מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 15 ברמת בגרות

נכתוב כל איבר בעזרת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d$.

הנתון $a_7=3a_2$:

בסדרה יש 40 איברים, ולכן האיבר האחרון הוא $a_{40}$:

מציבים $a_1=1.5d$: $40.5d=81$, כלומר $d=2$, ולכן $a_1=1.5\cdot2=3$.

בדיקה: $a_2=5$, $a_7=15=3\cdot5$, ו-$a_{40}=3+39\cdot2=81$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_{40}=a_1+40d$. מתקבל $41.5d=81$, כלומר $d=\frac{162}{83}\approx1.95$ - אבל מהאיבר הראשון עד האיבר ה-40 מוסיפים את $d$ רק 39 פעמים.

מהסעיף הקודם: $a_{40}=81$ ו-$a_1=3$.

לכן $b_1=81$, ו-$3b_5=3$, כלומר $b_5=1$.

בסדרה הנדסית $b_5=b_1q^4$:

$q^4=(q^2)^2$, ולכן $q^2=\frac19$ (האפשרות $q^2=-\frac19$ נפסלת, כי ריבוע אינו שלילי).

שתי האפשרויות: $q=\frac13$ או $q=-\frac13$.

טעות נפוצה: לכתוב $b_5=b_1q^5$ (מהאיבר הראשון לחמישי כופלים ב-$q$ רק ארבע פעמים). מתקבל $q^5=\frac{1}{81}$, ויוצאת אפשרות אחת בלבד: $q\approx0.415$.

בחירת המנה: אם $q=\frac13$, כל האיברים חיוביים וכל איבר קטן מקודמו - הסדרה יורדת. אם $q=-\frac13$, סימני האיברים מתחלפים ($81,-27,9,-3,\dots$) והסדרה אינה עולה ואינה יורדת. לכן $q=-\frac13$.

$b_1=81$ חיובי, ולכן האיברים השליליים הם האיברים במקומות הזוגיים: $b_2,b_4,b_6,\dots$.

כל אחד מהם מתקבל מקודמו בכפל ב-$q^2$, ולכן הם סדרה הנדסית אין-סופית:

$|q^2|<1$, ולכן הסדרה מתכנסת והסכום הוא:

טעות נפוצה: להשתמש במנה $q=-\frac13$ במקום $q^2$ בתת-הסדרה, ולקבל $\frac{-27}{1+\frac13}=-20.25$. בין שני איברים שליליים סמוכים יש שני צעדים בסדרה B.

וקטור בין שתי נקודות הוא הסוף פחות ההתחלה, כששני הווקטורים יוצאים מ-$A$:

כדי להגיע ל-$E$ הולכים מ-$A$ ל-$C$, ומשם שליש מהדרך מ-$C$ ל-$S$:

באותו אופן, מ-$A$ ל-$B$ ומשם שליש מהדרך ל-$C$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{CS}=\underline v-\underline w$ (ההתחלה פחות הסוף), ואז מתקבל $\overrightarrow{AE}=\frac43\underline v-\frac13\underline w$ - וקטור שיוצא מחוץ לפירמידה.

המקצוע $AS$ מאונך למישור הבסיס, ולכן הוא גובה הפירמידה: $h=|\underline w|=12$.

שטח הבסיס - משולש $ABC$ עם שתי צלעות והזווית שביניהן ($\sin135^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$):

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ בנוסחת נפח הפירמידה ולקבל $16\cdot12=192$ (זה נפח של מנסרה).

הזווית בין $\underline u$ ל-$\underline v$ היא $\angle BAC=135^\circ$, ו-$\cos135^\circ=-\frac{\sqrt2}{2}$:

טעות נפוצה: לכתוב $\cos135^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$ ולקבל $\underline u\cdot\underline v=32$. הזווית קהה, ולכן הקוסינוס שלילי.

$AS$ מאונך למישור הבסיס, ולכן הוא מאונך לכל ישר במישור הזה, ובפרט ל-$AB$ ול-$AC$:

כמו כן $\underline v\cdot\underline v=|\underline v|^2=64$. פותחים את המכפלה הסקלרית בעזרת סעיף א:

המכפלה הסקלרית שווה לאפס (והווקטורים אינם וקטורי אפס), ולכן $\overrightarrow{AE}\perp\overrightarrow{AF}$.

טעות נפוצה: להציב $\underline v^2=8$ (האורך) במקום $|\underline v|^2=64$, לקבל $-\frac{128}9+\frac{16}9=-\frac{112}9$ ולהסיק בטעות שאין ניצבות.

אורך וקטור מחשבים מהריבוע הסקלרי שלו ($|\underline u|^2=32$, $|\underline v|^2=64$):

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר האמצעי $2\cdot\frac23\cdot\frac13\,\underline u\cdot\underline v$ (כאילו $(a+b)^2=a^2+b^2$), ולקבל $|\overrightarrow{AF}|^2=\frac{192}9$, כלומר $|\overrightarrow{AF}|=\frac{8}{\sqrt3}\approx4.62$.

לפי סעיף ג(2) הזווית $EAF$ ישרה, ולכן $AE$ ו-$AF$ הם ניצבים במשולש, ושטחו חצי מכפלתם.

מחשבים את $|\overrightarrow{AE}|$ (נעזרים ב-$\underline v\cdot\underline w=0$):

טעות נפוצה: לחשב את $|\overrightarrow{AE}|$ כסכום אורכים, $\frac23\cdot8+\frac13\cdot12=\frac{28}3$, ולקבל שטח $\frac{112}9\approx12.44$ - אורך של סכום וקטורים אינו סכום האורכים.

נסמן את המנות: $q_A$ לדגימה A ו-$q_B$ לדגימה B, ואת המסות ההתחלתיות $M_A>M_B$.

אילו אחוז הירידה של דגימה A היה קטן או שווה לזה של דגימה B, אז $q_A\ge q_B$, ולכל זמן $t$:

כלומר דגימה A הייתה נשארת כבדה יותר כל הזמן. אבל נתון שבשלב מסוים המסה של דגימה B גדולה יותר - סתירה.

לכן דגימה A, שהתחילה כבדה יותר ונעקפה, איבדה מסה מהר יותר: האחוז שבו קטנה המסה שלה בכל יום גדול יותר.

טעות נפוצה: לענות "בדגימה B" מתוך בלבול בין המנה לאחוז הירידה: $q_B>q_A$, אבל מנה גדולה יותר פירושה אחוז ירידה קטן יותר (למשל 5% ירידה היא $q=0.95$).

ירידה של 5% בכל יום היא כפל במנה $q=1-0.05=0.95$, ולכן המסה אחרי $t$ ימים היא $640\cdot0.95^t$.

מוציאים לוגריתם משני האגפים:

המסה של דגימה A הייתה 400 מ"ג כעבור כ-9.16 ימים.

טעות נפוצה: לחשב ירידה קבועה של 5% מ-640, כלומר 32 מ"ג ביום, ולקבל $\frac{640-400}{32}=7.5$ ימים. הירידה היא 5% מהמסה הנוכחית, שהולכת וקטנה.

המסה ההתחלתית של דגימה B לא ידועה, ונסמן אותה $M_B$. אחרי 10 ימים היא $M_Bq^{10}$, ונתון שזה $0.7M_B$:

(המסה ההתחלתית מצטמצמת - לא צריך לדעת אותה.)

בכל יום נשאר כ-96.496% מהמסה, ולכן היא קטנה ב-$1-0.96496=0.03504$, כלומר בכ-3.504%.

טעות נפוצה: לחלק את 30% ב-10 ולענות 3%. ירידה באחוז קבוע היא כפל חוזר, לא חיסור של כמות קבועה.

קודם מוצאים את המסה ההתחלתית של דגימה B. $q^{15}=(q^{10})^{1.5}=0.7^{1.5}\approx0.58566$:

(בדיקה: $563.46<640$, כמו שנתון בשאלה.)

משווים את המסות של שתי הדגימות באותו זמן $t$:

מעבירים את החזקות לאגף אחד ואת המספרים לאגף השני:

המסות של שתי הדגימות היו שוות כעבור כ-8.15 ימים.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$q^{10}=0.7$ גם עבור 15 הימים, כלומר $M_B=\frac{330}{0.7}\approx471.43$. אז מתקבל $t\approx19.56$ ימים.

גוזרים לפי כלל המכפלה. הנגזרת של $x^2-x-a$ היא $2x-1$, ולפי כלל השרשרת $\left(e^{0.5x}\right)'=0.5e^{0.5x}$:

מוציאים $0.5e^{0.5x}$ כגורם משותף ($2(2x-1)+x^2-x-a=x^2+3x-2-a$):

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת:

$e^{-2}\ne0$, ולכן $2-a=0$, כלומר $a=2$.

(בסעיף ב נראה שהנגזרת אכן מחליפה סימן ב-$x=-4$.)

טעות נפוצה: לגזור $\left(e^{0.5x}\right)'=e^{0.5x}$ בלי המקדם 0.5. אז $f'(-4)=(-9+16+4-a)\,e^{-2}=0$, ומקבלים $a=11$.

עם $a=2$:

$e^{0.5x}>0$ לכל $x$, ולכן הנגזרת מתאפסת רק כאשר $x=-4$ או $x=1$, וסימנה הוא סימן הטרינום $(x+4)(x-1)$:

- $x<-4$: $f'>0$ (עולה)

- $-4<x<1$: $f'<0$ (יורדת)

- $x>1$: $f'>0$ (עולה)

מעלייה לירידה ב-$x=-4$ - מקסימום; מירידה לעלייה ב-$x=1$ - מינימום.

טעות נפוצה: לחשב את המעריך $0.5\cdot(-4)$ כ-$-4$, ולקבל $f(-4)=\frac{18}{e^4}\approx0.33$.

ציר ה-y: $f(0)=(0-0-2)\cdot e^{0}=-2$, הנקודה $(0,-2)$.

ציר ה-x: $(x^2-x-2)\,e^{0.5x}=0$. הגורם $e^{0.5x}$ אף פעם לא מתאפס, ולכן:

הנקודות $(-1,0)$ ו-$(2,0)$.

טעות נפוצה: להחליף בין השיעורים ולרשום את נקודת החיתוך עם ציר ה-y כ-$(-2,0)$. זו נקודה על ציר ה-x, ובה $f(-2)=\frac4e\ne0$.

מאחדים את תוצאות הסעיפים הקודמים, ומוסיפים התנהגות בקצוות:

•כאשר $x\to-\infty$: $e^{0.5x}\to0$ מהר יותר מש-$x^2-x-2$ גדל, ולכן $f(x)\to0$. שם $x^2-x-2>0$, ולכן הגרף מתקרב לציר ה-x מלמעלה (אסימפטוטה $y=0$ משמאל).

•כאשר $x\to\infty$: שני הגורמים גדלים, ולכן $f(x)\to\infty$.

סדר הנקודות משמאל לימין: עלייה מעל ציר ה-x עד המקסימום $(-4,2.44)$, ירידה דרך $(-1,0)$ ו-$(0,-2)$ עד המינימום $(1,-3.30)$, ועלייה דרך $(2,0)$ לאינסוף.

טעות נפוצה: לשים את האסימפטוטה $y=0$ מימין. מימין $e^{0.5x}$ גדל ו-$f(x)\to\infty$; ההתקרבות לאפס היא כאשר $x\to-\infty$.

גרף $g=|f|$ מתקבל מגרף $f$: החלקים שמעל ציר ה-x נשארים, והחלק שמתחת לציר (בין $-1$ ל-2) משתקף מעל הציר.

לכן ל-$g$:

•משמאל הוא מתקרב ל-0 (כמו $f$), עם “גבעה” בגובה $2.44$ ב-$x=-4$;

•הוא נוגע בציר ה-x בשתי נקודות, $x=-1$ ו-$x=2$;

•ביניהן יש “גבעה” בגובה $2\sqrt e\approx3.30$ ב-$x=1$;

•מימין הוא עולה לאינסוף.

רק גרף II מתאים. גרף I הוא תמונת ראי שלו (מתקרב ל-0 מימין ועולה לאינסוף משמאל); בגרף III יש חלק מתחת לציר ה-x, וזה הגרף של $f$ עצמה; בגרף IV החלק השלילי הוחלף בקטע על ציר ה-x במקום להשתקף.

טעות נפוצה: לבחור את גרף IV - “למחוק” את החלק השלילי (להחליף אותו ב-0) במקום לשקף אותו מעל ציר ה-x.

•המקסימום של $f$ ב-$\left(-4,\frac{18}{e^2}\right)$ נמצא מעל ציר ה-x, ולכן הוא נשאר מקסימום של $g$.

•המינימום של $f$ ב-$(1,-2\sqrt e)$ נמצא מתחת לציר ומשתקף, ולכן הופך למקסימום של $g$: $(1,2\sqrt e)\approx(1,3.30)$.

•בנקודות החיתוך עם ציר ה-x $g=0$, ובסביבתן $g>0$, ולכן הן נקודות מינימום של $g$: $(-1,0)$ ו-$(2,0)$.

טעות נפוצה: להעתיק את נקודות הקיצון של $f$ כמו שהן ולרשום $\min(1,-2\sqrt e)$. ל-$g$ אין ערכים שליליים: הנקודה הזאת הופכת למקסימום $(1,2\sqrt e)$.

לגרף I יש נקודת מינימום אחת, ובדיוק שם גרף II חותך את ציר ה-$x$.

משמאל למינימום גרף I יורד, ושם גרף II שלילי; מימין גרף I עולה, ושם גרף II חיובי.

לכן II הוא גרף הנגזרת ו-I הוא גרף הפונקציה.

טעות נפוצה: לחשוב שהגרף ה"שטוח" יותר הוא תמיד הפונקציה. ההכרעה היא לפי ההתאמה בין חיתוך עם ציר ה-$x$ לקיצון, ובין סימן לעלייה וירידה.

כל האיברים מכילים $\ln x$, שמוגדר עבור $x>0$.

טעות נפוצה: לדרוש גם $\ln x\neq0$, כלומר $x\neq1$. אין כאן חלוקה ב-$\ln x$.

נציב $t=\ln x$: $t^2-2t-3=0\Rightarrow(t-3)(t+1)=0$.

$\ln x=3\Rightarrow x=e^3\approx20.09$; $\ln x=-1\Rightarrow x=e^{-1}\approx0.368$.

$x=0$ לא בתחום - אין חיתוך עם ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לעצור ב-$t=3$, $t=-1$ ולענות $x=3$ ו-$x=-1$ (וגם לפסול את $-1$ בטעות כי "שלילי").

$f'=0$ כש-$\ln x=1$, כלומר $x=e$; $f(e)=1-2-3=-4$.

עבור $0<x<e$, $\ln x<1$ והנגזרת שלילית; עבור $x>e$ חיובית - מינימום $(e,-4)$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x=1$ כ-$x=1$ ולקבל נקודה $(1,-3)$. $\ln x=1$ פירושו $x=e$.

גרף הנגזרת חותך את ציר ה-$x$ ב-$x=e$, ובין $e$ ל-$e^3$ הוא חיובי.

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$:

טעות נפוצה: להתחיל את האינטגרל ב-$x=1$ (כמו בפונקציה $(\ln x)^2$) במקום בנקודה שבה הנגזרת הזאת מתאפסת, $x=e$.