מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 14 ברמת בגרות

בכל שבוע מספר המבקרים הוא מחצית ממספרם בשבוע שלפניו, לכן מספרי המבקרים בשבועות התערוכה יוצרים סדרה הנדסית עם מנה $q=\frac12$.

נסמן ב-$a_1$ את מספר המבקרים בשבוע הראשון. בשבוע השני ביקרו $\frac12a_1$ ובשבוע השלישי $\frac14a_1$.

סכום שלושת השבועות הראשונים נתון, ולכן:

(אפשר גם בנוסחת הסכום: $S_3=\frac{a_1\left(1-\left(\frac12\right)^3\right)}{1-\frac12}=\frac74a_1$.)

בשבוע הראשון ביקרו בתערוכה 3,200 מבקרים.

טעות נפוצה: להפוך את הכיוון ולקחת $q=2$ ("השבוע הקודם גדול פי 2"). אז $a_1+2a_1+4a_1=7a_1=5600$, ומקבלים $a_1=800$ - אבל השבוע הראשון הוא דווקא הגדול ביותר.

קודם מוצאים כמה מבקרים היו בכל 6 השבועות: זה סכום 6 האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית.

(בדיקה: $3200+1600+800+400+200+100=6300$.)

ביקרו 6,300 מבקרים, וכל אחד מהם שילם 40 שקלים:

סך ההכנסות הוא 252,000 שקלים.

טעות נפוצה: לכפול ב-40 רק את מספר המבקרים בשבוע השישי ($a_6=100$) במקום את סכום כל השבועות, ולקבל 4,000 שקלים.

סכום המלגות כולו הוא חמישית מההכנסות: $\frac{252{,}000}{5}=50{,}400$ שקלים.

הסכומים החודשיים יוצרים סדרה חשבונית: $a_1=1380$, $d=120$. מספר החודשים $n$ לא ידוע, וסכום כל האיברים הוא 50,400:

כופלים ב-2 ופותחים סוגריים:

מחלקים ב-120: $n^2+22n-840=0$.

$n=20$ או $n=-42$. מספר חודשים הוא מספר טבעי, לכן $n=20$.

טעות נפוצה: לשכוח לכפול ב-2 את $a_1$ בתוך הסוגריים ($1380$ במקום $2\cdot1380$). מתקבלת המשוואה $2n^2+21n-1680=0$, ו-$n\approx24.2$ - שאינו מספר טבעי.

יש 20 חודשים - מספר זוגי, ולכן יש שני חודשים אמצעיים: החודש ה-10 והחודש ה-11 (לפני החודש ה-10 יש 9 חודשים, ואחרי החודש ה-11 יש 9 חודשים).

לפי האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d$:

בדיקה: בסדרה חשבונית סכום שני איברים שמרחקם מהקצוות שווה הוא $a_1+a_{20}$, ולכן $a_{10}+a_{11}=\frac{2S_{20}}{20}=\frac{2\cdot50{,}400}{20}=5040$.

בשני החודשים האמצעיים העניקה ההנהלה 5,040 שקלים.

טעות נפוצה: לבחור את החודשים 9 ו-10 ($a_9+a_{10}=2340+2460$) ולקבל 4,800 שקלים.

נקודה על ציר ה-$x$ היא $(x,0,0)$; $A$ על החלק החיובי ו-$AO=4$, ולכן $A(4,0,0)$.

נקודה על ציר ה-$z$ היא $(0,0,z)$; $BO=6$, ולכן $B(0,0,6)$.

טעות נפוצה: לכתוב $B(0,6,0)$ מתוך הרגל ש"הקודקוד השני על ציר ה-$y$". כאן $B$ על ציר ה-$z$.

פירמידה ישרה: כל המקצועות הצדדיים שווים. מחשבים:

המקצועות הצדדיים שווים, ולכן הפירמידה ישרה.

טעות נפוצה: לחשב את $\overrightarrow{SB}$ כאילו $B(0,6,0)$, ולקבל $\overrightarrow{SB}=(-2,1,-3)$ ואורך $\sqrt{14}$ - ואז נראה בטעות שהפירמידה אינה ישרה.

במישור הבסיס שני וקטורים לא קולינאריים: $\overrightarrow{OA}=(4,0,0)$ ו-$\overrightarrow{OB}=(0,0,6)$.

$\overrightarrow{DS}$ מאונך לשני וקטורים לא קולינאריים במישור, ולכן הוא מאונך למישור $ABO$.

טעות נפוצה: לחשב את $D$ כאילו $B(0,6,0)$ ולקבל $D(2,3,0)$, $\overrightarrow{DS}=(0,2,3)$, שאינו מאונך ל-$\overrightarrow{OB}$.

הבסיס $ABO$ ישר-זווית ב-$O$ (ציר ה-$x$ מאונך לציר ה-$z$):

$DS$ מאונך לבסיס (סעיף ב(1)), ולכן הגובה $h=|\overrightarrow{DS}|=5$.

טעות נפוצה: לקחת את שיעור ה-$z$ של $S$ (3) כגובה, כמו כשהבסיס במישור $xy$. כאן הבסיס במישור $xz$, והגובה נמדד בכיוון ציר ה-$y$.

הזווית בין $\overrightarrow{OS}=(2,5,3)$ ל-$\overrightarrow{OD}=(2,0,3)$:

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\overrightarrow{DS}$ במקום ב-$\overrightarrow{OD}$. הזווית $SOD$ נמצאת בקודקוד $O$, ושני הווקטורים צריכים לצאת מ-$O$.

נסמן ב-$M_0$ את הכמות שניתנה וב-$q$ את המנה לשעה:

בכל שעה נשארים כ-$94.23\%$, כלומר הכמות קטנה בכ-$5.77\%$.

טעות נפוצה: לחלק את הירידה ב-6 ולענות $\frac{30\%}6=5\%$ - כך מקבלים אחרי 6 שעות $0.95^6\approx73.5\%$ ולא 70%.

ירידה של 75% פירושה שנשאר רבע מהכמות:

אחרי כ-23.32 שעות.

טעות נפוצה: לפתור $0.7^{\frac t6}=0.75$ (כאילו נשארו 75%) ולקבל $t\approx4.84$ שעות - זה הזמן לירידה של 25% בלבד.

30 שעות הן 5 תקופות של 6 שעות: $q^{30}=0.7^5=0.16807$.

המטופל קיבל כ-71.40 מ"ג.

טעות נפוצה: לכפול $12\cdot0.7^5\approx2.02$ מ"ג - זו הכמות שתישאר עוד 30 שעות אחר כך, לא הכמות ההתחלתית.

הפונקציה היא מנה, ולכן המכנה חייב להיות שונה מ-0:

תחום ההגדרה: כל $x$ חוץ מ-$x=\ln2\approx0.69$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ne2$. המכנה מתאפס כאשר $e^x=2$, כלומר ב-$x=\ln2$, ולא ב-$x=2$.

ב-$x=\ln2$ המכנה מתאפס. בודקים שהמונה שונה מ-0 באותה נקודה: $e^{2\ln2}+12=2^2+12=16\ne0$.

לכן כאשר $x$ מתקרב ל-$\ln2$ ערכי הפונקציה שואפים לאינסוף (בערכם המוחלט), והישר $x=\ln2$ הוא אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לפתור את $e^x=2$ בהיפוך פעולות שגוי, $x=e^2$, ולכתוב את האסימפטוטה $x=e^2\approx7.39$.

חיתוך עם ציר ה-y: מציבים $x=0$ (0 בתחום ההגדרה):

חיתוך עם ציר ה-x: צריך $f(x)=0$, כלומר מונה שווה 0. אבל $e^{2x}>0$, ולכן $e^{2x}+12>12>0$ לכל $x$ - אין חיתוך עם ציר ה-x.

נקודת החיתוך היחידה: $(0,-13)$.

טעות נפוצה: לכתוב $e^{2x}=2e^x$ (להוציא את 2 מהמעריך), ולקבל במונה $2\cdot1+12=14$ ו-$f(0)=\frac{14}{1-2}=-14$.

גוזרים לפי כלל הנגזרת של מנה, עם $(e^{2x})'=2e^{2x}$ ו-$(e^x-2)'=e^x$:

B היא נקודת החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה-x, כלומר $f'(x)=0$. המכנה חיובי ו-$e^x>0$, ולכן:

מציבים $t=e^x$ ($t>0$): $t^2-4t-12=0$, כלומר $(t-6)(t+2)=0$. הפתרון $t=-2$ נפסל ($e^x>0$), ולכן:

(ובצורה מפורקת: $f'(x)=\frac{e^x(e^x-6)(e^x+2)}{(e^x-2)^2}$.)

טעות נפוצה: לגזור את $e^{2x}$ בלי כלל השרשרת ($e^{2x}$ במקום $2e^{2x}$). אז המונה הוא $-2e^{2x}-12e^x$, שלילי תמיד, ומקבלים שהנגזרת לא מתאפסת כלל - בסתירה לגרף.

הסימן של $f'(x)=\frac{e^x(e^x-6)(e^x+2)}{(e^x-2)^2}$ נקבע רק לפי $e^x-6$, כי $e^x>0$, $e^x+2>0$ והמכנה ריבוע.

•כאשר $x<\ln6$ (ו-$x\ne\ln2$): $e^x<6$, ולכן $f'(x)<0$ - הפונקציה יורדת.

•כאשר $x>\ln6$: $f'(x)>0$ - הפונקציה עולה.

אותו דבר רואים בגרף הנגזרת: מתחת לציר ה-x משמאל ל-B (משני צדי האסימפטוטה), ומעליו מימין ל-B.

ירידה: $x<\ln2$ וגם $\ln2<x<\ln6$. עלייה: $x>\ln6$.

טעות נפוצה: לכתוב ירידה בתחום אחד, $x<\ln6$. הנקודה $x=\ln2$ אינה בתחום ההגדרה, ולכן אלה שני תחומים נפרדים.

מאספים את מה שמצאנו:

•אסימפטוטה אנכית $x=\ln2$.

•כאשר $x\to-\infty$: $e^{2x}\to0$ ו-$e^x\to0$, ולכן $f(x)\to\frac{0+12}{0-2}=-6$. הישר $y=-6$ הוא אסימפטוטה אופקית משמאל.

•משמאל לאסימפטוטה האנכית המכנה שלילי, ולכן $f<0$; הפונקציה יורדת מ-$-6$, עוברת דרך $(0,-13)$ ושואפת ל-$-\infty$.

•מימין לאסימפטוטה $f>0$; הפונקציה יורדת עד נקודת המינימום ב-$x=\ln6$ ואז עולה. $f(\ln6)=\frac{36+12}{6-2}=12$, כלומר מינימום $(\ln6,12)$.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מתקרב לציר ה-x ($y=0$). כאשר $x\to-\infty$ המונה שואף ל-12 ולא ל-0, ולכן הגרף מתקרב לישר $y=-6$.

גרף הנגזרת חותך את ציר ה-x רק ב-B ($x=\ln6$), ומימין ל-B הוא מעל הציר. לכן השטח הוא מ-$x=\ln6$ עד $x=\ln18$:

($f$ היא פונקציה קדומה של $f'$.)

טעות נפוצה: להציב את הגבולות בנגזרת במקום בפונקציה: $f'(\ln18)-f'(\ln6)=\frac{18\cdot12\cdot20}{16^2}-0=\frac{135}{8}\approx16.9$.

היגד I עוסק בנקודות הקיצון של הגרף שבסרטוט עצמו - גרף $f'$. לגרף יש נקודת מקסימום (השיא הסמוך לציר ה-$y$) ונקודת מינימום (השפל שמתחת לציר ה-$x$), ונתון שכל נקודות הקיצון מופיעות בסרטוט. לכן ל-$f'$ יש שתי נקודות קיצון, וההיגד לא נכון.

היגד II עוסק ב-$f$. נקודות הקיצון של $f$ הן המקומות שבהם $f'$ מחליפה סימן, כלומר נקודות החיתוך של גרף $f'$ עם ציר ה-$x$:

בנקודת החיתוך השמאלית $f'$ עוברת מחיובית לשלילית - $f$ עוברת מעלייה לירידה, ולכן זו נקודת מקסימום של $f$.

בנקודת החיתוך הימנית $f'$ עוברת משלילית לחיובית - $f$ עוברת מירידה לעלייה, ולכן זו נקודת מינימום של $f$.

המינימום מימין למקסימום, כלומר שיעור ה-$x$ שלו גדול יותר, וההיגד נכון.

טעות נפוצה: להפוך את כלל הסימנים ולחשוב שמעבר של $f'$ מחיובית לשלילית הוא מינימום; אז המינימום יוצא בחיתוך השמאלי, וההיגד II נראה בטעות לא נכון.

חיתוך עם ציר ה-$y$ מחייב $x=0$, אבל הפונקציה מוגדרת רק עבור $x>0$ - לכן אין חיתוך עם ציר ה-$y$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס. $x^2\ne0$ בתחום, ולכן:

נקודות החיתוך: $(1,0)$ ו-$\left(e^{\frac34},0\right)$.

טעות נפוצה: לפתור $4\ln x-3=0$ כ-$x=\frac34$ - המשוואה נותנת $\ln x=\frac34$, ולכן $x=e^{\frac34}$.

כותבים $f(x)=x^2\left(4(\ln x)^2-3\ln x\right)$ וגוזרים לפי כלל המכפלה. לפי כלל השרשרת $\left(4(\ln x)^2-3\ln x\right)'=\frac{8\ln x-3}{x}$:

$x>0$, ולכן $f'(x)=0$ כאשר $\ln x=\frac12$ או $\ln x=-\frac34$, כלומר $x=\sqrt e$ או $x=e^{-\frac34}$.

טבלת סימנים (הסימן לפי $2\ln x-1$ ו-$4\ln x+3$):

עבור $0<x<e^{-\frac34}$: שני הגורמים שליליים, $f'>0$.

עבור $e^{-\frac34}<x<\sqrt e$: $4\ln x+3>0$ ו-$2\ln x-1<0$, ולכן $f'<0$.

עבור $x>\sqrt e$: שני הגורמים חיוביים, $f'>0$.

ב-$x=e^{-\frac34}$ עלייה ואז ירידה - מקסימום. ב-$x=\sqrt e$ ירידה ואז עלייה - מינימום:

טעות נפוצה: לחשב $\left(e^{-\frac34}\right)^2=e^{\frac9{16}}$ (להעלות בריבוע את המעריך) במקום $e^{-\frac32}$, ולקבל שיעור $y$ של המקסימום $4.5e^{\frac9{16}}\approx7.90$.

מטבלת הסימנים בסעיף ב(2):

הפונקציה עולה כאשר $f'>0$: $0<x<e^{-\frac34}$ ו-$x>\sqrt e$.

הפונקציה יורדת כאשר $f'<0$: $e^{-\frac34}<x<\sqrt e$.

טעות נפוצה: לכתוב את תחום העלייה הראשון $x<e^{-\frac34}$ - התחום מתחיל ב-0, כי הפונקציה מוגדרת רק עבור $x>0$.

התנהגות בקצות התחום:

כאשר $x\to0^+$: $x^2\to0$ מהר יותר מש-$(\ln x)^2$ גדל, ולכן $f(x)\to0$. הנקודה $(0,0)$ אינה בתחום - מסמנים אותה בעיגול ריק. ליד 0 שני הגורמים $\ln x$ ו-$4\ln x-3$ שליליים, ולכן הגרף מעל ציר ה-$x$.

כאשר $x\to\infty$: כל הגורמים גדלים, ו-$f(x)\to\infty$.

מחברים את הנקודות לפי תחומי העלייה והירידה: עולה מהראשית עד $(0.47,\,1.00)$, יורדת דרך $(1,0)$ עד $(1.65,\,-1.36)$, ועולה דרך $(2.12,\,0)$ ל-$+\infty$.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף יורד ל-$-\infty$ ליד ציר ה-$y$ כי $\ln x\to-\infty$ - הגורם $x^2$ שואף ל-0 ו"מנצח", והגרף מתחיל בראשית.

$f$ מוגדרת כאשר הקלט שלה חיובי. הקלט של $f$ ב-$g(x)=f(x+1)$ הוא $x+1$, ולכן:

טעות נפוצה: לענות $x>1$ - הביטוי $x+1$ מזיז את הגרף שמאלה, ולא ימינה.

גרף $g(x)=f(x+1)$ הוא גרף $f$ מוזז יחידה אחת שמאלה. בהזזה אופקית שיעורי ה-$x$ קטנים ב-1, ושיעורי ה-$y$ וסוג הקיצון לא משתנים.

מנקודות הקיצון של $f$ מתקבלות:

(שתיהן בתחום $x>-1$: $e^{-\frac34}-1\approx-0.53$.)

טעות נפוצה: להזיז ימינה ולקבל $\max\left(e^{-\frac34}+1,\frac9{2e^{1.5}}\right)\approx(1.47,\,1.00)$ ו-$\min\left(\sqrt e+1,-\frac e2\right)\approx(2.65,\,-1.36)$.