מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 13 ברמת בגרות

מספרי הקילומטרים של קבוצת הבוגרים יוצרים סדרה הנדסית עם מנה $q$, כי בכל שבוע המספר גדול פי $q$ מבשבוע שלפניו.

לפי האיבר הכללי $a_n=a_1q^{n-1}$: $a_2=a_1q$ ו-$a_5=a_1q^4$, ולכן $a_5=a_2\cdot q^3$ (מהשבוע השני לחמישי יש שלוש הכפלות ב-$q$).

הנתון "גדול פי 1.728 מהשבוע השני" נותן:

($a_2\ne0$, ולכן מותר לחלק בו.)

בדיקה: $1.2^3=1.728$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_5=a_2q^4$ (כאילו מהשבוע השני לחמישי יש ארבע הכפלות), ולקבל $q=\sqrt[4]{1.728}\approx1.147$.

השבוע האחרון הוא השבוע החמישי, ולכן $a_5=a_1q^4=a_1\cdot1.2^4=2.0736a_1$.

ההפרש בין השבוע האחרון לשבוע הראשון נתון:

בשבוע הראשון רצה קבוצת הבוגרים 625 קילומטרים (ובשבוע האחרון $625\cdot2.0736=1296$, ואכן $1296-625=671$).

טעות נפוצה: לכתוב $a_5=a_1q^5$, כלומר $1.48832a_1=671$, ולקבל $a_1\approx450.8$. מהשבוע הראשון לחמישי כופלים ב-$q$ רק ארבע פעמים.

מספרי הקילומטרים של קבוצת הנוער יוצרים סדרה חשבונית עם הפרש $d$. יש שני נעלמים ($b_1$ ו-$d$), ולכן בונים שתי משוואות.

השבוע הרביעי: $b_4=b_1+3d=380$.

סכום 15 השבועות:

מחסרים את המשוואה $b_1+3d=380$ מהמשוואה $b_1+7d=460$:

($b_1=380-60=320$, ובדיקה: $7.5\cdot(640+280)=6900$.)

טעות נפוצה: לכתוב $b_4=b_1+4d$. אז $b_1=380-4d$, מתקבל $2(380-4d)+14d=920$, כלומר $6d=160$, ו-$d\approx26.67$.

מספר הקילומטרים של קבוצת הבוגרים הוא סכום 5 האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית:

קבוצת הנוער רצה 6,900 קילומטרים (נתון). יחד: $4651+6900=11{,}551$ קילומטרים.

סכום התרומה:

$17{,}326.5>17{,}000$, ולכן התרומה תספיק לרכישת הציוד.

טעות נפוצה: לקחת בעבור קבוצת הבוגרים רק את השבוע האחרון ($a_5=1296$) במקום את סכום חמשת השבועות. מתקבל $(1296+6900)\cdot1.5=12{,}294$ שקלים, והמסקנה השגויה היא שהתרומה לא תספיק.

הבסיס ריבוע, ולכן $\underline u\perp\underline v$ ו-$\underline u\cdot\underline v=0$.

הזווית בין $\underline u$ ל-$\underline w$ היא הזווית $SAB$ בפאה $SAB$. המשולש שווה שוקיים ($SA=SB=3$, $AB=2$), ולכן הגובה מ-$S$ יורד לאמצע $AB$, ובמשולש ישר-הזווית שנוצר:

הפאה $SAD$ חופפת לפאה $SAB$ (אותם אורכים), ולכן גם $\underline v\cdot\underline w=2$.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\cos60^\circ$ כאילו הפאות שוות צלעות. כאן $SA=3\neq AB$, והזווית $SAB$ אינה $60^\circ$.

ל-$E$ מגיעים מ-$A$ דרך $D$: $\overrightarrow{AD}=\underline v$, ו-$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\underline u$, ולכן $\overrightarrow{DE}=\frac12\underline u$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{DE}=\frac12\underline v$ כאילו $E$ על המקצוע $AD$. המקצוע $DC$ מקביל ל-$AB$, ולכן הוא חלק של $\underline u$.

מחשבים את המכפלה הסקלרית של $\overrightarrow{SB}$ ו-$\overrightarrow{SE}$:

$|\overrightarrow{SB}|=3$. אורך $\overrightarrow{SE}$:

$|\overrightarrow{SE}|=2\sqrt2$.

טעות נפוצה: להציב $\underline u^2=2$ ו-$\underline w^2=3$ (האורכים) במקום הריבועים $4$ ו-$9$.

טעות נפוצה: לחשב $\frac12\cdot SB\cdot SE$ בלי הסינוס, כאילו המשולש ישר-זווית ב-$S$, ולקבל $3\sqrt2$.

$\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-\underline w+\underline u+\underline v$.

הולכים מ-$D$ אל $A$, עולים ל-$S$, וממשיכים חצי מהמקצוע $SC$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{SC}=\underline u+\underline v+\underline w$. מ-$S$ צריך קודם לרדת ל-$A$, כלומר $-\underline w$.

המכפלה הסקלרית שונה מ-0, ולכן הווקטורים אינם מאונכים.

טעות נפוצה: להציב $\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$, כאילו המקצוע $AS$ מאונך לבסיס, ולקבל $\frac12(4-9)=-\frac52$. רק $\underline u\cdot\underline v$ מתאפס.

המחיר עלה בכל שנה בכ-$5.05\%$.

טעות נפוצה: לחשב עלייה כוללת של $\frac{350}{850}\approx41.2\%$ ולחלק ב-7 - מקבלים כ-$5.88\%$.

המחיר ירד בכל שנה בכ-$6.40\%$.

טעות נפוצה: לחלק $18\%$ ב-3 ולענות $6\%$.

13 שנים הן 7 שנות עלייה ועוד 6 שנות ירידה, החל מ-1.2 מיליון:

$806.88<850$, ולכן רחל הפסידה כ-$43$ אלף שקלים.

טעות נפוצה: להפעיל את הירידה על כל 13 השנים: $1200\cdot q_2^{13}\approx507.8$ אלף, ולקבוע הפסד של כ-$342$ אלף שקלים (פי 8 בערך מההפסד הנכון).

$t$ - שנים מתחילת הירידה:

מהקנייה: $7+5.21\approx12.21$ שנים (מתאים לסעיף ב - אחרי 13 שנים המחיר כבר נמוך ממחיר הקנייה).

טעות נפוצה: לענות $5.21$ שנים - זה הזמן מתחילת הירידה, לא מהקנייה.

שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת, ולכן קודם גוזרים. $f$ היא מכפלה, ולכן גוזרים לפי כלל המכפלה: הנגזרת של $a-e^{x}$ היא $-e^{x}$, ואת $e^{2x}$ גוזרים לפי כלל השרשרת (נגזרת המעריך היא 2):

מוציאים את $e^{2x}$ כגורם משותף:

מציבים $x=0$ (כאשר $e^0=1$) ומשווים לשיפוע הנתון:

טעות נפוצה: לגזור את $e^{2x}$ ל-$e^{2x}$ בלי הכפלה ב-2. אז $f'(0)=-1+(a-1)=a-2=9$, ומקבלים $a=11$.

כעת $f(x)=(6-e^{x})\cdot e^{2x}$.

חיתוך עם ציר ה-$y$ ($x=0$):

חיתוך עם ציר ה-$x$ ($f(x)=0$): הגורם $e^{2x}$ חיובי תמיד ולעולם אינו מתאפס, ולכן רק הגורם $6-e^{x}$ יכול להתאפס:

נקודות החיתוך: $(0,5)$ ו-$(\ln6,0)$.

טעות נפוצה: לפתור $e^{x}=6$ כ-$x=e^{6}$ (לבלבל בין חזקה ללוגריתם), ולקבל את הנקודה $(e^6,0)\approx(403.4,0)$.

מסעיף א, עם $a=6$:

$e^{2x}>0$, ולכן $f'(x)=0$ רק כאשר $12-3e^{x}=0$, כלומר $e^{x}=4$ ו-$x=\ln4$.

סימן הנגזרת נקבע לפי $12-3e^{x}$. הפונקציה $e^{x}$ עולה, ולכן עבור $x<\ln4$ מתקיים $e^{x}<4$ והנגזרת חיובית, ועבור $x>\ln4$ מתקיים $e^{x}>4$ והנגזרת שלילית. הפונקציה עולה ואז יורדת, ולכן ב-$x=\ln4$ יש מקסימום.

מחשבים את הערך. $e^{\ln4}=4$, ו-$e^{2\ln4}=\left(e^{\ln4}\right)^2=16$:

נקודת הקיצון: $\max(\ln4,\,32)$.

טעות נפוצה: לחשב $e^{2\ln4}=2\cdot4=8$ במקום $4^2=16$, ולקבל $f(\ln4)=16$.

אוספים את נתוני החקירה:

כאשר $x\to-\infty$: $e^{x}\to0$ ו-$e^{2x}\to0$, ולכן $f(x)\to(6-0)\cdot0=0$. בתחום הזה $6-e^{x}>0$, ולכן הגרף מתקרב לציר ה-$x$ מלמעלה: הישר $y=0$ הוא אסימפטוטה אופקית משמאל.

הגרף עולה, עובר דרך $(0,5)$ ומגיע למקסימום $(\ln4,32)\approx(1.39,32)$.

אחרי $x=\ln4$ הגרף יורד וחותך את ציר ה-$x$ ב-$(\ln6,0)\approx(1.79,0)$. כאשר $x\to\infty$ הגורם $6-e^{x}$ שלילי וגדל בערכו המוחלט, ו-$e^{2x}\to\infty$, ולכן $f(x)\to-\infty$.

טעות נפוצה: לצייר אסימפטוטה $y=0$ גם מימין - אחרי $x=\ln6$ שני הגורמים גדלים בערכם המוחלט, והגרף יורד בלי חסם.

חזקה של בסיס חיובי ($e>0$) חיובית לכל מעריך, ולכן $e^{2x}>0$ לכל $x$.

מכפלה של המספר החיובי 3 בביטוי חיובי היא חיובית, ולכן $g(x)>0$ לכל $x$: הגרף של $g$ כולו מעל ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לטעון שעבור $x<0$ המעריך $2x$ שלילי ולכן $g(x)<0$. מעריך שלילי נותן שבר חיובי, למשל $g(-1)=3e^{-2}=\frac{3}{e^2}>0$.

משווים את שתי הפונקציות:

מחלקים ב-$e^{2x}$ - מותר, כי הוא אינו מתאפס:

מציבים ב-$g$. $e^{2\ln3}=\left(e^{\ln3}\right)^2=9$, ולכן:

$A(\ln3,\,27)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בהעברת אגפים ולקבל $e^{x}=6+3=9$, כלומר $x=\ln9$ ו-$y=3\cdot81=243$.

השטח נמצא בין ציר ה-$y$ ($x=0$) לאנך ($x=\ln3$), בין ציר ה-$x$ לגרף $g$. לפי סעיף ד, $g$ חיובית, ולכן השטח הוא האינטגרל עצמו:

פונקציה קדומה של $e^{2x}$ היא $\frac12e^{2x}$ (מחלקים במקדם של $x$), ולכן פונקציה קדומה של $3e^{2x}$ היא $\frac32e^{2x}$:

טעות נפוצה: לכתוב את הקדומה $6e^{2x}$ (כפל במקדם במקום חילוק), ולקבל $6\cdot9-6=48$.

המכנה של $f$ מתאפס ב-$x=3$ - אסימפטוטה מימין; המכנה של $g$ מתאפס ב-$x=-3$ - אסימפטוטה משמאל.

גרף I עולה לאינסוף ליד האסימפטוטה הימנית, ולכן הוא $f(x)$; גרף II עולה לאינסוף ליד האסימפטוטה השמאלית, ולכן הוא $g(x)$.

טעות נפוצה: להתאים לפי הסימן בתוך המכנה ("$3-x$ - מינוס - יורדת"). דווקא $f$ עולה: כש-$x$ גדל, $3-x$ קטן והשבר גדל.

$A$ על $f$: $y_A=\frac{k}{3-2}=k$. $B$ על $g$: $y_B=\frac{k}{3+2}=\frac k5$.

טעות נפוצה: לחשב $y_B=\frac{k}{3-2}$ ו-$y_A=\frac{k}{3+2}$ (להחליף בין הגרפים), ולקבל $k=-5$, בסתירה לנתון ש-$k$ חיובי.

$y=\frac53$. נקודת החיתוך $\left(0,\frac53\right)$.

טעות נפוצה: לענות $y=5$ (המונה) ולא לחלק במכנה $3$.

מפצלים בנקודת החיתוך $x=0$. בין 0 ל-2, $f$ מעל $g$; בין $-2$ ל-0, $g$ מעל $f$.

קדומות: $\int\frac{5}{3-x}dx=-5\ln(3-x)$, $\int\frac{5}{3+x}dx=5\ln(3+x)$.

טעות נפוצה: לחשב רק את השטח שבין 0 ל-2 ולשכוח את החלק שמשמאל לציר ה-$y$, ולענות $5\ln\frac95\approx2.939$. השטח המקווקו מורכב משני חלקים, משני צידי נקודת החיתוך.

אגף ימין: בקטע $[0,2]$ הפונקציה $f$ מעל $g$, ולכן לפי סעיף ד $\int_0^2(f-g)\,dx=5\ln\frac95$, ואגף ימין שווה ל-$10\ln\frac95$.

אגף שמאל: בקטע $[-2,0]$ הפונקציה $f-g$ שלילית, ולכן האינטגרל שם הוא מינוס השטח: $-5\ln\frac95$.

$0\neq10\ln\frac95$, ולכן הטענה אינה נכונה. אפשר גם ישירות: קדומה של $f-g$ היא $H(x)=-5\ln(3-x)-5\ln(3+x)=-5\ln\left(9-x^2\right)$, ו-$H(2)-H(-2)=0$ כי $H$ זוגית.

טעות נפוצה: לקבוע שהטענה נכונה "כי השטח סימטרי" - השטח בין $-2$ ל-0 שווה לשטח בין 0 ל-2. השטחים שווים, אבל באינטגרל של $f-g$ החלק השמאלי נספר במינוס.