מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 1 ברמת בגרות

בכל יום ייצרו 5 ארגזים יותר מביום שלפניו, לכן המספרים היומיים יוצרים סדרה חשבונית עם $d=5$.

מביעים את שני האיברים הנתונים בעזרת $a_1$:

ביום הראשון ייצר המפעל 50 ארגזי מים.

טעות נפוצה: לכתוב $a_6=a_1+6d$ - בין היום הראשון ליום השישי יש חמש הוספות של $d$.

זהו סכום 20 האיברים הראשונים בסדרה, עם $a_1=50$ ו-$d=5$:

המפעל ייצר 1,950 ארגזי מים.

טעות נפוצה: לכתוב $20\cdot5$ במקום $19\cdot5$ בתוך הסוגריים.

מספר ארגזי המיץ סך הכול: $1950-450=1500$.

ידועים הסכום והאיבר האחרון, לכן משתמשים בנוסחת הסכום לפי האיבר הראשון והאחרון:

מהאיבר הכללי:

טעות נפוצה: להציב בנוסחת הסכום 1950 (כמות המים) או $1950+450$ במקום כמות המיץ $1950-450$.

מספר הארגזים הכולל: $1950+1500=3450$.

מספרי הארגזים בכל שבוע יוצרים סדרה הנדסית עם $q=2$, וסכום 4 האיברים הראשונים שלה הוא 3450:

בשבוע הראשון נשלחו 230 ארגזים.

בדיקה: $230+460+920+1840=3450$.

טעות נפוצה: לכתוב $2^3-1$ במקום $2^4-1$, או לחלק את 3450 ב-4.

ABCD מקבילית, ולכן הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות באותו כיוון: $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\underline{u}$.

כדי להביע את $\overrightarrow{SK}$ נמצא קודם את $\overrightarrow{SC}$. במקבילית $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\underline{u}+\underline{v}$ (כי $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$), ולכן:

באותו אופן $\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AD}=-\underline{w}+\underline{v}$, ולכן:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{DC}=-\underline{u}$ - בכיוון D ל-C הצלע הולכת כמו מ-A ל-B, ולא בכיוון ההפוך.

עוברים מ-K ל-L דרך S:

הרכיבים של $\underline{v}$ ושל $\underline{w}$ מתבטלים.

טעות נפוצה: לחשב $\overrightarrow{SK}-\overrightarrow{SL}$, שהוא $\overrightarrow{LK}$ ולא $\overrightarrow{KL}$ - מקבלים סימן הפוך.

מסעיף א $\overrightarrow{DC}=\underline{u}$, ומסעיף ב(1):

וקטור אחד הוא כפולה בסקלר של השני, לכן הווקטורים קולינאריים (הסימן השלילי אומר רק שכיוונם נגדי). K נמצאת על SC ושונה מ-C, ולכן אינה על הישר DC - הישרים אינם מתלכדים, ולכן KL מקביל ל-DC.

טעות נפוצה: לחשוב שהסימן השלילי מונע הקבלה. וקטורים נגדיים בכיוונם הם קולינאריים לכל דבר.

מסעיף ב(2): $\overrightarrow{KL}=-\frac23\overrightarrow{DC}$:

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן השלילי ולכתוב $\overrightarrow{KL}=(6,2,0)$.

טעות נפוצה: לחבר את $\overrightarrow{DC}$ במקום את $\overrightarrow{KL}$, או לחסר את $\overrightarrow{KL}$ מ-K.

הזווית KAL היא הזווית בין הווקטורים היוצאים מ-A:

טעות נפוצה: לחשב את המכפלה הסקלרית של וקטורי המיקום $K\cdot L$ במקום של $\overrightarrow{AK}$ ו-$\overrightarrow{AL}$ - הזווית היא בקודקוד A.

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac12$ בנוסחת השטח, או להציב $\cos$ במקום $\sin$.

בשתי הפונקציות הבסיס גדול מ-1 ($1.4$ ו-$1.1$), ולכן שתיהן עולות. גרף I יורד - הוא לא מתאר אף אחת מהן.

ערכים התחלתיים: $M(0)=20$ ו-$G(0)=150$ - חלקה א מתחילה נמוך יותר.

מנת הגדילה של א ($1.4$) גדולה מזו של ב ($1.1$), ולכן א עולה מהר יותר ועוקפת את ב.

גרף III מתחיל נמוך ועולה בתלילות עד שהוא חוצה את II - חלקה א. גרף II מתחיל גבוה ועולה מתון - חלקה ב.

טעות נפוצה: לשייך את גרף I לחלקה ב כי הוא מתחיל גבוה - גרף I יורד, ואילו $G$ עולה ($1.1>1$).

מציבים $t=10$:

לאחר 10 ימים היו בחלקה ב כ-389 מזיקים.

טעות נפוצה: לחשב $150\cdot(1+0.1\cdot10)=300$, כלומר גדילה של 10% מהכמות ההתחלתית בכל יום. בתהליך מעריכי כל יום מוסיף 10% מהכמות של היום הקודם.

מחלקים ב-$20\cdot1.1^t$:

מוציאים $\ln$:

מספר המזיקים בשתי החלקות היה שווה לאחר כ-8.35 ימים, כלומר במהלך היום ה-9.

טעות נפוצה: להפוך את המנה ולכתוב $\left(\frac{1.1}{1.4}\right)^t=7.5$ - בסיס קטן מ-1 בחזקה חיובית לא יכול לתת 7.5, ומתקבל $t$ שלילי. מחלקים ב-$20\cdot1.1^t$, ולכן $1.4$ במונה.

בבדיקה הראשונית ($t=0$) היו בחלקה ב $G(0)=150$ מזיקים, ולכן בחלקה ג היו $30\cdot150=4500$.

$C(t)=4500\cdot q^t$, ולאחר 6 ימים:

בכל יום נשאר כ-$59.52\%$ מהמזיקים, ולכן מספרם ירד ב-$1-0.5952=0.4048$, כלומר בכ-$40.48\%$.

טעות נפוצה: לענות $59.52\%$ - זה החלק שנשאר בכל יום, לא אחוז הירידה.

היכן ש-$f(x)$ עולה, $f'(x)>0$; היכן שהיא יורדת, $f'(x)<0$; בנקודת קיצון של $f(x)$ הנגזרת מתאפסת.

גרף I עולה עד נקודת מקסימום, יורד עד נקודה שבה הוא נוגע בציר ה-$x$, ואחר כך עולה.

גרף II חותך את ציר ה-$x$ בדיוק מתחת לשתי נקודות הקיצון של גרף I, חיובי היכן שגרף I עולה ושלילי בקטע שבו גרף I יורד.

הכיוון ההפוך לא מתאים: גרף I אינו שלילי בשום מקום, ולכן אילו הוא היה נגזרת, הפונקציה לא הייתה יורדת אף פעם - אבל לגרף II יש קטע ירידה.

לכן גרף II הוא $f'(x)$ וגרף I הוא $f(x)$.

טעות נפוצה: להתאים את נקודות הקיצון של גרף אחד לנקודות הקיצון של הגרף השני. נקודת קיצון של $f$ מתאימה לנקודת אפס של $f'$, לא לנקודת קיצון שלה.

$(x-3)^2$ פולינום, ו-$e^{x-1}$ מוגדרת לכל מעריך.

אין מכנה ואין לוגריתם, ולכן המכפלה מוגדרת לכל $x$.

טעות נפוצה: לפסול את $x=1$ כי בו המעריך מתאפס. $e^0=1$ - ערך רגיל לגמרי.

ציר ה-$x$: $(x-3)^2e^{x-1}=0$. הגורם $e^{x-1}$ חיובי תמיד, ולכן $(x-3)^2=0$, $x=3$. הנקודה: $(3,0)$.

ציר ה-$y$: מציבים $x=0$:

הנקודה: $\left(0,\frac9e\right)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ולקבל $(-3)^2=-9$. ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.

גוזרים לפי כלל המכפלה:

מוציאים גורם משותף $(x-3)e^{x-1}$:

$f'(x)=0$ כש-$x=3$ או $x=1$ (הגורם המעריכי אינו מתאפס).

לפי גרף I (גרף הפונקציה): הנקודה השמאלית היא מקסימום, והנקודה שבה הגרף נוגע בציר ה-$x$ היא מינימום.

נקודות הקיצון: $\max(1,4)$, $\min(3,0)$.

טעות נפוצה: לחשב $f(1)=4e$ כי "נשאר e". ב-$x=1$ המעריך הוא $0$ ו-$e^0=1$.

גרף הנגזרת חותך את ציר ה-$x$ ב-$x=1$ וב-$x=3$. משמאל הוא רק מתקרב לציר ומימין הוא עולה, ולכן השטח הסגור הוא בין $x=1$ ל-$x=3$, ושם $f'(x)<0$.

הפונקציה הקדומה של $f'(x)$ היא $f(x)$:

השטח מתחת לציר, ולכן $S=4$.

טעות נפוצה: לחפש קדומה ל-$(x-3)(x-1)e^{x-1}$ בכוחות עצמכם. הנגזרת של $f$ היא $f'$, ולכן הקדומה של $f'$ היא פשוט $f$.

הגרף של $g(x)=-f'(x)$ הוא השיקוף של גרף $f'(x)$ ביחס לציר ה-$x$.

הגרפים נחתכים כש-$f'(x)=-f'(x)$, כלומר $f'(x)=0$: ב-$x=1$ וב-$x=3$.

בקטע הזה השטח בין הגרפים הוא השטח מסעיף ג ועוד השיקוף שלו מעל ציר ה-$x$:

טעות נפוצה: לחשב $\int_1^3\left[g(x)+f'(x)\right]dx=0$. השטח בין שני גרפים הוא אינטגרל של ההפרש (העליון פחות התחתון), לא של הסכום.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$, והמכנה שונה מאפס:

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\ne e^2$ ($e^2\approx7.39$).

טעות נפוצה: לפתור $\ln x\ne2$ כ-$x\ne2e$ או $x\ne\ln2$.

ב-$x=e^2$ המכנה מתאפס והמונה $e^4\ne0$, ולכן $x=e^2$ אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: להוסיף את $x=0$ - שם $f\to0$, ואין אסימפטוטה.

$f(x)=0$ רק כאשר $x^2=0$, כלומר $x=0$, ונקודה זו אינה בתחום ההגדרה. לכן אין חיתוך עם ציר ה-x.

טעות נפוצה: לענות "כן, בראשית".

לפי כלל המנה, עם $(4-2\ln x)'=-\frac2x$:

$f'=0$: $10-4\ln x=0$, כלומר $\ln x=2.5$ ו-$x=e^{2.5}$.

הסימן הוא סימן $10-4\ln x$: חיובי עבור $x<e^{2.5}$ (פרט ל-$e^2$), שלילי עבור $x>e^{2.5}$. מעלייה לירידה - מקסימום:

זו נקודת מקסימום אף שערכה שלילי: היא הגבוהה ביותר בסביבתה, על הענף הימני שכולו מתחת לציר.

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס בנגזרת של $-2\ln x$ ולקבל מונה $x(6-4\ln x)$.

מטבלת הסימנים, כשהאסימפטוטה $x=e^2$ מפצלת את התחום:

•עלייה: $0<x<e^2$ וגם $e^2<x<e^{2.5}$.

•ירידה: $x>e^{2.5}$.

טעות נפוצה: לאחד את תחומי העלייה ל-$0<x<e^{2.5}$ - הפונקציה לא מוגדרת ב-$e^2$, ומשמאל לה ערכיה חיוביים ומימינה שליליים.

$f$: משמאל לאסימפטוטה המכנה חיובי, ולכן $f>0$ והיא עולה אל $+\infty$; מימין המכנה שלילי, $f<0$, עם מקסימום $(e^{2.5},-e^5)$ ואחריו ירידה. זה גרף II. (בגרף I הענף השמאלי שלילי והימני חיובי עם מינימום - זה $-f$.)

$f'$: $f'>0$ בכל התחום $0<x<e^{2.5}$ (משני צידי האסימפטוטה), $f'(e^{2.5})=0$, ו-$f'<0$ אחר כך. לכן הגרף מעל ציר ה-x משני צידי האסימפטוטה ויורד מתחת לציר פעם אחת, מימין לה. זה גרף IV. (גרף III הוא תמונת הראי שלו - שלילי ליד הראשית.)

טעות נפוצה: לזהות את $f'$ לפי צורת הגרף של $f$ ("גם הוא עולה ואז יורד") במקום לפי הסימן של $f'$.

$f'$ מתאפסת ב-$x=e^{2.5}$, ובין $e^{2.5}$ ל-$e^3$ מתקיים $f'\le0$ - השטח נמצא מתחת לציר ה-x, ולכן לוקחים את האינטגרל עם סימן מינוס:

טעות נפוצה: לקבל $f(e^3)-f(e^{2.5})\approx-53.30$ ולהשאיר שטח שלילי.