הסקלריות ביניהם הן 0.

מעלים את $\overrightarrow{FE}$ בריבוע (נשארים רק ריבועי המקדמים כפול ריבועי האורכים):

עכשיו $\vec{A'E}=\vec{A'B'}+\vec{B'E}=\underline u-\frac38\underline u+\frac38\underline v=\frac58\underline u+\frac38\underline v$:

לפי הנתון $|\overrightarrow{FE}|^2=|\vec{A'E}|^2$:

גובה המנסרה הוא 4.

טעות נפוצה: לכתוב $\left(\frac38\right)^2=\frac9{64}$ בלי לכפול ב-$|\underline u|^2=64$, ולקבל $\frac9{32}+|\underline w|^2=34$, כלומר גובה $\approx5.81$.

שני וקטורים (שאינם וקטור האפס) מאונכים כאשר המכפלה הסקלרית שלהם היא 0.

כל המכפלות המעורבות הן 0 ($\underline u\perp\underline v$, ו-$\underline w$ ניצב לבסיס), ונשאר:

לכן $\overrightarrow{FE}\perp\vec{B'C'}$.

טעות נפוצה: להציב $\vec{B'C'}=\underline u+\underline v$ (כאילו זה אלכסון של ריבוע), לקבל $24+24=48$ ולהסיק בטעות שאין ניצבות.

הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $B'C'$, ולפי ד(1) $FE\perp B'C'$. לכן $FE$ הוא הגובה לצלע $B'C'$ במשולש $B'FC'$.

$|B'C'|=8\sqrt2$ (סעיף ב), ו-$|FE|=|A'E|=\sqrt{34}$ (סעיף ג).

טעות נפוצה: לקחת כבסיס את $B'E=3\sqrt2$ בלבד במקום את כל הצלע $B'C'$, ולקבל $\frac{3\sqrt2\cdot\sqrt{34}}{2}=3\sqrt{17}\approx12.37$.

גדילה של 6% בכל שנה פירושה הכפלה במנה $q=1.06$ בכל שנה.

מתחילת 2022 עד תחילת 2029 עוברות 7 שנים, ולכן לפי $f(t)=f(0)\cdot q^t$:

בתחילת 2029 צפוי צמח A לכסות כ-225.54 דונם.

טעות נפוצה: לספור 8 שנים (2022, 2023, ..., 2029) במקום 7, ולקבל $150\cdot1.06^8\approx239.08$ דונם.

נסמן ב-$B_0$ את השטח שכיסה צמח B בתחילת 2022 וב-$q$ את המנה השנתית. מ-2022 עד 2032 עוברות 10 שנים:

$B_0$ מצטמצם - לא צריך לדעת אותו. מוציאים שורש עשירי:

מנה של כ-1.116 פירושה גדילה של כ-11.6% בכל שנה.

טעות נפוצה: לחלק את הגדילה הכוללת (200%) ב-10 שנים ולקבל 20% - אחוזים בתהליך מעריכי אינם מצטברים בחיבור.

השטח של צמח B גדל בכ-11.6% בשנה, והשטח של צמח A גדל ב-6% בלבד, כלומר B גדל מהר יותר.

בסרטוט, גרף II מתחיל נמוך יותר, חותך את גרף I ונשאר מעליו - הוא הגרף שגדל מהר יותר.

לכן גרף II מתאר את צמח B (וגרף I, שמתחיל גבוה יותר וגדל לאט יותר, מתאר את צמח A).

טעות נפוצה: לבחור לפי נקודת ההתחלה בלבד ("B גדל מהר, ולכן הגרף שלו מתחיל גבוה") ולענות גרף I - קצב הגדילה נקבע לפי מי שעוקף את מי, לא לפי הערך ההתחלתי.

השטח של צמח A בתחילת 2029 הוא כ-225.54 דונם (סעיף א), ולכן השטח של צמח B באותו זמן הוא $225.54-20=205.54$ דונם.

נסמן ב-$B_0$ את השטח של צמח B בתחילת 2022. בין 2022 ל-2029 עברו 7 שנים, ולכן:

בתחילת 2022 כיסה צמח B כ-95.26 דונם (קטן מ-150, כמו בסרטוט).

(אם מציבים את הערך המעוגל $q=1.116$: $B_0=\frac{205.54}{1.116^7}\approx\frac{205.54}{2.1560}\approx95.34$ דונם.)

טעות נפוצה: לחבר את 20 במקום לחסר ($225.54+20=245.54$), ולקבל $B_0\approx113.80$ דונם. בשנת 2029 השטח של B קטן מזה של A.

נסמן ב-$t$ את מספר השנים מתחילת 2022. דורשים שוויון בין השטחים:

מעבירים את החזקות לאגף אחד ואת המספרים לאגף השני:

השטחים צפויים להיות שווים כעבור כ-8.80 שנים מתחילת 2022.

(עם הערכים המעוגלים $q=1.116$ ו-$B_0\approx95.34$ מתקבלת אותה תשובה בקירוב: $t\approx8.80$.)

טעות נפוצה: לפתור את המשוואה מהשטחים של 2029 ($225.54\cdot1.06^t=205.54\cdot q^t$, ומקבלים $t\approx1.80$) ולשכוח שזה הזמן מתחילת 2029 - צריך להוסיף 7 שנים.

$e^{\ln2}=2$ ו-$e^{2\ln2}=4$, ולכן $f'(\ln2)=2\cdot4-2a=8-2a$.

בקיצון $f'(\ln2)=0$: $8-2a=0$, כלומר $a=4$.

טעות נפוצה: לגזור את $ae^x$ כ-$a$ (כאילו זה $ax$), ולקבל $8-a=0$, כלומר $a=8$.

$f(x)=e^{2x}-4e^x-5$ - סכום של פונקציות מעריכיות וקבוע, מוגדר לכל $x$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq0$ או $x>0$; אין כאן מכנה ואין לוגריתם.

ציר ה-$y$: $f(0)=1-4-5=-8$.

ציר ה-$x$: נציב $t=e^x$:

$e^x=-1$ נפסל; $e^x=5\Rightarrow x=\ln5$.

הנקודות: $(\ln5,0)$ ו-$(0,-8)$.

טעות נפוצה: לפרק $(t+5)(t-1)$ ולקבל $x=\ln1=0$ - בדיקה: $f(0)=-8\neq0$.

$2e^x>0$, ולכן $f'=0$ רק כש-$e^x=2$, כלומר $x=\ln2$.

$f(\ln2)=4-8-5=-9$.

עבור $x<\ln2$, $e^x<2$ והנגזרת שלילית; עבור $x>\ln2$ חיובית - מינימום $(\ln2,-9)$.

טעות נפוצה: לחשב $f(\ln2)$ עם $e^{2\ln2}=2$ ולקבל $2-8-5=-11$.

כש-$x\to-\infty$: $e^{2x}\to0$ ו-$e^x\to0$, ולכן $f(x)\to-5$.

האסימפטוטה: $y=-5$.

טעות נפוצה: לכתוב את האסימפטוטה האופקית כ-$x=-5$. אסימפטוטה אופקית היא ישר מהצורה $y=c$: הערך שהפונקציה מתקרבת אליו.

משמאל: עבור $x$ שלילי גדול $-4e^x$ שולט על $e^{2x}$, ולכן $f(x)<-5$ - הגרף מתחת לאסימפטוטה $y=-5$.

הגרף יורד, חותך את ציר ה-$y$ ב-$(0,-8)$, מגיע למינימום $(\ln2,-9)\approx(0.69,-9)$, ואז עולה וחותך את ציר ה-$x$ ב-$(\ln5,0)\approx(1.61,0)$.

טעות נפוצה: לשים את המינימום על ציר ה-$y$. כאן הוא מימין לציר, ונקודת החיתוך $(0,-8)$ נמצאת בירידה.

הזזה של 5 יחידות למעלה: האסימפטוטה $y=-5$ עוברת לציר ה-$x$, והמינימום עובר ל-$(\ln2,-4)$.

הגרף מתקרב לציר ה-$x$ מלמטה משמאל, יורד עד $(\ln2,-4)$, ואז עולה וחוצה את ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: להזיז רק את האסימפטוטה ולהשאיר את המינימום ב-$(\ln2,-9)$.

$g(x)=e^{2x}-4e^x$. ציר ה-$y$: $g(0)=1-4=-3$.

ציר ה-$x$: $e^x(e^x-4)=0$; $e^x=0$ אין פתרון, $e^x=4\Rightarrow x=\ln4$.

טעות נפוצה: להעתיק את נקודת החיתוך של $f$ ולענות $(\ln5,5)$. בהזזה אנכית נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ משתנות, וצריך לפתור את $g(x)=0$ מחדש.

השטח בין $x=0$ ל-$x=\ln4$, שם $g(x)<0$:

$e^{\ln4}=4$ ו-$e^{2\ln4}=16$:

טעות נפוצה: לחשב את האינטגרל של $g$ עצמה ולקבל $-4.5$, ולהשאיר שטח שלילי.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$ בלבד, ולכן התחום $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>2$ או $x>e^2$ כאילו הגורם $\ln x-2$ צריך להיות חיובי. אין לוגריתם של $\ln x-2$, ולכן אין דרישה כזו.

כאשר $x\to0^+$, $\ln x\to-\infty$ וגם $\ln x-2\to-\infty$. מכפלתם שואפת ל-$+\infty$.

לכן $x=0$ אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לענות "אין אסימפטוטה אנכית" כי אין בפונקציה שבר. כאשר $x\to0^+$ הפונקציה שואפת ל-$+\infty$, ולכן ציר ה-$y$ הוא אסימפטוטה אנכית.

ציר ה-$x$: $(\ln x-2)\ln x=0$.

$\ln x=0\Rightarrow x=1$, או $\ln x=2\Rightarrow x=e^2\approx7.39$.

ציר ה-$y$: $x=0$ אינו בתחום - אין חיתוך.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x=2$ כ-$x=\ln2$ או $x=2e$. לפי הגדרת הלוגריתם $x=e^2$.

$f'(x)=0\iff\ln x=1\iff x=e$.

המכנה חיובי בתחום; הסימן של $f'$ לפי $\ln x-1$: שלילי עבור $x<e$, חיובי עבור $x>e$ - מינימום.

טעות נפוצה: לכתוב את המונה כ-$2\ln x+2$ (טעות בסימן של $-2$) ולקבל $x=\frac1e$.

מסכמים: תחום $x>0$; ליד $x=0$ הגרף שואף ל-$+\infty$; יורד, חוצה את ציר ה-$x$ ב-$x=1$, מגיע למינימום $(e,-1)$, עולה וחוצה שוב ב-$x=e^2\approx7.39$, וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: לצייר את המינימום בין 0 ל-1. סדר הנקודות על ציר ה-$x$ הוא $1<e<e^2$, והמינימום בין שתי נקודות החיתוך.

נקודות קיצון של $g$ הן נקודות שבהן $g'=f$ מתאפסת ומחליפה סימן: $x=1$ ו-$x=e^2$.

מהסקיצה: $f>0$ עבור $0<x<1$, $f<0$ עבור $1<x<e^2$, $f>0$ עבור $x>e^2$.

ב-$x=1$: מחיובית לשלילית - מקסימום של $g$. ב-$x=e^2$: משלילית לחיובית - מינימום של $g$.

טעות נפוצה: להפוך את סוגי הקיצון ולענות $x=1$ מינימום ו-$x=e^2$ מקסימום. כש-$g'=f$ עוברת מחיובית לשלילית, $g$ עולה ואז יורדת - זה מקסימום.

גרף $h(x)=f(x+3)$ הוא גרף $f$ מוזז 3 יחידות שמאלה, ולכן האסימפטוטה $x=0$ הופכת ל-$x=-3$.

(בדיקה: $h$ מוגדרת עבור $x+3>0$, כלומר $x>-3$, וכאשר $x\to-3^+$, $h\to+\infty$.)

טעות נפוצה: להזיז ימינה ולענות $x=3$.