מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 1 בדרך לבגרות

מספרי הזרים יוצרים סדרה חשבונית: $a_1=20$, $d=4$. היום האחרון הוא היום ה-15:

ביום האחרון נמכרו 76 זרים.

טעות נפוצה: לכתוב $20+15\cdot4=80$. בין היום הראשון ליום ה-15 יש 14 הוספות של $d$.

זהו סכום 15 האיברים הראשונים. האיבר הראשון והאחרון ידועים, ולכן:

במבצע נמכרו 720 זרים.

טעות נפוצה: לחשב $15\cdot76$, כאילו בכל יום נמכרו 76 זרים.

"קטן ב-315" פירושו שמחסירים 315 ממספר הזרים שמצאנו בסעיף ב:

לכן נמכרו 405 עציצים סך הכול, כנדרש.

טעות נפוצה: לחבר $720+315$ - המילים "קטן ב-" מתארות את מספר העציצים ביחס לזרים, ולכן מספר העציצים הוא הקטן.

מספרי העציצים יוצרים סדרה חשבונית עם $a_1=6$ ו-15 איברים, שסכומם 405:

כופלים ב-$\frac{2}{15}$:

טעות נפוצה: להשוות את האיבר האחרון לסכום ($6+14d=405$) במקום להשתמש בנוסחת הסכום.

מספר הפריטים הכולל (זרים ועציצים): $720+405=1125$.

מספרי הפריטים בכל שבוע יוצרים סדרה הנדסית עם $q=2$, וסכום 4 האיברים שלה הוא 1125:

בשבוע הראשון הגיעו 75 פריטים.

בדיקה: $75+150+300+600=1125$.

טעות נפוצה: להציב רק את מספר הזרים (720) בתור הסכום, ולשכוח את העציצים.

הווקטורים הנתונים יוצאים מ-A, לכן עוברים דרך A:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{SA}=\underline{w}$. הנתון הוא $\overrightarrow{AS}=\underline{w}$, והווקטור $\overrightarrow{SA}$ הוא הנגדי שלו.

מהנתון ומסעיף א:

עוברים מ-E ל-F דרך S:

מצד שני $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\underline{u}+\underline{v}$, ולכן $\overrightarrow{EF}=\frac13\overrightarrow{BC}$, כנדרש.

טעות נפוצה: לחבר $\overrightarrow{SE}+\overrightarrow{SF}$ במקום $-\overrightarrow{SE}+\overrightarrow{SF}$.

$\overrightarrow{EF}$ הוא כפולה בסקלר של $\overrightarrow{BC}$, לכן הווקטורים קולינאריים. E אינה על הישר BC, ולכן הקטעים אינם על אותו ישר - EF מקביל ל-BC.

בנוסף, הסקלר הוא $\frac13$, ולכן אורך EF הוא שליש מאורך BC.

טעות נפוצה: להסיק רק "EF שווה ל-BC" או להתעלם מהאורך - הכפל בסקלר קובע גם את היחס בין האורכים.

מסעיף ב(1):

טעות נפוצה: לחשב $5-(-1)=4$ - חיסור של מספר שלילי הוא חיבור.

טעות נפוצה: לחשב את הזווית בין $\overrightarrow{EA}$ ל-$\overrightarrow{AF}$ (וקטורים שאינם יוצאים מאותה נקודה) ולקבל את הזווית המשלימה.

בפונקציה $f(t)=f(0)\cdot q^t$ המקדם הוא הכמות ההתחלתית, והבסיס $q$ הוא מנת הגדילה.

יישוב א: $M(0)=10$, ו-$q=1.6$, כלומר כל יום מספר הנדבקים מוכפל ב-1.6 - גדילה של $60\%$.

יישוב ב: $G(0)=40$, ו-$q=1.2$ - גדילה של $20\%$ ביום.

טעות נפוצה: לענות שהגדילה ביישוב א היא $1.6\%$ - הבסיס $1.6$ פירושו $100\%+60\%$.

שתי הפונקציות עולות (בסיס גדול מ-1), ולכן גרף II, שיורד, אינו מתאר אף אחת מהן.

לפי סעיף א, יישוב א מתחיל נמוך יותר ($10<40$) אבל גדל מהר יותר ($60\%>20\%$). לכן הגרף שלו מתחיל מתחת לגרף של ב, עולה בתלילות וחוצה אותו.

זה גרף I. גרף III מתחיל גבוה יותר ועולה מתון - יישוב ב.

טעות נפוצה: לבחור לפי הגובה בקצה הימני של הסרטוט בלבד ולשייך ליישוב ב את הגרף שגבוה יותר בהתחלה וגם בסוף - הגרפים נחתכים, ולכן צריך לבדוק גם את נקודת ההתחלה וגם את קצב העלייה.

מחלקים ב-$10\cdot1.2^t$:

מספר הנדבקים היה שווה לאחר כ-4.82 ימים, כלומר במהלך היום ה-5.

טעות נפוצה: לחלק רק את המקדמים ($\frac{40}{10}=4$) ולכתוב $1.6^t=4\cdot1.2$ - החזקה $1.2^t$ עוברת אגף כמו שהיא.

$C(t)=625\cdot q^t$, ולאחר 4 ימים:

(בדיקה: $0.8^4=0.4096$.)

בכל יום נשאר $80\%$ מהנדבקים, כלומר מספרם ירד ב-$20\%$ בכל יום.

טעות נפוצה: לחשב את הירידה הכוללת $\frac{625-256}{625}\approx59\%$ ולחלק אותה ב-4 ימים ($14.76\%$) - בתהליך מעריכי האחוז נלקח בכל יום מהכמות שנשארה, ולכן מוציאים שורש רביעי.

ציר ה-$x$: $(x-2)^2e^x=0$. הגורם $e^x$ חיובי תמיד, ולכן $(x-2)^2=0$, $x=2$. הנקודה: $(2,0)$.

ציר ה-$y$: $f(0)=(0-2)^2\cdot e^0=4\cdot1=4$. הנקודה: $(0,4)$.

טעות נפוצה: לחשב $e^0=0$ ולקבל $(0,0)$. כל מספר (חוץ מאפס) בחזקת $0$ שווה $1$.

כלל המכפלה: $(u\cdot v)'=u'v+uv'$, עם $u=(x-2)^2$, $u'=2(x-2)$ ו-$v=e^x$, $v'=e^x$:

מוציאים גורם משותף $(x-2)e^x$:

טעות נפוצה: לגזור את $(x-2)^2$ כ-$2(x-2)$ ולשכוח את האיבר השני של כלל המכפלה ($(x-2)^2\cdot e^x$).

$f'(x)=0$: $e^x$ אינו מתאפס, ולכן $x=0$ או $x=2$.

הסימן של $f'(x)$ נקבע לפי $x(x-2)$ (כי $e^x>0$):

$f(0)=4$ ו-$f(2)=0$.

נקודות הקיצון: $\max(0,4)$, $\min(2,0)$.

טעות נפוצה: לקבוע את הסימן לפי $e^x$ בלבד ("חיובי תמיד, לכן הפונקציה עולה תמיד"). הגורם $x(x-2)$ שלילי בין $0$ ל-$2$.

לפי סעיף ב, $f(x)$ עולה, יורדת ואז עולה, עם מקסימום ב-$x=0$ ומינימום ב-$x=2$ שבו היא נוגעת בציר ה-$x$. זה גרף I.

הנגזרת חיובית, שלילית בין $0$ ל-$2$, ואז חיובית, וחותכת את ציר ה-$x$ ב-$x=0$ וב-$x=2$. זה גרף II.

גם בלי החישוב: גרף I אינו יורד מתחת לציר, ולכן הוא לא יכול להיות נגזרת של פונקציה שיש לה קטע ירידה.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I כנגזרת כי הוא "עולה מהר" מימין. גם הפונקציה וגם הנגזרת עולות מהר מימין; ההבדל הוא בקטע $0<x<2$.

בקטע $0<x<2$ הנגזרת שלילית, ולכן גרף II נמצא מתחת לציר.

הקדומה של $f'(x)$ היא $f(x)$:

השטח הוא הערך המוחלט: $S=4$.

טעות נפוצה: לענות $-4$: האינטגרל $\int_0^2f'(x)\,dx=f(2)-f(0)=-4$ שלילי כי הגרף מתחת לציר, והשטח הוא הערך המוחלט שלו.

$x>0$ (בגלל $\ln x$), והמכנה שונה מאפס:

טעות נפוצה: לכתוב $x\ne\frac e2$ - הפתרון של $\ln x=\frac12$ הוא $e^{\frac12}$.

ב-$x=\sqrt e$ המכנה מתאפס והמונה $e\ne0$, ולכן $x=\sqrt e$ ($\approx1.65$) אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לכתוב $x=0$ - שם $f\to0$.

כלל המנה, עם $(2\ln x-1)'=\frac2x$:

טעות נפוצה: לכתוב במונה $x^2\cdot\frac2x=2x^2$ - מצמצמים $x$ אחד ומקבלים $2x$.

$f'=0$ כאשר $\ln x=1$, כלומר $x=e$. המכנה חיובי ו-$x>0$, ולכן הסימן הוא סימן $\ln x-1$: שלילי עבור $x<e$ (פרט ל-$\sqrt e$), חיובי עבור $x>e$.

ירידה: $0<x<\sqrt e$ וגם $\sqrt e<x<e$ (בנפרד, בגלל האסימפטוטה). עלייה: $x>e$.

טעות נפוצה: לשכוח לפצל את תחום הירידה סביב $x=\sqrt e$.

בקטע $e\le x\le e^2$ מתקיים $f'\ge0$ (סעיף ג), ולכן השטח הוא האינטגרל של $f'$. הפונקציה הקדומה של $f'$ היא $f$:

טעות נפוצה: לנסות למצוא פונקציה קדומה לביטוי של $f'$ מחדש - היא כבר נתונה: $f$.